MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1
HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B A = B :( i) A B ( ii) B A
Quiz A maka tunjukkan A = B\ ( B\ A ) 1. Jika B 3
Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya : 1 A, jika 1 =, ( ) ( ), maka = 1 4
Pengertian Fungsi Jika adalah ungsi dari A ke B kita menuliskan : A B yang artinya memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari dan B disebut daerah hasil (codomain) dari. Relasi di bawah ini merupakan ungsi A a i u e o i B 1 3 4 5 5
Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan ungsi : A a i u e o a mempunyai nilai B 1 3 4 5 Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan disebut jelajah (range) / jangkauan dari. Perhatikan bahwa jelajah dari adalah himpunan bagian dari B. 6
Pengertian Fungsi Jelajah : y ( ) { = y, A} B Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan R Contoh : 1. Carilah domain dan range dari ungsi : ( ) Jawab : = 1 4 + 3 a. Mencari domain 7
Pengertian Fungsi syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : 3 4 + 3 0 4 Sehingga D b. Mencari Range {} 0 3 3 =,, 4 4 R = R = (,0) ( 0, ) atau R atau 3 R 4 Hal ini dikarenakan () tidak mungkin bernilai nol 8
Contoh. Carilah domain dan range dari ungsi : + ( ) = 3 + 1 a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : 3 + 1 1 3 Sehingga 0 D t 1 1 =,, 3 3 9
Contoh b. Range ( ) = y = + 3 + 1 3 y + y = + 3y = y ( 3y 1) = y y = 3 y 1 Syarat ungsi tersebut terdeinisi, 3y 1 0 y R Jadi Atau 1 3 1 1 =,, 3 3 1 R 3 10
Contoh 3. Carilah domain dan range dari ungsi : ( ) = 5 6 a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : 5 6 0 + 5 + 6 0 + + 3 ( )( ) 0 TP = -, -3 ++ -- ++ -3 - Jadi = [ 3, ] D 11
Contoh b. Mencari Range ( ) = y = 5 6 y = 5 6 + 5 + ( y + 6) = 0 Agar R, maka D 0 1 5 4.1 5 4y 4y ( y + 6) 0 0 4 0 1
Contoh TP ( 1+ y)( 1 y) 0 1 1 =, -- ++ -- Jadi, R 1 1 1 =,, [ 0 ) 1 = 1 0, 13
Macam-macam Fungsi Macam-macam ungsi : 1. Fungsi polinom n ( ) = a + a + a +... a n + -Fungsi konstan, 0 ( ) a0 = -Fungsi linier, 1 ( ) = a a + 0 1 -Fungsi kuadrat, ( ) = a + a a + 0 1 14
Macam-macam Fungsi. Fungsi Rasional Bentuk umum : p q ( ) ( ) contoh : ( ) = ( + 1) 3 + p(), q() = ungsi polinom dengan q() 0 + 1 3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh : ( ) = 3 1 + 15
Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar = Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan = n n n + 1 5 = 5 3, = 3 1, = 5. Fungsi Genap Disebut ungsi genap jika terhadap sumbu y ( ) ( ) = dan graiknya simetris 16
Macam-macam Fungsi Contoh : ( ) = ( ) = ( ) = cos( ) 6. Fungsi Ganjil Disebut ungsi ganjil jika simetris terhadap titik asal, contoh : ( ) = sin( ) 3 ( ) = ( ) = ( ) dan graiknya 17
Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi Diberikan ungsi ( ) dan g( ) ( ) g ( ) ( o g)( ) = ( g( ) ) ( o g)( ) g ( ) sehingga g( ) di dalam, komposisi ungsi antara dan ditulis Domain dari adalah himpunan semua bilangan dengan domain Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R g D φ D 18
Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut : R g D φ 19
Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, ( g o )( ) = g( ( ) ) Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi R D g φ maka harus Domain dari komposisi ungsi dan g dideinisikan sbb : D D o g g o = = { D ( ) } g g D D ( ) D { } g Sedangkan deinisi dari Range komposisi ungsi komposisi R R g o o g = = { g() t R t R } g { () t R t R } g atau atau R R g o o g { y R ( ) } g y = g t t R { y R y = ( t) t R } =, =, g 0
Fungsi Komposisi Siat-siat ungsi komposisi : ( o g)( ) ( g o )( ) (( o g) o h)( ) = ( o ( g o h) )( ) Contoh : 1. Jika diketahui g o D R dan = [ 0, ) = [ 0, ) o ( ) = g( ) = 1 g D g R g Tentukan beserta domain dan range-nya! = R = (,1] 1
Contoh Karena terdeinisi R [, ) φ D g ( g o )( ) g ( ) D g o = = 0, maka ungsi g o ( ) = g( ) = = 1 a. Mencari Domain g o { D ( ) D } { [ ) } 0, R = { } 0 < < = g
Contoh { } 0 0 = { 0 0} = [ 0, ) [ 0 ) [ 0 ) =, =, b. Mencari Range R R g o g o Jadi g o { y R ( ) } g y = g t t R y (,1] y = 1 t, t [ 0 ) =, { } =, R go = y (, 1] (,1] = y (,1] 3
Contoh Karena o g R D = ( 1] [ 0, ) = g terdeinisi dengan ( o g)( )= ( g( ) ) =, [ 0,1] φ ( 1 ) = 1, maka ungsi c.domain D o g = o g { D ( ) } g g D R1 [ 0 ) { } { R1 0} =, = { R 1 1} = R [ 1,1 ] = 1,1 = [ ] 4
Contoh d. Range R o g o g { y R y = ( t) t R } =, { [ ) ( ]} y 0, y = t,,1 = t { } y 0 y = t,0 1 = t { y 0 0 1} = y = = [ 0, ) [ 0,1] [ 0,1] g 5
Contoh. Jika diketahui ungsi ( ) = g( ) = 1 D = R Tentukan R g o = R R g = R R D g = R R = R φ, sehingga g o terdeinisi a. Domain g o D g o = D g = R beserta domain dan range-nya! { D ( ) D } { R R} = = R R = R g 6
Contoh b. Range R g o g o { y R y = g( t) t R } =, g { y R y = t 1, R} = t = R R = R 7
Graik dari ungsi 1. Garis Lurus y = m + c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh : y = + 3 3-3 8
Garis Lurus ( y y ) = m( ) 1 1 Persamaan garis lurus melalui y y y 1 y 1 = Persamaan garis lurus melalui 1 1 ( ) 1, y 1 (, y )& ( y ) 1 1,. Graik ungsi kuadrat (parabola) y = a + b + c Diskriminan D = b 4ac 9
Graik Fungsi Kuadrat Titik puncak = y b a, D 4a a >0 D>0 D=0 D<0 30
Graik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah graik ungsi y = + + 1 a =1 jadi a > 0 graik menghadap ke atas D = b 4ac = 1 4 = -3 < 0 tidak menyinggung sumbu 31
Graik Fungsi Kuadrat Titik potong dengan sumbu koordinat Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu tidak ada Titik potong dengan sumbu y = 0 y = 1 dengan demikian graik melalui (0,1) Titik puncak = b a, 1 3 =, 4 D 4a 3
Graik Fungsi Kuadrat Gambar graik ungsi y = + + 1 Untuk persamaan kuadrat = ay + by + c 1 3 4 Titik puncak = Sumbu simetri = D 4a, b a b a -1 1 33
Graik Fungsi Majemuk/banyak aturan 3. Graik Fungsi Majemuk Contoh : 1. Gambarkan graik ungsi =,, < 0 0 ( ) = y=- y= 34
Graik Fungsi Majemuk. Gambarkan graik ungsi ( ) 1 = + > Graiknya terdiri dari y bagian, yaitu garis untuk dan garis y = + untuk > = 1 y = y = 1 + 35
Graik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan graik dari ungsi ( ) 4 = () terdeinisi untuk setiap kecuali, sehingga domain dari () adalah semua bilangan riil kecuali Fungsi () dapat diuraikan sebagai berikut : ( ) = ( + )( ) ( ) 36
Graik Fungsi Majemuk atau ( ) = +, jika Range dari () adalah semua bilangan riil kecuali 4. Jadi graiknya terdiri dari semua titik pada garis y = + kecuali titik (,4). 4 y = + 37
Graik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan graik dari ungsi ( ) = 1 3 Kita deinisikan : 1 3 1 3 = 1 + 3 < 0 0 1 y = 1+ 3 y = 1 3 1 1 3 3 38
Translasi Untuk ungsi yang dinyatakan sebagai y = ( a) ( a) y = + ( ) a y = + y = graik graik graik ( ) a graik y = y = y = y = ( ) ( ) ( ) ( ) y = ( ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan mengalami pergeseran sejauh a ke kiri mengalami pergeseran sejauh a ke atas, a > 0 mengalami pergeseran sejauh a ke bawah 39
Translasi Untuk ungsi yang dinyatakan sebagai = ( y a) ( y a) = + ( y) a = + = graik graik graik ( y) a graik = = = = ( y) ( y) ( y) ( y) = ( y) mengalami pergeseran sejauh a ke atas mengalami pergeseran sejauh a ke bawah mengalami pergeseran sejauh a ke kanan, a > 0 mengalami pergeseran sejauh a ke kiri 40
Contoh Translasi 1. Gambarkan graik dari ungsi ( ) = 4 + 5 ( 4 + 4) 4 + 5 = = ( ) + 1 4 y = ( ) y = y = ( ) y = digeser sejauh ke kanan 41
Contoh Translasi Kemudian y = ( ) maka akan terbentuk y digeser sejauh 1 ke atas = ( ) + 1 y = ( ) + 1 4 y = ( ) 4
Contoh Translasi. Gambarkan graik ungsi Kita lihat dahulu graik ( ) = 1 3 y = 3 3 y = 3 y = 3 : 43
Contoh Translasi Graik y = 3 y = 1 3 dapat dipandang sebagai graik yang digeser 1 ke atas sejauh 1 satuan y = 1 3 y = 3 44
Limit ε>0, δ>0 sehingga () L < ε apabila 0 < c < δ. 45
Contoh: Tunjukan bahwa Bukti: lim ( ) 15 + = 3 I + - 15I = I( + 5)( - 3)I = I + 5II - 3I Misal untuk δ 1, I 3I<1 atau (, 4) Jadi +5 (7, 9) atau +5 < 9 I + - 15I = I( + 5)( - 3)I < 9δ apabila 0 < I -3I < δ 1 46
Ambil ε>0 sebarang ε Pilih δ = min{1, }, maka untuk 0 < I - 3I < δ 9 I + - 15I = I( + 5)( - 3)I < 9δ apabila 0 < - 3 < δ 1 Ambil sembarang ε > 0 1 ε Pilih δ = min,. maka untuk 0 < - 3 < δ, diperoleh : 9 = ( + 5) ( - 3) + 15 < 9δ ε. lim Ini menunjukkan bahwa + = 15 3 47
Contoh Bukti : Tulis ()=b, R Ambil sembarang ε > 0. Pilih δ = 1 > 0. Dipunyai 0 < - c < 1. Jelas () b = b b = 0 < 1 = ε Jadi ε > 0 δ > 0 () b < ε apabila 0< - c < δ 48
. Buktikan Bukti : lim c = c Tulis () = Ambil sembarang ε > 0 Pilih δ = min 1 1, c + Dipunyai 0 < - c <δ. Dicari batas + 1 pada 0 < - c < 1 Jelas 0 < c < 1 c 1 < < c + 1 c < + 1 < c + 49
+ 1 < c + c +. Jadi () c = -c = c + c < δ ( c + ) Jadi ε > 0 δ > 0 () b < ε apabila 0< - c < δ. Jadi c lim = c 50
Soal Latihan, Tentukan domain dan range dari ungsi di bawah ini 1 5 ( ) = 3 + 4 ( ) = Diketahui ( 3) 1 ( ) = ( + ) 3 4 1 ( ) = 3 + ( ) = 5 + 6 ( ) = 4 g ( ) = Apakah o g terdeinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari o g dan domain dari o g. Gambarkan graik dari ungsi di bawah ini 6 7 ( ) = 3 51
Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,3,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional, 3,π 5
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) -3 0 1 π Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang 53
Selang Jenis-jenis selang Himpunan selang < a (,a) { } { } a (,a] { } < ( ) a < b { } a b a,b [ a,b] { } > b ( b, ) { } b [ b, ) { R} (, ) Graik a a a a b b b b 54
Siat siat bilangan real Siat-siat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitian Jika < y dan y < z maka < z Perkalian Misalkan z bilangan positi dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negati, maka z > yz 55
Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 56
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) <, dengan cara : 0 57
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi aktor-aktor linier dan/ atau kuadrat 3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul 58
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1 13 3 5 13 + 3 5 + 3 16 8 4 8 4 8 Hp = [ 4,8] 4 8 59
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian < 6 4 8 < 4 8 > 4 4 < 8 1 < 8 Hp 1 1 =, 60
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3 5 3 < 0 ( + 1)( 3) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 = dan = 3 Hp = ++ -- ++ 1 1, 3 3 61
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4 4 6 7 3 + 6 4 6 7 dan 6 7 3 + 6 + 7 6 + 4 dan 7 3 6 + 6 9 10 dan 10 0 10 9 dan 10 0 10 9 dan 0 6
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 10 9 Hp =, [ 0, ) 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 63
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1 5. < + 1 3 1 1 + 1 3 1 < 0 ( 3 1) ( + ) ( + 1)( 3 1) 3 ( + 1)( 3 1) < 0 < 0 -- -1 ++ -- ++ 1 3 Hp = ( ) 3 1, 1, 3 3 TP : -1, 1 3, 3 64
65 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian + + 3 1 0 3 1 + + ( )( ) ( ) ( )( ) 0 3 3 1 + + + ( )( ) 0 3 3 + + + 6.
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Untuk pembilang + + 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positi, Jadi TP :,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- ++ -- -3 Hp = (, 3) (, ) 66
Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) dideinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positi. Deinisi nilai mutlak : =,, < 0 0 67
68 Pertidaksamaan nilai mutlak Siat-siat nilai mutlak: y y = = a a a a 0, a a a 0, atau a y y 6. Ketaksamaan segitiga y y + + 1 3 4 5 y y
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 5 < 3 Kita bisa menggunakan siat ke-. 3 < 5 < 3 5 3 < < 3 + 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 69
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian. 5 < 3 Kita bisa juga menggunakan siat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positi. ( 5) < 9 4 0 + 5 < 9 4 0 + 16 < 0 10 + 8 < 0 ( )( 4) < 0 TP : 1, 4 ++ Hp = ( 1,4 ) -- 1 4 ++ 70
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3. + 3 4 + 5 Kita bisa menggunakan siat 4 ( + 3) ( 4 + 5) 4 + 1 + 9 16 1 8 16 3 + 7 + 4 0 4 3 TP :, -1 + 0 40 + 5 71
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++ Hp = -- ++ 4-1 3 4, 1 3 7
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4. + 7 + 7 atau + 7 5 atau 9 10 atau 18 Hp = (, 18] [ 10, ) -18-10 73
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 + 1 Kita deinisikan dahulu : = < + 1 = + 1 1 1 < 1 Jadi kita mempunyai 3 interval : I (, 1) II III [ 1,) [, ) -1 74
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian < 1 (, 1) 3 + 1 I. Untuk interval atau ( ) ( 1) 3 6 3 + + 1 7 9 9 9 atau, 9 75
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp1 = 9, (, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (, 1) sehingga Hp1 = (, 1) 76
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval 1 < atau [ 1,) 3 + 1 ( ) ( + 1) 3 6 3 1 5 4 4 7 4 7 7 4 atau, 7 4 77
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 4 Jadi Hp =, [ 1, ) -1 7 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7 1, 7 4 sehingga Hp = 1, 4 78
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval 3 + 1 ( ) ( + 1) 3 3 6 1 7 5 5 atau atau [, ) 5, 79
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5 Jadi Hp3 =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp3 = 5, 80
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp Hp3 7 5 Hp =, 4 ( ), 1 1, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan 81
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1 7 4 5-1 7 5 4-1 7 4 5 Jadi Hp = 7 5,, 4 8
83 Soal Latihan 5 4 3 + + 1 + + + Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 3 + 1 3 + 1 4 4 3 1 + + 5 3 + 6