Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Transkripsi

1 Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014

2 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan dari bilangan riil dan sifat-sifatnya disebut sistem bilangan riil. 2 Bilangan-bilangan Bulat : bilangan-bilangan riil atau bilangan yang utuh, seperti..., 2, 1, 0, 1, 2,..., kita nyatakan bilangan bulat dengan Z. Dapat ditulis Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. 3 Bilangan-bilangan Rasional : bilangan-bilangan riil yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua buah bilangan bulat. Kita nyatakan himpunan bilangan rasional dengan Q, dapat ditulis Q = {x x = p q di mana p Z, q Z}.

3 1 Bilangan-bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Kita nyatakan himpunan bilangan asli dengan N, dapat ditulis, N = {1, 2, 3,...}. 2 Bilangan-bilangan prima adalah bilangan asli P, tidak termasuk 1, yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan P sendiri, kita daftarkan bilangan prima pertama yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 3 Bilangan-bilangan Irrasional : bilangan riil yang tidak rasional, jadi himpunan bilangan irasional adalah komplemen dari himpunan bilangan rasional Q dalam bilangan riil, oleh karena itu Q menyatakan bilangan irasional. Contoh : 2, 7, π dan seterusnya. 4 Bilangan-bilangan Kompleks : bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a + bi. Contoh : 1

4 Ketidaksamaan Definisi : Bilangan riil a lebih kecil daripada bilangan riil b, yang dituliskan a < b, jika b a sebuah bilangan positif.

5 Ketidaksamaan Sifat-sifat berikut dari hubungan a < b dapat dibuktikan. Misalkan a, b dan c adalah bilangan-bilangan Riil, maka : P 1 : Salah satunya a < b, a = b atau b < a P 2 : Jika a < b dan b < c, maka a < c P 3 : Jika a < b, maka a + c < b + c P 4 : Jika a < b, dan c positif, maka ac < bc P 5 : Jika a < b dan c negatif, maka bc < ac Secara Geometris, jika a < b maka titik a pada garis riil terletak disebelah kiri titik b. Kita menyatakan a < b dengan b > a, yang dibaca b lebih besar daripada a. Selanjutnya ditulis a b atau b a, jika a < b atau a = b, yaitu jika a tidak lebih besar daripada b.

6 Contoh 1 2 < 5; 6 3 dan 4 4; 5 > 8. 2 Notasi x < 5 berarti bahwa x adalah bilangan riil yang lebih kecil daripada 5; oleh karena itu x terletak disebelah kiri 5 pada garis riil. 3 Notasi 2 < x < 7 berarti 2 < x dan juga x < 7; oleh karena itu x akan terletak diantara 2 dan 7 pada garis riil.

7 Ketidaksamaan Pernyataan 1: Perhatikan konsep urutan, yaitu hubungan a < b, didefinisikan dengan menggunakan konsep bilangan posiitif. Sifat mendasar dari bilangan-bilangan positif yang digunakan untuk membuktikan sifat-sifat dari hubungan a < b adalah bilangan-bilangan positif tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian. Pernyataan 2: Pernyataan berikut adalah benar apabila a, b, c adalah sebarang bilangan-bilangan riil: 1 a a. 2 Jika a b dan b a maka a = b. 3 Jika a b dan b c maka a c.

8 Harga Mutlak Harga mutlak dari bilangan riil x, dinyatakan oleh, didefinisikan oleh rumus x x = { x jika x 0 x jika x < 0 yaitu, jika x positif atau nol maka x sama dengan x, dan jika x negatif maka x sama dengan x. Akibatnya, harga mutlak dari bilangan apa pun, selalu tidak negatif, yang berarti x 0 untuk setiap x R.

9 Harga Mutlak Secara geometris, maka harga mutlak dari x adalah jarak antara titik x pada garis riil dengan titik asal yaitu titik 0. Selanjutnya, jarak antara dua titik apa pun yaitu bilangan-bilangan riil a dan b adalah a b = b a.

10 Harga Mutlak Contoh 1: π Contoh 2: Pernyataan x < 5 Berarti jarak antara x dan titik asal lebih kecil daripada 5 yang berarti x haruslah terletak diantara 5 dan 5 pada garis riil.

11 Interval (Selang) Interval : Bilangan a dan b adalah bilangan riil dan a < b maka himpunan bagian dari R : 1 A 1 = {x a < x < b} 2 A 2 = {x a x < b} 3 A 3 = {x a x b} 4 A 4 = {x a < x b}

12 Interval (Selang) Khusus untuk interval di atas kadang-kadang dinyatakan oleh, 1 A 1 = (a, b) 2 A 2 = [a, b) 3 A 3 = [a, b] 4 A 4 = (a, b]

13 Interval-Interval Tak Berhingga Himpunan-himpunan yang berbentuk, 1 A = {x x < a} 2 B = {x x > a} 3 C = {x x a} 4 D = {x x a} 5 E = {x x R} disebut interval tak berhingga dan dapat dinyatakan oleh, 1 A = (, a) 2 B = (a, + ) 3 C = (, a) 4 D = (a, + ] 5 E = [, + )

14 Interval-Interval Tak Berhingga Contoh: Gambarkan interval-interval tak berhingga dari himpunan-himpunan berikut, 1 A = {x x > 1} 2 B = {x x 2} 3 C = {x x < 3} 4 D = {x x 4} 5 E = {x x R}

15 Latihan Tunjukkan apakah masing-masing bilangan-bilangan berikut ini benar atau salah. 1 7 N 2 Q Z 4 9 P 5 6 Q

16 Latihan 1 Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk notasi 1 a lebih kecil daripada b 2 a tidak lebih besar daripada atau sama dengan b 3 a lebih kecil daripada atau sama dengan b 2 Sisipkan antara pasangan bilangan berikut simbol yang benar

17 Latihan 1 Hitunglah, Tuliskan kembali tanpa tanda harga mutlak, 1 x < 3 2 x 2 < 5 3 Tulis kembali interval-interval berikut dalam bentuk diskriptif (pembentuk himpunan) 1 M = [ 3, 5) 2 S = (3, 8) 3 T = [0, 4] 4 Gambarkan interval R = ( 1, 2], S = [ 2, 2) dan T = (0, 1) pada garis riil.