3 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Ragam (Anara) Untu menguji esamaan dari beberapa nilai tengah secara sealigus diperluan sebuah teni yang baru yang disebut analisis ragam. Anara adalah suatu metode untu menguraian eragaman total data menjadi omponen-omponen yang menguur berbagai omponen eragaman. Asumsi-asumsi yang mendasari Anara adalah: 1) Pengaruh perlauan dan pengaruh lingungan yang bersifat aditif Yang dimasud dengan bersifat aditif artinya dapat dijumlahan sesuai dengan model. Adanya etidaaditifan dalam model aan mengaibatan eheterogenan ragam galat. Model aditif linier adalah sebuah model yang umumnya digunaan untu menjelasan omponen sebuah pengamatan yang tersusun atas nilai tengah dan galat. Komponen nilai tengah terdiri dari satu atau lebih parameter (µ). Model yang paling umum adalah sebagai beriut: y i = μ + ε i (1) Bila asumsi tida terpenuhi maa perlu dilauan transformasi data. Apabila tida dilauan transformasi data, ragam galat gabungan yang
4 diperoleh sediit tida efisien untu selang epercayaan pengaruh perlauan dan dapat memberian tingat nyata yang palsu untu perbandingan nilai tengah perlauan tertentu. 2) Galat percobaan memilii ragam yang homogen Dalam racangan percobaan, omponen galat yang berasal dari perlauan harus menduga ragam populasi yang sama. Keheterogenan ragam galat dapat mengaibatan respon yang tida stabil dari beberapa perlauan tertentu. Bila nilai tengah satu atau dua perlauan lebih tinggi dari yang lainnya dan eragamannya juga lebih tinggi dari yang lainnya, maa aan mengaibatan eragaman galat yang tida homogen. 3) Galat percobaan yang saling bebas Asumsi mengenai fator ε i untu Anara adalah ε i ~N(0, σ 2 ε ). Peluang bahwa galat dari salah satu pengamatan yang mempunyai nilai tertentu haruslah tida bergantung dari nilai-nilai galat untu pengamatan yang lain. Atau dapat diataan bahwa tida ada orelasi antar galat. Jia galat percobaan tida saling bebas maa dapat mengaibatan hasil dari pengujian tida alid. Salah satu cara untu mencapai sifat saling bebas adalah dengan melauan pengacaan terhadap obje pengamatan. 4) Galat percobaan menyebar normal Asumsi ini berlau terutama untu pengujian hipotesis, dan tida diperluan pada pendugaan omponen ragam. Jia hasil dari ura yang menggambaran galat percobaan ternyata menjulur e anan atau e iri, omponen galat dari perlauan cenderung merupaan fungsi nilai tengah perlauan. Ini aan mengaibatan ragam tida homogen. Jia hubungan
5 fungsional dietahui, maa transformasi dapat ditentuan sehingga aan membuat galat tersebut menyebar mendeati sebaran normal. Dengan demiian analisis ragam dapat dilauan pada data tranformasi (Mattji dan Sumertajaya, 2000). 2.1.1 Analisis Ragam Klasifiasi Satu Arah Analisis ragam dengan lasifiasi satu arah tanpa interasi adalah analisis yang lasifiasi pengamatannya didasaran pada satu riteria. Model nilai tengah y ij = μ i + ε ij dengan μ i = μ + τ i sehingga diperoleh model pengaruhnya: y ij = μ + τ i + ε ij dimana : y ij = nilai pengamatan pada perlauan e-i dan ulangan e-j i = 1,2,, j = 1,2,, n μ= rata-rata eseluruhan (oerall mean) τ i = pengaruh perlauan e-i (treatment effect) ε ij ~i.i.d N(0,σ 2 ) μ i = nilai tengah dari populasi yang dipengaruhi oleh perlauan e-i (Moser, 1994).
6 Analisis ragam dengan lasifiasi satu arah dapat ditulis dalam bentu tabel sebagai beriut: Tabel 1. Analisis ragam lasifiasi satu arah Sumber Derajat bebas Jumlah Kuadrat F hitung eragaman uadrat tengah Perlauan t-1 JKP KTP KTP/KTG Galat t(r-1) JKG KTG Total rt-1 JKT Untu mencari jumlah uadratnya maa hitung nilai dari fator oresi (C) yaitu C = Y.. 2 nt (2) Jumlah uadrat yang berasal dari peubah lasifiasi yaitu jumlah uadrat perlauan dan diperoleh JK Perlauan = 1 r Y ij 2 C (3) Jumlah uadrat antar indiidu yang diperlauan sama disebut jumlah uadrat galat dan diperoleh melalui pengurangan jumlah uadrat perlauan dari jumlah uadrar total atau JK Galat = ( Y 2 ij Y i. 2 i j ) (4) JK Total = Y ij 2 C (5) Kuadrat Tengah didapat dengan membagi jumlah uadrat dengan derajat bebas masing-masing. KTP = JKP t 1 (6) r KTG = JKG t(r 1) (7) (Steel dan Torrie, 1995) 2.2 Homogenitas Ragam
7 Dalam analisis ragam, omponen galat yang berasal dari perlauan harus menduga ragam populasi yang sama. Keheterogenan ragam galat dapat mengaibatan respons yang tida stabil dari beberapa perlauan tertentu. Kadang-adang bila nilai tengah satu atau dua perlauan lebih tinggi dari yang lainnya dan eragamannya juga lebih tinggi dari yang lainnya. Aan mengaibatan eragaman galat yang tida homogen. Menurut Montgomery (1976), asumsi ehomogenan ragam mengharusan bahwa perbedaan perlauan yang diapliasian setiap unit tida merubah eragaman hasil, tetapi merubah rataannya. Oleh arena itu asumsi tersebut merupaan suatu hal yang perlu diuji hipotesisnya. Asumsi tersebut diperluan untu mengasumsian bahwa ragam dari semua elompo percobaan adalah sama yaitu H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 2 = = σ (8) H 1 : Paling sediit satu ragam yang tida sama 2.3 Beberapa Uji Umum untu Homogenitas Ragam 1. Uji Bartlett s Prosedur pada uji Bartlett s diperoleh dengan menggunaan pendeatan sebaran hi uadrat dengan (-1) derajat bebas. Untu menguji hipotesis: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 2 = = σ (9) H 1 : Paling sediit satu ragam yang tida sama 2 Uji Bartlett s diperoleh dengan memisalan s t sebagai penduga bagi σ 2 yang diperoleh dari m pengulangan dengan n t 1 derajat bebas.
8 y B = [ (r i 1)]ln (s 2 ) (r i 1) ln(s 2 i ) C = 1 + (r i 1) 1 ( (r i 1)) C y 3( 1) 1 (10) (11) dengan, s i 2 = ragam dari tiap perlauan r i = banyanya ulangan tiap perlauan y it = nilai sampel dari perlauan tiap ulangan y i = rata-rata perlauan tiap ulangan i = 0, 1, 2,...n s 2 = jumlah ragam tiap perlauan = banyanya perlauan Hal tersebut dapat ditunjuan bahwa B~X 2 dengan derajat bebas -1, jia ragam dari μ elompo adalah sama dan normal (Steel dan Torrie, 1995). 2. Uji Leene s Nilai F hitung dari uji Leene s diperoleh dari hasil transformasi selisih uadrat dari masing-masing sampel data dengan nilai rata-rata setiap perlauan. Bila ita ingin menguji hipotesis: H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 = = σ 2 (12) H 1 : Paling sediit satu ragam yang tida sama Untu tiap pengamatan dari j th ulangan menggunaan transformasi beriut ini: dengan, Z it = y it y i (13)
9 y it = nilai sampel tiap perlauan y = i rata-rat sampel tiap perlauan pada analisis ragam : JKT= JKK+JKG sama dengan r i (z it z ) 2 t=1 = r i (z i z ) 2 + r i (z it z ) 2 i t=1 r i t=1 dengan (z i z ) 2 dan (z it z ) 2 i adalah saling bebas, dengan membagi edua ruas dengan σ 2 maa diperoleh : r i r i t=1 t=1(z it z ) 2 σ 2 = (z i z ) 2 σ 2 + (z it z ) 2 i σ 2 X 2 (n 1) = X 2 ( 1) + X 2 (n ) Dari persamaan di atas statisti F didefinisian sebagai beriut: dengan, (z r i z ) 2 i ( 1) F = r (z it z ) 2 i (n ) z = i rata-rata data tiap perlauan yang ditransformasi z = rata-rata dari semua rata-rata tiap perlauan Dengan ( 1) dan (n ) derajat bebas (Phill,1999) 2.4 Analisa Rata-rata untu Ragam (ANOMV)
10 Metode ini dilauan dengan mengubah ANOM menjadi uji sala dengan mentransformasi pengamatan X ij edalam persamaan dibawah : Y ij = (X ij X i) 2 (15) Dimana X ij berdistribusi N (μ i, σ i 2 ) misal n dengan α i = 0 σ i 2 = σ 2 + α i (16) Misal Y i, Y, dan V i = Y i Y. Y i adalah penduga masimum lielihood dari σ 2 i, Y, adalah penduga dari σ 2 dan V i adalah penduga dari α i sehingga : Y i = n 1 n S i 2 Y n 1 i = n S2 V i = n 1 (S n i 2 S ) 2 2 2 Dengan S i adalah penduga tabias dari σ i dan S 2 adalah rata-rata ragam sampel. Karena tida ada esesuaian uuran antara ragam sampel dengan rata-rata ragam yang sangat besar maa ita membutuhan penduga dari σv i, standar deiasi dari V i. Untu populasi normal : ar(s 1 2 ) = 2σ4 n 1 (17) Maa, ar(v i) = ar [( n 1 ) (S n i 2 S )] 2 = ( n 1 n )2 ar(s 2 i S ) 2 = ( n 1 n )2 [( 1 )2 + 1 2 ] ar(s i 2 ) = ( n 1 n 2 ) ( 1 ) 2σ4 (18)
11 Sehingga diperoleh, σv i = σ2 n 2( 1)(n 1) (19) Karena S 2 penduga ta bias dari σ 2 maa: σ V i = S2 2( 1)(n 1) n σ V i adalah penduga ta bias bagi σv i. Kita anggap: G i = V i σ Vi = n 1 n (S i 2 S ) 2 S 2 n 2( 1)(n 1) = S i 2 S 2 S C 2 (20) dimana C = 2( 1) (n 1) S C 2 adalah penduga ta bias dari standar deiasi dari persamaan (19). G i,diasumsian dari model (14), E(S i 2 ) = σ i 2 = σ 2 + α i, E(s ) 2 = ( 1 ) E(S j 2 ) = ( 1 ) (σ2 + α i ) = σ 2 j=1 arena S 2 i S 2 merupaan penduga ta bias dari α i, didapat persamaan: j=1 G i = S i 2 S 2 S C 2 = S i 2 S 2 C 1 C = S i 2 C S2 1 j=1 i C dimana N i = S i 2 S i 2 j=1 = C (N i 1 ) (21)
12 G i (terjadi jia ragam sampel relatif besar dibandingan rata-rata ragam) setara dengan proposi ragam total yang disumbangan dari i ragam sampel lebih besar 1/, proporsi yang diduga etia hipotesis homogenitas ragam adalah benar. Pengamatan serupa dapat membuat nilai G i ecil. Karena G i adalah fungsi linier dari N i, maa untu setiap batas eputusan G i setara dengan batas eputusan dari N i. Kita sebut dengan analisis rata-rata untu ragam (ANOMV). Nilai ritisnya disimbolan dengan α,, dan (derajat bebas) yang membangun garis eputusan. UDL = U α,, S 2 CL = S 2 UDL = L α,, S 2 (22) terhadap garis dari ragam sampel S i 2. Hipotesis homogenitas ragam di tola jia ada ragam sampel S i 2 berada di luar garis eputusan.(wludya and Nelson,1997). 2.5 Menentuan Titi Kritis untu ANOMV 1. Tepat Titi Kritis Dari hipotesis sebelumnya di dapat: N i = S i 2 S2 j=1 j = (n 1)S i 2 /σ 2 (n 1)S j 2 /σ 2 j=1 (23) Adalah perbandingan antara peubah aca hi uadrat n-1 df dengan penjumlahan peubah aca hi- uadrat yang saling bebas yang berderajat bebas n-1. Misal m = (n 1)/2 maa benar jia:
13 a. N i berdistribusi beta [m, ( 1)m] sehingga E(N i ) = 1 dan ar(n i ) = 1 2 (m+1) (24) b. Ada himpunan dari r(2 r 1) N i adalah distribusi bersama bagi r distribusi dimensi Dirichelt [m,, m: ( r)m] dengan fungsi densitasnya: Γ(m) f(x 1,, x r ) = x [Γ(m)] r Γ[( r)m] 1 m 1 x m 1 r (1 Untu bilangan ta negatif x i maa x i 1. r r x i ) ( r)m 1 (25) c. Untu ( 1) dimensi Dirichlet (m,, m; m) co(n i, N j ) = 1 2 (m+1) (26) Dari persamaa sebelumnya (a dan b) dengan ρ = 1 sedemiian sehingga : 1 ada (L,U) 1 α = P(L N i U untu i = 1,, ) (27) = A y 1 m 1 y m 1 dy 1 dy 1 (28) Dimana A = {(y 1,, y ): L y i U untu i = 1,.., } y = 1 1 y i dan K = Γ(m) (29) [Γ(m)] Dari persamaan diatas dengan menggunaan aidah eputusan menyebaban uji HOV untu α : menola H 0 jia N i tida pada interal (L,U) untu beberapa i. Hal ini uni bagi L dan U, untu beberapa riteria misalnya:
14 P(max N i > U) = P(minN i < L) (30) atau P(N i > U) = P(N i < L)untu i = 1,, (31) (Wludya and Nelson,1997). 2. Pendeatan Titi Kritis Untu nilai > 3 ita menggunaan pendeatan titi ritis. Misal A i = {L N i U} dan A i c merupaan omplemen dari A. Maa, P( A i c ) Adalah peluang untu menola hipotesis HOV dengan batas atas dan batas bawahnya: P(A i c ) P(A i c A j c ) P( A i c ) P(A i c ) P(A 1 c ) ( 1) 2 i<j P(A c 1 A c 2 ) P( A c i ) (32) P( A c i ) P(A c 1 ) ( 1)P(A c 1 A c 2 ) (33) Karena P(A c 1 ) adalah peluang dengan rasio N i = S i 2 2 merupaan S j interal luar (L,U) yang relean dengan peluang gabungan dari distribusi beta[m: ( 1)m]. Karena P(A 1 c A 2 c ) adalah peluang dari 2 rasio tertentu merupaan interal luar (L,U), ini relean dengan peluang gabungan dari distribusi Dirichlet[m. m ( 2)m] (Wludya and Nelson,1997). j=1