BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

Transkripsi

1 . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (,) dimana himpunan semua nilai disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai = f() disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi A f B = f() 9 Notasi: f : A B Daerah asal Daerah hasil Untuk ontoh.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (,) sehingga dan memenuhi: f {(,) / 5} Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(,7);(-,7); (,3);(-,3);(0,05) Dan f memuat tak berhingga banak pasangan terurut.

2 Catatan:. Himpunan A, B є. Fungsi: = f(), peubah bebas peubah tak bebas, bergantung pada 3. Daerah asal fungsi: D f = A = { fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: W f = { є B = f(), є D f } 5. Grafik fungsi: {(,) є D f, = f()) } = f() W f Soal: D f Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilna. a. = + b. = - Ada beberapa penajian fungsi aitu a. Seara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Seara numerik : dengan tabel. Seara visual : dengan grafik d. Seara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

3 Contoh:. Seara verbal Biaa pengiriman surat teratat seberat w ons adalah B(w). Aturan ang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaa pengiriman adalah Rp.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 50,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.. Seara numerik Biaa pengiriman surat teratat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) Biaa B(w) (rupiah) 0 < w.000 < w.50 < w < w < w Seara visual Biaa pengiriman surat teratat ditunjukkan grafik berikut. B R u p i a h w Ons 3

4 4. Seara aljabar Biaa pengiriman surat teratat dinatakan oleh fungsi berikut..000, jika 0 w.50, jika w B() w.500, jika w 3.750, jika 3 w 4.000, jika 4 w 5. Jenis-jenis Fungsi. Fungsi linear Bentuk umum: = f() = a + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu- Daerah asal dan daerah hasil: D f =, W f = Grafik: b = a + b. Polinomial Bentuk umum: = P() = a n n + a n- n- + + a + a + a 0 dimana: a n, a n-,, a, a 0 = konstanta, n = derajat polinom ( a n 0) Daerah asal: D f = 4

5 Grafik: Polinom derajat : = P() = a + b +, = P() a < 0, D > 0 D = b - 4a = P() = P() a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 = P() = P() = P() a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. = + - b. = Fungsi pangkat Bentuk umum: = f() = n, n є Daerah asal: D f = Grafik: = = =

6 4. Fungsi akar Bentuk Umum: n f (), n,3,4,... Daerah asal dan daerah hasil: D f = [0, ), W f = [0, ), jika n genap D f =, W f =, jika n ganjil Grafik: Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b. 5. Fungsi kebalikan Bentuk umum:, 0 Daerah asal dan daerah hasil: D f = - {0}, W f = - {0} Grafik: 0 6

7 6. Fungsi rasional Bentuk umum: Daerah asal: D f = - { Q() = 0} Contoh: P() Q() dimana: P, Q adalah polinom Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut a. b. 7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, aitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, ang dimulai dengan polinom. Contoh: a. () f b. f ()( ) 3 Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar. 7

8 8. Fungsi trigonometri 8. Fungsi sinus Bentuk umum: = f() = sin, dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D f =, W f = [-,] Grafik: = sin -π -π 0 π π - 8. Fungsi osinus Bentuk umum: = f() = os, dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D f =, W f = [-,] Grafik: -π = os -π π 0 - π 8.3 Fungsi tangen sin Bentuk umum: f () tan, dalam radian os Daerah asal : D f = - {π/ + nπ n є } Daerah hasil: W f = 8

9 Grafik: = tan -π -π 0 π π Fungsi trigonometri lainna Bentuk umum: a. f () se, os dalam radian b. f () ose, sin dalam radian. f ( ) ot, tan dalam radian 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. - sin b. - os. sin = sin ( + π) d. os = os ( + π) e. tan = tan ( + π) 9

10 9. Fungsi eksponensial Bentuk umum: = f() = a, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: D f =, W f = (0, ) Grafik: = a, a > = a, 0 < a < Fungsi logaritma Bentuk umum : = f() = log a, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: D f = (0, ), W f = Grafik: 0 = log a 0

11 . Fungsi transenden Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi ang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden menakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisna.. () f 4. () f tan 6 3. () 0 f 4. () f 6 5. () f log 0 6. () f 5 0 log 0 7. f () t t 8. f(). Fungsi ang terdefinisi seara sepotong-sepotong (pieewise funtion) Definisi: Fungsi ang terdefinisi seara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh: 0. () f 0-0 =

12 . 0 () f 0 0 = f() 3. Definisikan = bilangan bulat terbesar ang lebih keil atau sama dengan. 0 0 = f() 3 f() = 3 = Catatan:. f() =, f disebut fungsi nilai mutlak. f() =, f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 3. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-) = f() untuk setiap di dalam daerah asalna, maka f disebut fungsi genap. 4 f() = f() - Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-.

13 Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-) = -f() untuk setiap di dalam daerah asalna, maka f disebut fungsi ganjil. - f() -f() = f() Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duana. a. f() = - 4 b. f() = + sin. f() = + os d. f() = - 4. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi:. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f( ) f( ) < f( ) untuk setiap < di I.. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f( ) > f( ) untuk setiap < di I. = f() f( ) = f() f( ) f( ) Fungsi f naik Fungsi f turun 3

14 Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f() = I = [0, ) b. f() = sin I = [, ] 5. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan ara:. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan penerminan. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi) Misalkan > 0, diperoleh 4 maam grafik:. = f() +, geser = f() sejauh satuan ke atas = f() + = f(+) = f() = f(-) = f() - 4

15 . = f() -, geser grafik = f() sejauh satuan ke bawah 3. = f( - ), geser = f() sejauh satuan ke kanan 4. = f( + ), geser = f() sejauh satuan ke kiri - - b. Peregangan (dilatasi) Misalkan >. Untuk memperoleh grafik:. = f(), regangkan grafik = f() seara tegak dengan faktor.. = (/)f(), mampatkan grafik = f() seara tegak dengan faktor. 3. = f(), mampatkan grafik = f() seara mendatar dengan faktor. 4. = f(/), regangkan grafik = f() seara medatar dengan faktor. 0 π π = os = os = ½ os - - = os = os 0 π π = os ½ 5

16 . Penerminan Untuk memperoleh grafik:. = -f(), erminkan grafik = f() terhadap sumbu-. = f(-), erminkan grafik = f() terhadap sumbu- = f() = f(-) = f() f() f() -f() = -f() - Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi.. f()= -. f() = f()= sin 4. f() = - os 6

17 OPERASI FUNGSI ALJABAR Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan D g. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut. (f + g)() = f() + g() D f+g = D f D g.. (f - g)() = f() - g() D f-g = D f D g. 3. (fg)() = f() g() D fg = D f D g. 4. (f/g)() = f()/g() D f/g = {D f D g.} { g()= 0} Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalna, jika. () () f g. () f )( g Komposisi fungsi Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan D g. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: (f o g)() = f(g()) di mana D f o g = { є D g g() є D f } 7

18 D g g W g D f f W f a g(a) g() f(g()) f g Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalna, jika.. () () f g () f () g 8