Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Transkripsi

1 Silabus 1 2 3

2 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003.

3 Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3 Tugas : 30 4 Kuis dan Absensi (kehadiran) : 20

4 Definisi Definisi bilangan real R adalah himpunan R dilengkapi operasi + (jumlah) dan (kali) yang memenuhi tiga aksioma berikut. 1 Aksioma Lapangan, mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real. 2 Aksioma Urutan, mengatur bilangan positif, negatif, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, pertaksamaan, dan ketaksamaan. 3 Aksioma Kelengkapan, mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus.

5 Aksioma: Suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian. Pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi. Suatu pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian.

6 Bilangan

7 Bilangan Rasional Definisi Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m n dengan m dan n adalah bilangan-bilangan bulat dengan n 0, disebut bilangan-bilangan rasional. Contoh:

8 Bilangan Irasional Definisi Bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat adalah bilangan irasional. Contoh: 2, 5, π

9 Definisi Bilangan-bilangan real adalah himpunan semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, termasuk negatifnya dan nol.

10 Garis Real Definisi Garis real adalah padanan satu-satu untuk setiap bilangan real dengan satu titik (untuk satu bilangan real dikaitkan dengan satu titik).

11 Sifat Aljabar Bentuk Kuadrat Definit Positif 1 Bentuk ax 2 + bx + c dinamakan definit positif ax 2 + bx + c > 0 x R. 2 Bentuk ax 2 + bx + c dinamakan definit positif a > 0 dan D = b 2 4ac < 0. Ilustrasi : Bentuk x 2 2x + 2 definit positif karena x 2 2x + 2 = (x 1) > 0 x R, a = 1 > 0 dan D = ( 2) = 4 < 0.

12 Sifat Aljabar Bentuk Akar

13 Pertaksamaan Aksioma Urutan Pada R terdapat himpunan P R yang memenuhi: Definisi Jika a R, maka a = 0 atau a P atau a P. Jika a, b P, maka a + b P dan a.b P. a dikatakan bilangan negatif jika a P (positif). a dikatakan lebih besar dari b (ditulis a > b) jika a b P (positif). a dikatakan lebih kecil dari b (ditulis a < b) jika b < a. a b jika a > b atau a = b; a b jika a < b atau a = b. Dua bentuk matematika yang dihubungkan dengan tanda >, <,, atau dinamakan pertaksamaan atau ketaksamaan.

14 Pertaksamaan

15 Pertaksamaan Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat ketaksamaan tersebut berlaku. Operasi ketaksamaan: 1. Tambahkan bilangan yang sama pada kedua selang. 2. Kalikan dengan bilangan positif pada kedua selang. 3. Kalikan dengan bilangan negatif pada kedua selang, tetapi tanda dibalik.

16 Garis Bilangan dan Selang Terdapat korespondensi satu-kesatu antara R dan garis lurus, setiap bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis dan setiap titik dapat dapat dinyatakan oleh bilangan real. Garis yang menggambarkan R dinamakan garis bilangan. Suatu ruas garis pada garis bilangan dinamakan selang hingga. Suatu selang hingga mempunyai batas atas dan batas bawah. Dalam kasus tak terbatas, dipunyai selang tak hingga. Selang yang tidak memuat titik batasnya dinamakan selang terbuka dan yang memuat semua titik batasnya dinamakan selang tertutup.

17 Garis Bilangan dan Selang Lambang (positif tak hingga) digunakan untuk sesuatu yang lebih besar dari setiap bilangan real, membesar tanpa batas. Lambang (negaatif tak hingga) digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real, mengecil tanpa batas.

18 Garis Bilangan dan Selang

19 Contoh Tentukan himpunan jawab (HJ) pertaksamaan x+1 x 2 x x+3.

20 Soal Latihan Tentukan HJ dari pertaksamaan berikut: 1. 4x + 2 > x 7 4x x 4x x. 4. x 2 2x x+1 x > x 5 x x 3 5x 2 + 4x (x + 5)(x + 2) 2 (x 5) < 0.

21 Nilai Mutlak Nilai mutlak dari x R, ditulis x, didefinisikan sebagai

22 Nilai Mutlak

23 Nilai Mutlak Contoh Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak

24 Nilai Mutlak Tentukan HJ pertaksamaan x 3 2 x 1

25 Soal Latihan Tentukan HJ dari pertaksamaan nilai mutlak berikut: 1. x + 6 < x x + 3 < x x 1/2 x+1/2 < x 4 < 1 x x 3 1 x+4 0.

26 Koordinat Cartesius dan Garis Lurus Definisi Koordinat bidang adalah kumpulan titik-titik yang terkumpul dalam suatu bidang yang merupakan pasangan terurut (x, y).

27 Koordinat Cartesius dan Garis Lurus

28 Koordinat Cartesius dan Garis Lurus

29 Koordinat Cartesius dan Garis Lurus Contoh 1. Tentukan gradien dari dua titik berikut: a. (2,3) dan (4,8). b. (4,1) dan (8,2). 2. Tentukan persamaan garis berikut: a. Melalui titik (2,3) dengan gradien 4. b. Melalui titik (2,3) dan (4,8). 3. Tentukan persamaan garis melalui titik (3,-3) yang memenuhi: a. Sejajar dengan garis y = 2x + 5. b. Tegak lurus dengan garis y = 2x + 5.

30 Persamaan Lingkaran Definisi Persamaan lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jika suatu titik P(x o, y o ) pada bidang, maka persamaan lingkaran dengan jarak r dari titik P adalah r 2 = (x x o ) 2 + (y y o ) 2

31 Persamaan Lingkaran Contoh Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 dengan pusat (1,3). (x 1) 2 + (y 3) 2 = 5 2 x 2 + y 2 2x 6y + 10 = 25 x 2 + y 2 2x 6y 15 = 0 Persamaan lingkaran: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0.

32 Grafik Persamaan Grafik pada bidang dari suatu persamaan adalah kumpulan titik-titik yang membuat suatu persamaan benar. Cara menggambar grafik: 1. Pilih beberapa titik yang memenuhi persamaan. 2. Plot titik-titk tersebut pada bidang. 3. Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk sebuah kurva.

33 Grafik Persamaan Misal: persamaan 2x + y = 1 y = 1 2x. x: variabel bebas dan y: variabel bergantung. Contoh Gambar grafik dari persamaan berikut: 1. y = x 2. x = y 2

34 dan Grafiknya

35 dan Grafiknya

36 Beberapa Contoh Daerah Asal, Daerah Nilai, dan Grafik Fungsi Contoh Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi a. f (x) = 4x x 2 b. g(x) = 4x x 2 kemudian gambar grafiknya.

37 Beberapa Contoh Daerah Asal, Daerah Nilai, dan Grafik Fungsi

38 Beberapa Contoh Daerah Asal, Daerah Nilai, dan Grafik Fungsi

39 Soal Tentukan D f dan R f dari masing-masing fungsi berikut: 1. y = C. 2. y = mx + n. 3. y = 1 1 x. 4. y = x. 1+x 2 5. y = 1. 1 x 2 6. y = x + 1 x.

40 Beberapa Fungsi

41 Pergeseran Kurva

42 Operasi Fungsi

43 Fungsi Komposisi, Daerah Asal dan Daerah Nilainya

44 Fungsi Komposisi, Daerah Asal dan Daerah Nilainya

45 Contoh Soal Fungsi Komposisi Contoh Jika f (x) = 6x x 2 dan g(x) = x, tentukan fungsi komposisi gof dan fog, daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi, serta kurvanya.

46 Contoh Soal Fungsi Komposisi

47 Limit di Satu Titik

48 Limit di Satu Titik

49 Limit di Satu Titik

50 Kasus Fungsi yang Tak Mempunyai Limit

51 Limit Sepihak, Limit Kiri dan Limit Kanan

52 Limit Di Tak Hingga

53 Bentuk Tak Tentu

54 Bentuk Tak Tentu

55 Fungsi

56 Fungsi

57 Fungsi