BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

Transkripsi

1 BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan seperti dalam bagan berikut: Bilangan Real (W) Rasional (Q) Irrasional (I) Bulat (J) Pecahan Desimal berulang Desimal terbatas Negatif Cacah (W) Nol Asli (N) Dari bagan di atas dapat dijelaskan dalam bagian di berikut dibawah ini. A. Himpunan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Dalam sistem bilangan nyata, pertama kita mengenal bilangan bulat:...,,, 0,,,... Kemudian kita kenal bilangan rasional, yang merupakan hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi bilangan rasional r dapat dinyatakan sebagai Contoh. p r = dengan p dan q bilangan bulat dan q 0. q,, =, 7 4, 09 0,7 = 7 00

2 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak Sejumlah bilangan nyata, seperti, tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dan dinyatakan sebagai bilangan irrasional. Contoh bilangan irrasional lain adalah,, π, sin,. Himpunan semua bilangan nyata biasanya dinyatakan dengan lambang R. Pengucapan kata bilangan, yang dimaksud adalah bilangan nyata. Setiap bilangan mempunyai bentuk desimal. Bilangan rasional memiliki bentuk desimal yang berulang, sedangkan bilangan irrasional bentuk desimalnya tidak berulang. Contoh. = 0,... = 0, =, =, 09 (tanda bar menunjukkan bahwa angka tersebut berulang terusm menerus). =, π =, Untuk bilangan rasional ini kita dapat memperoleh hampiran bilangan tersebut dengan menghentikan uraian desimal pada tempat tertentu, misal π,496. Bilangan nyata dapat dinyatakan dengan titik pada sebuah garis bilangan. Arah positif ke kanan ditandai dengan panah. Titik acuan O, yang disebut titik asal berkaitan dengan bilangan nyata 0. Setiap bilangan positif dinyatakan dengan titik pada garis yang jaraknya unit ke kanan dari titik asal, sedangkan setiap bilangan negatif dinyatakan dengan titik unit ke kiri dari titik asal Gambar. garis bilangan nyata Selanjutnya kita akan menggunakan notasi himpunan. Sebuah himpunan adalah suatu kumpulan objek dengan sifat tertentu, dan objek ini dinamakan anggota himpunan tersebut. Jika S adalah suatu himpunan, notasi a S berarti bahwa a anggota S, dan a S berarti a bukan anggota S.

3 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak Sejumlah himpunan dapat dijelaskan dengan mendaftarkan anggotanya dalam tanda kurung. Contoh. Himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari pada, dapat ditulis sebagai A = {,,,4}. Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk A = { adalah bilangan bulat dan 0 < < } yang dibaca A adalah himpunan sedemikian sehingga adalah bilangan bulat dan 0 < <. B. Selang Dalam kalkulus seringmuncul himpunan bilangan nyata tertentu, yang disebut selang, yang secara geometris berkaitan dengan ruas garis. Misalnya, selang terbuka dari a ke b berisi semua bilangan dantara a dan b dinyatakan dengan lambang (a,b). Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan ( a, b) = { a < < b}. Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak termasuk anggota himpunan tersebut. Ini ditandai dengan tanda kurung biasa ( ) dan dengan bulatan kosong pada gambar. a b Gambar. Selang terbuka (a,b). Sedangkan selang tertutup dari a ke b adalah himpunan [ a, b] = { a b}. Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggota himpunan dan ditandai dengan kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada gambar. a b Gambar. Selang tertutup [a,b]. Tabel berikut ini memuat sembilang selang yang mungkin. Perlu diperhatikan bahwa pada pembahasan selang ini selalu diasumsikan a < b.

4 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 4 Notasi Deskripsi (a,b) { a < < b} [a,b] { a b} (a,b] { a < b} [a,b) { a < b} (a, ) { > a} [a, ) { a} (-,b) { < b} (-,b] { b} (-, ) Himpunan semua bilangan nyata, R Tabel. Selang yang mungkin C. Pertaksamaan Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda <, >, atau. Ditinjau dari jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertaksamaan linier dengan satu peubah, pertaksamaan linier dengan peubah banyak dan pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan nyata yang unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari pertaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut hinpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B maka A B. Jika A = B maka pertaksamaan dinamakan ketaksamaan. Contoh 4 : Dari pertaksamaan / >

5 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak Himpunan pengganti atau B adalah { R 0} Himpunan jawab atau A adalah { R < <, 0}. Jadi A B Contoh : Dari pertaksamaan / >0 Himpunan pengganti atau B adalah { R, 0 } Himpunan jawab atau A adalah { R, 0 }. Karena A = B, maka / >0 disebut ketaksamaan. Sifat-sifat pertaksamaan ( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c ( ii ) Jika a > b, maka a c > b c ( iii ) Jika a > b, maka a - c > b c ( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc ( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut : ( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c ( vii ) Jika a < b, maka a c < b c ( viii ) Jika a < b, maka a - c < b c ( i) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc ( ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc Sifat-sifat pertaksamaan lainnya : ( i ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 ( ii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 ( iii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 ( iv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 ( v ) Jika a > b, maka a < -b ( vi ) Jika /a < /b, maka a > b

6 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 6 ( vii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit) Pertaksamaan linier satu peubah Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, atau. Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah adalah :a b (?) 0, dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, atau. Contoh 6 Selesaikan pertaksamaan 7 9 < - Penyelesaian : 7 9 < - semua ruas dikurang < < -4 /7 ( 7 ) < /7 ( -4 ) semua ruas dikalikan /7 < - Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { < - } Contoh 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 4 < 9 Penyelesaian : 4 < 9 4 ( )< 9 ( ) semua ruas dikurang () < 8 / () < / ( 8 ) semua ruas dikalikan / < 8 Himpunan penyelesaiannya adalah : { < 8 } Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertaksamaan linier satu peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan

7 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 7 mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas yang berbeda tandanya akan berubah! Contoh 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan - 8 Penyelesaian : - 8 Pidahkan keruas kiri dan - keruas kanan 8 Kelompokkan peubah pada ruas kiri dan kelompokkan konstan pada ruas kanan. - 6 (-/)(-) (0)(-/) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka tanda pertaksamaan harus dibalik. Lihat sifat pertaksamaan (v). - Himpunan penyelesaiannya adalah : { } Contoh 9 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 4 < < Penyelesaian : 4 4 < < 4 4 < < Kalikan semua ruas dengan 4 (4)()< () < ()( ) 0 < 4 <0 Dapat dipecah menjadi dua bagian, yaitu 4 > 0 dan 4 < 0 -. (perhatikan sifat pertaksamaan vii).

8 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 8 Setelah dipecah menjadi dua pertaksamaan, selesaikan satu persatu. 4 > 0 4 < 0 - < 4 0 >9 < -8 > /4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ < -8 atau > 4} Soal-soal Selesaikan pertaksamaan : (8 ) > < > 6. > 7 > 6 D. Nilai Mutlak Nilai mutlak sebuah bilangan a adalah jarak dari a ke O pada garis bilangan, dinyatakan dengan a dan bernilai positif atau nol. Jadi Secara umum kita punyai a 0 untuk setiap bilangan a. a = a jika a 0 a = a jika a < 0. Contoh 9. =, =, =, π = π. Perlu diingat bahwa lambang berarti akar kuadrat positif dari. Jadi s = r berarti r = s r. Dengan demikian persamaan a = a dan 0 bernilai benar hanya jika a 0. Jika a < 0, maka a > 0, sehingga kita peroleh a = a kita punyai kesamaan. Jadi a = a yang benar untuk semua nilai a. Sifat- sifat nilai mutlak

9 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 9 Misalkan a dan b bilangan nyata sebarang dan n bilangan bulat, maka berlaku : i. ab = a b ii. iii. a a = asalkan b 0 b b n n a = a. Jika a > 0, maka iv. = a jika dan hanya jika = ± a v. < a jika dan hanya jika a < < a vi. > a jika dan hanya jika > a atau < a. Contoh 0. Selesaikan 7 = Penyelesaian. Menurut sifat (iv), 7 = setara dengan 7 = atau 7 =. Jadi = atau =. Dengan demikian = 4 atau =. Contoh. Selesaikan <. Penyelesaian. Menurut (v) < setara dengan < <. Jadi kita peroleh < <. Dengan demikian himpunan penyelesaiaannya berupa selang terbuka (-,). Contoh. Selesaikan. Penyelesaian. Menurut (iv) dan (vi), atau atau 8 atau 4. Jadi himpunana penyelesaiannya adalah { 4 atau } = (, 4] [, ).

10 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 0 Sifat penting lain dari nilai mutlak yang sering digunakan adalah pertaksamaan segitiga, yaitu a b a b. Contoh. Misalkan < 0. dan y < 0.. Gunakan ketaksamaaan segitiga untuk menunjukkan bahwa ( y) 7 < 0.. bahwa Penyelesaian. Misalkan a = dan b = y. Perhatikan ( y) 7 = ( ) ( y ) y < = 0.. Jadi ( y) 7 < 0.. Soal Latihan (Soal nomor 6) Selesaikan persamaan berikut:. < 0.. =. = 4. =. 7 < < 8. Misalkan < 0. 0 dan y < 0. untuk menunjukkan bahwa ( y) < Tunjukkan bahwa jika < maka 4 <. 0. Buktikan bahwa y y. Gunakan ketaksamaaan segitiga

11 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak Pertidaksamaan Pecahan Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang berbentuk pecahan, dan mengandung peubah pada penyebutnya. a Perlu diingat bahwa bentuk akan bernilai 0 hanya untuk a = 0. Nilai yang b a menyebabkan sama dengan nol disebut pembuat nol dari pertidaksamaan itu, dan b untuk b = 0, yang menyebabkan pecahan bernilai tak terdefinisi, disebut pembuat kutub. Baik pembuat nol maupun pembuat kutub akan menandai perubahan tanda dari positif ke negatif dan sebaliknya. Contoh 4. Tentukan penyelesaian dari Jawab: Langkah pertama buat ruas kanan sama dengan nol, 0 ( ) 0 0 Pembuat nol = 0 = Pembuat kutub = 0 = Garis bilangan penyelesaiannya: Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah HP = { < atau }

12 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak Soal soal Latihan Tentukan batas-batas yang memenuhi: ) ( 6 9 > 6. 4 < 7. < 8. < < 0. < Pertidaksamaan Irasional Pada pertidaksamaan irasional di samping ketentuan yang diminta, yang juga harus diperhatikan adalah sebagai berikut. a. Yang ada di bawah tanda akar 0 b. Hasil penarikan akar 0 Contoh 7. Tentukan batas-batas yang memenuhi < 4 Jawab: < 4 jika kedua ruas dikuadratkan.

13 Bab. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak ( 4) < ( ) < < Syarat tambahan: (i) (ii) 0 Jika ketiga interval ini kita iriskan, akan ketemu penyelesaian pertidaksamaan tersebut 4 Himpunan penyelesaianya, yang merupakan irisan ketiga interval itu adalah: HP = { 4 < } Latihan Tentukan batas-batas yang memenuhi pertidaksamaan di bawah ini. 6 <. 4 >. < 4. < 48. < > 7. ( 8) < 8. 4 < > <.