KALKULUS UNTUK STATISTIKA

Transkripsi

1 Mulyana f( ) g( ) KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG

2 Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan bahan ajar Kalkulus I di Fakultas Teknik Universitas Pasundan, mengingat mata kuliah ini merupakan mata kuliah dasar keakhlian, sehingga materi kuliah yang diberikan diharapkan dapat mendukung para mahasiswa Fakultas Teknik Universitas Pasundan dalam mempelajari materi kuliah ilmu-ilmu teknik yang banyak memerlukan pemahaman ilmu kalkulus. Selain itu, karena mata kuliah Kalkulus ini merupakan salah satu mata kuliah yang diberikan pada kelas-kelas paralel, yang diajarkan oleh beberapa dosen, sehingga keragaman materi dan pencapaian materi kemungkinannya cukup besar. Oleh karena itu, dengan adanya diktat ini diharapkan keragaman tersebut dapat diperkecil. Penulis merasa materi pada diktat ini masih belum sempurna, sehingga kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya sangat diharapkan, karena editing akan selalu dilakukan setiap waktu, agar diktat ini dapat dijadikan acuan sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus untuk mahasiswa fakultas teknik. Kritik, saran, dan bantuan pemikiran dari semua pihak sehingga terwujudnya diktat ini, dan harapan untuk menjadikan diktat ini sebagai acuan materi perkuliahan, sekali lagi sangat diharapkan, dan diucapkan banyak terima kasih atas semua kerja-samanya. Bandung, Oktober Penulis i

3 DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar i Daftar Isi ii BAB I PENDAHULUAN I.. Struktur Bilangan I.. Sistem Bilangan Riil I.. Kalimat Matematis I.. Persamaan Linier I.. Persamaan Kuadrat I.6. Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan 8 I.6.. Pertidaksamaan Linier 8 I.6.. Pertidaksamaan Irasional 9 I.6.. Pertidaksamaan Pangkat Dua atau Lebih I.6.. Pertidaksamaan Pecahan I.6.. Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak BAB II FUNGSI DAN GRAFIK 9 II.. Deskripsi Fungsi 9 II.. Gambar Fungsi II.. Fungsi Komposisi II.. Beberapa Bentuk Fungsi II... Fungsi Linier II... Fungsi Kuadrat 9 II... Fungsi Pangkat II... Fungsi Logaritma II... Fungsi Siklometri (fungsi goniometri, fungsi trigonometri) II.. Fungsi Irisan Kerucut 9 II... Lingkaran 9 II... Ellips II... Hiperbola ii

4 BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI 6 III.. Cara menghitung nilai limit 6 III.. Dalil-Dalil Limit Fungsi 8 III.. Limit Kiri, Limit Kanan III.. Kekontinuan Fungsi BAB IV TURUNAN (DIFERENSIASI) IV.. Arti Turunan Fungsi IV.. Dalil Dasar Untuk Turunan IV.. Turunan Fungsi Implisit 8 IV.. Turunan dan Kekontinuan Fungsi 9 IV.. Turunan Orde Tinggi 6 IV.6. Nilai Ekstrim Fungsi 6 IV.7. Beberapa Penggunaan Turunan 6 iii

5 BAB I SISTEM BILANGAN Bilangan adalah sebuah aksioma, sehingga tidak perlu didefinisikan. Untuk menyatakan sebuah bilangan digunakan lambang bilangan, yang berupa himpunan benda sejenis yang ada di sekitar kita. Misalnya bilangan lima, dapat dilambangkan oleh lima jari atau lima buah benda sejenis. Untuk keperluan perhitungan, digunakan gambar lambang bilangan yang dinamakan dengan angka. Angka inilah yang digunakan sebagai wakil bilangan. Misal pernyataan 7. Dalam hal ini,, dan 7, bukan sebagai angka, tetapi sebagai wakil dari bilangan lima, dua dan tujuh. I.. Struktur Bilangan Bilangan dapat dikelompokan atas himpunan,. Bilangan asli : {,,,... }. Bilangan cacah : {,,,,... } Pada himpunan bilangan ini didefinisikan bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. Misal :,,, 7,,, 7,.... Bilangan bulat : {...,,,,,,,,... } Bilangan yang berada di sebelah kiri atau bilangan yang lebih kecil dari, dinamakan bilangan negatif. Yang di kanannya atau bilangan yang lebih besar dari, dinamakan bilangan positif.. Bilangan real yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional a Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan dalam bentuk, b tidak sama b dengan (ditulis b ), dengan a dan b bilangan bulat. Bilangan rasional jika disajikan dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang disajikan dengan menggunakan tanda koma (,) jika nilainnya antara dengan. Maka pada desimalnya (bilangan disebelah kanan tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau terhenti pada. Misalnya,, ,,...,,...,, 7

6 Dalam bilangan rasional, pernyataan b a, b, jika a lebih kecil dari b (ditulis a < b), dinamakan pecahan murni, sedangkan jika a lebih besar dari b (ditulis a > b), dinamakan pecahan campuran, sebab bentuknya dapat disajikan atas bilangan bulat dan pecahan murni, misalnya : bilangan rasional dinamakan bilangan irasional.. Bilangan yang tidak memiliki ciri seperti Bilangan irasional merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. Bilangan irasional jika disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya tidak akan terjadi pengulangan. Yang termasuk bilangan irasional diantaranya,. π,96, yang biasa diidentikan dengan 7,. bilangan eksponensial e,7888, yang biasa diidentikan dengan,. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, misalnya,, dan sejenisnya. Bilangan kompleks, yaitu bilangan yang disajikan oleh : a ib dengan a dan b bilangan real, i yang dinamakan bilangan imaginer. Pada sajian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer. Jika dibangun struktur bilangan, maka bentuknya akan seperti pada Gambar I..

7 bilangan kompleks bilangan imaginer bilangan real bilangan irasional bilangan rasional bilangan pecahan bilangan bulat bilangan bulat negatif bilangan cacah bilangan nol () bilangan asli Gambar I. Struktur Bilangan Jika dinotasikan, N himpunan bilangan asli, C himpunan bilangan cacah, Z himpunan bilangan bulat, Q himpunan bilangan rasional, I himpunan bilangan irasional, R himpunan bilangan real, dan K himpunan bilangan kompleks, maka berlaku hubungan,. C N {}. Q I φ. R Q I. N C Z R K I.. Sistem Bilangan Real Dalam matematika, yang disebut dengan sistem, adalah himpunan tidak kosong yang di dalamnya dilibatkan operasi terhadap anggota himpunannya. Pada himpunan bilangan real, operasi antar anggotanya adalah, perkalian (notasinya, atau. ), yang memiliki kawan, pembagian (notasinya, : atau ), dan perjumlahan (notasinya, ) yang memiliki kawan, pengurangan (notasinya, ). Pada proses perhitungan, operasi perkalian harus

8 didahulukan dari operasi perjumlahan, kecuali jika operasi perjumlahan itu ada didalam tanda kurung, sedangkan operasi perkalian dengan pembagian, dan perjumlahan dengan pengurangan, sifatnya setara, artinya mana yang lebih dulu disajikannya. Jadi yang dimaksud dengan sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang di dalammya dilibatkan operasi-operasi dan. Sistem bilangan real merupakan sitem bilangan yang banyak digunakan dalam perhitungan sehari-hari dan persoalan terapan. Operasi dalam sistem bilangan real memiliki sifat :. Tertutup. Jika a dan b bilangan real, maka a b (ditulis ab) dan a b juga bilangan real.. Komutatif. Jika a dan b bilangan real, maka ab ba, dan a b b a.. Asosiatif. Jika a, b, dan c bilangan real, maka a(bc) (ab)c, dan a (b c) (a b). Distributif. Jika a, b, dan c bilngan real, maka a(b c) ab ac Sifat asosiatif dan distributif menyatakan bahwa operasi dalam tanda kurung harus selalu didahulukan.. Trikhotomi. Jika a dan b bilangan real, maka hanya satu dari tiga hubungan di bawah ini yang berlaku. ) a b, ) a > b yang berarti : a b positif ( a b > ), ) a < b yang berarti : a b negatif ( a b < ), Sifat trikhotomi ini menyimpulkan, jika a dan b bilangan real, maka kemungkinannya a b atau a b. Dan jika a b, maka kemungkinannya a < b atau a > b. Dalam sistem bilalangan real, disajikan pula pernyataan a b, atau a b. Perbedaan arti dari sajian a b dengan a > b, (a b dengan a b) adalah : jika a < b (a > b) artinya a dengan b murni tidak sama. Tetapi untuk a b (a b) tidak murni tidak sama, artinya ada kemungkinan a b.

9 Sebagai implikasi dari sifat trikhotomi, maka berlaku hubungan ) a b >, jika a >, b >, a b <, jika a <, b <, ab >, jika a >, b >, atau a <, b< ab <, jika a >, b <, atau a <, b >. ) untuk setiap bilangan real c, () a c > b c, jika a > b, () a c < b c, jika a < b, () jika a > b, maka ac > bc, jika c >. Dan ac < bc, jika c <, sebaliknya, jika a < b, maka ac < bc, jika c >. Dan ac > bc, jika c <. 6. Adanya unsur satuan Definisi s dinamakan unsur satuan dari terhadap operasi *, jika s* atau *s. Dalam sistem bilangan real, unsur satuan terhadap perkalian () adalah, dan terhadap perjumlahan () adalah. 7. Adanya unsur kawan Definisi k dinamakan unsur kawan dari terhadap operasi *, jika k* s atau *k s, s unsur satuan. Dalam sistem bilangan real, unsur kawan dari terhadap perkalian adalah : ( - ), dan terhadap perjumlahan :. Berdasarkan unsur kawan ini, berlaku pernyataan dan : y y y y (y).

10 I.. Kalimat Matematis Kalimat matematis adalah kalimat yang memiliki nilai salah atau benar. Jika nilainya dapat ditentukan secara langsung tanpa sebuah proses perhitungan, maka kalimat matematis dinamakan kalimat tertutup. Sedangkan jika tidak langsung (nilainya harus dicari melalui sebuah proses perhitungan) dinamakan kalimat terbuka. Contoh Kalimat tertutup : 6 < Kalimat terbuka : < Dalam sistem bilangan real, yang termasuk kalimat tertutup adalah kesamaan dan ketidaksamaan, sedangkan kalimat terbuka persamaan dan pertidaksamaan. KALIMAT MATEMATIS KALIMAT TERBUKA KALIMAT TERTUTUP KESAMAAN KETIDAK- SAMAAN PERSAMAAN PERTIDAK- SAMAAN Gambar I. Struktur Kalimat Matematis Sifat trikhotomi merupakan perwujudan (implemantion) dari kalimat tertutup dalam sistem bilangan real. Sebab jika ada dua bilangan real a dan b, maka kemungkinannya, a sama dengan b (a b), atau a tidak sama dengan b a b (a b). Dalam hal a b, kemungkinannya, a > b atau a < b. Bentuk ketidaksamaan, a > b (a < b), dinamakan ketidaksamaan murni, sedangkan (a b) dinamakan ketidaksamaan tidak murni. 6 a b, Karena nilai dari kalimat tertutup dapat ditentukan secara langsung, sehingga untuk menentukan jawabnya tidak diperlukan perhitungan atau analisis tertentu, maka tidak ada

11 pembahasan lanjut tentang kalimat tertutup. Pembahasan lanjut dilakukan hanya untuk kalimat terbuka, yaitu persamaan dan pertidaksamaan, sebab untuk menentukan jawabnya diperlukan perhitungan tertentu. Sudah dikemukakan, dalam sistem bilangan riil, yang termasuk dalam kalimat terbuka adalah persamaan, yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda sama dengan (), dan pertidaksamaan yaitu kalimat terbuka yang melibatkan tanda tidak sama dengan (>,, <, ). Dalam persamaan atau pertidaksamaan,. Bagian di sebelah kiri tanda, >,, < atau, dinamakan ruas kiri, dan disebelah kanannya, ruas kanan,. Lambang yang memiliki nilai, dengan nilainya ditentukan atau diperoleh melalui sebuah proses perhitungan, sehingga persamaan menjadi kesamaan atau pertidaksamaan menjadi ketidaksamaan, dinamakan variabel,. Nilai variabel yang menyebabkan persamaan atau pertidaksamaan bernilai benar, dinamakan jawab, akar, solusi atau penyelesaian. Dalam buku ajar ini, akan digunakan kata jawab, sebagai hasil perhitungan dari persamaan atau pertidaksamaan yang bernilai benar. I.. Beberapa Bentuk Persamaan Sudah dikemukakan, persamaan adalah kalimat matematis terbuka yang melibatkan tanda. Untuk mencari jawab sebuah persamaan, lakukan langkah-langkah sebagai berikut,. Ruas kanan disama dengankan,. Jika dimungkinkan, maka faktorkan ruas kiri atas faktor-faktor linear. Jika tidak, maka lakukan analisis ciri.. Berdasarkan hasil faktorisasi atau analisis ciri, tentukan jawab persamaan. 7

12 I... Persamaan Linear Persamaan linear merupakan persamaan yang bentuknya paling sederhana. umum persamaannya adalah a b dengan a dan b, bilangan real. variabel. Jawab dari persamaan ini adalah, b a Bentuk Contoh. Tentukan jawab persamaan 7 Jawab : Ruas kanan disama dengankan Sehingga jawab persamaannya : 8 I... Persamaan Kuadrat Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah a b c dengan a, b dan c bilangan real. variabel. Jawab dari persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara. Metode faktorisasi. Konsepsinya, () faktorkan hasil kali a dengan c, dengan jumlah kedua faktornya sama dengan b. a c d d d, d d b, () ubah persamaan kuadrat menjadi a d d c () lakukan perhitungan sebagai kerikut. a d d c (a d ) (d c) a( a d ) d ( c ) d d Karena a c d d yang identik dengan c a d e, maka (a d )( e) 8

13 Sehingga jawabnya,. Dengan menggunakan rumus. a d d a e e d a Konsepsinya, jika dan jawab persamaan kuadrat, maka dipenuhi hubungan : b ± b a ac.,. dalam formulasi tersebut, b ac D, dinamakan diskriminan. Nilai diskriminan dapat digunakan untuk menentukan ciri dari jawab persamaan. Jika ) D >, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab bilangan real, ) D maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real, ) D < maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks. Contoh. Tentukan jawab dari persamaan! Jawab : Dengan cara faktorisasi: () () () (), sebab () (). Jika dihubungkan dengan teorinya : a, d, d, maka jawabnya Dengan menggunakan rumus : d a d a D (-) ()(-) >, jadi persamaan kuadrat memiliki jawab dua bilangan real, yaitu 9

14 ( ) ± ( ) ±., Jadi jawab persamaan adalah, dan. Jika disajikan dalam sebuah bentuk himpunan, maka himpunan jawabnya, H {. }. Dari rumus untuk mencari jawab persamaan kuadrat a b c, yaitu. b ± b ac, yang berarti a b b ac dan a b b ac. a Maka diperoleh hubungan ) ) b b ac b b ac b a a a. b b ac b a b ac a b a ( b) ( b ac ) b ( b ac) a ac a c a ( ) a Yang menyimpulkan bahwa, jika dan jawab persamaan kuadrat a b c, maka berlaku hubungan ) ) c.. a b a

15 Contoh. Jika dan jawab persamaan, maka dengan tidak menghitung nilainilainya, hitunglah a) X! b)! Jawab : 9 a) ( ) b) ( )( ) ( ) Contoh. ( ) Bangun persamaan kuadrat yang jumlah nilai jawabnya sama dengan, dan hasil kalinya sama dengan! Jawab : Jika dimisalkan bentuk persamaannya a b c dan,, maka a b b a c c a a sehingga persamaan yang dicari a a. Karena a maka kedua ruas dari persamaan dapat dibagi oleh a, sehingga bentuk persamaan kuadratnya,

16 Contoh. Bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya lebih besar dari persamaan Jawab : Jika dimisalkan, jawab persamaan, dan y, y jawab persamaan kuadrat yang akan dibangun dengan persamaan maka ay by c, b y y ( )( ) ( ) a c y y ( )( ) ( ) a c a Sehingga bentuk persamaan yang dicari adalah 6 ay ay a. 6 6 b a Karena a, jika persamaan dibagi a dan dikalikan, maka persamaan kuadrat yang dicari, atau jika variabelnya disajikan oleh Definisi Bentuk kuadrat a b c, dinamakan y 6y, 6 ) definit positif, jika a b c >, untuk sembarang nilai. Hal ini akan terjadi jika D b ac < dan a >. ) definit semi positif, jika a b c, untuk sembarang nilai. Hal ini terjadi jika D b ac dan a >. ) definit negatif, jika a b c <, untuk sembarang nilai. Hal ini terjadi jika D b ac < dan a<

17 ) definit semi positif, jika a b c, untuk sembarang nilai. Hal ini terjadi jika D b ac dan a< I... Persamaan Polinom Persamaan a n n a n- n-... a a, dengan n dan a n, dinamakan persamaan polinom berderajat n. Menyelesaikan persamaan ini, tidak sesederhana dan semudah seperti menyelesaikan persamaan kuadrat atau persamaan linear, karena untuk memfaktorkan ruas kiri tidak ada acuan khusus. Salah satu acuan yang dapat digunakan (walaupun belum tentu mudah prosesnya), adalah faktor dari konstanta persamaan (a ). Contoh 6 Tentukan jawab persamaan 6 Jawab : a Jika disubtitusikan ke ruas kiri 6() () () 6 maka - salah satu faktor dari 6. Untuk mencari faktor yang lainnya, ) bagi 6 oleh ( ) (6 ) : ( ) 6 ) faktorkan 6 6 ( )( ). Sehingga faktorisasi persamaan : 6 ( )( )( ) dan jawabnya Contoh 7 Tentukan jawab persamaan 7 7 Jawab : a. Jika disubtitusikan ke ruas kiri : () 7() 7() 7 7

18 () 7() 7() 7 7 () 7() 7() 7 () 7() 7() 7 6 Jadi tidak ada jawab persamaan yang merupakan bilangan bulat. Jika menelaah hasil perhitungan, nilai persamaan untuk dengan berbeda tanda. Artinya, dalam selang < <, ada nilai yang menyebabkan persamaan sama dengan. Jika disubtitusikan ke ruas kiri, maka diperoleh hasil ( ) 7( ) 7 7( ) Yang berarti, ( ) adalah salah satu faktor persamaan. Sehingga faktorisasinya, 7 7 ( )( ). Jika dihitung, determinan dari bentuk kuadrat, D () ()() <, dan koefisien kuadratnya, a >. Sehingga bentuk kuadrat ( ) definit positif, atau >, untuk setiap nilai. Sehingga jawab persamaan 7 7 adalah :. Untuk menyelesaikan persamaan polinom berderajat n, n, jika sulit dilakukan secara manual, dapat digunakan perangkat lunak komputer (software), diantaranya Mathcad. Mathcad adalah perangkat lunak komputer untuk membantu perhitungan dalam persoalan Matematika dan terapannya. Program ini sangat berguna bagi para profesional, pendidik, dan mahasiswa, yang sering menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan persoalan terapan. Karena program ini memiliki kemampuan yang tinggi, dalam proses penyelesaiannya. Sebagai sebuah spreadsheet, cukup sederhana dalam penggunaannya. Misalnya untuk mencari jawab persamaan Jika dilakukan secara manual, prosesnya tidak sederhana dan memerlukan waktu yang cukup lama. Sedangkan jika diselesaikan dengan menggunakan Mathcad, maka prosesnya cukup sederhana, sebagai berikut.

19 . Jalankan program Mathcad, sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini. ) Tutup tampilan Resource Centre, sehingga tampilan menjadi seperti di bawah ini. ) Pada ruang editor (bidang putih yang ada ponter ) secara berurut tulis f() (tulis sembarang nilai) soln root(f(),), selanjutnya klik pada fungsi Evaluati soln Catatan tanda, dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau Evaluati

20 Dari tampilan spreadsheet, diperoleh himpunan jawabnya H {,88, -,78,,97,9i,,97 -,9i} I.. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Sudah dikemukakan, pertidaksamaan adalah kalimat matematis yang melibatkan tanda >,, <, atau. Menentukan jawab sebuah pertidaksamaan identik dengan penyelesaian sebuah persamaan, yaitu ) ruas kanan disama dengankan, ) jika memungkinkan, lakukan faktorisasi ruas kiri. Jika tidak, lakukan telaah ciri, ) gunakan garis bilangan, yaitu garis yang titik-titiknya merupakan wakil dari bilangan real, ) tentukan daerah tanda pada garis bilangan, ) tentukan daerah tanda yang sesuai dengan pertidaksamaannya. Di bawah ini disajikan beberapa bentuk pertidaksamaan yang sering muncul dalam persoalan sehari-hari atau terapan. I... Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang variabel-variabel pada setiap ruasnya berderajat satu, dan pertidaksamaan ini merupakan pertidaksamaan yang paling sederhana bentuk dan penyelesaiannya. 6

21 Contoh 8. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan < 9! Jawab : < 9 < 9 < < Jawab pertidaksamaan, <. Jika disajikan pada garis bilangan Contoh 9. Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan 7! Jawab : Jadi himpunan jawabnya, Jika disajikan pada garis bilangan ) H { }. Contoh. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan 6 -! Jawab : [ Karena semua ruas memuat variabel, sebaiknya dilakukan pemecahan jawaban yang selanjutnya dilakukan penggabungan, sebagai berikut 7

22 < 6 < 6 6 < < > [ Jawab pertidaksamaan adalah irisan kedua garis bilangan, yaitu : (. I... Pertidaksamaan Irasional Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang satu atau beberapa suku variabelnya berada di bawah tanda akar, sehingga untuk mencari jawabnya harus diperhatikan syarat dari suku di bawah tanda akarnya, agar diperoleh nilai dalam bilangan real. Prinsip mencari jawab dari pertidaksamaan ini, adalah dengan mengubah suku irasional menjadi rasional, yang salah satu diantaranya melalui proses pengkuadratan. Contoh. Selesaikan pertidaksamaan <! Jawab : Agar nilai dari real, maka harus dipenuhi syarat : Untuk penyelesaian pertidaksamaannya, kuadratkan kedua ruasnya. masing-masing ruas positif, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah. Karena suku pada 8

23 < ( ) < < < < 9 Jika kedua jawab digabungkan dengan menggunakan garis bilangan, [ maka himpunan jawabnya Contoh. H < 9 ) 9 Untuk harga-harga manakah yang memenuhi pertidaksamaan <? Jawab : Syarat untuk suku di bawah tanda akar agar diperoleh bilangan real () () Untuk penyelesaian pertidaksamaannya. Karena ruas kiri dan ruas kanan merupakan bilangan positif, maka jika keduanya dikuatdratkan, tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan. ( - ) < ( ) < < < < - < > () 9

24 Jika ketiga jawab, (), (), dan (), digabungkan dengan menggunakan garis bilangan [ [ ( maka himpunan jawabnya : H. Contoh. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan 6 <! Jawab : Syarat untuk unsur di bawah tanda akar 6-6 () () Penyelesaian pertidaksamaannya ( ) ( ) ( ) ( ) () > > > > > < < < < < [ 6 [ ( sehingga himpunan jawabnya : H { > }

25 I.. Pertidaksamaan Polinom Untuk menyelesaikan pertidaksamaan polinom, dapat dilakukan dengan proses sebagai berikut. Jadikanlah ruas kanan sama dengan, dan pangkat variabel yang paling tinggi koefisiennya positif.. Unsur di ruas kiri, jika mungkin uraikan atas faktor-faktor linier, dan hitung nilai-nilai yang menyebabkan faktor-faktor sama dengan (nilai ini dinamakan nilai nol).. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan, dan lakukan uji tanda untuk menentukan daerah himpunan jawab, dengan cara sebagai berikut :.. ambil sebuah nilai yang bukan nilai nol dan subtitusikan ke ruas kiri.. perhatikan tanda dari nilai yang diperoleh, positif () atau negatif (-).. tandai daerah di mana nilai yang diambil tersebut berada dengan tanda yang diperoleh, dan tanda berubah jika melewati nilai nol yang berasal dari faktor berpangkat ganjil, sedangkan jika berasal dari faktor berpangkat genap tanda tetap. Contoh. Tentukan himpunan jawab dari pertidaksamaan < 6 8! Jawab : < < < ( )( ) < Nilai-nilai nolnya : Ambil sembarang nilai yang tidak sama dengan dan. Misalnya. Subtitusikan ke ruas kiri : ( )( ) (. )() ) > yang berarti daerah di sebelah kiri bertanda, antara dan bertanda, dan di sebelah kanan bertanda, sehingga gambar daerah tandanya :

26 Karena tanda pertidaksamaannya <, jadi himpunan jawabnya H < <. Contoh. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan ( )( ) > Jawab : ( )( ) > ( ) ( )( ) > Nilai-nilai nolnya : - Gambar daerah tandanya : Karena tanda pertidaksamaan >, jadi himpunan jawabnya H { < } { > } Contoh 6. Tentukan batas-batas harga yang memenuhi pertidaksamaan > - Jawab : > > > Karena bentuk kuadrat, memiliki ciri diskriminannya : D (-) ()() -87 <

27 koefisien kuadratnya : a >, maka bentuk kuadrat definit positif, > untuk setiap nilai. Sehingga himpunan jawabnya, H { bilangan real }. I... Pertidaksamaan Pecahan Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang merupakan sebuah pecahan atas suku-suku. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini prosesnya sebagai berikut,. Ruas kanan disama dengankan. Lakukan perhitungan di ruas kiri sehingga diperoleh sebuah bentuk pecahan atas sukusuku, yang selanjutnya ubah menjadi bangun perkalian.. Faktorkan bangun perkalian tersebut (jika bisa), dan tentukan nilai-nilai nolnya.. Sajikan nilai-nilai nol pada garis bilangan dan lakukan penentuan daerah tanda. Contoh 7. Tentukan harga yang memenuhi pertidaksamaan 6! Jawab : 6 6 (8 7)( ) Nilai nolnya : 6 ( )

28 Gambar daerah tanda sehingga himpunan jawabnya, Contoh Selesaikan pertidaksamaan! 6 Jawab : ( 7 ) 7 H 8 ( )( 6) ( )( 6) ( 6 )( )( 6) Nilai-nilai nolnya : Gambar daerah tandanya 6 ( )( 6) ( )( ) ( )( 6) sehingga himpunan jawabnya, H { 6}

29 Contoh 9. Tentukan himpunan jawab untuk pertidaksamaan! 6 Jawab : ( 6) 6 6 ( )( ) ( 7)( ) ( )( ) 7 ( 7)( )( )( ) Nilai nolnya : 7 7 Gambar daerah tandanya ( )( ) Sehingga himpunan jawabnya, { } 7 7 H I... Pertidaksamaan Yang Mengandung Nilai Mutlak Nilai mutlak dari, ditulis, didefinisikan sebagai berikut, jika >, jika -, jika < Berdasarkan definisi tersebut berarti nilai mutlak dari suatu bilangan riil adalah bilangan positif atau. Sebagai contoh,, ().

30 Secara ilmu ukur adalah jarak dari ke pada garis bilangan real. Sifat-sifat dari nilai mutlak - Gambar I. Sajian ilmu ukur dari. Untuk setiap bilangan real, berlaku hubungan : ) ) ). Untuk setiap bilangan real dan y, berlaku hubungan : ) y ±y y ) y y ) y y dan y y ) y y dan y y ) y y dan y y. Untuk setiap bilangan real dan a, berlaku hubungan : ) a, a > a a a ) a, a > a atau -a a Berdasarkan telaahan dari nilai mutlak tersebut, proses penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak, adalah dengan mengubah pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan yang tidak mengandung nilai mutlak. Selanjutnya penyelesaian pertidaksamaan dilakukan berdasarkan bentuk kasusnya. Menghilangkan nilai mutlak dalam pertidaksamaan dilakukan dengan memperhatikan sifat-sifat dari nilai mutlak seperti yang telah dikemukakan. 6

31 Contoh. Tentukan himpunan jawab pertidaksamaan a. b. Jawab : a. ( )( ) Karena bentuk kuadrat Nilai nol : diskriminannya : D() ()() 7< koefisien kuadratnya : a > Gambar daerah tandanya yang berarti pertidaksamaan, selalu benar, atau himpunan jawabnya, H { bilangan riil }. sehingga himpunan jawabnya, H { }. Karena H H H, jadi himpunan jawab pertidaksamaan adalah H { } 7

32 b. atau ( )( ) ( ) Nilai nol : Nilai nolnya : Gambar daerah tandanya Gambar daerah tandanya himpunan jawabnya, himpunan jawabnya, H { } { } H { } Jika kedua himpunan jawab diiriskan dengan menggambarkan daerah tandanya maka himpunan jawab pertidaksamaan adalah himpunan kosong, H φ. Sehingga tidak ada nilai memenuhi pertidaksamaan Contoh. Selesaikanlah pertidaksamaan 8

33 9 Jawab : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( )( ) { } ( ) ( ) ( ) { } ( )( ) { } [ ] ( ) { } ( )( ) { } [ ] ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Nilai-nilai nolnya : ) () () ( ) () ). Karena bentuk kuadrat memiliki nilai diskriminan D() ()() < dan nilai koefisien kuadrat a >, maka >, untuk setiap nilai. Sehingga gambar daerah tandanya - dan himpunan jawabnya, H

34 Jika kita menelaah proses penyelesaian sebuah pertidaksamaan, yang pada dasarnya adalah, bagaimana menentukan nilai nol dari ruas kiri, setelah ruas kanan disama dengankan nol? Maka jika diinginkan menyelesaikan sebuah pertidaksamaan dengan menggunakan program Mathcad, identik dengan menyelesaikan sebuah persamaan dari bentuk ruas kirinya, yang dilanjutkan dengan menentukan daerah tandanya. SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN. Bentuk pembagian b a, dengan a, terdefinisikan, jika b. a Bukti : Jika b, maka a.b. Hal ini kontradiktif dengan ketentuan bahwa a Selanjutnya tunjukan bahwa bentuk pembagian, juga tidak terdefinisikan.. Dalil fundamental dalam ilmu hitung (aritmetika) : Setiap bilangan asli merupakan hasil perkalian dari bilangan prima. Makna dari dalil tersebut, untuk menunjukan apakah bilangan asli merupakan bilangan prima, adalah dengan memfaktorkannya atas bilangan-bilangan prima. Jika memiliki lebih dari satu faktor bilangan prima, maka bilangan asli itu bukan bilangan prima. Misal :.,..., 9.9, dan sejenisnya, bukan bilangan prima. Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, mana yang merupakan bilangan prima a) b) 9 c) 7 d) e) 77 f) 7 g) 76. Menunjukan bahwa bilangan irasional dengan pembuktian kontradiktif. a Misalkan adalah bilangan rasional, sehingga dapat disajikan, a dan b b bilangan asli yang tidak sama dengan, b. Jika kedua ruas dikuadratkan, maka a b b a a.b.b Berdasarkan dalil fundamental, kuadrat bilangan asli dapat disajikan dalam perkalian atas bilangan prima yang bersifat tunggal, dengan banyaknya bilangan prima masingmasing genap.

35 Dari sajian, a.b.b ) jika b bilangan asli ganjil, maka banyaknya bilangan prima dalam perkalian hanya satu, ganjil ) jika b bilangan asli genap, b.b a..b..b...b.b, maka bilangan prima dalam perkalian ada tiga, ganjil Karena a kuadrat bilangan asli, jadi kontradiksi dengan dalil fundamental, atau bukan bilangan rasional. Untuk bilangan-bilangan di bawah ini, tunjukan bahwa merupakan bilangan irasional, dengan mengunakan kontradiktif dalil fundamental a) b) c) d) 8 e) f) g). Tunjukan bahwa a) Jika a dan b bilangan rasional, maka c a.b, bilangan rasional. Apakah hal ini berlaku untuk bilangan irasional? Lakukan analisisnya! b) Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka c a.b, bilangan irasional. c) Jika a bilangan rasional, a, dan b bilangan irasional, maka c a.b, bilangan irasional.. Tunjukan bahwa jika a >, b >, maka a) a < b jika dan hanya jika a < b b) a < b jika dan hanya jika a > b a b 6. Tunjukan bahwa jika a < b, maka a < < b! 7. Tentukan jawab persamaan-persamaan di bawah ini a) 7 b) 7 c) 6 d) 9 7 e)

36 8. Jika dan jawab persamaan, maka dengan tidak menghitung nilainilai dan, hitunglah a) b) c) d) e) 9. Jika ditetapkan persamaan kuadrat, maka bangun persamaan kuadrat yang jawab-jawabnya a) dua kali lebih besar b) lebih besar dua c) dua kali lebih besar dan lebih besar dua. Tentukan jawab pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini a) b) < c) 6 d) e) 6 > f) 9 g) h) 6 >

37 . Tunjukan bahwa a) < y jika dan hanya jika < y b) Jika a > b > maka a > b c) a b c a b c d) Jika maka 7 e) Jika maka f) Jika a dan b maka ab a b g) h) 9 9 i) < jika < atau >, dan > jika < < j) Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka a b dan ab adalah bilangan irasional.

38 BAB II FUNGSI REAL DAN GRAFIKNYA Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi (perkawanan) antara dua buah himpunan tidak kosong. Jika kedua himpunan yang direlasikan, dengan relasinya membangun sebuah fungsi, adalah himpunan bilangan real, maka fungsi dinamakan fungsi real. Pada bab ini akan disajikan deskripsi dan konsepsi pada fungsi real. II.. Deskripsi Fungsi Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan cara, setiap anggota himpunan X hanya dikawankan (dipasangkan) dengan satu dan hanya satu kali dengan anggota himpunan Y. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini, y y y Z y y y Z X Y X Y Gambar II. Gambar II. Relasi yang merupakan fungsi Relasi yang bukan fungsi [Sebab setiap anggota X hanya [Sebab ada anggota X yang memiliki memiliki satu kawan] kawan lebih dari satu ] Untuk menyatakan sebuah fungsi dari himpunan X ke himpunan Y, dapat digunakan salah satu dari bentuk notasi di bawah ini, Tabel II. Bentuk-bentuk Notasi Fungsi Notasi Panah Persamaan Ekplisit Persamaan Implisit f : X Y y Y f(x) f (X, Y)

39 Dalam deskripsi fungsi tersebut, X disebut Domain (daerah asal) dan Y Kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan Z yang merupakan himpunan bagian dari Y, dengan setiap anggotanya adalah kawan dari X, disebut Range (daerah harga, daerah peta). Misalnya fungsi seperti pada Gambar, rangenya : Z {y, y, y }. Berdasarkan kondisi dari range dan cara perkawanannya, fungsi dibedakan atas. Fungsi ke dalam (into), yaitu fungsi dengan rangenya merupakan himpunan bagian murni dari kodomain.. Fungsi pada (onto), yaitu fungsi dengan rangenya sama dengan kodomain.. Fungsi satu-satu (one to one), yaitu fungsi dengan setiap anggota X dan Y hanya memiliki satu dan hanya satu pasangan. Fungsi satu-satu ini dibedakan atas fungsi satu-satu pada dan fungsi satu-satu ke dalam. Untuk ilustrasi perhatikan gambar-gambar di bawah ini Z Z X Y X Y Gambar II. f : X Y, fungsi kedalam [sebab ada anggota Y yang tidak memiliki kawan] Gambar II. f : X Y, fungsi pada [sebab setiap anggota Y memiliki kawan]

40 f... y y... y n Z... y y... y n Z k k X Y Gambar II. f : X Y, fungsi satu-satu ke dalam f - X Y Gambar II.6 f : X Y, fungsi satu-satu pada Setiap fungsi yang merupakan fungsi satu-satu pada, akan memiliki fungsi invers. Definisi Jika fungsi satu-satu pada, maka fungsi f : X Y i y i g : Y X, y i i dinamakan fungsi invers dari f, ditulis : f Misal, jika maka fungsi X { bilangan real, } dan Y { y y bilangan real, y }, f : X Y y adalah fungsi satu-satu pada, dan fungsi inversnya f - : Y X y y 6

41 II.. Sistem Salib Sumbu Setiap bentuk fungsi dapat digambarkan sajian hubungan elemen domain dengan kodomainnya. Untuk menggambarkannya diperlukan sebuah media, yang dinamakan sistem salib sumbu, yaitu dua garis berpotongan tegak lurus, yang masing-masing titiknya menyajikan bilangan riil. Sumbu datar, dinamakan sumbu absis, dinotasikan dengan X, dan berperan sebagai domain. Sedangkan sumbu tegak, dinamakan sumbu ordinat, dinotasikan dengan Y, dan berperan sebagai kodomain. Titik potong sumbu absis dengan ordinat dinamakan titik pusat, dan dinotasikan dengan O. Pasangan nilai berurut (, y ), dengan nilai pada sumbu absis, dan y pada sumbu ordinat, dinamakan koordinat. dinamakan absis, dan y ordinat. Koordinat seperti ini dinamakan koordinat kartesius. Y sumbu ordinat y T(,y ) X O(,) sumbu absis Gambar II.7 Sistem Koordinat Kartesius 7

42 Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini. y Y O φ r T(,y ) X r : jarak antara titik O (, ) dengan titik T (, y ), r OT. φ : sudut antara sumbu-x dengan garis OT, yang diukur dari sumbu-x ke garis OT dengan berlawanan arah gerak jarum jam. Gambar II.9 Sistem Koordinat Polar Koordinat titik T yang disajikan dalam pasangan r dengan φ, T (r, φ), dinamakan Koordinat Polar. Dengan menggunakan goneometri, dapat diformulasikan hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius. Jika (r,φ) koordinat polar dari koordinat kartesius (,y ), maka r dan tg φ y y. Koordinat polar dapat digunakan sebagai koordinat alternatif, jika analisis dengan menggunakan koordinat kartesius sulit diselesaikan. II.. Diagram dan Grafik Gambar dari fungsi dinamakan Grafik, jika bentuknya sebuah garis atau lengkungan. Sedangkan jika sebuah pencaran titik, disebut Diagram. Misalnya, fungsi dari himpunan X {-, -,,, } ke himpunan Y {,,,, } dengan bentuk f : X Y y 8

43 maka diagramnya Y X - - Gambar II.7 Diagram fungsi f : y Sedangkan jika X { bilangan riel}, Y {y y bilangan riel}, dan bentuk fungsinya f : X Y y maka grafiknya Y X Gambar 8 Grafik fungsi f : y Menggambarkan grafik fungsi, jika dilakukan secara manual, maka prosesnya sebagai berikut. 9

44 . Menentukan titik-titik yang dilalui oleh grafik. a. Titik-titik tertentu, misalnya titik potong dengan sumbu koordinat, titik ekstrim, titik simetris dan sejenisnya. b. Titik-titik sembarang, yang dapat dilakukan dengan menentukan sembarang nilai, dan mensubtitusikannya ke persamaan fungsi. Prosesnya dapat dilakukan melalui sebuah tabel perhitungan Misal untuk fungsi y. y Koordinat Titik - (-) (-, ) - (-) (-, ), (,), (,,,) dst. Menggambarkan koordinat titik-titik yang dilalui grafik.. Menghubungkan titik-titik yang digambarkan pada langkah pertama, Tingkat akurasi dan estetika grafik yang digambarkan secara manual, sangat bergantung pada pengalaman dan keahlian menggambar dari si-pembuat-nya. Untuk mendapatkan gambar grafik fungsi yang bagus, tanpa diperlukan pengalaman dan daya estetika, dengan proses cukup sederhana adalah dengan menggunakan program komputer Mathcad. Langkah-langkah menggambarkan grafik fungsi dengan Mathcad :. Jalankan program Mathcad, sehingga diperoleh tampilan

45 ) Tutup tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan ) Pada pointer tulis persamaan fungsi yang akan digambarkan dengan formulasi f() persamaan fungsi Tanda, dapat diperoleh dengan mengkliknya pada fungsi Calculator atau Evaluati Misal fungsi yang akan digambarkan, Y. Formulasi penulisan pada bidang editor seperti di bawah ini.

46 ) Klik gambar grafik yang ada pada sudut kiri atas kotak Graph (lihat tanda panah), sehingga diperoleh tampilan klik persamaan fungsi setelah menulis dan f() di kotak hitam kecil tulis : f() tulis : ) Pada kotak hitam kecil di bawah kotak putih besar, tulis :, dan f() yang ada di sebelah kirinya. 6) Klik persamaan fungsi, sehingga diperoleh tampilan pada kotak putih klik dua kali untuk formating grafik

47 7) Klik dua kali pada kotak putih yang ada gambar grafik f(), untuk formating grafik, 8) Lakukan formating grafik sehingga diperoleh gambar yang bagus, menurut si pembuat. Misalnya seperti tampilan di bawah ini.

48 II.. Fungsi Komposisi Jika f : X Y, fungsi dari himpunan X ke Y, dan g : Y Z, fungsi dari himpunan Y ke Z, yang merelasikan elemen-elemen dari range fungsi f, dengan elemen himpunan Z. Maka fungsi h : X Z disebut fungsi komposisi dari f dengan g, ditulis h f o g atau h f(g) f ff f g f o g Sebagai contoh, jika X Y Z Gambar II. Diagram fungsi komposisi dan maka f : X Y y g : Y Z y z Sin y fog : X Z z Sin Sajian tersebut jika dalam persamaan eksplisit adalah : Y X Z Sin Y Z Sin X

49 II.. Operasi Pada Fungsi Karena nilai dari fungsi real adalah bilangan real, maka himpunan dari fungsi real yang tidak kosong, yang di dalamnya dilibatkan operator perkalian dan perjumlahan, merupakan sebuah sistem bilangan real. Sehingga jika dimiliki dua buah fungsi atau lebih, dengan domain dan kodomain yang sama, maka dapat dilakukan proses perkalian, perjumlahan, atau kombinasi keduanya, beserta operasi kawannya. Domain dan kodomain fungsi hasil operasi adalah irisan dari domain dan range fungsi komponennya. Perhatikan ilustrasi di bawah ini. A f() B M f()*g() N V X g() W Y Gambar II. Konsepsi Operasi Fungsi Jika f(), fungsi dari himpunan A ke himpunan B ; dan g(), fungsi dari himpunan V ke himpunan W ; maka operasi f() dengan g() yang disajikan oleh f()*g(), adalah fungsi dari himpunan M A V ke himpunan N B W. Sebagai contoh, jika f(), domain { < < }, kodomain { } g() Sin, domain {π π}, kodomain { } dan dilakukan operasi fungsi, H() f() g() dan I() f().g(), yang jika digambarkan grafiknya dengan Mathcad, hasilnya seperti di bawah ini

50 f( ) g( ) H( ) I( ).. f() g() Sin H() f() g() I() f().g() Pada gambar tersurat, untuk fungsi H() dengan I(), domain {π π} kodomain { < < }. II.. II... Beberapa Bentuk Fungsi Fungsi Linear Fungsi linear (atau fungsi pangkat satu) jika disajikan dalam persamaan eksplisit bentuknya : dan dalam persamaan implisit bentuknya : Y ax b ax by c Domain, kodomain, dan range dari fungsi linear adalah himpunan bilangan real, dan fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversnya lurus. Y a X Fungsi linear biasa juga disebut persamaan garis, karena grafiknya merupakan garis b a 6

51 Y Y ax b φ sudut antara grafik fungsi dengan sumbu-x, diukur dari sumbu-x berlawanan arah gerak jarum jam φ (,b) X (,b) titik potong grafik fungsi dengan sumbu-y Gambar II. Grafik fungsi linear maka Pada persamaan eksplisit, Y ax b, jika φ sudut antara sumbu-x dengan grafik fungsi, a Tg φ dinamakan Koefisien Arah atau Gradient. Sedangkan φ disebut Sudut Arah. Dalam persamaan implisit, koefisien arah grafik fungsi sama dengan sumbu-y : c,. b ax by c a, dan koordinat titik potong grafik dengan b Cara menggambarkan grafik fungsi linear ada dua cara, yaitu berdasarkan ) dua titik yang dilalui grafik ) nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik. Contoh soal. Gambarkan grafik fungsi Y X! Jawab :. Jika berdasarkan dua titik yang dilalui grafik, maka ambil dua nilai sembarang dari X dan hitung nilai Y sesuai dengan persamaan fungsinya, misalnya : X Y () 7 () 7

52 Y - X - (, -) (, -7) -7. Jika berdasarkan nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik, maka ) gambarkan garis arah dengan sudut arah φ, yang nilai koefisien arahnya, Tg φ. ) tentukan sebuah titik yang dilalui grafik, dan untuk kemudahan ambil titik potong grafik dengan sumbu-y, (, -), ) gambarkan garis yang sejajar garis arah dan melalui titik potong tersebut Y garis arah φ X (, -) 8

53 9 Berdasarkan cara menggambarkan grafiknya, membangun persamaan fungsi linear, dapat dilakukan berdasarkan. dua titik yang dilalui grafik. nilai koefisien arah dan sebuah titik yang dilalui grafik. Persamaan fungsi linear jika melalui titik (, y ) dan (, y ) adalah X y y y Y Jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya menjadi y y X y y y y y y X y y y y y X y y Y Sedangkan persamaannya jika nilai koefisien arah, a dan melalui titik (, y ) adalah, Y y a(x ) Yang jika disajikan dalam persamaan eksplisit, bentuknya Y ax a y ax (a y ) Contoh soal. Tentukan persamaan fungsi linear, jika grafiknya a. melalui titik-titik (-, ) dan (, -) b. memiliki koefisien arah dan melalui titik (, ) Jawab : a. X Y ) ( () ) ( X () ) ( () Y ()(Y ) ()(X ) Y 6 X X Y 6 X Y (persamaan eksplisit) X Y (persamaan implisit) b. Y () ()(X - ) Y X Y X (persamaam implisit) X Y (persamaan eksplisit)

54 II... Sudut antara dua grafik Salah satu segi yang dapat diturunkan dari koefisien arah grafik fungsi linear, adalah sudut antara dua grafik seperti di bawah ini. Y g : YaX b ϕ l : Y mx n ϕ ϕ X Gambar II. ϕ sudut antara g dan l ( ϕ ½π) Pada Gambar II.. ϕ sudut arah l Tg ϕ m ϕ sudut arah g Tg ϕ a ϕ ϕ ϕ Tg ϕ Tg (ϕ ϕ ) Sin( ϕ Cos( ϕ ϕ) ϕ ) SinϕCosϕ Cosϕ Cosϕ Cosϕ Sinϕ Sinϕ Sinϕ SinϕCosϕ CosϕCosϕ CosϕCosϕ Cosϕ Cosϕ CosϕSinϕ CosϕCosϕ SinϕSinϕ Cosϕ Cosϕ Sinϕ Sinϕ Cosϕ Cosϕ SinϕSinϕ Cosϕ Cosϕ Tgϕ Tgϕ Tgϕ Tgϕ a m am Karena sudut antara dua grafik yang digunakan adalah sudut lancip, ϕ ½π, yang berarti Tg ϕ. Sedangkan dari formulasi kesamaan dimungkinkan Tg ϕ, maka pada

55 formulasi kesamaan, ruas kanan harus disajikan dalam harga mutlak. Sehingga jika ϕ sudut antara dua grafik fungsi linear, g : YaX b dengan l : Y mx n, maka a - m Tg ϕ am II... Dua grafik fungsi linear Dari konsepsi sudut antara dua grafik fungsi linear, maka dapat disimpulkan bahwa antara dua grafik fungsi linear hanya satu dari dua hal di bawah ini yang berlaku, yaitu ) Sejajar. Dua grafik fungsi linear akan sejajar jika koefisien arah keduanya sama, a m. ) Berpotongan, yang dibedakan atas a) berpotongan tegak lurus. Dua grafik fungsi linear akan berpotongan tegak lurus jika hasil kali koefisien arahnya sama dengan, a.m. b) berpotongan biasa. Untuk menentukan titik potong dua grafik dapat dilakukan dengan mempersamakan kedua persamaan fungsinya. Jika diketahui dua grafik fungsi linear, Y ax b dan Y nx m, maka koordinat titik potongnya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut : Y ax b Y nx m ax b mx n ax mx n b (a m)x n b X n b a m dari persamaan Y ax b Y a(n b) b(a m) an Y a m a m a bm m sehingga koordinat titik potongnya. n b a b a m n b an bm, a m a m

56 Y Y Y X X X sejajar berpotongan berpotongan tegak lurus Gambar II. Kemungkinan dua grafik fungsi linear Contoh soal. Tentukan persamaan fungsi linear yang grafiknya berpotongan tegak lurus dengan grafik fungsi dan melalui titik potong grafik fungsi Jawab : Y X Y X dengan Y X! Jika a koefisien arah grafik yang tegak lurus grafik Y X, maka (a)() a Koordinat titik potong grafik Y X dengan Y X : Y X Y X X Y X X X X X X X Y () koordinat titik potongnya : (, ), Sehingga persamaan fungsi linear yang dicari, adalah fungsi yang grafiknya melalui titik (, ) dengan koefisien arah, yaitu : Y () (X () Y X Y X.

57 Persamaan fungsi jika disajikan dalam persamaan implisit, maka diperoeh hasil Y X Y X X Y Jika grafik fungsi-fungsi tersebut digambarkan dengan menggunakan program Mathcad pada domain { }, maka hasilnya seperti di samping ini. Dengan fungsi-fungsi yang ditetapkan : f() : Y X, g() : Y X, h() : Y, dan fungsi yang dicari : i() : Y X. f( ) g( ) h( ) i( ) i() g() h() f() Gambar posisi grafik fungsi linier yang ditetapkan dengan yang dicari II... Fungsi Kuadrat Persamaan fungsi kuadrat, atau biasa juga disebut persamaan parabola tegak, adalah : Y ax bx c, a. Selanjutnya perhatikan proses aljabar di bawah ini : Y ax X X b a b a bx c X ± b a ax b a (a)(y c) b a bx Y c Y c a X ± a X X b a b Y c X a a ay ac b Y c b a a b a Karena ay ac b akan bernilai real jika ay ac b, atau b ac b ac Y, jika a >, dan Y a a, jika a <. Maka range fungsi kuadrat adalah, b ac b ac Y { y }, jika a < atau Y { y }, jika a >. a a

58 Dari hubungan maka b (a)(y c) b (a)(y c) b ±, karena, a a a X b (a)(y c) b b, jika X atau a a a X X b a b (a)(y c) b b, jika X atau X a a a X Hal ini menyimpulkan bahwa, fungsi kuadrat merupakan fungsi satu-satu pada, jika b b domainnya X { } atau X { }. a a Dalam domain tersebut, fungsi inversnya Sehingga jika domainnya Y a Y a ax (b ax (b tetapi hanya merupakan fungsi ke dalam. ac) b a ac) b a,, jika b a X > jika X < < X < maka fungsi kuadrat bukan fungsi satu-satu pada, Dari uraian tersebut, garis dengan persamaan dan nilai b a b a b X, dinamakan Sumbu Simetris, a b ac Y, adalah nilai ekstrim fungsi. Nilai ekstrim ini, merupakan nilai a minimum jika a >, dan nilai maksimum jika a <. Untuk menggambarkan fungsi kuadrat secara manual diperlukan komponenkomponen :. Sumbu simetris, yaitu garis dengan persamaan b X. a b b ac. Titik ekstrim, yaitu titik dengan koordinat, a a. Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, ) dengan sumbu-y : X Y c koordinat titik potongnya (, c) ) dengan sumbu-x : Y ax bx c

59 Persamaan kuadrat ax bx c akan memiliki jawab riil, jika b ac, sehingga grafik fungsi kuadrat akan a) memotong sumbu-x, jika b ac >, b) menyinggung sumbu-x jika b ac.. Titik-titik yang dilalui grafik, Untuk ini buat tabel pasangan harga X dengan Y. Contoh soal. Gambarkan grafik fungsi Y X X! Jawab : ) Sumbu simetrinya : ) Titik ekstrimnya : X. ( ) Koefisien kuadratnya, a <, jadi titik ekstrim merupakan titik maksimum. Koordinatnya : (), ( )() 9, ( ) 8 ) Koordinat titik potong dengan : a) sumbu-y : (, ) b) sumbu-x : Diskriman fungsi D () (-)() 9 >, jadi grafik memotong sumbu-x. Koordinat titik potongnya Y Y X X X (X )(X ) X X X X X Koordinat titik-titik potongnya : (, ) dan (,)

60 ) Koordinat titik-titik lain yang dilalui grafik : Ambil nilai X sembarang yang belum ada, dan sepihak terhadap sumbu simetri. Pada contoh ini sumbu simetrinya X, jadi yang diambil nilai X < atau X >. Jika diambil X <, maka bangun tabel seperti di bawah ini X Y Koordinat titik () () (, ) ( ) ( ) (, ) dst. Sehingga bentuk grafiknya seperti di bawah ini Y 9, 8 (-,) X (,) X (-,-) (,-) X Grafik fungsi kuadrat f() : Y X X jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain X { }, hasilnya seperti di disamping ini. f ( ) Grafik fungsi kuadrat Y X X jika digambarkan dengan Mathcad 6

61 Kemungkinan grafik fungsi kuadrat jika ditelaah berdasarkan sumbu-x, disajikan pada Gambar II. di bawah ini. a > a < f( ) D > f ( ) Grafik memotong sumbu-x dan terbuka ke atas Grafik memotong sumbu-x dan terbuka ke bawah D f ( ) f ( ) Grafik menyinggung sumbu-x dan terbuka ke atas Grafik menyinggung sumbu-x dan terbuka ke bawah f( ) D < f( ) Grafik tidak memotong sumbu-x dan terbuka ke atas Grafik tidak memotong sumbu-x dan terbuka ke bawah Gambar II. Kemungkinan posisi grafik fungsi kuadrat terhadap Sumbu-X 7

62 II... Grafik fungsi kuadrat dengan fungsi linear Jika dimiliki sebuah grafik fungsi kuadrat dengan sebuah grafik fungsi linear, maka hanya satu dari tiga kemungkinan di bawah ini yang terjadi, yaitu a) tidak berpotongan b) berpotongan c) bersinggungan Y ax b Y cx dx e ax b cx dx e cx (d a)x (e b) Diskriminan bentuk kuadrat cx (d a)x (e b) : D (d a) (c)(e b) Ada tiga kemungkinan untuk D a) D < grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan b) D grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat c) D > grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat. 8. f( ). f( ). g( ). h( ).. 8. Grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat tidak berpotongan Grafik fungsi linear menyinggung grafik fungsi kuadrat 8. f( ) i( ).. 8. Grafik fungsi linear memotong grafik fungsi kuadrat Gambar II.6 Kemungkinan grafik fungsi linear dengan fungsi kuadrat 8

63 Contoh soal Tentukan a) persamaan garis singgung pada parabola Y X X di titik (, ) b) hubungan a dan b pada persamaan parabola Y ax bx, agar grafiknya memotong grafik fungsi linear Y X Jawab a) Jika dimisalkan persamaan garis singungnya Y ax b, maka ) melalui titik (, ) a() b a b Y bx b ) menyinggung parabola Y X X Y bx b Y X X bx b X X X (b )X (b) diskriminan bentuk kuadrat X (b )X (-b) : D (b ) ()(-b) b 6b 9 8 8b b b (b ) Karena yang ditentukan menyinggung, maka D harus disama-dengankan, D, atau b Sehingga persamaan garis singgunggnya, Y ()X () X b) Y X Y ax bx X ax bx ax (b)x diskriminan bentuk kuadrat ax (b)x : D (b) (a)() b b 8a Karena yang ditentukan berpotongan, maka D harus lebih besar dari, D >, atau b b 8a > (b ) 8a > {(b) 8 a }{(b) 8 a } > Hal ini berarti, hubungan a dengan b ) (b) 8 a > b > 8 a (b) 8 a > b > 8 a atau ) (b) 8 a < b < 8 a (b) 8 a < b < 8 a 9

64 II... Fungsi Pangkat Bentuk umum dari fungsi pangkat adalah Y a X, dengan a > bilangan real. Dalam hal a e, yaitu bilangan irasional yang nilainya e,96, bentuk Y e X dinamakan fungsi eksponensial. Grafik dari fungsi pangkat seperti pada Gambar II.. Y Ya X, a > (,) Ya X, < a < Misal grafik fungsi Gambar II.7 Grafik fungsi pangkat X f() : Y X dan g() : Y jika digambarkan dengan program Mathcad dalam domain X { < < }, maka hasilnya seperti di samping ini : Domain fungsi pangkat adalah X { < < } dan rangenya Y {y > }. Fungsi ini merupakan fungsi satu-satu pada, dengan fungsi inversinya : Y a log Y. Sifat perpangkatan X f( ) g( ) g() f() Grafik fungsi f() : Y X dan g() : Y jika digambarkan dengan Mathcad X. a a a X X, X a X. X ab X a X b, X a-b X a X -b a X b X. ( a ) b X ab 6

65 II... Fungsi Logaritma Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah Y a log X dengan a >, bilangan real. Dalam hal a, log X ditulis log X, dan dinamakan Logaritma Biasa. Jika a e, yaitu bilangan irasional, e,96, maka e log X ditulis ln X, dan dinamakan Logaritma Natural. Y Y a log X, a > (,) X Y a log X, < a < Gambar II.8 Grafik fungsi logaritma Misal grafik fungsi f() : Y log X dengan g() : Y log jika digambarkan dengan program Mathcad f ( ) g( ) f() g() dalam domain X { < < }, hasilnya seperti di samping ini. Domain dari fungsi logaritma adalah, X { > }, dan rangenya, Y { < y < }. Grafik fungsi f() : Y log X dan g() : Y log Sifat logaritma :. a log XY a log X a log Y, a X log Y a logx a logy. X logy a a logy logx. a log X b b a log X 6

66 II... Fungsi siklometri (fungsi goniometri, fungsi trigonometri) Perhatikan gambar di bawah ini r y ϕ dan perbandingan-perbandingan sisi-sisi dari segi-tiga siku-sikunya. Berdasarkan hal-hal tersebut didefinisikan y r Sinus ϕ Sin ϕ Cosecan ϕ Cosec ϕ r y r Cosinus ϕ Cos ϕ Secan ϕ Sec ϕ r y Tangens ϕ Tg ϕ Cotangens ϕ Ctg ϕ y Formulasi perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri (trigonometri). Dari perbandingan goniometri tersebut diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut ) Sin ϕ, Cos ϕ ) Sin (9 ϕ) Cos ϕ, Cos (9 ϕ) Sin ϕ, Tg (9 ϕ) Ctg ϕ ) Cosec ϕ Sin ϕ, Sec ϕ Cos ϕ, Tg ϕ Sin ϕ Cos ϕ, Cotg ϕ ) Sin ϕ Cos ϕ, Tg ϕ Sec ϕ, Ctg ϕ Cosec ϕ Tg ϕ Fungsi Y Sin X dan Y Cos X, merupakan fungsi dasar dari fungsi goniometri, sebab fungsi-fungsi goniometri yang lainnya dapat diturunkan dari keduanya. Range dari fungsi ini adalah Y { y }. 6

67 Grafik fungsi f() : Y Sin X dan g() : Y Cos X digambarkan dengan Mathcad dalam domain X { < < }, hasilnya seperti di samping ini. Domain fungsi Y Sin X adalah X {kπ < < (k )π}, k,,,... atau X {kπ < < (k )π}, k,,,... Domain fungsi Y Sin X adalah X {kπ < < (k )π}, k,,,... f( ) g( ) Gambar II.9 Grafik fungsi siklometri : f() Sin, g() Cos atau X {kπ < < (k )π}, k,,,... Dan domain fungsi Y Cos X adalah X {(k )π < X < (k )π}, k,,,... atau X (k )π < X < (k )π, k,,,... Sehingga pada domain tersebut fungsi memiliki fungsi invers. Fungsi invers untuk Y Sin X, adalah Y Arc Sin X. Sedangkan untuk Y Cos X, adalah Y Arc Cos X.. Fungsi goniometri yang lainnya,. Y Tg X Sin. Cos Fungsi ini terdefinisikan jika Cos, atau jika X π, ± π, ± π,.... f( ) g( ). Y Ctg X Tg Cos Sin Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X atau jika X, ± π, ± π,... Gambar II. Grafik fungsi siklometri f() : Y Tg X ; g() : Y Ctg X 6

68 Grafik fungsi f() : Y Tg X dan g() : Y Ctg X, jika digambarkan dengan Mathcad dalam domain X { < < }, hasilnya seperti pada Gambar II.. Fungsi Y Tg X memiliki range Y { < y < }, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain atau X {(k )π < < (k )π}, k,,,..., X {(k )π < < (k )π}, k,,,... dengan fungsi inversnya Y Arc Tg X. Sedangkan fungsi Y Ctg X memiliki range yang sama dengan Y Tg X, yaitu Y { < y < }, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain atau dengan fungsi inversnya. Y Sec X Cos X X {kπ < X < (k )π}, k,,,... X {(k )π < X < kπ}, k,,,... Fungsi ini terdefinisikan jika Cos X, atau jika X π, ± π, ± π,...,. Y Cose X Sin X Fungsi ini terdefinisikan jika Sin X, atau jika X, ± π, ±π,.... Grafik fungsi f() : Y Cosec X dan g() : Y Sec X jika digambarkan Y Arc Ctg X. dengan Mathcad dalam domain X { < < }, hasilnya seperti pada Gambar II.. 6 f( ) g( ) Gambar II. Grafik fungsi siklometri g() : Y Sec X ; f() : Y Cosec X

69 Range fungsi Y Sec X adalah Y { y < } atau Y { < y }, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain, X {(k ½)π < < (k ½)π}, k,,,... atau X(-k - ½)π < X < (-k ½)π, k,,,... dengan fungsi inversnya Y Arc Sec X. Sedangkan fungsi Y Cosec X, rangenya juga sama yaitu Y { y < } atau Y { < y }, dan merupakan fungsi satu-satu pada, dalam domain X {kπ < < (k )π, k,,,... atau X {(k )π < < kπ}, k,,,... dengan fungsi inversnya Y Arc Cosec X. Karena grafik dari fungsi goniometri merupakan lengkungan yang memiliki ciri (karakteristik, characteristic) periodik (membentuk bangun yang berulang), maka fungsi goniometri biasa juga dinamakan fungsi siklometri. II..6. Fungsi Pecahan Bentuk fungsi pecahan sangat banyak formulasinya, tetapi yang sering digunakan adalah bentuk-bentuk ) ) ) a b Y, c d untuk setiap nilai. c d a b, c d e untuk setiap nilai. c d e Y a b c, d e f untuk setiap nilai. d e f Y Pada fungsi pecahan dideskripsikan sumbu (garis) asimtut (asimptot), yaitu garis yang akan dipotong grafik fungsi di titik tak berhingga, sehingga grafik fungsi dengan sumbu asimtut hampir berimpit mulai nilai tertentu. Untuk fungsi-fungsi pecahan seperti yang disajikan tersebut, sumbu asimtutnya dua jenis, yaitu asimtut datar dan asimtut tegak. 6

70 ) Untuk fungsi a Y c Asimtut tegaknya : b d Y c d Asimtut datarnya : Y ) Untuk fungsi d c a b a b Lim Lim c d c d a b c d e Y Asimtut tegaknya : Y c d e, D d ce a c Sehingga asimtut tegaknya : dua buah, jika D > satu buah, jika D tidak ada, jika D < Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan c d e. Asimtut datarnya : a b a b Y Lim Lim c d e c d e ) Untuk fungsi a d Y b c e f Asimtut tegaknya : Y d e f D e df Sehingga asimtut tegaknya : dua buah, jika D > satu buah, jika D tidak ada, jika D < Nilai persamaan asimtut tegaknya, merupakan jawab dari persamaan d e f. 66

71 Asimtut datarnya : Y a Lim d a b c Lim e f d Perhatikan fungsi-fungsi di bawah ini : ) f() 7 asimtut tegaknya : asimtut datarnya : y ) g() dan h() , dan Diskriminan fungsi penyebut : D (7) ()(7) <.. b c e f Jadi g() dan h() tidak memiliki asimtut tegak. Asimtut datar untuk : g() : y (sumbu-x) h() : y Jika digambarkan dengan program Mathcad pada domain { }, grafik ketiga fungsi tersebut seperti pada Gambar II.. a d f( ) g ( ) h( ).... f() : Y g() : Y h() : Y..6 Gambar II. Gafik fungsi

72 II.6. Fungsi Irisan Kerucut Sebuah kerucut jika diiris, maka bidang irisannya akan membangun suatu bangun ilmu ukur, sesuai dengan cara pengirisannya. ) Jika diiris sejajar bidang alas maka akan diperoleh bangun lingkaran, dan ) Jika diiris miring dengan tidak mengiris bagian alas maka akan diperoleh bangun ellips, sedangkan ) Jika diiris miring dan mengiris bagian alas, dengan kemiringan kurang dari, maka akan diperoleh bangun hiperbola, sedangkan jika kemiringannya lebih dari, diperoleh parabola. Bangun-bangun tersebut dapat didefinisikan secara matematis dan dibangun persamaan fungsinya. Persamaan fungsi irisan kerucut selalu disajikan dalam bentuk implisit, sehingga jika akan digambarkan dengan menggunakan kemasan program Mathcad, harus diubah dulu menjadi bentuk eksplisit. II.6.. Lingkaran Definisi matematisnya. Lingkaran adalah elips parabola lingkaran hiperbola Bangun-bangun irisan kerucut tempat kedudukan titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, yang dinamakan pusat lingkaran (dinotasikan oleh P), sedangakn jarak yang sama dinamakan jari-jari lingkaran (dinotasikan oleh r). Y b a r P (a,b) X Gambar II. Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r 68

73 Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r >, adalah Jika persamaan dijabarkan sebagai berikut, X ax a Y by b r X Y ax by a b r dan ditulis A a, B b, C a b r (X a) (Y b) r. maka persamaan lingkaran dapat disajikan oleh dengan koordinat pusatnya, dan jari-jarinya, Contoh soal 6. X Y AX BY C P ( A, B) r a b c. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari satuan, melalui titik (, ) dan pusatnya terletak pada garis X Y! Jawab : Misalkan persamaan lingkarannya : (X a) (Y b) () Lingkaran melalui titik (, ) : ( a) ( b) a b () Titik pusat (a,b) terletak pada garis X Y a b a b () Grafik lingkaran (X ) (Y ) dan garis X Y 69

74 Subtitusikan () ke () : ( b) b b b b b b b b b b (b )(b ) b dan b. Dan subtitusikan b ke () a, b ke () a (). Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah, (X ()) (Y ()) (X ) (Y ) atau (X ()) (Y (-)) (X ) (Y ) Contoh soal 7. Tentukan persamaan lingkaran singgung segitiga, yang sisi-sisinya berupa garis dengan persamaan : X Y, X Y 8, X Y -! Jawab : Untuk menyelesaikan soal ini gunakan deskripsi jarak sebuah titik pada sebuah garis. Definisi Jarak titik T (, y ) ke garis ax by c sama dengan d a by a b c Jika dimisalkan pusat lingkarannya P (a, b) dan jari-jarinya r, maka jarak P ke garis ) X Y X Y a b a b r ) X Y 8 X Y 8 a b 8 ( ) a b 8 r Grafik lingkaran singgung (X ) (Y ) 7

75 ) X Y X Y a b ( ) a b r Hal ini berarti r a b a b 8 a b untuk r ab r (ab) 6a 9b 76 ab 9a b () r ab8 r (ab8) 9a 6b ab 8a () r a-b r (a-b) 6a 9b ab 6a 96b () Jika diselesaikan, sistem persamaan (), (), dan () memiliki jawab : a, b, r, sehingga persamaan lingkaran singgung yang dicari adalah : (X ()) (Y ()) () (X ) (Y ) II.6... Ellips Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu, yang dinamakan titik fokus, selalu tetap. Titik tengah garis hubung titik fokus dinamakan titik pusat. Y C A F P F B D X Gambar II. Ellips dengan titik fokus F dan F, titik pusat P Segmen garis AB dinamakan sumbu panjang, sedangkan segmen garis CD dinamakan sumbu pendek. P titik tengah sumbu panjang dan sumbu pendek, dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berpotongan tegak lurus di P. 7

76 Ellips dengan sumbu panjang sejajar sumbu X dinamakan ellips datar, sedangkan jika sejajar sumbu Y dinamakan ellips tegak. Jika sumbu panjang sama dengan a, dan sumbu pendek sama dengan b, a > b, dan koordinat P (, y ), maka koordinat fokus-fokus ellips datar sama dengan dan ellips tegak sama dengan dengan c < a, b a c. F ( c, y ) dan F ( c, y ), F (, y c) dan F (, y c), Persamaan ellips datar dengan pusat P (, y ), sumbu panjang a, dan sumbu pendek b, sama dengan ( X ) ( Y y ) a sedangkan persamaan ellips tegak sama dengan 7 b ( X ) ( Y y ) b a Seperti halnya lingkaran, persamaan ellips dapat disajikan dalam bentuk kuadratik Contoh soal 8. AX BY CX DY E Tentukan koordinat titik pusat, sumbu panjang, dan sumbu pendek dari ellips dengan persamaan Jawab : 6X 9Y 6X 7Y 6! 6X 9Y 6X 7Y 6 6 6(X X) 9(Y 8Y) 6 6(X ) 9(Y 8Y 6 6) 6 6{(X ) } 9{(Y ) 6} 6 6(X ) 6 9(Y ) 6 6(X ) 9(Y ) (X ) 9(Y ) f( ) g( ) X Y 6 ( ) ( ) Gambar elips

77 Jika kedua ruas dibagi, maka diperoleh persamaan ( X ) ( Y ) 9 yang merupakan persamaan dari ellips dengan pusat P (, ), sumbu panjang sama dengan ( 6) 8, dan sumbu pendek sama dengan ( 9) 6. 6 II.6.. Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik tertentu, yang dinamakan titik fokus, selalu tetap. Pada hiperbola didefinisikan garis asimtut, yaitu garis yang akan memotong grafik di titik tak berhingga. Banyaknya asimtut dua buah yang saling berpotongan, dan titik potongnya dinamakan pusat hiperbola. Jika asimtut-asimtut berpotongan tegak lurus, maka hiperbola dinamakan hipebola tegak atau hiperbola ortogonal. Terhadap asimtutnya grafik hiperbola selalu merupakan dua pasang yang berkawanan. Y Y b a X X Y b a X Gambar II. Hiperbola dengan titik pusat O (, ), asimtut b Y X dengan b Y X a a 7

78 adalah Persamaan hiperbola dengan pusat (, ) dan asimtut b b Y X dengan Y X a a X a Y b dengan koordinat titik fokusnya F (c, ) dan F (c, ). Sedangkan hiperbola kawannya, memiliki persamaan X a Y b dengan koordinat titik fokusnya F (, c) dan F (, c). Jika pusat parabola ditranslasikan dari O (, ) ke P (, y ), maka persamaan asimtutnya menjadi Y Persamaan parabolanya menjadi b a y ( X ) dan Y y ( X ) ( X ) ( Y y ) a b b. a. Koordinat titik fokusnya menjadi F ( -c, y ) dengan F ( c, y ) dan persamaan parabola kawannya ( X ) ( Y y ) a b dengan koordinat titik fokusnya F (, y c) dan F (, y c). Nilai-nilai a, b, dan c, memenuhi hubungan a c b dan < b < c. 7

79 Seperti halnya pada lingkaran dan ellips, hiperbola juga bisa disajikan dalam persamaan kuadratik Contoh 9 AX BY CX DY E. Tentukan koordinat titik pusat, titik-titik fokus, dan persamaan asimtut-asimtutnya dari hiperbola Jawab : 9X Y 6X Y 6. Jika bentuk kuadratik tersebut disajikan dalam bentuk kuadrat sempurna, maka diperoleh hasil 9X Y 6X Y 6 (9X 6X) (Y Y) 6 9(X X) (Y 6Y) 6 9(X X ) (Y 6Y 9 9) 6 9(X ) 6 (Y ) 6 6 9(X ) (Y ) 6. Jika kedua ruas dibagi dengan 6, maka diperoleh persamaan ( X ) ( Y ) Dari bentuk kuadrat sempurna ini, nilai-nilai : a, b, dan c 9, sehingga koordinat titik pusat hiperbola : (, ), 9 koordinat titik fokus : F (, ) dan F (-, ), persamaan asimtutnya : Y ( X ) f( ) g ( ) h( ) i( ) Y X, dan Y ( X ) Y X X Y 9 ( ) ( ) Gambar hiperbola II.7. Fungsi Genap, Fungsi Ganjil Fungsi y f() dinamakan fungsi genap jika dipenuhi hubungan f() f(), dan dinamakan fungsi ganjil, jika hubungan yang dipenuhi, f() f(). Dalam hal lain dinamakan bukan fungsi genap atau fungsi ganjil. 7

80 Sebagai contoh,. y, fungsi ganjil, 8. sebab. f() ( ) ( ) f() ( ) ( ) f(). y, fungsi genap, sebab f() ( ) f() ( ) f() f( ) g( ) h( ). 8. Grafik fungsi f() : Y g() : Y ; h() : Y ;. y f(), bukan fungsi genap atau fungsi ganjil, sebab f() ( ) f() : bukan fungsi genap f() : bukan fungsi ganjil f() Sin, g() Cos Dari deskripsi tersebut tersurat, fungsi genap merupakan fungsi yang grafiknya simetris terhadap sumbu-y, sedangkan fungsi ganjil grafiknya simetris terhadap titik pangkal, O (, ). Sehingga jika grafik fungsi tidak simetris terhadap titik O maupun sumbu-y, maka fungsi tersebut bukan fungsi genap maupun fungsi 76

81 ganjil. Hal ini dapat ditelaah pada gambar grafik fungsi di atas, yang digambarkan dengan menggunakan program Mathcad, dalam domain X { }. Pada gambar terlihat, f() simetris terhadap titik O (, ), dan g() simetris terhadap sumbu-y, sedangkan h() tidak simetris terhadap titik O maupun sumbu-y. SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN. Relasi dari himpunan X ke Y, dengan elemen-elemen dan bentuk relasinya seperti di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal tersebut! a) X {,,,,,,,,,, } ; Y {,,,,,, 6, 7, 9} Relasinya : X y Y : y b) X {,,,9,6,,6} ; Y {6,,,,,,,,,,,,6} Relasinya : X y Y : y c) X {wanita} ; Y {laki-laki} Relasinya : X y Y : pernikahan d) X {pengunjung di pusat perbelanjaan} ; Y {pembeli di pusat perbelanjaan} Relasinya : X y Y : transaksi pembelian e) X {bilangan irasional} ; Y {bilangan rasional} Relasinya : X y Y : perpangkatan. Fungsi-fungsi di bawah ini, mana yang merupakan fungsi pada, fungsi ke dalam, fungsi satu-satu pada, fungsi satu-satu ke dalam? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal itu! a) Y X, jika X {bilangan riel} ; Y {bilangan riel} b) Y X, jika X { : bilangan prima, 7} ; Y {bilangan riel} c) Y X, X - X, X < ; X Y {bilangan riel} d) Y [[ X ]], bilangan bulat yang lebih kecil sama dengan X ; X Y {bilangan bulat} X e) Y ; X Y {bilangan riel} X 77

82 . Tentukan domain dari fungsi-fungsi di bawah ini (a) Y ln (Sin X) (b) Y e (c) Y Sin( ) (d) Y ( )Sin( ) (e) Y Sin( ). Tentukan fog(), jika (f) Y (g) Y Tg( ) (h) Y log( ) (a) f() Sin() ; g() (b) f() ; g() Tg( ) (c) f() ; g() log ( ) (d) f() Sin( ) ; g() ln( ) (e) f() ; g(). Jika f() dan g() (f) f() ; g() log, maka tentukan f (a)(f g)() (b) (f g)() (c) () (d) (f.g)() (e) fog() g 6. Tentukan persamaan dan gambar grafik fungsi linier yang a) grafiknya sejajar grafik fungsi y, dan melalui titik potong grafik fungsi y dengan y b) melalui titik (, ) dan memotong tegak lurus grafik fungsi 6 c) melalui titik potong grafik fungsi 6 dengan y, dan titik potong grafik fungsi y dengan y d) membangun sebuah segitiga dengan titik-titik sudutnya (, ) ; (, ) ; (, ) e) melalui titik (, ) dan grafiknya tegak lurus grafik fungsi 6 y 7. Tentukan persamaan dan gambarkan grafik fungsi kuadrat, yang a) sumbu simetrisny dan titik maksimumnya (, ) b) melalui titik-titik (, ) ; (, ) ; dan (, 7) c) titik minimumnya (, ) dan memotong sumbu-x di (6, ) d) menyinggung grafik fungsi y 6 dengan titik ekstrimnya (, ) e) tidak memotong sumbu-x, memiliki sumbu simetris, menyinggung grafik fungsi y, dengan salah satu titik pada grafiknya berjarak dari sumbu simetris. 78

83 8. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, mana yang merupakan fungsi ganjil, fungsi genap, atau fungsi yang bukan fungsi ganjil maupun fungsi genap? (a) y 6 (b) y (c) y (d) y Sin( ) (e) y ( )log( ) (f) y e - 9. Sebuah pabrik dapat menghasilkan antara sampai unit barang perhari, dengan overhead cost harian $., dan ongkos produksi untuk setiap unit barang $. Sajikan persamaan fungsi biaya (a) untuk total produksi unit barang (b) rata-rata perunit barang Untuk kedua fungsi tersebut, tentukan domainnya!. Sebuah penyewaan mobil menetapkan charge harian $, dan ongkos $. per km. a) Tentukan biaya penyewaan dalam satu hari, jika digunakan sejauh km. b) Jika sebuah mobil disewa untuk satu hari dengan biaya $, maka berapa jauh jarak yang harus ditempuh?. Jika fungsi biaya untuk membuat buah barang sama dengan dolar, dengan harga jual perunitnya $ 6, maka tentukan fungsi pendapatannya!. Apakah a) jumlah dua fungsi ganjil, merupakan fungsi ganjil? b) jumlah dua fungsi genap, merupakan fungsi genap? c) perkalian dua fungsi ganjil, merupakan fungsi ganjil? d) perkalian dua fungsi genap, merupakan fungsi genap? e) perkalian sebuah fungsi ganjil dengan fungsi genap, merupakan fungsi ganjil? Sajikan alasan saudara untuk mengemukakan hal tersebut!. Jika domain fungsi y f() selain memiliki nilai, juga nilai, maka selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah salah atau benar? Sajikan alasan saudara mengemukakan hal tersebut! a) f() f() adalah fungsi ganjil. b) f() f() adalah fungsi genap. c) f() selalu dapat disajikan sebagai perjumlahan fungsi genap dengan fungsi ganjil. 79

84 . Pesawat udara A terbang mengarah ke utara dengan kecepatan km/jam, dan setelah mengudara satu jam, pesawat udara B terbang mengarah ke timur dengan kecepatan km/jam. Dengan mengabaikan lengkungan bumi dan ketinggian pesawat dari permukaan laut, maka sajikan fungsi jarak antara kedua pesawat tersebut, jika diukur sejak pesawat A terbang.. Segitiga apakah yang akan diperoleh, jika sisi-sinya merupakan segmen grafik fungsi linier Y X, Y X, dengan Y X? 6. Fungsi genap dan fungsi ganjil termasuk dalam kelompok fungsi mana? Fungsi pada, fungsi ke dalam, fungsi satu-satu pada, atau fungsi satu-satu ke dalam? Sajikan alasan saudara untuk mengemukakan hal itu! 7. Tentukan fungsi komponen dari fungsi komposisi di bawah ini. (a) Y log (b) Y Tg (d) Y ln (e) Y e - (c) Y ln (f) Y Sec Tg( ) 8. Jika f() dan g(), maka tentukan domain untuk fungsi h() f (a) (f g)() (b) () g g (c) (f.g)() (d) fog() (e) gof() (f) () f 9. Sebuah pelat seng berukuran meter, akan dibuat kotak persegi (panjang, lebar, dan tinggi sama) tanpa tutup. tentukan (a) persamaan untuk V() Jika V() menyatakan fungsi volume kotak, maka (b) domain dari V(). Untuk fungsi-fungsi siklometri, fungsi mana yang merupakan fungsi genap, dan yang mana yang merupakan fungsi ganjil? Sajikan telaahan saudara! 8

85 BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Salah satu segi dalam fungsi real adalah nilai pendekatan (limit) dan kekontinuan fungsi. Kekontiuan fungsi merupakan implementasi langsung dari perhitungan limit. Perhitungan limit banyak digunakan dalam analisis statistika, matematika dan ilmu-ilmu terapan. Definisi Limit dari fungsi y f() sama dengan b, jika menuju nilai a, ditulis : Lim f () a X artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil, ε >, (ε : dibaca epsilon) selalu ada bilangan yang cukup kecil lainnya, δ >, (δ : dibaca delta), sedemikian rupa sehingga f() b < ε, jika a < δ. Dari deskripsi ini, nilai f() hanya mendekati b, artinya, nilai f() tidak pernah sama dengan b, jika mendekati a. Y b f(a) a X Gambar III. Gambaran ilmu ukur Lim f () X a 8

86 Ilustrasi : Tunjukan bahwa Lim X Jawab Ambil ε >, sehingga < ε. Karena >, maka < ε. Dalam hal ini, jika ε merupakan bilangan yang cukup kecil, maka ε δ > juga akan merupakan bilangan yang cukup kecil. Sehingga untuk setiap ε > ada δ ε >, sedemikian rupa sehingga < ε, jika < δ. Hal ini menyatakan bahwa Lim, benar. X Menghitung nilai limit dengan menggunakan definisi tidaklah mudah. Sehingga diperlukan sebuah metode praktis untuk menghitungnya. Berikut ini disajikan bagaimana menghitung limit fungsi dan segi-segi yang dapat ditelaah pada perhitungan limit fungsi. III.. Cara menghitung nilai limit Jika dimiliki persoalan sebagai berikut : Berapakah Lim f () a X? maka cara menghitungnya :. Subtitusikan a ke f(), sehingga diperoleh nilai f(a).. Selidiki apakah nilai f(a) bukan nilai tak-tentu? Yang termasuk nilai tak-tentu adalah bentuk-bentuk :.,.,,,,.. Jika f(a) bukan nilai tak tentu, maka f(a) adalah nilai limit yang dicari. Sedangkan jika nilai tak-tentu, maka bentuk f() harus diubah melalui sebuah proses aljabar, sehingga jika disubtitusikan nilai a diperoleh nilai yang bukan nilai tak tentu. 8

87 Contoh Hitunglah Lim f ( ) Jawab :! Jika disubtitusikan ke f ( ) ( ) yang bukan nilai tak tentu. Sehingga Lim f ( ). () maka diperoleh nilai f (), () Contoh Hitunglah Lim f ( ) Jawab :! Jika disubtitusikan ke f ( ) ( ) merupakan sebuah nilai tak tentu. maka diperoleh nilai Sehingga bentuk fungsi harus diubah menjadi, f ( ) () f (), yang () ( )( ), yang jika disubtitusikan ke f() akan diperoleh nilai f() (). Sehingga Lim f ( ). Khusus untuk menghitung limit fungsi pecahan Lim f () g() dengan f() dan g() merupakan fungsi polinom. Caranya sebagai berikut.. bagi kedua fungsi tersebut oleh yang berpangkat paling tinggi,. subtitusikan ke fungsi hasil bagi., g() untuk setiap nilai, 8

88 Contoh a) Hitunglah Lim Jawab : Bagi pembilang dan penyebut oleh, Lim Lim Lim b) Hitunglah Jawab : Lim Bagi pembilang dan penyebut oleh, Lim Lim.... Lim III. Dalil Limit Untuk mempermudah perhitungan limit fungsi, dapat digunakan dalil-dalil tentang limit di bawah ini. Sin. Lim Lim Sin Bukti Jika diambil ε >, sedemikian rupa sehingga Sin Sin Sin < ε 8

89 maka < ε ( ε) < < < δ > ε ε Hal ini menyatakan bahwa, untuk setiap ε > selalu ada δ sedemikian rupa ε Sin Sin sehingga < ε, jika < δ. Dengan perkataan lain Lim Lim Sin benar. Contoh Hitunglah Lim( π) Tg Jawab : Lim π π ( π) Tg Lim ( π) π! Lim Tg π Lim ( π) π π π Tg(½π).. Lim Tg π Hasilnya merupakan nilai tak tentu, sehingga bentuk fungsi harus diubah menjadi Cos π Sin ( π)tg ( ½π) ( ½π) Cos Sin π ) π π Cos(½π) Cos(½π) Sin π Sin π 8

90 sehingga Lim π ( π) Tg Lim ( π) Tg π Lim π π Cos(½π) Sin π Lim Cos π π Lim π π Sin π Cos().() ()(). Lim( ) e, e bilangan irasional. Bukti Karena Lim( ) e sedemikian rupa sehingga identik dengan Lim y y y e, sehingga jika diambil ε >, y y e e < y y maka y y y y e < ε < y y y < ε e < ε e δ δ > y y y ( y ) y y y y y y i y i y i y i i y > y Hal ini menyatakan bahwa, untuk setiap ε > selalu ada δ ε e, sedemikian rupa sehingga y y < ε, y < δ. Dengan perkataaan lain Lim( ) e e benar. y Catatan : y!, y! y, dengan! didefinisikan sama dengan. i (y i)!i! 86

91 Contoh a. Lim ( ) Jika ditulis : y Lim ( ) Lim ( ) ( ), maka : y, sehingga y Lim ( y)y e y b. Cos() Sin() Lim π Cos() Ctg() Lim Sin() Cos( π ) Ctg() Lim Tg() Tg( ( ) ) π Jika ditulis : Tg() y, maka π y, sehingga Cos() Sin() Lim π Cos() Ctg() Lim ( y) )y y e.. Lim k k a, k : konstanta. Bukti Karena k k < ε, maka selalu ada δ >, sedemikian rupa sehingga a < δ, dengan perkataan lain Contoh 6 Lim Lim k a k benar. Lim f ()g() Lim f () Lim g(), jika hasilnya bukan nilai tak tentu, sedangkan jika a a a hasilnya nilai tak tentu maka bentuk f()g() harus diubah dulu, baru dihitung nilai limitnya. Bukti Jika dimisalkan Lim f () a u dan Lim g() a rupa sehingga f () u < ε, g() v < ε, a < δ. 87 v, maka ada ε, ε, dan δ, sedemikian

92 Karena f()g() uv {f() u}{g() v} vf() ug() uv {f() u}{g() v} v{f() } u{f() } f()g() uv {f() u}{g() v} v{f() } u{f() } {f() u}{g() v} v{f() } u{f() } < {f() u}{g() v} {f() u} {g() v} < ε ε ε, jika a < δ. Hal ini menyatakan bahwa Lim f ()g() Lim f () Lim g(), benar. a a a Contoh 7 a. Lim( π) Sin( π) π, jika diselesaikan sesuai dalil ( π) Sin( π) Lim ( π) Lim Sin( π) π π π Lim ( Lim Lim π) Sin( π π) π π ( π π) Sinπ (-π)() (bentuk tentu) b. Lim Sin( ), jika diselesaikan sesuai dalil 6 Lim Sin( ) 6 Lim LimSin( ) 6 () Sin( ).. (bentuk tak tentu) () () 6 Fungsi harus diubah menjadi Sin( 6 sehingga ) Lim Sin( ) 6 (). () 7 Sin( ) ( )( ) Sin( ) Lim ( ) Sin( ) ( ) ( ) Sin( ) Lim Lim ( ) 88

93 Lim kf () k Lim f (), k : konstanta a a Bukti Gunakan analogi pembuktian Dalil, dengan mengambil g() k. Contoh 8 Lim ( ) Lim( ) - ( Lim Lim Lim ) - ( Lim Lim Lim ) -{(-) (-) (-)} -(- ) 6 Lim a f () g() Lim f () a, jika hasilnya bukan nilai tak tentu, sedangkan jika hasilnya nilai Lim g() a tak tentu maka bentuk f) g() harus diubah baru dihitung nilai limitnya. Bukti Gunakan analogi Dalil, dengan menyajikan f) g() f() g() Contoh 9 a. Lim, jika dihitung sesuai dalil Lim Lim Lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (bentuk tentu) b. Lim Tg( ), jika dihitung sesuai dalil Lim Tg( () ) Tg( ). () () (bentuk tak tentu) Fungsi harus diubah menjadi Tg( ) Tg( ) Tg( ) ( )( ) ( ) 89

94 sehingga Lim Tg( ) Lim Tg( ) Tg( ) ( ) ( ).. 7. Lim( f () g() ) Lim f () Lim g() a a a Bukti Jika dimisalkan Lim f () a u dan Lim g() a v, maka ada ε, ε, dan δ, sedemikian rupa sehingga f () u < ε, g() v < ε, a < δ. Karena {f() g()} uv {f() u} {g() v} u v uv {f() g()} uv {f() u} {g() v} u v uv {f() u} {g() v} u v uv < {f() u} {g() v} < ε ε ε, jika a < δ. Hal ini menyatakan bahwa Lim( f () g() ) Lim f () Lim g() a, benar. a a Contoh ( π) Cos( π) ) Lim Sin( π Lim( Sin( π) ) Lim( Cos( π) ) π π Sin ((-π) - π) Cos ((-π) - π) Sin (-π) Cos (-π) (-) - III.. Limit Kiri, Limit Kanan Untuk menghitung nilai Lim f () bisa dilakukan secara sepihak terhadap a. Artinya a nilai limit dihitung berdasarkan < a atau > a secara berdiri-sendiri. Hal ini dilakukan terutama jika fungsi f() bentuknya terbagi oleh a. Misal fungsi f() yang didefinisikan sebagai berikut, f (),, Tg( ) 9 jika jika jika < >

95 Untuk menghitung nilai Lim f (), prosesnya harus dilakukan berdasarkan < dan >, yang berdiri-sendiri. Lim f () Lim f () Lim < Lim f () Lim > Tg( ) Secara matematis pernyataan Lim f () disajikan oleh Lim f (), yang dinamakan limit < kiri dari f(). Sedangkan Lim f () disajikan oleh Lim f (), yang dinamakan limit > kanan dari f(). Definisi Limit kiri dari fungsi y f(), jika menuju a, sama dengan b, ditulis Lim f () b X a artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil ε > selalu ada bilangan yang cukup kecil yang lain δ >, sedemikian rupa sehingga f() b < ε jika a < δ, untuk a. Sebaliknya Limit kanan dari fungsi y f() jika menuju a, sama dengan b, ditulis Lim f () b X a artinya, untuk setiap bilangan yang cukup kecil ε > selalu ada bilangan yang cukup kecil yang lain δ >, sedemikian rupa sehingga f() b < ε jika a < δ, untuk a. Dari deskripsi ini, perhitungan untuk limit kiri dan limit kanan sama dengan perhitungan untuk limit seperti yang telah dikemukakan. Dalam hal nilai limit kiri sama dengan limit kanan Lim f () a maka dinamakan nilai limit fungsi ada, a a Lim f (), a Lim f () Lim f () Lim f () a. 9

96 Contoh Jika diketahui fungsi y f() yang didefinisikan seperti di bawah ini maka hitunglah Lim f ()!, f (),, Tg( ) jika jika jika < > Jawab : Limit kiri : Lim f () Lim Lim Lim Limit kanan ( )( ) ( )( ) Lim Lim Lim( ) Tg( ) ) Tg( ) ( ) ( ) ( ) Cos( ) ( ) Lim ( ) Lim ( ) Sin( ) Sin( ) Cos( ) ( ) Lim Lim Cos( ) ( )Cos Lim f () Sin( ) karena nilai limit kiri tidak sama dengan limit kanan, Lim Tg( ) Lim f () Lim f (), maka Lim f () tidak dapat dihitung (tidak ada nilai limitnya). III. Kekontinuan Fungsi Sebuah fungsi y f() disebut kontinu di titik a, jika dipenuhi tiga kondisi sebagai berikut :. nilai y f() di a, f(a) ada (terdefinisikan). nilai limit fungsi di a, ada, artinya Lim f () Lim f () Lim f () a. Lim f () f(a) a a a 9

97 Jika salah satu dari kondisi-kondisi tersebut tidak ada, maka dikatakan fungsi tidak kontinu (diskontinu). Secara ilmu ukur gambar fungsi tidak kontinu adalah seperti pada Gambar III.. f(a) Y y f() f(a) Y y f() a X a X (a) (b) Y y f() X (c) Gambar III. Fungsi-fungsi tidak kontinu (diskontinu) di a (a) : Lim f () tidak ada a (b) : Lim f () ada tetapi Lim f () f(a) a a (c) : f(a) tidak ada (tidak didefinisikan) Pada Gambar III. (a) fungsi dikatakan diskontinu loncat, Gambar III. (b) diskontinu dapat dihapus, yaitu jika f(a) didefinisikan sama dengan Lim f (), dan Gambar III, (c) a diskontinu murni. 9

98 Contoh. Selidiki apakah fungsi, jika < Cos( π π) f (), jika, 6, jika > Sin( ) kontinu di? Jawab : Limit kiri Lim f () Lim Lim Cos π π ( ) ( ) ( ) ( ) Lim ( ) ( ) Lim Sinπ ( ) ( )( ) Lim( ) Cosπ Sin π ( ) ( ) ( ) Cos π Cosπ( ) Sin π ( ) ( ).( ) Cosπ( ).() Lim Sinπ ( ) Lim Sinπ ( ) Lim Sin π π ( ) π( ) Lim ( ) Sin ()() Limit kanan 6 Lim f () Lim Lim Sin ( ) ( ) ( ) ( ) Lim ( ) Sin( ) ( )( ) Lim( ) Sin( ) ()() Lim Sin ( ) ( ) Karena Lim f () Lim f () Lim f () tetapi tidak sama dengan f(), maka fungsi tidak kontinu di. 9

99 III.. Menghitung Limit Dengan Mathcad Jika secara manual perhitungan limit fungsi sulit dilakukan, maka dapat digunakan program Mathcad untuk menyelesaikannya. Misal menghitung Lim ( ) Tg( ) Log Jika disubtitusikan ke fungsi yang dicari nilai limitnya, akan diperoleh bentuk tak tentu. Merubah fungsi tersebut, untuk mendapatkan nilai limit yang bukan bentuk tak tentu, proses aljabarnya tidak sederhana. Jika dihitung dengan menggunakan program Mathcad, prosesnya sebagai berikut.. Jalankan program Mathcad, sehingga diperoleh tampilan. 9

100 . Tutup tampilan Resource Centre, sehingga diperoleh tampilan. Klik operator limit pada fungsi Calculator (lihat tanda panah), sehingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini. Selanjutnya tulis formulasi limit yang dicari. Ketik, Ketik,. tan log ( ) ( ) Ketik, 96

101 . Klik tanda pada fungsi Evaluation... (lihat tanda panah) Pada spreadsheet tersurat, Lim ( ) Tg( ) Log SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN. Dengan menggunakan definisi limit, tunjukan bahwa (a) Lim Tg (b) Lim (c) ( ) ln Lim (d) Lim Sin( ) (e) Lim (f) Lim (g) Lim Sin (h) Lim a a. Hitunglah (a) 8 Lim (b) Lim (c) Sin( ) Lim (d) Lim (e) Lim (f) ln( ) Lim (g) e Lim (h) Lim (i) (j) Lim {( Cos ) Ctg } Tg Lim Sin 97 Sec Lim π Sec (k) ( Sin )

102 . Telaah kekontinuan dari fungsi-fingsi di bawah ini (a) f (), jika, jika >, jika < (b) f (), jika, jika > (c) f () (d), jika rasional f () (e) f() (f) f () Sin -, jika irasional. Jika didefiniskan fungsi f () fungsi kontinu di mana-mana!, jika a b, jika < <, maka hitunglah nilai a dan b agar, jika. Gambarkan grafik fungsi y f(), yang memiliki ciri : domainnya [, 6] ; f() f() f() f(6) ; kontinu kecuali di ; Lim f () ; Lim f (). 6. Tunjukan bahwa fungsi y f() kontinu di c, jika dan hanya jika Lim f ( c) f (c) 7. Tunjukan bahwa jika fungsi y f() kontinu di c dengan f(c) >, maka ada selang nilai (cδ, cδ) sedemikian rupa sehingga f() > untuk setiap dalam selang nilai tersebut. 8. Tunjukan bahwa nilai limit fungsi bersifat tunggal, artinya jika Lim f () A a Lim f () a B, maka A B 9. Tunjukan bahwa jika fungsi y f() kontinu pada domain [, ], dengan f() untuk setiap, maka fungsi memiliki titik tetap, yaitu ada nilai c, c, sedemikian rupa sehingga f(c) c.. Jika y f() fungsi kontinu pada domain [a, b], dan A nilai dengan ciri f(a) A f(b), maka ada c dalam domain tersebut, sedemikian rupa sehingga f(c) A.. Jika Lim g() B dan y f() fugsi kontinu di B, maka Lim fog() a a dan f ( Lim(g() ) B. Pernyataan ini identik dengan pernyataan, jika y g() kontinu di a dan y f() kontinu di g(a), maka y fog() kontinu di a. Buktikanlah. a 98

103 , jika < -. Perhatikan fungsi f (), jika -< < -, jika a) Apakah ada nilai yang menyebabkan fungsi diskontinu? b) Berapakah nilai f(a) agar fungsi kontinu di mana-mana!. Perhatikan gambar fungsi y f() di bawah ini Y X Tentukan nilai limit, nilai fungsi, atau pernyataan, sehubungan dengan hal-hal berikut (a) Lim f () (b) f() c) titik-titik di mana fungsi diskontinu loncat, dan diskontinu dapat dihapus d) sifat fungsi pada domain [, ]. Jika fungsi-fungsi y f(), y g(), dan y h(), memiliki ciri f() g() h() untuk setiap < c, c, > c. Jika Lim f () Lim h() A, maka Lim g() A. c c c Buktikanlah! 99

104 BAB IV TURUNAN ( DIFFERENSIASI ) Turunan atau diferensiasi dari sebuah fungsi merupakan hal khusus dari limit fungsi. Misalkan diketahui fungsi y f(). Jika ada dan nilainya berhingga, maka h Lim h Lim f ( h) f () h h f ( h) f () f (). Dalam hal ini f () dinamakan turunan (diferensiasi) fungsi y f(). Tanda aksen ( ) pada f () dinamakan operator turunan atau diferensiasi. Banyaknya tanda aksen menyatakan orde atau tingkat dari turunan. Misalnya, f () turunan orde pertama, f () turunan orde kedua, dan seterusnya. Pernyataan f () dapat juga disajikan oleh df () d dy df () atau, f () d d dy. d Dalam hal ini dy dan d, masing-masing dinamakan diferensial dari y dan. d dinamakan operator diferensial. Suatu fungsi yang memiliki turunan dinamakan diferensiabel, dan jika memiliki turunannya hanya pada beberapa titik pada domainnya, dinamakan diferensiabel pada beberapa titik. Sedangkan jika pada seluruh domain fungsi dinamakan diferensiabel di mana-mana. Contoh Jika f() Sin maka tentukan f ()! Jawab : f() Sin f(h) Sin (h) f(h) f() Sin (h) Sin Sin ½{(h) }Cos ½{(h) } Sin ½hCos ( ½h)

105 f ( h) f () Sin hcos( h) Sin h Lim Lim Lim Lim Cos( h) h h h h h h h ()Cos Cos, yang merupakan fungsi dengan rangenya, Cos. Hal ini berarti ada dan nilainya berhingga. Sehingga jika f() Sin, maka f () Cos. f ( h) f () Lim h h IV.. Arti turunan Turunan dari sebuah fungsi adalah fungsi lagi. Sedangkan turunan pada sebuah titik, a, f (a), adalah koefisen arah garis singgung lengkungan y f() di titik a. Y y f() h f(ah) f(a) Ψ f(ah)-f(a) ϕ X a ah Gambar IV. Arti ilmu ukur turunan pada sebuah titik Tg ϕ f (a) Perhatikan Gambar IV.. Berdasarkan goniometri, f (a h) f (a) h jika h maka f(ah) f(a), dan Ψ ϕ. Dan berdasarkan konsepsi turunan, jika nilainya ada dan berhingga. f (a) Hal ini menyimpulkan bahwa f (a) f (a h) f (a) Lim h h f (a h) f (a) Lim h h merupakan koefisien arah garis singung lengkungan y f() di titik (a, f(a)). Tg Ψ. Sehingga Lim Tgψ Tg ϕ, h

106 Contoh. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan y Sin di titik ¼π! Jawab : Pada Contoh, telah ditunjukan bahwa, jika f() Sin maka f () Cos. Untuk ¼π, ( π) Cos ¼π, dan Sin ¼π f. Sehingga persamaan garis singgung yang dicari adalah, persamaan garis yang melalui titik (¼π, ) dengan koefisien arah, yaitu y ( ¼π) y (¼π - ) IV.. Dalil dasar untuk turunan Menghitung turunan dengan menggunakan deskripsi turunan seperti yang telah dikemukan, jelas tidak efisien, walaupun selalu dapat dilakukan. Untuk efisiensi perhitungan, dapat digunakan dalil-dalil untuk turunan seperti di bawah ini. Dalil :. Jika f() k, k : konstanta, maka f () Bukti f() k f(h) k f(h) f() f ( h) f () Lim h h Lim f () h h. Jika f() g() h(), maka f () g () h() h () g() Bukti f() g() h() f(w) g(w)h(w)

107 f(w) f() g(w)h(w) g()h() {g(w) g()}h() {h(w) h()}g() g(w)h() h(w)g() h()g() g(w)h(w) {g(w) g()}h() {h(w) h()}g() g(w){h(w) h()} g(){h(w) h()} f ( w) f () Lim w w {g( w) g()}h() Lim w w g( w){h( w) h()} Lim w w {h( w) h()}g() Lim w w g(){h( w) h()} Lim w w f ( w) f () {g( w) g()} {h( w) h()} Lim Lim Lim h() Lim Lim g() w w w w w w w w {h( w) h()} Lim g( w) Lim w w w {h( w) h()} Lim g() Lim w w w Sehingga jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f () g ()h() h ()g () g()h () g()h () g ()h() h ()g (). Jika f() kg(), k : konstanta, maka f () k g () Bukti Gunakan analogi pembuktian Dalil, dengan membuat h() k. Jika f() Bukti g() h(), h() untuk setiap nilai, maka f () Gunakan analogi pembuktian Dalil, dengan menyajikan f() g() g ()h() h ()g() { h() } h()

108 . Jika f() g() h(), maka f () g () h () Bukti f() g() h() f(w) g(w) h(w) f(w) f() {g(w) h(w)} {g() h()} f ( w) f () Lim w w {g(w) g()} {h(w) h()} g( w) g() Lim w w h( w) h() Lim w w Jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f () g () h () 6. Jika f() goh(), fungsi komposisi, maka f () g {h()}h () Bukti f() goh() g{h()} f(w) goh(w) g{h(w)} f(w) f() g{h(w)} g{h()} [g{h() w} g{h()}] f ( w) f () Lim w w h( ) h() [g{h() w} g{h()}] Lim w w w h( g{h() w} g{h()} h( w) h() Lim Lim w w w w) h() w Sehingga jika nilai-nilai limitnya ada dan berhingga, maka f () g {h()}h (). 7. Jika f() n maka f () (n-) n- Bukti f() n f(h) (h) n n n i i n n f(h) f() i i ni ni h i h i - n n n i i ni h i

109 Lim h f ( h) f () h n n i i Lim h h ni h i n n ni i Lim (n ) h h i (n) n- f () 8. Jika f() Sin maka f () Cos, dan jika f() Cos maka f () Sin Bukti Untuk f() Sin, perhatikan pembuktian Contoh, sedangkan untuk f() Cos, gunakan analoginya. f() Cos f(h) Cos(h) f(h) f() Cos(h) Cos Sin (h)sin (h) Sin( h)sin h Lim h f ( h) f () h Sin( h)sin h Lim h h Lim Sin( h Sin h h) Lim h h Sin ( ())() Sin, yang merupakan fungsi dengan Hal ini berarti Lim h range Sin. f ( h) f () ada dan berhingga, sehingga f () Sin. h 9. Jika f() e, e bilangan irasional maka f () e, sedangkan jika f() a, a >, a e maka f () a ln(a). Bukti f() e f(h) e h f(h) f() e h e e e h e e (e h )

110 h f ( h) f () e (e ) Lim Lim e h h h h h e Lim e. e f (). h h Untuk f() a Karena a >, maka a e ln(a) e g(), dengan g().ln(a). Dengan menggunakan Dalil 6 dan 7, maka f () (e g() } e g() g () a { - ln()} a ln(a). Jika f() ln maka f () -, sedangkan jika f() log maka f () Bukti f() ln e f() Gunakan Dalil 6 dan 7 ln. () (e f() ) - e f() f () f () f () - f() log ln() ln() f () ln() (ln ) ln() ln Beberapa contoh perhitungan turunan fungsi. Contoh. Jika f() Sin Cos, maka tentukan f ()! Jawab : f () ( ) Sin (Sin ) ( ) () {() Cos (Cos ) }. - Sin.Cos. - - ( - Cos.-Sin ) Sin Cos 6 Cos Sin 6

111 Contoh. Jika f() Tg maka tentukan f ()! Jawab : Sin f () Cos ( Sin ) Cos ( Cos ) ( Cos ) Sin ( Sin ) Cos ( Cos ) ( Cos ) Sin Cos.Cos - (-Sin )Sin Cos Cos Sin Cos Cos Sec Contoh. Jika f() log( ) maka tentukan f ()! Jawab : Karena f() log( ) merupakan fungsi komposisi f() g(h()) dengan maka ( ) f () g (h())h () ( ) ln h() dan g() log() ln ( ) (. ) ( ) ln Contoh 6. Jika f() ( ) 6 Ctg( ) maka tentukan f ()! Jawab : fungsi ini merupakan perkalian dari dua fungsi komposisi, f() g(h()).i(j()), g(h()) : h(), g() 6 i(j()) : j(), i() Ctg() sehingga 6 6 ( ) Ctg( ) ( ) Ctg( ) f () ( ) ( ) 7

112 6 6( ) ( ) Ctg( ) 6( ) (.. ) Ctg( ) Cos ( ) ( ) Sin( ) ( ) ( Cos( ) Sin( ) ( Sin( ) Cos( ) ( Sin( ) 6( ) ( ) Ctg( ) ( ) Sin ( ) Cos 6( ) ( ) Ctg( ) ( ) Sin 6( ) ( ) Ctg( ) ( ) Sin ( Sin ( ) ( ) Sin( ) ( )( ) Cos( ) ( (. ) Sin ( ) ( ) (. ) Cos ( )) ( ) ( 6 ) ( Sin ( ) Cos ( ) 6( ) ( ) Ctg( ) ( ) ( 6 ) Sin ( ) 6( ) ( ) Ctg( ) ( )( 6 ) Co sec ( ) IV.. Turunan Fungsi Implisit Untuk menghitung turunan dari fungsi implisit dapat dilakukan dengan menggunakan operator diferensial, d, yang prosesnya mengikuti dalil-dalil turunan. 8

113 Contoh 7. Tentukan y dari y y y Jawab : Jika digunakan operator diferensial d pada kedua ruas, maka diperoleh d(y y y) d() d(y ) d() d(y) d( y) {d().y.d(y )} d() d(y) {d( ).y.d(y)} y d.y - dy d dy - d.y dy y d ydy d dy yd dy, selanjutnya kumpulkan suku-suku yang memiliki operator d dengan dy, secara terpisah, sehingga diperoleh (y d d yd) (ydy dy dy) (y y)d (y )dy (y )dy (y y)d d dy y ( y y) ( y ) y y y IV.. Turunan dan Kekontinuan Fungsi Pada Bab III sudah dikemukakan, fungsi y f() kontinu di titik a jika dipenuhi tiga kondisi yaitu,. f(a) terdefinisikan (ada nilainya),. Lim f () ada, a. Lim f () f(a). a Berdasarkan deskripsi turunan fungsi pada sebuah titik, a, f (a h) f (a) f (a) Lim h h jika nilainya ada dan berhingga. Karena f (a) adalah koefisien arah garis singgung lengkungan di titik a, maka syarat perlu sebuah fungsi diferensiabel di titik a adalah, fungsi harus kontinu di titik tersebut. Tetapi sebaliknya tidak selalu berlaku. Artinya, jika 9

114 sebuah fungsi kontinu di titik a, maka fungsi tersebut belum tentu diferensiabel di titik itu. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak, y. Fungsi ini kontinu di titik, tetapi tidak diferensiabel di titik tersebut, sebab :. Nilai pada,. Limit kirinya, Lim Lim. Limit kanannya Lim Lim Ketiga kondisi tersebut, menyatakan Lim f () Lim f () Lim f () yang berarti fungsi y kontinu di.. Nilai turunan di,, f () f ( h) f () Lim h h h Lim h h Lim h h h, jika h > -, jika h < f ( h) f () Hal ini menunjukan bahwa, Lim, sedangkan h h f ( h) f () Lim. Yang berarti, h h f ( h) f () Lim h h Lim h f ( h) f () h f ( h) f () atau Lim tidak ada. h h Dari keempat kondisi tersebut menyatakan bahwa fungsi y tidak diferensiabel di.

115 Y y O (,) X Gambar IV. Grafik fungsi y Pada Gambar IV. terlihat bahwa fungsi y kontinu di, tetapi tidak dapat dibuat garis singgung di titik tersebut, karena grafik fungsi membangun sebuah sudut. Kesimpulan dari sajian ini adalah : Untuk menelaah apakah fungsi y f() kontnu di a, maka telaah apakah fungsi diferensiabel di titik tersebut? Artinya, apakah f (a) nilainya terdefinisikan? IV.. Turunan Orde Tinggi f ( h) f () Pada awal dari bab ini telah dikemukan bahwa, jika h Lim ada dan h f ( h) f () berhingga, maka h Lim f (). Dalam hal ini f () dinamakan turunan h orde pertama. Orde turunan ini dapat dikembangkan sehingga diperoleh turunan orde tinggi. Konsepsinya dapat menggunakan analogi dari turunan pertama. Jika f ( h) f () Lim ada dan berhingga, maka h h f ( h) f () Analog, jika Lim ada dan berhigga, maka h h f ( h) f () Lim f () (f ()) h h Dan seterusnya f (n) () (f (n-) ()). f ( h) f () Lim f () (f ()). h h

116 Contoh 8. Jika f(), maka tentukan f () dan f ()! Jawab : f (). - - f () (f ()) - f () (f ()) IV.6. Nilai Ekstrim Perhatikan fungsi y f() pada domain interval tertutup, [a, b], dengan grafiknya seperti di bawah ini. Y y f() a b X Gambar IV. Titik-titik ekstrim fungsi Gambar IV. menyajikan bahwa fungsi y f() dalam selang tutup [a, b], memiliki nilai minimum lokal di, maksimum lokal di, minimum mutlak di, dan maksimum mutlak di. Nilai-nilai maksimum dan minimum, baik lokal maupun mutlak, dinamakan nilai ekstrim.

117 Definisi. Ekstrim mutlak Fungsi y f() yang didefinisikan dalam selang tutup [a, b] mencapai nilai maksimum mutlak di, a b, jika untuk setiap a b dan, maka f( ) f(). Sedangkan mencapai minimum mutlak jika f( ) f().. Ekstrim lokal Fungsi y f() yang didefinisikan dalam selang tutup [a, b] mencapai nilai maksimum lokal di, a b, jika untuk setiap c d dengan a c d b dan, maka f( ) f(). Sedangkan mencapai minimum mutlak jika f( ) f(). Pada Gambar IV. terlihat bahwa, garis-garis singgung pada titik-titik ekstrim selalu sejajar dengan sumbu-x. Hal ini berarti koefisien arah garis singgung pada titik ekstrim selalu sama dengan. Jika hal ini dikaitkan dengan turunan fungsi pada sebuah titik, maka fungsi y f() memiliki nilai ekstrim di, jika f ( ). Untuk menentukan jenis ekstrimnya, dapat ditelaah dari tanda turunan kedua di titik tersebut, f ( ).. Jika f ( ) >, maka titik ekstrim adalah titik minimum (lokal atau mutlak), dan jika f ( ) <, adalah titik maksimum (lokal atau mutlak).. Jika f ( ), maka harus dilakukan telaahan tanda dari f () di sekitar... Jika f () > untuk <, dan f () < untuk >, maka titik merupakan titik maksimum... Jika f () < untuk <, dan f () > untuk >, maka titik merupakan titik minimum... Jika tanda f () tidak berubah untuk < maupun >, maka titik adalah titik belok.

118 Y Y y f() y f() X X Gambar IV. Titik titik belok fungsi y f() Titik ekstrim dan titik belok biasa dinamakan titik stasioner. Contoh 9. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi y 8! Jawab : y ( ) ( )( ) Ada tiga buak titik stasioner pada, dan. Untuk menelaah jenisnya, tentukan turunan kedua, dan telaahan tanda untuk nilai-nilai tersebut. y Untuk ) y 6 y () () () 6 6 <. Fungsi memiliki nilai maksimum di. Nilai maksimumnya, y 8 y() () () 8(). Koordinat titik maksimumnya, (, ).

119 ) y 6 y () ( ) () 6 98 >. Fungsi memiliki nilai minimum di. Nilai minimumnya, y 8 y( ) ( ) ( ) 8( ) 8. Koordinat titik minimumnya, (-, -8). ) y 6 y () () () 6 7 >. Fungsi memiliki nilai minimum di. Nilai minimumnya, y 8 y() () () 8(). Koordinat titik minimumnya, (, -). Contoh Tunjukan bahwa titik O (, ) merupakan titik belok fungsi y Jawab : y y 6 y () : Kesimpulan tentang jenis titik stasioner harus dilakukan dengan memperhatikan tanda dari y di sekitar. Perhatikan y. Untuk < dan >, y >. Hal ini menunjukan bahwa titik (, ) adalah titik belok. f( ) IV.7. Beberapa Penggunaan Turunan. Garis singgung lengkungan Contoh. Tentukan persamaan garis singgung lengkungan y,, di titik (, )! f( ) g( ).9.9.8

120 Jawab : y ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( )( ) ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Subtitusikan ke y ( ) y () ( ). Jadi persaman garis singgung lengkungan yang dicari adalah, persamaan garis yang melalui titik (, ) dengan koefisien arah. Persamaannya : y () (){ ()} y y Contoh. Selidiki apakah garis y6 menyinggung hiperbola 9 y 6y? Jika menyinggung, tentukan titik singgungnya! Jawab : y6 y Koefisien arah garis : a () Diferensiasi hiperbola d(9 y 6y ) 8d 8ydy d6dy (8 )d (8y 6)dy dy 8 (8 )d (8y 6)dy y d 8y 6 Persamakan a () dengan y () 8 6 6y 6y 7 8y 6 8y 6 Karena 7 8y 6 tidak sama dengan y6, maka garis : y6 tidak menyinggung hiperbola : 9 y 6y. Untuk lebih jelas perhatikan gambar posisi garis terhadap parabola yang telah disajikan di atas. f( ) g ( ) h ( ) ()

121 Contoh. Tentukan persamaan asimtut hiperbola 9 y 6y Jawab : Misalkan persamaannya y a b Sudah ditunjukan, diferensiasi hiperbola 9 y 6y adalah, 8 y. 8y 6 Karena asimtut identik dengan garis singgung sekawan, maka a dapat dipersamakan dengan y, sehingga 8 a 8 8ay 6a 8y 6 f( ) g( ) h( ) i( ) y 8 6a. 8a 8a 8 6a Jika dipersamakan dengan y a b, maka diperoleh persamaan a dan b. 8a 8a Yang jawabanya, a 9, jika a a ± dan b. Sehingga persamaan, jika a asimtutnya y. Nilai stasioner Contoh. Sebuah kertas dengan luas m ingin dibuat poster. Poster tersebut harus terletak cm di bawah sisi atas, cm di atas sisi bawah, cm dari sisi kri, dan cm dari sisi kanan kertas. Tentukan ukuran kertas dan poster dengan luas bidangnya yang maksimum? 7

122 Jawab : Jika dimisalkan panjang kertas : meter dan lebarnya : y meter, dan luas kertas m, maka diperoleh hubungan : y atau y. cm Untuk bidang poster, panjang (,8) m, lebar (y,) m (,) m, sehingga luas bidang poster : L (,8)(,). cm cm cm Mencari luas yang maksimum : L (,8)(,) L (,8) (,) (,8)(,) ( - )(,) (,8)(. -- ),6 (,) (,8)( ),,6 Syarat agar nilai L maksimum, L dan L <,,( 6 ) ( 6 ) 6 domain harus merupakan bilangan real positif). L,6. --, Sehingga ukuran kertas : panjang panjang (,6,,,6, >, untuk setiap. Jadi m, lebar -,8) m dan lebar ( -,) m. 6 (karena memaksimumkan L. m m, dan ukuran poster : 8

123 Contoh. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari sebuah karton tebal berukuran 9 cm. Tentukan ukuran kotak agar volumenya paling besar? Jawab : Jika tinggi kotak cm, maka volumenya v() ( )(9 )() cm 66 6 v () 6 v () ( 9)( ) 9 9 v () Subtitusikan : 9 ke v () v (9) ()(9) 8 >. meminimumkan v() ke v () v () ()() 6 > meminimumkan v() Berdasarkan hasil perhitungan disimpulkan bahwa, tidak ada kotak yang dapat dibuat dengan volume maksimum. Tetapi jika menelaah dari denah pembuatan kotak, harus memenuhi ciri, < < (9) : (),. Karena 9 >,, maka sebagai nilai kritis untuk v() adalah,, dan,. Jika disubtitusikan ke v() v() () 66() 6() ke v() v() () 66() 6(), ke v() v(,) (,) 66(,) 6(,) maka volume maksimum kotak adalah cm, dengan ukuran (.)(9.)() cm 9

124 Contoh 6 Tentukan ukuran selinder dalam kerucut yang memiliki volume terbesar! Jawab : a t r Misalkan tinggi kerucut a dan jari-jari bidang alasnya b, dengan a dan b konstan. Jika tinggi selinder t dan jari-jari bidang alasanya r, maka volumenya v πr t dengan menggunakan kesamaan segitiga a t a b r t ab ar b a t b ar t a b ar a(b r), subtitusikan ke b v πr t sehingga diperoleh v(r) πr a(b r) b v (r) π b a (br r ) v (r) π b a (br r ) (br r ) (r)(b r) r Karena r tidak mungkin dipilih, maka subtitusikan r b b ke t a b ar b t a, sehingga ukuran selinder : tinggi, t a, jari-jari bidang alas, r b. Dengan a dan b, masing-masing tinggi dan jari-jari bidang alas kerucut, yang merupakan konstanta. Gerak benda. Contoh 7. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan persamaan gerak s t 6t 9t, dengan s : panjang jalan yang ditempuh (satuan dalam m), dan t : waktu tempuh (satuan dalam detik). Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah bergerak detik!

125 Jawab : Dalam ilmu fisika, kecepatan adalah rasio jarak tempuh dengan waktu tempuh, dan percepatan rasio kecepatan dengan waktu tempuh. Secara matematis, ds kecepatan : v t - 6.t - 9t - t t 9 dt dv percepatan : a.t - t - 6t dt Sehingga setelah bergerak detik, kecepatan gerak benda : t v t t 9 v() () () 9 m/det percepatannya : t a 6t a() 6() 8 m/det Contoh 8. Sebuah pesawat, terbang berdasarkan persamaan km km ϕ gerak lurus beraturan dengan percepatan tetap km/jam. Pada saat seseorang melihatnya, ketinggian pesawat km dari orang tersebut dengan kecepatan km/jam, dan telah terbang selama menit. Jika setelah 6 menit sudut pandang orang pada pesawat sebesar ϕ, dengan Tg ϕ, maka tentukan persamaan gerak pesawat? Jawab : Dalam ilmu fisika persamaan gerak benda dengan percepatan tetap adalah s(t) at bt c. Kecepatan pada saat t, v(t) s (t) at b, dan percepatannya a(t) v (t) s (t) a. Percepatan pesawat tetap km/jam, jadi a a Setelah terbang menit (, jam), kecepatan pesawat sama dengan km/jam, v(,) (,) b b 9

126 Setelah 6 menit (, jam) sudut pandang menjadi ϕ, dengan Tg ϕ, yang merupakan jarak tempuh pesawat setelah terbang 6 menit (, jam) Subtitusikan, a, b 9 dan t,, ke persamaan gerak s(t) at bt c (,) 9(,) c c, Jadi persamaan gerak pesawat, s(t) t 9t, Y. Sketsa grafik Contoh 9. Gambarkan sketsa grafik fungsi y! Jawab : Titik ekstrim grafik : y y ( ) ( )( ) ¼ y y : y () () () - <, di titik fungsi mencapai nilai maksimum. Nnilai maksimumnya y : y() () () () -¼ y : y () (-¼) (-¼) ½ > di titik -¼ fungsi mencapai nilai minimum. nilai minimumnya -¼ y : y(-¼) (-¼) (-¼) (-¼) (½-½,) (,) f( ) 8 (-¼,- 8 ) (,).7... Sketsa manual Sketsa Mathcad X (½½, )

127 y : y () () () >, di titik fungsi mencapai nilai minimum. Nilai minimumnya y : y() () () () Titik potong dengan sumbu koordinat. dengan sumbu-y : y : y() koordinat titik potong : (, ). dengan sumbu-x : y ( ) D (-) ()(-) >, ada dua jawab real, ( ) ± ± ½ ½ dan ½ - ½ () ± koordinat titik-titik potongnya : (, ), (½ ½, ), (½ - ½, ). Dalil L Hospital Dalil Jika a bilangan riil, f(), g() fungsi memiliki turunan pada setiap order di a, maka untuk semua nilai dalam selang < - a < δ, δ bilangan yang cukup kecil, berlaku hubungan f () Lim a g() f () Lim a g () f () Lim... a g () (k) f () Lim a g (k) () Dalil ini digunakan untuk menghitung limit dari rasio dua fungsi yang menghasilkan nilainilai tak tentu, tetapi bentuk fungsinya sulit untuk diubah menjadi bentuk fungsi yang menghasilkan nilai limit dengan nilai yang bukan nilai tak tentu.

128 Contoh. Hitunglah Lim Sin Sin Jawab : Jika dihitung langsung, maka Lim Sin Sin Sin Sin (nilai tak tentu). Tetapi untuk mengubah bentuk fungsi agar dapat dieliminasi cukup sulit, sehingga harus digunakan dalil L Hospital. Lim Sin Sin ( Sin ) Lim ( Sin ) Cos Lim Cos Cos Cos (bukan nilai tak tentu). Contoh Hitunglah ( ( ) Lim e ) ln( ) Jawab : Jika disubtitusikan pada limit fungsi, maka akan diperoleh bentuk tak tentu.. f() ( ( e ) ) ln( ) f () ( ( e ) ) ln( ) ( ( e ) ) {ln( )} { ( ( e ) ) ( )} ln( ) ( ( e ) ) ( ( e )) ( ) ln( ) ( e ) ( ) ( ( ) ) ( ( e )) {()ln( ) } Jika dihitung f () (){()( ) ( )}, bentuk tentu yang tidak didefinisikan.

129 f () ( ( e )) {( )ln( ) } ( ) ( e ) {()ln( ) ( ) ( ) } ( ) { ( e ) ( )}{( )ln( ) } ( e ) [( ) ln( )( ){ln( )} ] ( ( e )) {() ln( ) ()} ( e ) ( ) {()ln( ) () ( ) ( ) } ( ( e )) {() ln( ) () ln( ) () Jika dihitung f () (){() ( ) ( )() ( ) ( )() ( )} ( ) }, bentuk tentu yang tidak didefinisikan. Jika proses diferensiasi dilanjutkan dengan mensubtitusikan, maka akan diperoleh hasil yang sama. Hal menunjukan bahwa ( ( ) Lim e ) ln( ). 6. Pengunaan dalam ilmu ekonomi Contoh Diketahui fungsi biaya total untuk memproduksi sejenis barang adalah, C(). Hitunglah biaya rata-rata perunit dan marginal jika diproduksi unit barang? Jawab : Berdasarkan definisi Biaya rata-rata perunit, r() C(). d Biaya marginal, m() C() d C ()

130 Subtitusikan ke r() r(). () 6, biaya rata-rata perunit m() m() (), biaya marginal Contoh Manajer penjualan memperkirakan dalam setiap minggu akan terjual unit barang jika dijual dengan harga Rp.,- perunit. Tetapi dalam setiap minggu akan terjadi pula resiko, unit barang harganya akan turun Rp,- perunit. maksimum dalam setiap minggunya! Jawab : Perdefinisi Fungsi harga harga jual penyusutan harga, H() (,), Fungsi pendapatan total barang terjual fungsi harga, P() H(), P (), P (), <, jadi memaksimukan P() Subtitusikan ke P() P() (),() Pendapatan maksimum, Rp...,- Tentukan pendapatan Contoh Jika diketahui persamaan fungsi biaya dan fungsi harga masing-masing, C() dan H() maka bagaimana persamaan untuk pendapatan marginal, biaya marginal, dan keuntungan marginal? Selanjutnya tentukan total produksi yang memaksimumkan pendapatan total! 6

131 Jawab : Fungsi pendapatan, P() H() ( ) Fungsi pendapatan total, p() P() C() ( ) 9 Fungsi pendapatan marginal, M() H () Biaya marginal, m() C () Fungsi keuntungan marginal, K() p () 9 97 K () p () - <, jadi 97 memaksimumkan p() Sehingga total produksi yang memaksimumkan pendapatan adalah 97 unit. IV.8. Dalil nilai tengah Sebenarrnya, dalil ini yang membidani lahirnya ilmu kalkulus, khususnya perhitungan diferensial, tetapi perannya tidak banyak muncul, terutama dalam penyelesaian persoalan kalkulus yang bersifat lanjutan. Perannya lebih banyak muncul sebagai pengantar untuk memunculkan dalil baru, terutama dalam proses pembuktian. Misalnya dalil-dalil tentang kemonotonan dan kekonkavan fungsi, yang melahirkan telaahan tentang titik-titik stasioner fungsi. Dalil Jika y f() fungsi kontinu pada Y selang tertutup [a,b], dan diferensiabel y f() y h() pada selang terbuka (a, b), maka ada paling sedikit satu nilai c, a < c < b, f(b) f(a) a b y g() X sedemikian rupa sehingga f (b) f (a) f (c) b a atau f(b) f(a) f (c)(b a) 7

132 Bukti Perhatikan gambar di atas. Grafik fungsi y g() melalui titik {a,f(a)} dengan {b,f(b)}, sehingga akan memiliki persamaan g() f (a) f (b) f (a) a b a g() f(a) f (b) f (a) ( a) b a g() f(a) f (b) f (a) ( a) b a Sedangkan grafik fungsi y h() sejajar sumbu-y dengan domain {g(),f()}, sehingga h() f() g() f() {f(a) Jika dihitung, ) h(a) h(b), f (b) f (a) ( a)} f() f(a) b a f (b) f (a) ( a) b a ) h () f () f (b) f (a) ( ) f () b a f (b) f (a), untuk a < < b. b a maka hal ini menunjukan bahwa ada c, a < c < b, sedemikian rupa sehinga h (c), atau f (c) f (b) f (a) b a, atau f (b) f (a) b a f (c). Contoh Perhatikan grafik y pada selang Jika menelaah bentuk lengkungannya, pada selang tersebut dapat dibuat paling sedikit dua buah garis singgung. Hal ini berarti ada c dan c, < c < ; < c <, sedemikian rupa sehingga y() y( ) y (c ) y (c ) () ( ) f( ) Karena y() dan y(), maka y (c ) y (c ) 8 () ( ) () ( )

133 y () y (c) c c ± c, c Contoh 6 f( ) 7. Selidiki apakah fungsi y diferensiabel pada domain [8, 7]? Jawab : y y(8), y(7) 9. y y(7) y( 8) (7) ( 8) 9 c c c [8, 7 Maka tidak ada c, 8 < c < 7, sedemikian rupa sehingga y(7) y( 8) (7) ( 8) y (c). Dengan perkataan lain y tidak diferensiabel pada domain [8, 7]. Untuk lebih jelas dapat ditelaah pada gambar di atas. Pada selang [8, 7] tidak dapat digambarkan garis singgung lengkungan, sebab grafik fungsi membentuk perpotongan dua garis. Contoh 6 Tentukan persamaan dan titik singgung lengkungan y pada domain [, ] Jawab : Pada gambar terlihat ada paling sedikit dua titik singgung pada domain [, ]. y() dan y() y() y( ) () ( ) 9 f( )

134 y y (c) c c c c Jika dihitung akan diperoleh, c 7, dan c 7,, yang keduanya ada pada domain [, ]. Jika c, c disubtitusikan ke y, maka akan diperoleh nilai y(c ), dan y(c ),8. Jadi titik-titik singgungnya, (,,,) dengan (,,,8). Sedangkan persamaan garis singgungnya, ) y (,) (){ (,)} y, ) y (,8) (){ (,)} y,6 IV.8. Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi monoton Perhatikan gambar di samping ini. Dalam hal ini, fungsi y f() dikatakan a Y b c d e f g X ) naik pada domain, < a, d < < e, yf() f < < g ) turun pada domain, a < < b, c < < d ) monoton naik pada domain, e < < f, dan > g ) monoton turun pada domain, b < < c. Deskripsi dari ciri fungsi tersebut dapat ditelaah di bawah ini. Definisi Perhatikan fungsi y f() yang didefinisikan pada selang S (bentuknya bisa selang tertutup, terbuka, atau tertutup-terbuka). Fungsi disebut. naik, jika untuk setiap < ;, S, berlaku hubungan f( ) < f( ).. turun, jika untuk setiap < ;, S, berlaku hubungan f( ) > f( ).. monoton kuat, jika fungsi naik saja atau turun saja pada S.

135 . tidak naik, jika untuk setiap < ;, S, berlaku hubungan f( ) f( ).. tidak turun, jika untuk setiap < ;, S, berlaku hubungan f( ) f( ). Untuk menelaah apakah sebuah fungsi merupakan fungsi naik, fungsi turun, fungsi monoton, maka perlu dipahami dalil di bawah ini. Dalil Perhatikan fungsi y f() yangi kontinu pada domain S, dan diferensiabel pada setiap titik dalam (interior point) pada S. Jika. f () > untuk setiap titik dalam pada S, maka fungsi naik pada S.. f () < untuk setiap titik dalam pada S, maka fungsi turun pada S. Bukti : Jika, titik dalam pada S dan y f() diferensiabel pada setiap titik dalam, maka berdasakan dalil nilai tengah, ada c, < c < c, sedemikian rupa sehingga f ( ) f () f (c). Karena >, sehingga jika ) f (c) >, maka f( ) f( ) > atau f( ) > f( ), yang berarti fungsi naik pada S. ) f (c) <, maka f( ) f( ) <, atau f( ) < f( ), yang berarti fungsi turun pada S. Contoh 7 Telaah ciri dari fungsi y Jawab : y y ( )( ) titik nol : ( )( ) dan daerah tanda f( )

136 Pada daerah tanda tersurat, bahwa untuk ) < dan >, y >, atau fungsi naik ) < <, y <, atau fungsi turun Contoh 8 Tentukan domain di mana fungsi y naik atau turun! Jawab : y ( ) y ( ) ( ) titik nol : ( )( X) dan daerah tanda Jadi fungsi ) naik pada domain < < ) turun pada domain < dengan > f ().... IV.8.. Kekonkavan fungsi Y X Konkav ke atas Y X Konkav ke bawah Salah satu segi yang dapat dimunculkan dari fungsi naik dan fungsi turun adalah kekonkavan fungsi. Jika y f() fungsi kontinu pada domain S (a, b), dan ada c, a < c < b, sehingga fungsi turun untuk < c, dan

137 naik untuk > c, maka dikatakan fungsi konkav ke atas di c. Sebaliknya, jika fungsi naik untuk < c, dan turun untuk > c, maka fungsi dikatakan konkav ke bawah di c. Konspsi tersebut dapat dideskripsikan seperti di bawah ini Definisi Perhatikan fungsi y f() yang diferensiabel pada domain S (a, b). Jika y naik pada S, maka fungsi dinamakan konkav ke atas pada S. Sebaliknya jika y turun, maka dinamakan konkav ke bawah pada S. Untuk menelaah apakah sebuah fungsi konkav ke atas atau ke bawah, pahami dalil di bawah ini. Dalil Perhatikan fungsi y f() yang diferensiabel orde dua pada domain S. Jika ) f () > untuk setiap S, maka fungsi konkav ke atas pada S. ) f () < untuk setiap S, maka fungsi konkav ke bawah pada S. Bukti : Jika,, dan titik dalam pada S, dengan ciri < <, dan karena y f() diferensiabel orde dua, maka jika dilakukan diferensiasi terhadap formulasi dalil nilai tengah f ( ) f () f ( ) f ( ) f ( ) (f ( )) (f ( ) f ( )) f ( ) Karena >, sehingga jika ) f ( ) >, maka f ( ) f ( ) >, atau f ( ) > f ( ), yang berarti f () naik, atau f() konkav ke atas pada S. ) f ( ) <, maka f ( ) f( ) <, atau f ( ) < f ( ), yang berarti f () turun., atau f(( konkav ke bawah pada S. Salah satu segi yang dapat dimunculkan dari kekonkavan fungsi adalah didefinisikannya titik infleksi (inflection point) atau titik belok.

138 Definisi Jika fungsi y f() kontinu di c, maka titik (c, f(c)) dinamakan titik inleksi dari grafik fungsi, jika kekonkavan fungsi untuk < c berbeda dengan > c. Arti pada dalil ini, jika untuk < c fungsi konkav ke bawah, maka untuk > c konkav keatas, atau sebalinya jika untuk < c konkav ke bawah, maka untuk > c konkav ke atas. Misal, titik infleksi fungsi y, yang grafiknya di samping kanan ini, adalah (, ).. Contoh 9 Telaah kekonvakan fungsi y Jawab :! f (). y,. ( ) y ( ) ( ) ( ) ( )( y ( ) )() ( )( ( ) ) ( )( titik nol : ( ) daerah tanda :, ) ( )( ) ( ),

139 Berdasarkan daerah tanda, untuk ) < ) dengan < < < < dengan >, y <, fungsi konkav ke bawah., y >, fungsi konkav ke atas. Contoh Tentukan titik inleksi dari fungsi y! Jawab : y y y 9 y > jika < fungsi konkav ke atas y < jika > fungsi konkav ke bawah Jadi menyebabkan fungsi memiliki titik infleksi. f( ) 6 Subtitusikan ke y y() ( ) titik infleksinya : (, ) Kegunaan kekonkavan fungsi adalah untuk menentukan titik ekstrim fungsi. Jika fungsi konkav ke atas di titik c, maka titik tersebut merupakan titik minimum. Sebaliknya jika konkav ke bawah, maka merupakan titik maksimum IV.9. Menggunakan Mathcad untuk menghitung turunan Untuk menghitung turunan fungsi yang bentuknya sangat kompleks, sehingga jika dihitung secara manual memerlukan waktu dan tempat yang cukup banyak, dapat digunakan paket program Mathcad. Misalnya menentukan turunan dari fungsi ( )e y log( ) Sin ().

140 Jika diselesaikan secara manual akan memerlukan waktu dan tempat yang cukup besar, maka untuk kemudahannya dapat digunakan program Mathcad. Proses penyelesaiannya adalah. Jalankan program Mathcad hingga diperoleh tampilan seperti di bawah ini pointer penulisan fungsi. Tuliskan persamaan fungsi yang akan dicari turunannya, dengan terlebih dulu meng klik pointer penulisan fungsi, dan formulasi penulisannya ( )e f() : log( ) Sin () f() ( )e log( ) Sin() pointer penulisan turunan orde satu pointer penulisan turunan orde n 6

141 . Klik pointer turunan (diferensiasi), dan tuliskan formulasi orde turunan yang diinginkan, selanjutnya klik pointer evaluate symbolically. diferensial orde diferensial orde pointer evaluate symbolically sehingga hasil yang diperoleh 7

142 Pada spreadsheet tertulis, turunan orde satu Sin ( ) d e f () (X) ln() ( Sin ( ) e )Cos() d ln( ) ln( ) ln() 9( Sin ( ) e ) ln( ) ln() turunan orde dua d d f () Sin ( ) e ln( ) ln() Sin ( ) e ()Cos() ln( ) ln() Sin ( ) e 8() ln( ) ln() ( Sin ( ) e )Sin() ln( ) ln() ( )Cos() Sin ( ) e ln( ) ln() 6( Sin ( ) e )Cos() ln( ) ln() 8( Sin ( ) e ) ln( ) ln() ( ) 7( Sin ( ) e ) ln( ) ln() ( ) SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN. Gunakan definisi untuk menentukan turunan fungsi-fungsi di bawah ini. (a) y ( ) (b) y (e) y Tg (f) y Sec (g) y Sin Cos. Tentukan y, y, dan y dari fungsi-fungsi di bawah ini (a) y Sin ( ) (b) y Sin( ) ( ) (c) y Sin (d) y (h) y ( )Ctg Sin (c) y ( )Ctg( ) (d) y e (-) log( e ) (e) y (f) y ( ) log( ) 8

143 . Tentukan turunan dari fungsi-fungsi implisit di bawah ini (a) y y (b) y y y y (c) Sin y y Cos (d) Sin ( y) Cos ( y) (e) ( y) ( y ) (f) Tgy yctg. Selidiki apakah fungsi-fungsi di bawah ini memiliki turunan pada domain yang ditentukan? π (a) y( )Sin, pada domain [, ] (b) y π π Cos( π) 9, pada domain (, (c) y 6y, pada domain (,) (d) y yy, pada domain (,) (e) y () 9, pada domain [, ] (f) y e, pada domain (, 7). Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan di bawah ini pada titik yang telah ditentukan! (a) y, di titik (, ) (b) y ( )log, di titik (, 8) (c) y y 9, di titik (, ) (d) y di titik (, 6) (e) y ( )e ( ), di titik (, ) (f) y y, di titik (, ) 6. Tentukan domain di mana fungsi naik, turun, atau monoton! (a) y ( )log( ), (b) y (c) y ( ( ) )e (d) y () e,, (e) y ( )Tg( ) (f) y () e 7. Perhatikan fungsi y f(). Jika f () ada dan kontinu pada domain S, dengan f () untuk pada setiap titik dalam S, maka fungsi seluruhnya naik atau turun pada S. Tunjukanlah! 8. Dengan menggunakan dalil kemonotonan fungsi, jika < < y maka tunjukan bahwa (a) < y (b) > y (c) < y 9. Tunjukan bahwa fungsi kuadrat tidak memiliki titik infleksi, sedangkan fungsi pangkat tiga hanya memiliki satu titik infleksi.. Tentukan dua bilangan positif yang jumlahnya dan hasil kalinya paling besar! ) π

144 . Sepotong kawat dengan panjang 6 m, dipotong dua. Satu potong dibuat bangun bujur sangkar, sedangkan yang satu potong lagi dibuat bangun lingkaran. Berapa ukuran masing-masing potongan agar jumlah luas kedua bangun minimum? Bagaimana jika maksimum?. Buktikan pernyataan berikut ini. Misalkan dimiliki dua buah fungsi y f() dan y g(). Jika f() g() untuk setiap nilai, kecuali untuk c pada selang dimana Lim f () dengan Lim g() ada dan berhingga, maka Lim f () Lim g() c c c c.. Sebuah kerucut dibuat dari bidang berbentuk lingkaran yang memiliki diameter m, dengan menggunting sektor bidang lingkaran, sebesar ϕ. Berapakah besar ϕ, agar diperoleh kerucut dengan volume paling besar?. Tunjukan fungsi y f(), dengan y, merupakan fungsi naik dimana-mana!. Pada pukul 7 pagi sebuah kapal laut berada 6 km arah timur sebuah kapal laut yang lain. Jika kapal yang pertama bergerak dengan kecepatan km/jam, ke arah barat, dan kapal yang kedua km/jam ke arah utara, maka pada pukul berapa kedua kapal tersebut akan berjarak paling dekat? Berapa jarak terdekat tersebut? 6. Sebuah beban dikaitkan pada sebuah pegas yang bergerak sepanjang sumbu-x, dengan kedudukan pada saat t memenuhi persamaan Sin t Cos t. Berapakan jarak terjauh beban dari titik asalnya. 7. Seorang manajer pemasaran memperkirakan unit barang akan terjual pada setiap bulannya, jika harga setiap unitnya $,-. Kuantitas penjualan akan meningkat unit perbulan, jika harga barang diturunkan $,- perunitnya. Tuliskan persamaan fungsi harga dan fungsi pendapatan daam setiap bulannya. Hitunglah nilai ekstrim untuk kedua fungsi tersebut!

145 8. Diketahui sebuah pabrik memiliki m orang pegawai, untuk memproduksi unit barang dalam setiap minggunya. Jika h h() fungsi harga, dan p p().h() fungsi dp pendapatan perminggu, yang juga akan merupakan fungsi atas m, maka dinamakan dm produk pendapatan marginal. Formulasi ini dapat digunakan sebagai acuan untuk memperkirakan pendapatan jika ada penambahan seorang pegawai. Tunjukan bahwa dp d dh (h ). dm dm d 9. Garis dengan persamaan y a b dinamakan asimtut miring untuk lengkungan y f(), jika Lim{f () (a b)} atau Lim{f () (a b)}. Tentukan asimtut miring untuk f(). Buat sketsa grafik fungsi. (a) y. Dalil Rolle Sin (b) y Sin (c) y (d) y (e) y ( )e Jika y f() fungsi kontinu pada domain S [a, b] dan diferensiabel pada domain (a, b), maka untuk f(a) f(b), ada paling sedikit sebuah nilai c, a < c < b, sedemikian rupa sehingga f (c). Tunjukan bahwa dalil ini merupakan hal khusus dari dalil nilai tengah! Tunjukan dimana hal khususnya tersebut?. Jika fungsi kuadrat f() a b c didefinisikan pada domain S [u. v], maka tunjukan c v u memiliki ciri f (c) f (v) f (u)! v u

146 f ( h) f (). Perhatikan konsepsi tentang diferensial, yang menyatakan jika Lim ada h h f(h) f() berhingga. y h yf() dan berhingga, maka f ( h) f () Lim h h df (). d Jika y f(), maka f(h) f() y, dan h, dinamakan operator diferensi. Hal ini menunjukan bahwa diferensial adalah limit diferensi, jika nilainya ada dan d y Tunjukan bahwa jika M konstantan yang memiliki hubungan d M pada selang tutup [c, c ], maka y dy M( ).. Gunakan soal untuk menghitung batas atas kekeliruan diferensial fungsi-fungsi di bawah ini, jika naik dari, menjadi,! (a) y (b) y, (c) y e ( ) (d) y Sin(), < < π. Diketahui fungsi y f() dan y g(), dengan f(), f (), f (), g(), g (), g (). Hitunglah di (a) d ( f () g ()) d d d (b) ( f ()g()) d d (c) ( fog() ) (d) d d f () g ()

147 BAB V PERHITUNGAN INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Perhatikan Gambar V.. Selang [a, b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun dua macam persegi persegi panjang. Persegipersegi panjang yang pertama seluruhnya berada di bawah grafik y f(). Sedangkan yang kedua meliput grafik y.(). Y X a... n- b n Gambar V.. Konsepsi integral y f() X Jika disajikan : m i : luas persegi panjang yang seluruhnya berada di bawah grafik, M i : luas persegi panjang yang memuat grafik, maka b a m i f( i ), i,,..., n, n M i f( i ) b a, i,,..., n, n Dalam hal ini, f( )f(a) dan f( n ) f(b). Selanjutnya, tulis m(n) i n n m i, M(n) i M i. Jika nilai Limm(n) dan Lim M n n n ada dan berhingga, maka Lim m Lim M n n n n b a f ()d. b Formulasi a a dan batas atas b. f ()d dinamakan integral tentu dari fungsi y f() dengan batas bawah Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga formulasinya menjadi f () d, maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari fungsi y f(). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu

148 hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi f() pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand. V.. Fungsi Primitif Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial. Sebab untuk keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral terlibat operator diferensial, d. Definisi Fungsi y F() dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y f(), jika berlaku hubungan untuk setiap pada domain y f(). df() d() f() Sebagai contoh, fungsi primitif dari y Cos adalah y Sin, sebab dsin() d() Cos Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil berikut ini. Dalil Jika y f() fungsi kontinu pada domain S [a, b], dan y F() fungsi primitif dari y f(), maka b a f ()d b F () F(b) F(a) a Bukti Perhatikan Gambar V.. Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai a < < <... < n- < n b,

149 sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh formulasi F(b) F(a) F( n ) F( n- ) F( n- )... F( ) F( ) F( ) { F( i ) F( i )} Karena y F() fungsi primitif dari y f(), yang berarti F () f(), maka y F() merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil nilai tengah, ada i, i- < i < i, sedemikian rupa sehingga F( i ) F( i- ) f( i )( i i- ), atau F(b) F(a) f ( i )( i ) i, sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n, maka { F(a) } Lim F(b) n n n i Lim f ( i )( i i ). n i Karena F(b) F(a) sebuah konstanta, maka Lim{ F(b) F(a) } n n i F(b) F(a), ada dan merupakan nilai berhingga. Sehingga n Lim f ( i )( ) juga ada dan berhingga. n i i i Berdasarkan konsepsi integral, maka n b Lim f ( i )( i i ) n i a f ()d F(b) F(a). Contoh Tunjukan bahwa d Jawab : Fungsi primitif f() adalah F(), sebab d d.. -. Karena F(), maka F() (), sehingga d. F() ()

150 Contoh π Hitunglan Cos ()d! Jawab : Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f() Cos, adalah F() Sin, sehingga F( π) Sin( π) f() Sin() π Cos ()d Sin( π) Sin() Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a b dengan b pada integral tentu a maka f ()d dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk f () d, f () d F() k, dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan. b Sebelumnya sudah dikemukan, a b sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa a f ()d adalah sebuah konstanta, sedangkan f () d f ()d F(b) F(a), yang merupakan sebuah konstanta, dan f () d F() k, sebuah bentuk fungsi. 6

151 Contoh Hitunglah ( ) d, jika untuk nilainya sama dengan! Jawab : Fungsi primitif dari f() ( ), adalah F(), sehingga ( ) d k Subtitusikan pada hasil integrasi k k Sehingga ( ) d Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika fungsi diferensiabel, maka integrabel. Sebagai contoh fungsi y. Fungsi ini integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (, ). Hal ini dapat ditelaah pada fakta, d f ( h) f () Lim, sedangkan h h f ( h) f () Lim tidak ada. h h K, >. Yang berarti integralnya ada, tetapi K, < f ( h) f () Lim. Yang berarti h h 7

152 V.. Dalil dasar tentang integral Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang integral.. kd k c, k, c : konstanta Bukti d d ( k c) k - k. n d Bukti n n k ; n, k : konstanta d n d n K n (n)(n)- n. d ln k ; k : konstanta Bukti d d ( ln k). e d e k ; k : konstanta Bukti ( e k) d d e e. Sin () d Cos() k, dan Cos () d Sin() k ; k ; konstanta Bukti Sudah disampaikan sebagai contoh pada definisi fungsi primitif 8

153 f d f () d g () d 6. ( () g() ) Bukti ( f ( i ) g( i ))( ) n n i i ( f ( i ))( i i ) Lim n ( f ( i ) g( i ))( ) n i i n ( g ( i )( i i ) n n Lim ( f ( i ))( ) Lim ( g( i ))( ) i i n i i n Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga, f d f () d g () d maka ( () g() ) 7. kf () d k f () d Bukti Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf() sebagai perjumlahan atas k buah fungsi f() V.. Cara menghitung sebuah integral Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.. Integral sebagai sebuah antidiferensial d Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa ( f () ) d pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan 9 d f(). Dari

154 sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk integrandnya cukup sederhana.. Metode subtitusi Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya a) Subtitusi aljabar Contoh Hitunglah ( ( )e ) d Jawab : Subtitusikan y dy ( )d d dy ( ( )e ) y dy d ( )e Contoh Hitunglah ( )Tg( ) d e y dy e y k e (² - ) k Jawab : Subtitusikan y ( ) dy ( )d d Dengan menggunakan dalil 7, dy dy dy ( )Tg( ) d ( )Tg(y) (Tg(y) dy Sin(y) } dy Cos(y) Subtitusikan z Cos(y) dz Sin(y)dy Sin(y) } dy Cos(y) dz z ln(z) k ln{cos(y)} k ln{cos( ) k

155 Contoh 6 Hitunglah Sec () d! Jawab : Sec() Cos() Cos() Cos () Cos() Sin () Subtitusikan y Sin() dy Cos()d Cos() dy Sehingga Sec () d d Sin () y Karena y ( y)( y) ( y), dengan menggunakan dalil 6, 7, dan, ( y) dy maka y dy y dy. y dy Menghitung y Subtitusikan z y dz dy, dy y dz ln(z) K ln(y) k ln{sin()} k z dy Menghitung y Subtitusikan z y dz dy dy dz y ln(z) k ln(y) k ln{sin()} k z

156 Sehingga Sec () d [ln{sin()} k ] [ln{sin()} k ] Sin() ln{sin()} ln{sin()} k ln Sin() k, dengan k k k. b) Subtitusi goniometri Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk a, a, a, a, a, atau a ; a. Bentuk subtitusinya, ) untuk bentuk a atau a asin(y) d acos(y)dy, y arc Sin, atau a acos(y) d asin(y)dy, y arc Cos a Contoh 7 Hitunglah d Jawab : Subtitusikan Sin(y) d Cos(y)dy sehingga y arc Sin

157 d Sin(y) Cos(y)dy Sin (y) Sin(y) Cos(y)dy Cos(y) dy Sin(y) dy ( Sin(y) ) dy Cos(y) y k CosarcSin arc Sin k ) untuk bentuk a atau a atg(y) d asec (y)dy Contoh 8 y arc Tg a Hitunglah 9 d Jawab : Subtitusikan Tg(y) d Sec (y)dy y arc Tg 9 d Tg(y) 9 9Tg Sec (y) (y)dy Sec (y) dy Tg(y)Sec(y) Sec(y) dy Tg(y) dy Sin(y) Sin(y) Sin(y) dy Sin (y) dy Cos (y) Subtitusikan z Cos(y) dz Sin(y)dy Sehingga

158 Sin(y) dy Cos (y) dz z dz z dz z ln(z) ln(z)k z ln z Cos(y) k ln Cos(y) k 9 d Cos(y) { ln Cos(y) CosarcTg k} ln 6 CosarcTg k ) untuk bentuk a atau a asec(y) d asec(y)tg(y)dy Contoh 9 y arc Sec a Hitunglah d Jawab : Subtitusikan Sec(y) d Sec(y)Tg(y)dy y arc Sec Sec (y) d Sec(y)Tg(y)dy 8Sec (y) Sin (y) dy Cos(y) Sin(y) ( Cos (y)) Cos(y) dy Tg (y) Tg(y) dy Sec (y) Subtitusikan z Cos(y) dz Sin(y)dy Sehingga

159 ( Cos (y)) Sin(y) Cos(y) dy ( z ) z dz dz z zdz ln(z) z k ln(cos(y)) Cos (y) k d {ln(cos(y)) Cos (y) k} ln(cos(y)) Cos (y) k ln Cos arcsec Cos arcsec k c) Subtitusi jika integrand memiliki bentuk kuadratik a b c. Dalam hal seperti ini, proses yang harus dilakukan ) Merubah bentuk kuadratik a bc menjadi perjumlahan dua suku kuadrat (A) B, sebagai berikut a bc a( b c b ) a{( ) c b a a a a a b } a{( ) a ac b a } ) Subtitusikan y b a dy d y b a Contoh Hitunglah d! Jawab : Berdasarkan paparan yang telah dikemukakan,

160 6 {( () ) ( ) () ) ( ()() {( ) } Subtitusikan : y dy d y d dy y y dy y y dy y 8 7 Menghitung integral dy y y Subtitusikan z y dz ydy dy y y z 9 dz dz 9 z ln 9 z k ln 9 y k ln 9 k ln 6 7 k Menghitung integral dy y Subtitusikan y Tg(z) dy Sec (z)dz z arc Tg y Sehingga

161 y dy 9 Tg Sec (z)dz 9 (z) Sec (z) dz 9 Sec (z) dz y z k arc Tg k arc Tg k arc Tg 6 k d 7 ln arc Tg 6 k 7 7 ln arc Tg 6 6 k d) Subtitusi rasionalisasi Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk akar, n a b, n >. Prosesnya, subtitusikan y n a b, sehingga y n a b y n b a d a n y (n) dy Contoh Hitunglah d! Jawab : Berdasarkan paparan, y y d y dy d ( y ) (y)(y dy) 6 y dy 6 ( y y ) dy 6 y dy y dy 7 y 7 y k 7 ( ) ( ( )) 7 ( ) k ( ) ( ) k 7 7

162 . Integral Parsial Konsepsinya f ()dg() f()g() g ()df (). Dalam hal ini bentuk integral g ()df () harus lebih sederhana dari f ()dg(). Contoh Hitunglah ln() d! Jawab : f() ln() df() d dg() d g() d (konstanta k tidak dituliskan sebab dapat dikumulatifkan pada perhitungan terakhir) ln() d {ln()}( ) d ln() d ln() k (ln() ) k Contoh Hitunglah ( ln() ) Jawab : Sin d! Subtitusikan : ln() y e y, dy d Sehingga ( ln() ) Sin d Sin(y)e y dy f(y) Sin(y) df(y) Cos(y)dy e y Sin(y) dy d dy e y dy dg(y) e y dy g(y) e y dy e y 8

163 e y Sin(y) dy {Sin(y)}{e y } { e y }Cos(y) dy e y Sin(y) e y Cos(y) dy Menghitung integral e y Cos(y) dy f(y) Cos(y) df() Sin(y)dy dg(y) e y dy g(y) e y dy e y e y Cos(y) dy {Cos(y)}{e y } { e y }{ Sin(y}} dy e y Cos(y) e y Sin(y} dy Sehingga e y Sin(y) dy e y Sin(y){ e y Cos(y) Sin(y} dy e y Sin(y) dy e y Sin(y) e y Cos(y) e y } e y Sin(y)e y Cos(y) e y Sin(y} dy ( ln() ) Sin d e y Sin(y) dy { e y Sin(y) e y Cos(y)} k. Integral partisi Metode ini digunakan jika integrandnya merupakan fungsi pecahan aljabar (fungsi rasional). Proses yang harus dilakukan, ) Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka lakukan proses pembagian, sehingga diperoleh suku sisa. ) Pada suku sisa, jika penyebut dapat difaktorkan, maka partisi suku sisa, selanjutnya lakukan proses kesamaan pada pembilang. ) Lakukan perhitungan integral berdasarkan hasil partisi. Contoh. Hitunglah d! Jawab : Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, maka proses perhitungannya ) Melakukan pembagian sehingga diperoleh suku sisa ( ) 9

164 ) Mempartisi suku sisa ( )( ) A B A( ) B( ) ( )( ) (A B) (A B) ( )( ) Pada kesamaan ini, A B dan A B. Jika diselesaikan, akan diperoleh A, B, sehingga ) Proses integral partisi d ( ) d d d d d d d ln() ln() k Contoh Hitunglah d! Jawab : Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, dengan penyebutnya tidak dapat difaktorkan, sebab diskriminannya, D <, maka proses perhitungannya ) Melakukan pembagian untuk mendapatkan suku sisa 6

165 ) Mempartisi bentuk integral d d d d d d d d d d Menghitung integral d d d () Sajikan bentuk kuadrat ( ) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat ( ) {( ) 6 9 } {( ) 6 7 } {( ) 7 } () Subtitusikan, y dy d y () d dy 7 y y 7 dy y arc Tg k 7 arc Tg k 7 6

166 6 Menghitung integral d () Sajikan bentuk kuadrat ( ) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat ( ) {( ) 6 9 } {( ) 6 7 } {( ) 7 } () Subtitusikan, y dy d y () d dy 7 y y dy 7 y y dy 7 y 8 Menghitung integral dy 7 y y Subtitusikan y 7 y 6 7 z dz ydy dy 7 y y dz z ( ) { } z ln k ln 6 7 y k

167 Menghitung integral y 7 dy Subtitusikan y y 7 dy 7 7 Tg(z) dy Sec (z)z 7 Sec (z) dz 7 7 Tg (z) Sec (z) dz 7 Sec (z) 6 Sehingga dz z arc Tg y 7 d 7 ln y y arc Tg 6 7 k ln 7 6 arc Tg 7 k Sehingga 9 ln arc Tg k d 9 { ln arc Tg } {arc Tg } k 7 9 ln arc Tg k

168 Contoh 6 Hitunglah Jawab : d! Derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, dan penyebut dapat difaktorkan atas tiga faktor, sehingga proses perhitungannya ) Mempartisi integrand ( ) A B ( )( ) C A( )( ) B( ) C( ) ( )( ) A A A B B C ( )( ) C (A B C) ( A B C) ( A) ( )( ) Dari kesamaan diperoleh, A B C, A B C, A. Jika dihitung, maka : A, B, C ) Integral partisinya d d d d ln() ln( ) ln() k 6

169 Contoh 7 Hitunglah d! Jawab : Karena derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, maka proses perhitunganya ) Mempartisi bentuk integrand ( )( ) A B C ( ) A( ) B( )( ) C( ) ( )( ) A( ) B( ) C( ) ( )( ) (A B) (A B C) (A B C) ( )( ) Dari kesamaan disimpulkan, A B, A B C, A B C. Jika dihitung, diperoleh A, B, C 9 9 ) Integral partisinya d 9 9 d 6 9 d 9 ( ) d 9 9 d 6 9 d 9 ( ) d ln( ) ln( ).( )( ) k ln( ) ln( ) 9 9 k 9( ) ln( ) 6( ) ln( ) 7 k 9( ) 6

170 . Integral fungsi goniometri Mengintegralkan fungsi-fungsi goniometri pada umumnya tidak sesederhana seperti pada fungsi-fungsi aljabar, karena adanya pengulangan bentuk fungsi. Sehingga untuk menghitung beberapa bentuk integral fungsi goniometri, perlu telaahan secara khusus. Bentuk-bentuk tesebut diantaranya : ) Sin n () d atau Cos n () d Metode penyelesaiannya dengan memperhatikan apakah n bilangan genap atau ganjil. a) Jika n bilangan ganjil, maka () Ubah bentuk Sin n () menjadi Sin n- ()Sin(), dan Cos n () menjadi Cos n- ()Cos() () Gunakan hubungan Sin () Cos () Sehingga diperoleh bangun Sin k ()Cos() atau Cos k ()Sin() Contoh 8 Hitunglah Sin 7 () d Jawab Sin 7 () d Sin 6 ()Sin() d ( Sin ()) ( Cos () ( Cos ()) ( Cos ()) ) Sin() d Sin() d Subtitudikan Cos() y dy dcos() Sin()d Sin 7 6 () d ( y y y ) dy Cos() Cos () Cos () 7 Cos 7 () k y y y 7 y 7 k ( Cos ()) Sin() d b) Jika n genap maka () Ubah bentuk Sin n () menjadi (Sin ()) n/, dan Cos n () menjadi (Cos ()) n/ () Gunakan hubungan Sin () ( Cos()), Cos () ( Cos()) Sehingga diperoleh bangun Sin k ()Cos() atau Cos k ()Sin() 66

171 Contoh 9 π 6 Hitunglah Cos ()d! Jawab Cos 6 () (Cos ()) ( ( Cos())) 8 ( Cos() Cos () Cos ()) 8 8 Cos() 8 ( ( Cos())) 8 Cos ()Cos() 8 8 Cos() 8 ( ( Cos())) 8 ( Sin ())Cos() Subtitusikan y dy d d dy Sehingga y, π y π π π 6 Cos ()d dy 8 π Cos(y) dy 8 π 6 dy π 6 Cos(y) dy π Cos(y) 8 dy π Sin (y)cos(y) dy π π π π π y Sin (y) y Sin (y) Sin(y) π (y)d 6 ( π ) 6 (Sin( π) Sin()) ( π ) (Sin( π) Sin()) 6 (Sin( π) Sin()) (Sin ( π) Sin ()) Sin ( Sin(y) ) 67

172 m n ) Sin ()Cos () d Menyelesaikan bentuk integral seperti ini, identik dengan bentuk ), yaitu a) Sajikan Sin m () Sin m- ()Sin(), jika n ganjil, dan Sin m () (Sin ()) m/, jika m genap analog Cos() n Cos() n- Cos(), jika n ganjil, dan Cos n () (Cos ()) n/, jika n genap b) Gunakan hubungan Sin () Cos (), jika m, atau n, atau keduanya ganjil, atau Sin () ( Cos()), Cos () ( Cos()), jika m dan n genap. Sehingga diperoleh bangun Sin k ()Cos() atau Cos k ()Sin() Contoh Hitunglah Sin ()Cos Jawab : () d! Sin ()Cos () Sin ()Sin()Cos () ( Cos ())Sin()Cos () (Cos () Cos 6 ())Sin() sehingga 6 Sin ()Cos () d (Cos () Cos ())Sin() d Cos ()Sin() d Cos 6 ()Sin() d subtitusikan Cos() y dy dcos() Sin()d Sin ()Cos () d y dy y 6 dy y 7 y 7 K Cos () 7 Cos 7 () k Contoh Hitunglah Sin 6 ()Cos () d! Jawab : Sin ()Cos 6 () {Sin ()} Cos 6 {Cos ()} Cos 6 () {Cos ()Cos ()}Cos 6 () Cos 6 ()Cos 8 ()Cos () {Cos ()} {Cos ()} {Cos ()} [ { Cos()}] [ { Cos()}] [ { Cos()}] 68

173 8 {Cos()Cos ()Cos () 8 {Cos()6Cos ()Cos ()Cos ()} {Cos()Cos ()Cos ()Cos ()Cos ()} Cos() Cos () Cos () Cos () Cos () 6 6 sehingga Sin 6 ()Cos () d d Cos() d Cos () d 6 Cos () d Cos () d subtitusikan y dy d d dy Sin 6 ()Cos () d Sin(y) 6 Cos (y)cos(y) dy {Cos (y)} dy 6 {Cos (y)} Cos(y) dy 6 Sin() { Sin (y)}cos(y) dy [ { Cos(y)}] dy 6 6 { Sin (y)} Cos(y) dy 6 Sin() {Sin(y) Sin (y)} 6 6 { Cos(y) Cos (y) dy 6 { Sin (y) Sin (y)}cos(y) dy k Sin() Sin() Sin () {ysin(y) { Cos(y)} dy } {Sin(y) Sin (y) Sin (y)} k 6 69

174 Sin() Sin() Sin () {Sin() y Sin(y)} Sin() Sin () Sin () k 6 96 Sin() Sin() Sin () Sin() Sin(8) Sin() Sin () Sin () k 6 96 Sin() Sin() Sin(8) Sin () Sin () k ) Tg n () d atau Ctg n () d Cara menyelesaikan integral seperti ini adalah dengan menuliskan () Tg n () Tg ()Tg n- (), Ctg n () Ctg ()Ctg n- (), () Menggunakan hubungan Tg () Sec (), Ctg () Cosec (). Sehingga diperoleh bangun Tg k ()Sec (). Contoh Hitunglah Tg 6 () d! Jawab : Tg 6 () Tg ()Tg () {Sec () }Tg () Sec ()Tg () Tg () Sec ()Tg () Tg ()Tg () Sec ()Tg () {Sec () }Tg () Sec ()Tg () Sec ()Tg () Tg () Sec ()Tg () Sec ()Tg () Sec () subtitusikan y Tg() dy Sec ()d, sehingga Tg 6 () d y dy y dy dy d Tg () Tg () Tg() k. 7

175 Soal Hitunglah Ctg 7 () d Jawab : Ctg 7 () Ctg ()Ctg () {Cosec () }Ctg () Cosec ()Ctg () Ctg () Cosec ()Ctg () Cosec Ctg() Ctg() subtitusikan y Ctg() dy Cosec ()d, sehingga Ctg 7 () d dy y ydy () d Ctg Ctg () Ctg () ln{sin()} k Catatan : Cos() Ctg () d d Sin() dsin() Sin() ln{sin()} k m n ) Tg ()Sec () d atau Ctg m ()Co sec n () d Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini perlu diperhatikan ciri dari m atau. a) Jika n genap dan m sembarang, maka tulis Sec n () Sec ()Sec n- () { Tg ()}Sec n- (), Cosec n () Cosec ()Cosec n- () { Ctg ()}Cosec n- () sehingga diperoleh bangun Tg k ()Sec () Contoh Hitunglah Tg ()Sec () d! 6 Jawab : Tg ()Sec 6 () Tg (){ Tg ()}Sec () Tg ()Sec () Tg 7 ()Sec () Tg (){ Tg ()}Sec () Tg 7 (){ Tg ()}Sec () Tg ()Sec () Tg 7 ()Sec () Tg 7 ()Sec () Tg 9 ()Sec () Tg ()Sec () Tg 7 ()Sec () Tg 9 ()Sec () Subtitusikan y Tg() dy Sec ()d, sehingga 6 Tg ()Sec () d y dy y 7 dy y 9 dy 6 Tg 6 () Tg 8 () Tg () k 7

176 b) Jika m ganjil dan n sembarang, maka tulis Tg m () Tg ()Tg m- () {Sec () }Tg m- () Ctg m () Ctg ()Ctg m- () {Cosec () }Ctg m- () sehingga diperoleh bangun Cosec k (){Ctg()Cosec()} Contoh 7 Hitunglah Ctg ()Co sec Jawab : () d! Ctg 7 ()Cosec () {Cosec }Ctg ()Cosec () {Cosec () }Ctg ()Cosec (){Ctg()Cosec()} {Cosec 6 () Cosec ()}{Cosec () } {Ctg()Cosec()} {Cosec 6 () Cosec ()}{Cosec () Cosec () }{Ctg()Cosec()} {Cosec () Cosec 8 () Cosec 6 () Cosec ()}{Ctg()Cosec()} Cosec (){Ctg()Cosec()} Cosec 8 (){Ctg()Cosec()} Cosec 6 (){Ctg()Cosec()} Cosec (){Ctg()Cosec()} subtitusikan y Cosec() dy Ctg()Cosec()d sehingga 7 Ctg ()Co sec () d y dy y 8 dy y 6 dy y dy Cosec () Cosec 9 () Cosec 7 () Cosec () k 7 ) Sin (m)sin(n) d atau Sin(m)Cos(n) d atau Cos (m)cos(n) d. Untuk menyelesaikan integral seperti ini gunakan hubungan Sin(m)Cos(n) [Sin{(mn)} Sin{(mn)}] Sin(m)Sin(n) [Cos{(mn)} Cos{(mn)}] Cos(m)Cos(n) [Cos{(mn)} Cos{(mn)}] 7

177 Sehingga diperoleh bentuk Sin(k) atau Cos(k) Contoh 6 Hitunglah Sin ()Sin(6) d! Jawab : Sin()Sin(6) Cos() Cos()} Cos() Cos() sehingga Sin ()Sin(6) d Cos () d Cos () d Sin() Sin() k 6. Integral fungsi rasional dengan variabelnya berpangkat rasional Untuk menyelesaikan integral seperti ini subtitusikan y n, dengan n merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pangkat. Contoh 7 Hitunglah Jawab : d! Subtitusikan y d y dy, y Sehingga d 6 y y dy 8 y y 7 y y dy 8 y y 8 y y dy y 9 y y y y y y dy y y 9 dy y dy y dy ydy y dy y y dy y 7

178 6 y y y 6y ln(y y ) dy y 6 6 ln( y -) dy y ln( y -) dy y Menghitung integral y dy y : y y y (y )(y y y y ) y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Sehingga y dy y dy y y y y dy y y y y y dy y y y y ln(y) ln(y y y y y) dy y y y y ln( ) ln( y ) dy y y y y ln( ) ln( y 6 ) dy y y y y Karena integral y dy y y y y jika dihitung secara manual, tidak sederhana, maka diselesaikan dengan menggunakan program Mathcad. 7

179 7 Hasilnya : dy y y y y y ln{y ( )y} ln{y ( )y} Arctg ( y Arctg ( y ln{y ( )y} ln{y ( )y} Arctg ( y Arctg ( y ln{ ( ) } ln{ ( ) } Arctg ( Arctg ( ln{ ( ) } ln{ ( ) } Arctg ( Arctg ( ln{ 6 ( ) } ln{ 6 ( ) } Arctg ( Arctg ( ln{ 6 ( ) } ln{ 6 ( ) } Arctg ( Arctg (

180 Sehingga d ln( -) [ ln( ) ln( 6 ) { ln{ 6 ( ) } ln{ 6 ( ) } Arctg ( Arctg ( ln{ 6 ( ) } ln{ 6 ( ) } Arctg ( Arctg ( }] Metode mengintegralkan fungsi seperti yang sudah disajikan merupakan metode yang menghasilkan nilai eksak, dan pada umumnya dapat dilakukan secara manual Ada metode lain yang dapat dilakukan secara manual, tetapi hasilnya biasanya nilai pendekatan, yaitu dengan mengubah fungsi yang diintegralkan dalam bentuk deret. 76

181 V.. Beberapa penggunaan integral. Luas bidang datar Sedangkan luas bidang yang dibatasi oleh dua grafik fungsi y f() dengan y g() seperti pada gambar di samping kanan ini, sama dengan Y Xa Xb y f() Gambar V. Bidang di bawah grafik X Jika menelaah konsepsi dari integral, maka pada integral tentu dari sebuah fungsi adalah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu-x, dan garis-garis batas integral. Sehingga luas bidang yang dibatasi oleh grfik fungsi y f(), sumbu- X, garis X a, dengan X b, seperti di samping kiri ini, sama b dengan L a Y f ()d. L { () g() } f d. Karena nilai ini bisa negatif, sedang L>, maka formulasi disajikan oleh L { () g() } f d. (,y ) y f() y g() X (,y ) Gambar V. Bidang diantara dua grafik 77

182 Contoh 8 Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y, sumbu-x, garis X dengan X! f( ) Luas bidang di bawah sumbu-x,,7 L ( ) 78 Jawab : Grafik fungsi jika digambarkan dengan Mathcad adalah seperti di samping kiri ini. Karena bidang terbagi oleh sumbu-x, maka luas bidang harus dihitung berdasarkan bidang yang ada di atas sumbu-x dengan di bawah sumbu-x. Jika dihitung dengan menggunakan Mathcad, absis titik potong grafik dengan sumbu-x yang merupakan bilangan real, adalah,7 d ( 6,7 ) 6 { 6 (,7) 6 (,7) (,7) (,7)} { 6 (-) 6 (-) (-) (-)},966 (,7) 7,76 Karena luas bidang harus merupakan bilangan posistif, jadi yang digunakan : L 7,76 Luas bidang di atas sumbu-x L ( ), d ( 6 6 ),7 { 6 () 6 () () ()} { 6 (,7) 6 (,7) (,7) (,7),7 (-,966) 8,8 Sehingga luas bidang yang dicari, L L L 7,76 8,8 66,99 (satuan luas)

183 Contoh 9 Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y, dengan y e! Jawab : Jika digambarkan dengan mengunakan program Mathcad, maka sajian grafik kedua fungsi adalah seperti di samping kanan. Absis titik potong kedua grafik, dihitung berdasarkan persamaan e e Jika dihtung dengan Mathcad, diperoleh nilai e 8e dan e 8e Dari gambar, seluruh bidang berada di atas sumbu-x, sehingga luas bidang yang dicari, 8e L ( e ( ) e e 8e d g ( ) h( ) (e e ) 8e 8e e e e e 8e 8e e 8e e 8e e e e 8e 8e e 8e e 8e e 6, (satuan luas) 79

184 . Persamaan gerak benda Dalam ilmu fisika, jika a(t) percepatan benda pada saat t, maka persamaan kecepatan pada saat t, v(t) a (t) dt Contoh., dan persamaan lintasan gerak benda, s(t) v (t) dt. Sebuah benda bergerak dengan percepatan awal konstan m/detik. Hitunglah jarak tempuh setelah, jam dari titik awal, jika pada saat akan bergerak berjarak km dari titik awal, dan kecepatan setelah, jam tersebut sama dengan m/detik? Jawab : Persamaan gerak benda, v(t) dt t K, t,(jam) (menit) 8(detik) v(t) : v(8) (m/detik) (8) K (m/detik) K v(t) t Persamaan gerak lintasan, s(t) v (t) dt t dt t t k, t (detik) s(t) : s() (km) (m) () () k (m) k t,(jam) 8(detik) s(t) : s(8) (8) (8) (m)..6 (m). (km) Jarak tempuh setelah bergerak, jam, adalah. km. 8

185 . Benda putar Y y f() y d Q y c P X a b Gambar V. Benda putar y f() () sumbu putar, X; () sumbu putar, Y Perhatikan Gambar V.. Bangun- adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang dibatasi oleh grafik y f(), garis a, b, dan sumbu-x, diputar, dengan sumbu putar sumbu-x. Sedangkan bangun-, adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang dibatasi oleh grafik y f(), garis a, dan y d, diputar, dengan sumbu putar sumbu-y. Pada benda putar ini ada dua hal yang dapat dipelajari, yaitu luas selimut (L) dan volume benda (V). Yang dimaksud dengan selimut benda putar, adalah bidang putar yang diperoleh sebagai hasil pemutaran bagian grafik PQ. Tidak termasuk bidang-bidang lingkaran penutupnya. Jika L X dan V X, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun- (benda putar dengan sumbu putar sumbu-x), maka dan b π L X f () ( f ()) a d V X b π a f ()d 8

186 Untuk menghitung luas selimut dan volume benda putar bangun- (benda putar dengan sumbu putar sumbu-y), dapat digunakan analoginya, dengan proses sebagai berikut. Ubah bentuk fungsi y f() menjadi g(y).. Jika L Y dan V Y, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-, maka dan d π L Y g(y) ( g (y)) c dy V Y d π c yg(y)dy Contoh Hitung luas selimut dan volume benda putar, yang dibangun dengan memutar bagian grafik fungsi y, antara titik (,) dengan (,)! f( ) sehingga luasnya : Jawab : Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-x. f() f (). L X π ( ) π d 9 Jika disubtitusikan u 9 du 6 d u u d π L X 9 d udu 6 π u 8 π π 7 9π 7 (satuan luas) 8

187 dan volumenya : V X π ( ) d π d π π 6π (satuan volume) Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-y. y y g(y) g (y) y sehingga luas dan volumenya : L Y π y y dy π y y dy π 9 y π 9y dy y Jika disubtitusikan u y du y y u dy y 9y 9y dy y u 6 π 6 L Y 9y dy π 9 u y du Jika disubtitusikan u tg(w) du sec (w)dw, w arctg(u) u w arctg() (radial) u 6 w arctg( 6 ),9 (radial) Sehingga 8

188 6 L Y π 9 u du tg (w) sec (w)dw sec,9 π π, 9 (w)dw π, 9 sin (w) cos cos (w) (w) dw π, 9 tg (w) sec (w)dw π, 9 sec (w)dw π, 9 tg π 9 (w)d{tg(w)} { } 6 u { } 6 u π π, 9 d{tg(w)} 8 π π tg (w),9 π { tg(w) }, 9 π 6 π(8 ) (satuan luas) V Y π y(y )dy π y dy π y 6π π 7 (satuan volume) V.. Menggunakan Mathcad untuk menghitung integral Pada umumnya perhitungan integral tidak lebih mudah dari perhitungan diferensial. Dalam perhitungan diferensial, bagaimanapun kompleksnya persamaan fungsi yang akan didiferensialkan, masih dapat dilakukan secara manual. Hanya mungkin, memerlukan waktu yang cukup lama. Biasanya makin kompleks bentuk fungsi yang akan didiferensialkan, makin kompleks pula persamaan fungsi turunannya. Perhatikan saja contoh pada IV.9. Dalam perhitungan integral, jika semua metode integrasi seperti yang telah dipaparkan, tidak dapat digunakan, maka cara yang mudah adalah dengan menggunakan paket program Mathcad. Misalnya, menghitung ( ) d, yang proses perhitungan jika log( ) menggunakan Mathcad, adalah 8

189 . Jalankan program Mathcad dan tutup RESOURCE CENTRE 8

190 . Tulis persamaan fungsi integradnya.. Klik pointer integral tak tentu. 86

191 . Pada kotak hitam kecil di depan huruf d, tulis f(), dan di belakangnya huruf. Klik pointer pada kotak Evaluate... 87

192 6. Klik di luar kotak formulasi integrasi 7. Hasil yang diperoleh ( ) d log( ) ln ln( ) ( ) ln ln( ) ln( ) ln( ) ( ) 9 ln 8 ln ln( ) ln( ) ( ) ( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ) 6 ln ln ln( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ( ) Ei(, ln( ) ) K ln ln ( ) Ei(, ln( ) ) ln ln ln ( ) ( ) ln ln ( ) Ei(, ln( ) ) ln( ) ( ) ( ) ( ) ln ln Catatan : Ei(a, b) a ib e, i 88

193 V.6. Integral tak wajar Yang dimaksud dengan integral tak wajar, adalah integral tentu dengan salah satu atau kedua batas integralnya adalah bilangan tak hingga,. Sehingga bentuk-bentuk integral tak b wajar adalah f ()d, f ()d, f ()d. Deskripsinya sama dengan nilai limit, jika salah satu atau kedua batas integral limitnya. b a f ()d Lim f ()d, f ()d Lim f ()d, f ()d Lim Lim f ()d Contoh b a a π Hitunglah Sin Jawab : Cos d a b b a b a b a π Cos π Cos π π Cos Sin d Lim Sin d Lim Sin d Lim a a a a a a d π π Cos π Cos Lim Sin d Lim a a a a a d Lim πsin asin a π a πsin Lim asin π a πsin π a π Cos π Cos Lim d Lim a a a a Sin Sin πsin a Lim πsin Lim a π a π a a a d 89

194 Integral tak wajar sering digunakan dalam teori Statistika, misalnya pada deskripsi fungsi distribusi peluang. Definisi Fungsi y f() disebut fungsi distribusi peluang, jika. f(), untuk setiap nilai, < <. f ()d Contoh Telaah apakah fungsi f() fungsi distribusi peluang? Jawab :. e a π Karena ( b) a a π Lim e a π a e π ( b) a <, dan ( b) a e e a π ( b) a Lim e a π ( b) a >, maka ( b) a, dengan a, b konstanta, dan a > ; merupakan a e π <. ( b) a e a π ( b) a a π e Sehingga < e a π ( b) a <, untuk setiap nilai. a e π ( b) a d a Jika disubtitusikan, y π b a e ( b) a d dy a π e b a d d d a dy. a Sehingga a e π ( b) a d a π y e a dy π y e dy 9

195 Jika dimisalkan, y e dy c, maka c e y dy e (y z ) dydz. Sehingga jika dihitung dalam koordinat polar, dengan mensubtitusikan y r Cos θ dan z r Sin θ, maka c e (y z ) dydz π ( e e ) π r e π rdrdθ r e π rdrdθ r e dθ π dθ dθ π ( ) θ π c y e dy π Sehingga, a e π ( b) a d π y e dy π π Jadi f() e a π ( b) a merupakan fungsi distribusi peluang. Contoh Perhatikan fungsi yang didefinisikan seperti di bawah ini f() ce, jika < < ; c: konstanta, jika - < < Tentukan c agar f() merupakan fungsi distribusi peluang! Jawab. f() karena < e <, maka c e. f ()d d ce d a a ce d c e d c ( e ce d ) a a e d 9

196 a a c (ae e ) e d c ae a ( e a c ae a (e a e ) c ae a e a ce d Lim c ae a a e a c() c() c() c a a ) c Lim ae c Lim e c Lim a a a SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN. Hitunglah f () d, jika f() a. b. 6 d. Cos( ) ln e ( ) ( ) e. c. ( )Sin( ) f. 6 g. h. ( )Tg( ) i. a a j. Cos Cos ( ) k. ( ) Cos ( ) l. e log. Hitunglah nilai integral tentu di bawah ini π a. ( )Sin ( )d b. Cos ( )d π π 6 π 7 c. d π d. π d 9 9 e. log( )d

197 π 6 Sin () ln( ) f. e Cos( )d g. d π 6 6 h. d π 6 i. π Cos( π ) 6 d Sin( π) π 6 j. π d π 6 () k. e ln( )d. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y f() dengan y g(), jika a. f () g() b. f () log( ) g() 6 9 c. π f () g() d. f () g() e. f () e () g() ln( f. f () g(). Kecepatan aliran darah sepanjang pembuluhnya, memiliki persamaan v K(R r ) dengan K : konstanta, yang menyatakan kecepatan maksimum aliran darah R : konstanta, yang menyatakan jari-jari pembuluh darah r, konstanta, yang menyatakan jarak sel darah khusus ke pusat pembuluh darah. Laju kecepatan (rate) aliran darah, dapat dihitung dengan mengukur volume darah yang melewati titik ukur, dalam periode waktu tertentu. Volume tersebut dapat diformulasikan dalam persamaan V π : bilangan irasional R πvr dr a. Hitunglah V, jika R, cm dan v (,,r ) cm/detik! b. Tentukan formulasi umum dari V! 9

198 d. Laju produksi dari sebuah produk baru, mengikuti model dt ( ) : banyak item produk, dalam unit t : waktu produksi, dalam satuan minggu a. Hitunglah total produk dalam lima minggu pertama! Berapakah totalnya dalam selang waktu minggu? b. Jika laju penurunan produksi, diformulasikan oleh persamaan D (t) ( t) t, selang waktu produkasi, dalam satuan tahun Maka hitunglah total penurunan produksi untuk tahun pertama! Berapakah totalnya untuk tahun berikutnya? c. Jika laju penjualan produk tersebut, memiliki model dengan persamaan S (t) t t t : selang waktu penjualan setelah promosi selesai dilakukan, dalam satuan hari Maka hitunglah total penjualan untuk satu minggu pertama, setelah selesai promosi, dan satu minggu berikutnya. Jika total penjualan pada saat promosi selesai, adalah unit. 6. Total penjualan harian sebuah produk, memiliki model S e, : hari-hari penjualan, setelah promosi produk dimulai. Hitunglah rata-rata penjualan harian, selama hari pertama promosi! Jika tidak ada promosi baru, maka hitunglah rata-rata penjualan harian untuk hari berikutnya! 7. Hitunglah integral tak wajar di bawah ini a. ( ) d b. e d c. d 9

199 d. ( ) d e. d f. e e d 8. Hitunglah c agar c a. dt,t e b. c ( ) d c. d 9. Hitunglah luas daerah di bawah lengkungan y f(), dan di sebelah kanan sumbu, jika a. f () b. f() log c. f() e d. f () e. Misalkan laju kemampuan reaktor nuklir untuk membuat produk beradioaktif, proporsional dengan lama beroperasinya reaktor tersebut. Jika laju tersebut memiliki model f(t) t, t : waktu dalam satuan tahun. Dan laju penurunan kemampuan, membangun model eksponensial dengan rata-rata % pertahun, maka perkiraan akumulasi produk selama b tahun, akan memiliki model b te a. Hitunglah formulasi untuk perkiraan akumulasi tersebut! b. Berapakah akumulasi produk selama reaktor berfungsi?,(bt) dt.. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan distribusi peluang? a. f (), b. f () e, < < c. f (), - < < 8, untuk yang lainnya d. f (), - < < 8, untuk yang lainnya 9

200 . Hitunglah luas selimut dan volume benda putar, yang diperoleh dari hasil memutar bidang yang dibatasi oleh a. X, Y X, X, jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-x b. Y X X, Y X X, jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-y. Selesaikan formulasi integrasi di bawah ini a. Sec d π π b. Sin Cos d c. π Tg d d. Sec d Tg e. Cosec Cotg d f. Sec Tg d g. π π Tg d Sec h. ( - Sin ) d) π Cos i. Cos ln (Sin ) d π. Hasil penjualan produk AC secara obralan, dari sebuah toko elektronik, memiliki model π P (t) Cos t 6 t : bilangan bulan a. Bangun tabel hasil penjualan untuk t! b. Berdasarkan nilai-nilai dari tabel tersebut, gambarkan grafik hasil penjualan! c. Tentukan periode waktu yang menyebabkan toko akan kehilangan hasil penjualan!. Laju produksi sebuah komoditi menurut waktu produksi, memiliki model d dt 96 ( t ) : banyak item barang, t : waktu produksi (dalam mingguan) a. Jika pda saat t,, maka sajikan persamaan yang menyatakan total produksi sepanjang wktu t! b. Hitunglah total produksi selama lima minggu!

201 6. Bumi hanya memiliki sekitar juta are, lahan yang baik untuk dijadikan daerah pertanian. Dan populasi penduduk bumi terbatas. Jika populasi penduduk terbatas pada juta jiwa, dan laju pertumbuhannya proporsional dengan kapan dunia berakhir, yang merupakan batas atas waktu kehidupan dan penghidupan. pertumbuhan penduduk dapat diformulasikan dengan persamaan K : konstanta positif. Formulasi tersebut identik dengan a. Sajikan formulasi persamaan t atas P! dp K( P) dt t K P dp Sehingga laju b. Gunakan sifat hubungan fungsi logaritma dengan eksponensial, untuk membangun persamaan P atas t! 7. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatannya, t : waktu, dalam detik Hitunglah kecepatan dan jarak tempuh, setelah partikel bergerak t a (t) te a., menit b. detik c., jam d. menit detik 8. Dalam ilmu statistika, salah satu konsepsi yang sering digunakan adalah ekspektasi matematis, E[f()]. Jika variabel acak yang memiliki fungsi distribusi peluang p(), dan f() fungsi atas. Maka E [f ()] f () Jika memiliki fungsi distribusi peluang hitungalah E[f()], jika f() p() d p (), jika nilainya ada dan berhingga., - < < 8, maka, untuk yang lainnya a. b. ( ) c. 6 ( ) d. E[] 97

202 BAB VI DERET Deret (series) dengan barisan (sequence) merupakan dua kata yang saling berkaitan. Barisan adalah fungsi dengan domain himpunan bilangan bulat positif (bilangan cacah). Nilainilai a, a,..., a n,..., disebut barisan, jika merupakan sebuah urutan. Artinya, a nilai kesatu, a nilai kedua, dan seterusnya. Barisan a, a,.. a n,... dengan b, b,..., b n,..., disebut sama jika a i b i untuk setiap i. Dalam hal lain tidak sama. Misal barisan,,, 6, 8, dengan,,, 6, 8, tidak sama. Untuk menyatakan sebuah barisan a, a,..., a n,..., digunakan notasi { } barisant, a a... a n... i Barisan { } a i. Dalam hal ini, ai dinamakan suku barisan, sedangkan jumlah suku i a, dinamakan deret. i a disebut konvergen ke L < (berhingga), jika i Lim a L i. Dalam hal lain i i disebut divergen. Misal barisan i. Untuk menelaah apakah merupakan barisan 7i i konvergen atau divergen? Maka hitunglah i Lim i 7i! i Lim 7i i Lim i 7 i 7 i Jadi barisan, konvergen. 7i i Contoh lain. 7 7 (berhingga) Telaah apakah barisan,,,,, 6 7, 7 6,..., konvergen atau divergen? Jika suku barisan tersebut disajikan dengan formulasi eksplisit, maka formulasinya a i i ( ). i Sehingga i a i Lim i ( ) i Lim i Lim( ) i i i. Jadi barisan konvergen.

203 VI.. Deret Konvergen Perhatikan deret i a. Formulasi s, dinamakan deret parsial. Sebuah deret i n n a i i disebut konvergen ke L, jika barisan deret parsialnya, konvergen ke L, lain disebut divergen. Lim s i L. Dalam hal i