BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM. ) menyatakan banyaknya kejadian pada interval [ 0, n ] dan h

BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM 4.1 Peduga dega Kerel Seragam Pada bab ii diguaka peduga dega kerel eragam. Hal ii karea aya belum berail memperole ebara aimtotik dari peduga dega kerel umum. Utuk itu bab ii megguaka kerel eragam. Peduga bagi ( pada [ 0, didefiiika ebagai berikut (liat 3.10 megguaka kerel eragam dapat ˆ (, k 0 + ([ +, + + ] [ 0, ] 1 N k k ( k (4.1 dega N ([ 0, ] meyataka bayakya kejadia pada iterval [ 0, ] da adala baria bilaga real poitif yag koverge meuju ol, yaitu 0 (4. utuk. Pada peduga di ata, diebut badwidt. Utuk meyuu peduga diperluka data ([ 0, ] N, yaitu data realiai proe Poio pada iterval [ 0, ], dega bilaga real da aru relatif bear dibadigka periode. Fugi iteita ( dapat didekati dega ratarata bayakya kejadia di ekitar atau pada iterval [, ] itu, peduga bagi (, diotaika dega ˆ ( +. Ole karea, diperole dega meetuka rata-rata bayakya kejadia di ekitar. Seara matemati dapat dituli mejadi

ˆ ( ([, + ] N. (4.3 Berdaarka ifat keperiodika pada peramaa (3.4, maka didapatka peduga kompoe periodik fugi iteita di ekitar + k, yaitu ( yag meyataka rata-rata bayakya kejadia di ekitar + k dibagi ( + k. Seara matemati dapat dituli mejadi ˆ ˆ ( ([ +, + + ] ( + k N k k. (4.4 Data yag diamati pada iterval [ 0, ]. Diotaika bayakya bilaga bulat k eigga k [ 0, ] peduga bagi utuk k [ 0, ] ( + k +, yaitu meyataka +. Seigga didapatka uatu ([ +, + + ] ( 0, 1 1 N k k ˆ (. (4.5 k 0 Dega meggati dega, maka diperole peduga kompoe periodik ( ˆ, yaitu (, k 0 + eperti pada peramaa (4.1. ([ +, + + ] [ 0, ] 1 N k k ( k Berdaarka Teorema 3.1 diperole ilai arapa utuk peduga dega kerel eragam ebagai berikut:

E (, ( ( ( '' + + o 6 ( (4.6 utuk. Berdaarka Teorema 3., ilai ragam peduga dega kerel eragam adala ( ( ( π, 1 ˆ 1 Var + o, (4.7 utuk. 4. Sebara Aimtotik Peduga dega Kerel Seragam Teorema 4.1 (Sebara aimtotik peduga ( Mialka fugi iteita memeui (3.1 da teritegralka lokal, erta 0, ˆ,, da memiliki turua kedua berigga pada titik. 5 (i Jika 0, maka ˆ d ( ( Normal 0, σ (4.8 (,, ( K ( π utuk dega σ. 1 (iijika 1maka ˆ d ( ( Normal σ, (4.9 5 (,, ( K utuk, dega ( Bukti : ( 1 π da σ. 6 1 Rua kiri (4.8 da (4.9 dapat dituli ebagai berikut: ( ˆ, ( ( ( ˆ ˆ, ( ˆ,, ( ( ( ( E + E. (4.10 Seigga utuk membuktika Teorema 4.1, ukup dibuktika

( ˆ ( ˆ d,, ( ( 0, σ E Normal (4.11 utuk da jika 0 maka 5 (,, ( ( ˆ 0 (4.1 E K utuk da jika 1 maka 5 (,, ( ( ˆ 1, (4.13 6 E K utuk. Berdaarka Lema 4.1 kita perole (4.1 da (4.13, da berdaarka Lema 4. kita perole (4.11. Jadi Teorema 4.1 terbukti. Lema 4.1 Mialka fugi iteita memeui peramaa (3.1 da teritegralka lokal. Mialka pula 0 da 5 (i Jika 0 maka utuk. (, ( ( ˆ 0 E (4.14 utuk. 5 (ii Jika 1 maka ( ˆ 1, ( ( ( E 6 (4.15 Bukti : utuk. Utuk membuktika Lema 4.1 dapat diguaka peramaa (4.6 eigga diperole

( ˆ, ( ( E ( + ο 6 ( 5 6 6 ( ( + ο + ο ( 1 ( 1. (4.16 Karea 5 4.1. 0 da 6 ( + ο ( 1 O( 1 maka diperole bagia (i dari Lema 5 Jika 1 utuk demikia Lema 4.1 terbukti. maka diperole bagia (ii dari Lema 4.1. Dega Lema 4. Mialka fugi iteita memeui peramaa (3.1 da teritegralka lokal. 0 da utuk maka ( ˆ ( ˆ d,, ( ( 0, σ E Normal (4.17 dega π ( σ utuk, 1 Bukti : Peratika bawa rua kiri peryataa Lema 4. dapat dituli ebagai ( Var, ˆ ˆ ( E ˆ ( Var ˆ (,, Utuk membuktika Lema 4. ukup dibuktika,.. (4.18

ˆ ( Var K,, da π 1 ( (4.19 ˆ, utuk ( E ˆ ( E ˆ (,, d Normal ( 0,1 (4.0 Pertama dibuktika peryataa (4.19. Dega meyubtituika (4.7 ke rua kiri (4.19 diperole ( Var K,, ˆ ( π 1 + o 1 ( ( π 1 + o 1 ( π 1 ( 1 + ο (4.1 utuk. Mialka diperole u π ( + ο ( 1 da f ( u u, 1 dega megguaka deret Taylor ( π ( π π f ( u f ( + f u 1 1 1 ( π ( π 1 + f u +... 1 1! π ο( 1 ο( 1 π 1 ( + +... ( + ο ( 1 1 π π 1 ( 4 ( 1 1

utuk. Maka diperole (4.19. Berdaarka Lema 4.3 diperole (4.0. Dega demikia Lema 4. terbukti. Lema 4.3 Mialka fugi iteita memeui peramaa (3.1 da teritegralka lokal, 0, da adala titik Lebegue maka ˆ ( E ˆ ( E ˆ (,, d, Normal ( 0,1 (4. utuk. Bukti : Mialka X k 0 ([ +, + + ] 1 N k k ( + k (4.3 da EX (, dega meyataka bayakya bilaga k eigga + k [ 0, ]. Karea 0 jika, maka utuk ilai yag ukup bear, peuba aak N( [ + j, + j + ] da N( [ + k, + k + ], dega k j, adala alig beba. Peratika bawa jumla peuba aak Poio yag alig dapat dituli beba juga merupaka peuba aak Poio. Seigga ( ˆ, ( ( X yag merupaka peuba aak Poio dikalika uatu kotata. Seigga, berdaarka Lema 4.4 utuk membuktika (4. ukup ditujukka ˆ,

(4.4 utuk Utuk embarag ilai diperole ilai arapa peuba aak ([ +, + + ] 1 N k k E k 0 ( + k ([ +, + + ] 1 N k k E k k 0 ( + ([ +, + + ] 1 EN k k k k 0 ( + Kemudia kompoe N( [ + k, + k + ] dapat diuraika mejadi X adala dx dx (4.5 E pada peramaa (4.5 + k + ([ + + + ] ( ( [ ] EN k, k x I x 0, d. + k (4.6 Dega melakuka peggatia peuba y x ( + k, peramaa (4.6 dapat dituli mejadi ([ + + + ] ( + + ( + + [ ] EN k, k y k I y k 0, d. Dega megguaka peramaa (3.3, maka peramaa (4.6 dapat dituli mejadi ([ +, + + ] E N k k ( ( ( [ ] y+ + k y+ + k I y+ + k 0, d. (4.7 Berdaarka ifat keperiodika, maka peramaa (4.7 dapat dituli mejadi

([ +, + + ] EN k k ( ( ( [ ] y+ y+ + k I y+ + k 0, d. (4.8 Kemudia kembalika peramaa (4.8 ke peramaa (4.5 eigga mejadi 1 1 + + + + + ( + k ( y ( y k I( y k [ 0, ] d. (4.9 k 0 Peramaa (4.9 bia dituli mejadi Peratika bawa ( + + k 0 ( y+ + k y k I ( y+ + k [ 0, ] + O( 1 (4.31 k 0 ( + k utuk. Jadi peramaa (4.30 dapat dituli mejadi (4.3 1 1 ( y O( 1 dy O( 1 ( y dy + + + + Dilakuka operai perkalia pada rua kaa peramaa (4.3 eigga didapat 1 ( y I ( y k [ 0, ] d. y (4.30 + + + ( + k 1 + + ( y dy O( 1 (4.33 Suku pertama pada rua kaa dari peramaa (4.33 dapat dituli mejadi 1 ( ( y + + ( ( dy 1 1 ( ( y ( dy ( dy. + + (4.34

Peratika uku pertama dari peramaa (4.34. Karea adala titik Lebegue diguaka ilai yag lebi bear, yaitu 1 ( y + ( dy ο ( 1 ο ( (4.35 utuk. Sedagka uku kedua peramaa (4.34 adala 1 ( dy (. (4.36 Dega meggabugka ail yag diperole, maka 1 1 ( ( y ( dy ( dy + + + ( o( utuk. Dega demikia diperole bawa uku pertama rua kaa peramaa (4.33 adala 1 ( y + dy ( + o( utuk. Akirya diperole dari rua kaa peramaa (4.33, adala + +Ο ( o( ( 1 ( + o(

utuk. Dega demikia Lema 4.3 terbukti. Lema 4.4 Mialka X adala baria peuba aak Poio dega EX. Jika X d utuk, maka N ( 0,1 utuk. Bukti : Liat Ceg 1949