KEKONSISTENAN PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN

Transkripsi

1 EONSISTENAN PENDUGA OMPONEN PERIODI FUNGSI INTENSITAS BERBENTU PERALIAN FUNGSI PERIODI DENGAN TREN UADRATI PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN TASLIM SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dega ii saya meyataka bahwa tesis berjudul ekosistea Peduga ompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Perkalia Fugsi Periodik dega Tre uadratik pada Proses Poisso No Homoge adalah karya saya dega araha dari komisi pembimbig da belum diajuka dalam betuk apa pu kepada pergurua tiggi maa pu. Sumber iformasi yag berasal atau dikutip dari karya yag diterbitka dari peulis lai telah disebutka dalam teks da diatumka dalam Daftar Pustaka di bagia akhir tesis ii. Bogor, Mei 0 Taslim NIM G

3 ABSTRACT TASLIM. Cosistet Estimatio of Periodi Compoet of Itesity Futio Havig Form of Periodi Futio Multiplied by a Quadrati Tred of a No- Homogeous Poisso Proess. Uder supervisio of I WAYAN MANGU ad RETNO BUDIARTI. I this thesis, estimatio of periodi ompoet of itesity futio havig form of periodi futio multiplied by a quadrati tred of a o-homogeous Poisso proess by usig geeral kerel is disussed. It is osidered the worst ase where there is oly available a sigle realizatio of the Poisso proess havig itesity obtaied as a produt of a periodi futio with a quadrati tred, observed i iterval [0,]. It is assumed that the period of the periodi ompoet is kow. I this mausript, weak osistey of a kerel-type estimator for the periodi ompoet of the osidered itesity futio is established. The rate of osistey, omplete overgee ad strog osistey of the estimator are also formulated. eywords: periodi Poisso proess, kerel futio, quadrati tred.

4 RINGASAN TASLIM. ekosistea Peduga ompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Perkalia Fugsi Periodik dega Tre uadratik pada Proses Poisso No Homoge. Dibimbig oleh I WAYAN MANGU da RETNO BUDIARTI. Proses stokastik mempuyai peraa petig dalam berbagai bidag pada kehidupa sehari-hari seperti utuk memodelka proses kedataga para pelagga pada suatu pusat layaa seperti supermarket, kedataga da atria asabah di suatu bak, da lai sebagaiya.proses stokastik dibedaka mejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses kedataga para pelagga pada suatu pusat layaa seperti supermarket, kedataga da atria asabah di suatu bak da lai-lai dapat dimodelka dega suatu proses Poisso periodik dega periode satu hari. Pada proses kedataga pelagga tersebut, fugsi itesitas λ(s) meyataka laju kedataga pelagga pada waktu s. Namu, jika laju kedataga pelagga tersebut meigkat megikuti suatu fugsi tre terhadap waktu, maka model yag sesuai utuk kasus ii adalah proses Poisso periodik dega suatu tre. Pada peelitia ii dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika treya berupa fugsi kuadrat. Model fugsi itesitas yag dikaji adalah fugsi periodik dikalika dega tre kuadratik. Pada peelitia ii dibahas kekosistea peduga kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk fugsi periodik kali tre kuadratik pada proses Poisso o homoge. Pada peelitia ii metode yag diguaka utuk meduga fugsi itesitas proses Poisso periodik dikalika tre kuadratik adalah metode oparametrik tipe kerel umum (Helmers et al., 003). Sebagai alur dari peelitia ii, pertama merumuska peduga. emudia membuktika peduga adalah peduga kosiste lemah da Mea Square Error (MSE) koverge ke ol. utuk membuktika kekosistea lemah diperluka pembuktia lema ketakbiasa asimtotik da kekovergea ragam. Selajutya meetuka laju kekosistea peduga, utuk meetuka laju kekosistea diperluka pembuktia aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa da aproksimasi asimtotik bagi ragam. Terakhir, membuktika kekovergea legkap peduga yag berimplikasi peduga adalah peduga kekosistea kuat. Misalka N adalah proses Poisso ohomoge pada iterval [0, ) dega fugsi itesitas λ yag tidak diketahui. Fugsi ii diasumsika teritegralka lokal da merupaka hasil kali dari dua kompoe, yaitu hasil kali suatu kompoe periodik (siklik) dega periode > 0 dega suatu kompoe tre yag berbetuk fugsi kuadratik. Dega kata lai utuk setiap titik s [0, ) kita dapat meuliska fugsi itesitas sebagai berikut ( s) ( ( s)) as *

5 dimaa * () s adalah suatu fugsi periodik dega periode da a adalah koefisie dari tre kuadratik. area a( *( s )) juga fugsi periodik dega periode, maka seara umum fugsi itesitas dapat ditulis sebagai berikut ( ) ( ( )) s s s () dimaa * ( ) ( ) s a s. area adalah fugsi periodik maka persamaa ( s k ) ( s ) () berlaku utuk setiap s [0, ) da k dega adalah himpua bilaga bulat. Misalka bahwa utuk suatu, haya terdapat realisasi tuggal N( ) dari proses Poisso N yag terdefiisi pada ruag peluag (,, P) dega fugsi itesitas seperti pada () yag diamati pada iterval terbatas [0, ]. Berdasarka persamaa (), utuk meduga () s pada titik s [0, ), ukup diduga () s pada titik s [0, ). Peduga tipe kerel dari () s pada s [0, ) dirumuska sebagai berikut: ˆ x ( s k ),, ( s) N( dx). 0 k h( s k ) h Dari hasil pegkajia yag dilakuka, dega suatu syarat tertetu, diperoleh hasil sebagai berikut : (i) Peduga ˆ,, () s adalah peduga tak bias asimtotik bagi () s da ragam dari ˆ,, () s koverge meuju ol, sehigga ˆ,, () s merupaka peduga kosiste bagi () s da MSE( ˆ,, ( s )) 0 jika. (ii) Aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa () s ˆ,, s = () s h x x dx o h. (iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam ˆ s Var,, s x dx. 6 h h (iv) Utuk setiap mi,, ˆ ( ) ( ),, s s koverge dalam peluag meuju ol jika, yaitu ˆ,, () s merupaka peduga kosiste bagi () s dega laju. (v) Peduga ˆ,, () s koverge legkap ke () s utuk, yag juga berimplikasi ˆ,, () s merupaka peduga kosiste kuat bagi () s. ata kui: proses Poisso periodik, fugsi kerel, tre kuadratik.

6 Hak ipta milik Istitut Pertaia Bogor, tahu 0 Hak ipta dilidugi Udag-udag. Dilarag megutip sebagia atau seluruh karya tulis ii tapa meatumka atau meyebutka sumber a. Pegutipa haya utuk kepetiga pedidika, peelitia, peulisa karya ilmiah, peyusua lapora, peulisa kritik atau tijaua suatu masalah. b. Pegutipa tidak merugika kepetiga yag wajar Istitut Pertaia Bogor.. Dilarag megumumka da memperbayak sebagia atau seluruh karya tulis dalam betuk apapu tapa izi Istitut Pertaia Bogor.

7 EONSISTENAN PENDUGA OMPONEN PERIODI FUNGSI INTENSITAS BERBENTU PERALIAN FUNGSI PERIODI DENGAN TREN UADRATI PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN TASLIM Tesis sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Magister Sais pada Program Studi Matematika Terapa SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

8 Peguji Luar omisi pada Ujia Tesis: Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, M.S.

9 Judul Tesis Nama NIM : ekosistea Peduga ompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Perkalia Fugsi Periodik dega Tre uadratik pada Proses Poisso No Homoge : Taslim : G Disetujui omisi Pembimbig Dr. Ir. I Waya Magku, M.S. etua Ir. Reto Budiarti, M.S. Aggota Diketahui etua Program Studi Matematika Terapa Deka Sekolah Pasasarjaa Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.S.Agr. Taggal Ujia: 5 Mei 0 Taggal Lulus:

10 PRAATA Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala karuia- Nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika. Judul yag dipilih pada peelitia yag dilaksaaka sejak bula Desember 00 ii adalah ekosistea Peduga ompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Perkalia Fugsi Periodik dega Tre uadratik pada Proses Poisso No Homoge Terima kasih peulis uapka kepada Dr. Ir. I Waya Magku, M.S. da Ir. Reto Budiarti, M.S. selaku pembimbig yag telah bayak membimbig da megarahka, serta Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, M.S. selaku peguji da selaku ketua Program Studi Matematika Terapa yag telah bayak memberika sara. Uapa terima kasih juga peulis sampaika kepada Departeme Agama Republik Idoesia yag telah memberika beasiswa. emudia kepada ibu, istri da aak serta seluruh keluarga yag memberika motivasi, semagat, do a da kasih sayag, peulis meyampaika peghargaa da terima kasih. Semoga karya ilmiah ii bermafaat. Bogor, Mei 0 Taslim

11 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Pulau Paggug pada taggal 5 Desember 979 dari ayah (Alm) Abdul Aziz Sa ba da ibu Nurhayai. Peulis merupaka putra kedua dari lima bersaudara. Pedidika sarjaa ditempuh di Uiversitas Begkulu. Peulis memilih Jurusa Pedidika Matematika pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam da selesai pada tahu 00. Tahu 00 peulis mejadi staf pegajar di MA Negeri (Model) Lubukliggau. Pada tahu 009 peulis memperoleh kesempata utuk melajutka ke program magister pada program studi Matematika Terapa di Istitut Pertaia Bogor melalui jalur Beasiswa Utusa Daerah Departeme Agama Republik Idoesia.

12 DAFTAR ISI Halama BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Tujua Peelitia... BAB II TINJAUAN PUSTAA. Ruag Cotoh, ejadia da Peluag Peubah Aak da Fugsi Sebara Mome da Nilai Harapa ekovergea Peduga Tak Bias da Peduga osiste Beberapa Defiisi da Lema Tekis Proses Poisso Periodik....8 Pedugaa Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik... 5 BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN EONSISTENANYA 3. Perumusa Peduga bagi () s ekosistea dari ˆ,, () s... 9 BAB IV LAJU EONSISTENAN LEMAH DAN EONSISTENAN UAT PENDUGA 4. Laju ekosistea Lemah Peduga ekosistea uat Peduga... 3 BAB V ESIMPULAN DAN SARAN 5. esimpula Sara DAFTAR PUSTAA... 36

13 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Terdapat bayak feomea dalam kehidupa sehari-hari yag dapat dijelaska dega suatu proses stokastik. Proses stokastik merupaka model yag berkaita dega suatu atura-atura peluag. Proses stokastik mempuyai peraa petig dalam berbagai bidag pada kehidupa sehari-hari seperti utuk memodelka proses kedataga para pelagga pada suatu pusat layaa seperti supermarket, kedataga da atria asabah di suatu bak, da lai sebagaiya. Proses stokastik dibedaka mejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses kedataga para pelagga pada suatu pusat layaa seperti supermarket, kedataga da atria asabah di suatu bak da lai-lai dapat dimodelka dega suatu proses Poisso periodik dega periode satu hari. Pada proses kedataga pelagga tersebut, fugsi itesitas λ(s) meyataka laju kedataga pelagga pada waktu s. Namu, jika laju kedataga pelagga tersebut meigkat megikuti suatu fugsi tre terhadap waktu, maka model yag sesuai utuk kasus ii adalah proses Poisso periodik dega suatu tre. Pada peelitia ii dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika treya berupa fugsi kuadrat. Model fugsi itesitas yag dikaji adalah fugsi periodik dikalika dega tre kuadratik. Pada peelitia-peelitia sebelumya telah dikaji pedugaa fugsi itesitas proses Poisso periodik tapa tre da fugsi itesitas yag berupa fugsi periodik ditambah dega tre liear atau tre berupa fugsi pagkat. ajia yag belum dilakuka adalah pedugaa fugsi itesitas berbetuk perkalia fugsi periodik dega suatu tre kuadratik. Pada peelitia ii dibahas

14 kekosistea lemah da kuat peduga kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk perkalia fugsi periodik dega tre kuadratik pada proses Poisso o homoge.. Tujua Peelitia Tujua dari peelitia ii adalah utuk : i. Megkaji pembetuka peduga kerel bagi kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk perkalia fugsi periodik dega tre kuadratik pada proses Poisso o homoge. ii. Membuktika kekosistea lemah bagi peduga yag dikaji. iii. Meetuka laju kekosistea lemah bagi peduga yag dikaji. iv. Membuktika kekovergea legkap da kekosistea kuat bagi peduga yag dikaji.

15 3 BAB II TINJAUAN PUSTAA. Ruag Cotoh, ejadia da Peluag Defiisi. (Ruag otoh da kejadia) Suatu perobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi seara tepat tetapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag muul disebut perobaa aak. Himpua semua hasil yag mugki dari suatu perobaa aak disebut ruag otoh da diotasika dega Suatu kejadia A adalah himpua bagia dari ruag otoh. (Ross, 007) Defiisi. (Meda- ) Meda - adalah suatu himpua yag aggotaya adalah himpua bagia ruag otoh yag memeuhi syarat syarat berikut :. Ø.. Jika A maka A. 3. Jika A, A, maka i Ai (Grimmett da Stirzaker, 99) Jadi, suatu himpua disebut Meda - ( field ) jika adalah aggota, tertutup terhadap operasi uio tak higga, da tertutup terhadap operasi kompleme. Defiisi.3 (Ukura peluag) Suatu ukura peluag pada (Ω,) adalah suatu fugsi : [0,] yag memeuhi syarat syarat berikut:. ( ) = 0 da (Ω) = 3

16 4. Jika A, A.. adalah himpua himpua yag salig lepas, yaitu A i A j = utuk setiap pasaga i, j dega i j, maka : Defiisi.4 (ejadia salig bebas) A i ( Ai). i i (Grimmett da Stirzaker, 99) ejadia A da B dikataka salig bebas jika: ( AB) ( A) ( B). Seara umum himpua kejadia A ; i I Ai ( Ai) utuk setiap himpua bagia J dari I. i j i j. Peubah Aak da Fugsi Sebara Defiisi.5 (Peubah aak) i dikataka salig bebas jika : (Grimmett da Stirzaker, 99) Peubah aak X adalah fugsi X : dega : X( ) x utuk setiap x. (Grimmett da Stirzaker,99) Defiisi.6 (Fugsi sebara) Fugsi sebara dari suatu Peubah aak X adalah fugsi F : 0, didefiisika oleh F ( x) ( X x). X X, yag (Grimmett da Stirzaker, 99) Defiisi.7 (Peubah aak diskret) Peubah aak X dikataka diskret jika semua himpua ilai { x, x,...} dari peubah aak tersebut merupaka himpua teraah. Defiisi.8 (Fugsi kerapata peluag) (Grimmett da Stirzaker, 99) Fugsi kerapata peluag dari suatu peubah aak diskret X adalah fugsi px : [0,] dega p ( x) ( X x). X (Grimmett da Stirzaker, 99)

17 5.3 Mome da Nilai Harapa Defiisi.9 (Mome) Jika X adalah peubah aak diskret, maka mome ke - m dari X didefiisika m m sebagai X xi px ( xi ) jika jumlahya koverge, dimaa x i, utuk i =, i,, meyataka semua kumpula ilai X, dega px( xi) 0. Jika jumlahya diverge, maka mome ke - m dari peubah X dikataka tidak ada. (Taylor da arli, 984) Mome pertama dari peubah aak X, yaitu utuk m = disebut ilai harapa dari X da diotasika dega [ X] atau µ. Defiisi.0 (Mome pusat) Mome pusat ke m dari peubah aak X didefiisika sebagai mome ke m dari peubah aak X [ X]. (Taylor da arli, 984) Mome pusat pertama adalah ol. Ragam dari peubah aak X adalah mome pusat kedua dari peubah aak tersebut da diotasika sebagai Var( X ) X [ X ]. Lema Jika X adalah peubah aak diskret dega ragam yag berhigga, maka utuk sebarag kostata da d, berlaku Var(X + d) = Var(X). Bukti : Dari defiisi A.0 kita dapat meuliska bahwa Var( X d) (( X d) ( X d)) Jadi Lema terbukti. (( X d) ( ( X ) d)) ( ( X ( X ))) ( ( X ( X )) ) (( X ( X )) ) Var( X ). (Casella da Berger, 990)

18 6 Defiisi. (ovaria) Misalka X da Y adalah peubah aak diskret, da misalka pula μ X da μ Y masig masig meyataka ilai harapa dari X da Y. ovaria dari X da Y didefiisika sebagai Cov( X, Y) (( X X)( Y Y)). Lema (Casella da Berger, 990) Misalka X da Y adalah peubah aak diskret, da misalka pula da d adalah dua buah kostata sebarag, maka Var(X + dy) = Var(X) + d Var(Y) + dcov(x,y). Jika X da Y peubah aak salig bebas, maka Var(X + dy) = Var(X) + d Var(Y). Bukti : Var X dy X dy X dy Jadi Lema terbukti..4 ekovergea X dy X d( Y) X X d Y Y (Casella da Berger, 990) X X d Y Y d X X Y Y Var X d Var Y d X X Y Y, Var X d Var Y dcov X Y. Defiisi. (ekovergea barisa bilaga yata) Barisa { a } disebut mempuyai limit L da ditulis : lim a = L atau a L jika, apabila utuk setiap ε > 0 terdapat sebuah bilaga M sedemikia rupa sehigga jika > M maka a L.. Jika lim a = L ada, maka dikataka barisa tersebut koverge. Jika tidak, maka barisa tersebut diverge. (Stewart, 999)

19 7 Lema 3 (Deret-p) Deret p (disebut juga deret-p) koverge jika p >, da diverge jika p. (Steawart, 999) Defiisi.3 (overge dalam peluag) Misalka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah aak X dikataka koverge dalam peluag ke X, diotasika X p X, jika utuk setiap ε > 0, berlaku X X Defiisi.4 (overge dalam rataa ke r) lim 0. (Serflig, 980) Misalka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah aak X dikataka koverge dalam rataa ke-r ke peubah aak X, dega r, ditulis X r X utuk, jika r X utuk semua da X X 0 r utuk. (Grimmett da Stirzaker, 99) Defiisi.5 (overge hampir pasti) Misalka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah aak X dikataka koverge hampir pasti ke peubah aak X, ditulis X as X, utuk, jika utuk setiap ε > 0, lim X X. Dega kata lai koverge hampir pasti adalah koverge dega peluag satu. (Grimmett da Stirzaker, 99)

20 8 Defiisi.6 (overge legkap) Misalka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah aak X dikataka koverge legkap ke peubah aak X, jika utuk setiap 0, berlaku X X. (Grimmett da Stirzaker, 99) Defiisi.7 (overge dalam sebara) Misalka X,X, X adalah peubah aak dalam ruag peluag (Ω,, P). Barisa peubah aak X dikataka koverge dalam sebara ke peubah aak X, ditulis X d X, jika P(X x) P(X x) utuk, utuk semua titik x dimaa fugsi sebara F X (x) adalah kotiu..5 Peduga Tak Bias da Peduga osiste Defiisi.8 (Statistik) (Grimmett da Stirzaker, 99) Statistik merupaka suatu fugsi dari satu atau lebih peubah aak yag tidak tergatug pada parameter (yag tidak diketahui). Defiisi.9 (Peduga) (Hogg et al, 005) Misalka X, X,, X adalah otoh aak. Suatu statistik U = U(X, X,, X ) = U(X) yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g(θ) disebut peduga bagi g(θ). Nilai amata U(X, X,, X ) dari U dega ilai amata X = x, X = x, X = x disebut sebagai dugaa bagi g(θ). Defiisi.0 (Peduga tak bias) (Hogg et al, 005) U(X) disebut peduga tak bias bagi g(θ), bila [ U( X )] g( ). Bila [ U( X )] g( ) b( ), maka b(θ) disebut bias dari peduga U(X). Bila lim [ U( X )] g( ) maka U(X) disebut sebagai peduga tak bias asimtotik bagi g(θ). (Hogg et al, 005)

21 9 Defiisi. (Peduga kosiste) (i) Suatu statistik U(X, X,, X ) yag koverge dalam peluag ke parameter p g(θ), yaitu U( X, X,..., X ) g( ), utuk, disebut peduga kosiste bagi g(θ). as (ii) Jika U( X, X,..., X ) g( ) utuk, maka U(X, X,, X ) disebut peduga kosiste kuat bagi g(θ). r (iii) Jika U( X, X,..., X ) g( ) utuk, maka U(X, X,, X ) disebut peduga kosiste dalam rataa ke-r bagi g(θ). Defiisi. (Mea square error) (Grimmett da Stirzaker, 99) Mea Square Error (MSE) dari peduga ˆ utuk parameter θ adalah fugsi dari θ yag didefiisika oleh E ( ˆ ). (Casella da Berger, 990) Dega kata lai MSE adalah ilai harapa kuadrat dari selisih atara peduga ˆ da parameter θ. Sehigga diperoleh E ( ˆ ) Var( ˆ ) ( E ( ˆ )) ˆ Var( ) ( Bias( )). ˆ.6 Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi.3 (O(.) da o(.)) Simbol O(.) da o(.) adalah ara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x meuju suatu limit L. (i) Notasi u(x) = O(v(x)), x L, meyataka bahwa (ii) Notasi u(x) = o(v(x)), x L, meyataka bahwa ux ( ) vx ( ) ux ( ) vx ( ) terbatas, utuk x L. 0, utuk x L. (Serflig, 980)

22 0 Defiisi.4 (Mome kedua terbatas) Peubah aak X disebut mempuyai mome kedua terbatas jika E(X ) terbatas. (Helms, 996) Defiisi.5 (Fugsi idikator) Fugsi idikator dari suatu himpua A, serig ditulis I A (x), didefiisika sebagai, jika x A I{ x A} 0, selaiya (Casella da Berger, 990) Lema 4 (etaksamaa Markov) Jika X adalah peubah aak, maka utuk suatu t > 0, [ X ] ( X t). t (Ghahramai, 005) Lema 5 (etaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah aak dega ilai harapa μ da ragam terbatas σ maka ( X t) utuk setiap t 0. t (Ghahramai, 005) Bukti : area X 0, dega ketaksamaa Markov ( X ) t. Oleh karea ( X ) t t X t adalah eqivale X t, maka Lema 5 terbukti. Lema 6 (etaksamaa Cauhy-Shwarz) Jika X da Y adalah peubah aak dega mome kedua terbatas, maka ( [ ]) [ ] [ ] XY X E Y da aka sama dega jika da haya jika P(X = 0) atau P(Y = ax) = utuk suatu kostata a. (Helms, 996)

23 Bukti Utuk semua bilaga real a, ( X ay ) 0. Oleh karea itu utuk semua ilai dari a, X XYa a Y 0. area peubah aak oegatif, maka ilai harapaya juga oegatif, yaitu ( X XYa a Y ) 0 ( X ) ( XY) a a ( Y ) 0 Dega meuliska dalam persamaa poliomial derajat, maka Misalka A a ( Y ) ( XY) a ( X ) 0. ( Y ), B ( XY), da C ( X ). Perhatika bahwa poliomial berderajat yag memiliki palig bayak sebuah akar real, maka dikrimiaya tak positif. Sehigga B Jadi, Lema 6 terbukti. 4AC 0 XY X Y 4 ( ) 4 ( ) ( ) 0 ( XY ) ( X ) ( Y ). Lema 7 (Lema Borel-Cotelli) (i) Misalka {A } adalah sebarag kejadia, jika PA { }, maka P(A terjadi sebayak tak higga kali) = 0. (ii) Misalka {A } adalah sebarag kejadia yag salig bebas. Jika { A }, maka (A terjadi sebayak tak higga kali) =. (Durret, 996) Lema 8 (Teorema Fubii) Jika f 0 atau f d maka f ( x, y) ( dy) ( dx) fd f ( x, y) ( dx) ( dy). X Y XxY Y X (Durret, 996)

24 Defiisi.6 (Teritegralka lokal) Fugsi itesitas disebut teritegralka lokal, jika utuk sebarag himpua Borel terbatas B kita peroleh ( B) ( s) ds. B (Dudley, 989) Defiisi.7 (Titik Lebesgue) Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fugsi, jika h lim ( u s) ( s) du 0. h0 h h (Wheede da Zygmud, 977).7 Proses Poisso Periodik Defiisi.8 (Proses stokastik) Proses stokastik X = { X(t), t T } adalah suatu himpua dari peubah aak yag memetaka suatu ruag otoh ke suatu state S. (Ross, 007) Dega demikia X(t) adalah suatu peubah aak, dega t adalah eleme dari T yag serig diiterpretasika sebagai satua waktu (walaupu tidak harus merupaka waktu). X(t) dapat dibaa sebagai state (keadaa) dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ii, suatu ruag state S dapat berupa himpua bilaga real atau himpua bagiaya. Defiisi.9 (Proses stokastik dega waktu kotiu) Suatu proses stokastik { X(t), t T } disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T merupaka suatu iterval. (Ross, 007) Defiisi.30 (Ikreme bebas) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu { X(t), t T } disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t 0 < t < t <... < t, peubah aak X(t ) X(t 0 ), X(t ) X(t ), X(t 3 ) X(t ),..., X(t ) X(t ), adalah salig bebas. (Ross, 007)

25 3 Dega demikia dapat dikataka bahwa suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak salig tumpag tidih (tidak overlap) adalah salig bebas. Defiisi.3 (Ikreme stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu { X(t), t T } disebut memiliki ikreme stasioer jika X(t + s) X(t) memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t. (Ross, 007) Dapat dikataka bahwa suatu proses stokastik dega waktu kotiu X aka mempuyai ikreme stasioer jika sebara dari perubaha ilai pada sembarag iterval haya tergatug pada pajag iterval tersebut da tidak tergatug pada lokasi dimaa iterval tersebut terletak. Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses Poisso, keuali diyataka seara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu iterval [0,). Defiisi.3 (Proses peaaha) Suatu proses stokastik { N(t), t > 0 } disebut proses peaaha jika N(t) meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t. Dari defiisi tersebut, maka proses peaaha N(t) harus memeuhi syarat-syarat sebagai berikut: (i). N(t) 0 utuk setiap t [0,). (ii). Nilai N(t) adalah iteger. (iii). Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0,). (iv). Utuk s < t, maka N(t) - N(s) sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada iterval (s,t]. (Ross, 007) Defiisi.33 (Proses Poisso) Suatu proses peaaha { N(t), t 0 } disebut proses Poisso dega laju, > 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut:

26 4 (i). N(0) = 0 (ii). Proses tersebut mempuyai ikreme bebas. (iii). Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara Poisso dega ilai harapa t. Jadi t k e ( t) P( N( t s) N( s) k) ; k 0,,,... (Ross, 007) k! Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme stasioer. Dari syarat ii juga dapat diketahui bahwa ( N( t)) t. Proses Poisso dega laju yag merupaka kostata utuk semua waktu t disebut proses Poisso homoge. Jika laju buka kostata, tetapi merupaka fugsi dari waktu, (t), maka disebut proses Poisso tak homoge. Utuk kasus ii, (t) disebut fugsi itesitas dari proses Poisso tersebut. Fugsi itesitas (t) harus memeuhi syarat (t) 0 utuk semua t. Defiisi.34 (Itesitas lokal) Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge N dega fugsi itesitas pada titik s adalah (s), yaitu ilai fugsi di s. (Cressie, 993) Defiisi.35 (Fugsi itesitas global) Misalka N([0,]) adalah proses Poisso pada iterval [0,]. Fugsi itesitas global dari proses Poisso ii didefiisika sebagai: N([0, ]) lim jika limit di atas ada. (Cressie, 993) Defiisi.36 (Fugsi periodik) Suatu fugsi disebut periodik jika (s + k) = (s) utuk semua sda k, dega adalah himpua bilaga bulat. ostata terkeil yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi itesitas tersebut. (Browder, 996)

27 5 Defiisi.37 (Proses Poisso periodik) Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik..8 Pedugaa Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik (Magku, 00) Fugsi itesitas suatu proses Poisso merupaka laju proses Poisso tersebut. Fugsi itesitas dapat dibedaka mejadi dua, yaitu fugsi itesitas lokal (yag lebih serig haya disebut fugsi itesitas) da fugsi itesitas global. Fugsi itesitas lokal meyataka laju proses Poisso di titik tertetu, sedagka fugsi itesitas global meyataka rata-rata laju suatu proses Poisso pada suatu iterval dega pajag meuju tak higga. Pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas lokal suatu proses Poisso di titik s ialah dega meaksir rata-rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut pada iterval waktu di sekitar titik s. Seara matematis, misalka { h } adalah barisa bilaga real positif dega sifat h 0 da N[0,t] meyataka bayakya kejadia yag terjadi pada iterval [0,t], maka itesitas lokal di titik s dapat dihampiri dega h N([ s h, s h ]). Sedagka pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas global suatu proses Poisso adalah dega meaksir rata-rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut pada iterval waktu [0,]. Seara matematis, itesitas global dapat dihampiri dega N([0, ]). Peduga fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik dapat dibedaka berdasarka periodeya, yaitu proses Poisso dega periode yag diketahui da periode yag tidak diketahui. Utuk periode yag tidak diketahui, kekosistea peduga tipe kerel dari fugsi itesitas proses Poisso periodik (tapa tre) telah dibuktika pada Helmers et al. (003). Adapu utuk periode yag diketahui, kekovergea lemah da kuat peduga tipe kerel dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik telah dibuktika pada Magku (006). Peduga fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik berkembag dega meyertaka suatu kompoe tre. ekosistea peduga tipe kerel dari fugsi

28 6 itesitas proses Poisso periodik ditambah suatu tre liear telah dibuktika pada Helmers da Magku (009). Selai itu, pedugaa fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik yag meyertaka suatu kompoe tre berbetuk fugsi pagkat telah dilakuka pula kajiaya. ekosistea peduga kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk pejumlaha fugsi periodik dega tre fugsi pagkat megguaka fugsi kerel seragam telah dikaji pada Rahayu (008). emudia kekosistea peduga kompoe periodik tipe kerel dari fugsi itesitas berbetuk fugsi periodik ditambah tre fugsi pagkat juga dikaji pada Rahmawati (00). Selajutya kekosistea lemah da kuat dari peduga tipe kerel fugsi itesitas berbetuk perkalia fugsi periodik dega tre liear pada proses Poisso telah dibuktika pada Magku (0).

29 7 BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN EONSISTENANNYA 3. Perumusa Peduga bagi () s Misalka N adalah proses Poisso ohomoge pada iterval [0, ) dega fugsi itesitas λ yag tidak diketahui. Fugsi ii diasumsika teritegralka lokal da merupaka hasil kali dari dua kompoe, yaitu hasil kali suatu kompoe periodik (siklik) dega periode > 0 dega suatu kompoe tre yag berbetuk fugsi kuadratik. Dega kata lai utuk setiap titik s[0, ) kita dapat meuliska fugsi itesitas sebagai berikut ( s) ( ( s)) as * dimaa * () s adalah suatu fugsi periodik dega periode da a adalah koefisie dari tre kuadratik. area a( *( s)) juga fugsi periodik dega periode, maka seara umum fugsi itesitas dapat ditulis sebagai berikut ( s) ( ( )) s s (3.) * dimaa ( s) a ( s). area adalah fugsi periodik maka persamaa ( s k ) ( s) (3.) berlaku utuk setiap s[0, ) da k dega adalah himpua bilaga bulat. Misalka bahwa utuk suatu, haya terdapat realisasi tuggal N( ) dari proses Poisso N yag terdefiisi pada ruag peluag (,, P) dega fugsi itesitas seperti pada (3.) yag diamati pada iterval terbatas [0, ]. Diasumsika juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari, sehigga berlaku: h lim ( s x) ( s) dx 0. h0 h h Syarat ukup agar s merupaka titik Lebesgue dari adalah fugsi kotiu di s. Misalka : [0, ) merupaka fugsi yag berilai real, diamaka fugsi kerel, yag memeuhi sifat-sifat berikut (Helmers et al., 003) : () adalah fugsi kepekata peluag 7

30 8 () terbatas (3) memiliki daerah defiisi pada [-,]. ke 0, yaitu Misalka juga { h } merupaka barisa bilaga real positif yag koverge h 0 (3.3) utuk. Berdasarka persamaa (3.), utuk meduga () s pada titik s[0, ), ukup diduga () s pada titik s [0, ). Dega otasi di atas, dapat disusu peduga bagi pada titik s [0, ) sebagai berikut ˆ x ( s k),, ( s) N( dx). 0 k0 h( s k ) h (3.4) Ide dibalik peyusua persamaa (3.4) megikuti proses peyusua peduga tipe kerel yag telah dikerjaka pada Magku (0). Peyusua peduga tipe kerel ˆ () s,, dari () s adalah sebagai berikut. area haya ada sebuah realisasi dari proses Poisso N yag tersedia, harus meggabugka iformasi tetag ilai dari () s yag belum diketahui dari tempat yag berbeda pada iterval [0,]. Berdasarka (3.), utuk N { k : s k [0, ]} dimaa meyataka bayakya eleme, dapat ditulis ( s) ( s k ) { s k [0, ]}. (3.5) N k0 Dari persamaa (3.) da (3.), utuk setiap titik s da k maka ( s k) ( s) ( s k ). (3.6) ( s k ) Dega meyubstitusika (3.6) ke (3.5) diperoleh ( s k) ( s) { s k[0, ]}. (3.7) ( ) N k0 s k Nilai fugsi ( s k) di titik s dapat didekati dega ilai rata-rata ilai fugsi pada iterval [ s k h, s k h ]. Maka ruas kaa (3.7) dapat didekati sebagai berikut sk h sk h N k ( s k ) h ( s) ( x) ( x[0, ]) dx

31 9 N([ s k h, ] [0, ]) s k h. (3.8) N h ( s k ) k0 Dega meggati N([ s k h, s k h ] [0, ]) dega padaa stokastikya yaitu N([ s k h, s k h ] [0, ]) maka (3.8) dapat ditulis N k0 h( s k ) ( s) N([ s k h, s k h ] [0, ]) k0 h s k N([ s k h, ] [0, ]) s k h. (3.9) ( ) Diasumsika bahwa h koverge ke 0 da s adalah titik Lebesgue dari, yag seara otomatis s juga merupaka titik Lebesgue dari. Sehigga dari (3.9) dapat disimpulka bahwa ˆ ( s) N([ s k h, s k h ] [0, ]),, k0 h ( s k ) (3.0) adalah suatu peduga bagi () s. Setiap data diberi bobot yag sama dalam meetuka rata-rata bayak kejadia pada iterval [ s k h, s k h ]. alau megguaka fugsi, maka bobotya sesuai dega fugsi yag dipilih. Sehigga ˆ () s, dapat ditulis sebagai berikut ˆ ( s) ([ s k h, s k h ]) N( dx). (3.), 0 [,] k0 h ( s k ) Dega meggati fugsi [,] pada persamaa (3.) dega kerel umum yag memeuhi (), () da (3), maka diperoleh peduga ˆ () s seperti,, yag telah diberika pada (3.4), yaitu ˆ x ( s k),, ( s) N( dx) 0. k0 h( s k ) h 3. ekosistea dari ˆ () s,, Teorema 3. ( ekosistea ˆ () s ),, Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel memeuhi sifat (), (), (3), h 0 da maka h

32 0 ˆ ( ) p s ( s ) (3.),, utuk, asalka s adalah titik Lebesque dari. Dega kata lai, ˆ () s adalah peduga kosiste bagi. Di sampig itu, Mea Square Error,, (MSE) dari ˆ () s,, koverge ke 0, utuk, yaitu MSE( ˆ ( s)) 0, (3.3) utuk. Bukti :,, Utuk membuktika Teorema 3. diperluka ketakbiasa asimtotik da kekovergea ragam dari peduga, sehigga diperluka Lema 3. (etakbiasa asimtotik) da Lema 3. (ekovergea ragam). Lema 3. ( etakbiasa asimtotik ) Misalka fugsi itesitas pada persamaa (3.) adalah teritegralka lokal. Jika kerel memeuhi sifat (),(),(3), da h 0, maka ˆ ( s ) ( s ), (3.4),, utuk, dega syarat s adalah titik Lebesgue dari ˆ () s adalah peduga tak bias asimtotik bagi () s.,, Bukti : Membuktika (3.4) sama dega memperlihatka bahwa lim ˆ ( s) ( s). Dega kata lai,. (3.5),, Utuk memperlihatka persamaa (3.5) dapat diperoleh dega ara sebagai berikut. Berdasarka (3.4) maka ilai harapa dari ˆ () s adalah,, ˆ x ( s k),, ( s) N( dx) 0 k 0 h( s k ) h x ( s k) N( dx) 0 k0 h( s k ) h x ( s k) ( x) ( x [0, ])( dx) k0 h( s k ) h. (3.6)

33 Dega meggati peubah, misalka y x ( s k ), dy dx, maka ruas kaa persamaa (3.6) dapat ditulis y ( ) ( [0, ])( ) y s k y s k dy k0 h( s k ) h. (3.7) Dega megguaka persamaa (3.) da (3.), maka (3.7) dapat ditulis mejadi y y s y s k y s k dy k0 h( s k ) h ( )( ) ( [0, ])( ) y ( y s k) h h s k ( y s) ( y s k [0, ]) dy. (3.8) k0 ( ) Pada Helmers da Magku (009) telah diketahui bahwa ( ) ( s k) k 0 y s k ( y s k [0, ]) O(), (3.9) jika. Dega meyubstitusika persamaa (3.9) ke ruas kaa (3.8) diperoleh ˆ ( ) y ( ) (),, s y s O dy h h y ( ( y s) ( s) ( s)) O() dy h h y O() ( ( y s) ( s)) dy h h ( s)) y O() dy. h (3.0) h area kerel memeuhi kodisi (.) maka y h o, o adalah kostata. Sehigga suku pertama dari ruas kaa persamaa (3.0) dapat ditulis h y O() ( ( y s) ( s)) dy h h h h O () o( ( y s ) ( s )) dy h h

34 h o O () ( y s ) ( s ) dy. h (3.) h area s adalah titik Lebesque dari maka ruas kaa (3.) adalah o(), utuk. area juga memeuhi kodisi (.) da dega peggatia peubah, y dy misalka z, dz, maka suku kedua ruas kaa persamaa (3.0) dapat h h ditulis () s O() ( z) dz () s O ( s ) o (), (3.) jika. Dari (3.) da (3.) maka ruas kaa persamaa (3.8) dapat ditulis o() ( s) o() ( s ) o (), (3.3) utuk. Dari persamaa (3.3) maka persamaa (3.6) dapat ditulis ˆ ( s ) ( s ) o (),,, utuk. Sehigga diperoleh persamaa (3.5). Dega demikia Lema 3. terbukti. Lema 3. ( ekovergea ragam ) Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel memeuhi sifat (), (), (3), h 0 da terbatas di sekitar s maka,, h utuk, Var( ˆ ( s)) 0, (3.4) utuk. Bukti : Ragam dari ( ˆ,, k ( s )) dapat dihitug sebagai berikut ˆ x ( s k) Var(,, k ( s)) Var N( dx) 0 k 0 h( s k ) h. (3.5)

35 3 Utuk yag ukup besar, maka iterval [ s k h, s k h ] da [ s j h, s j h ] utuk k j tidak salig tumpag tidih (tidak overlap). x ( s k ) Sehigga N( dx) da h x ( s j ) N( dx) adalah bebas utuk h k j. Pada Ghahramai (005), jika X, X,..., X adalah peubah aak yag bebas serta a, a,..., a adalah barisa bilaga real, maka Var ai X i ai Var( X i ) i i kareaya ruas kaa dari persamaa (3.5) dapat dihitug sebagai berikut x ( s k) h s k h ( ( )) Var N dx 0 k0 (( ) ). (3.6) area N adalah peubah aak Poisso, maka Var( N) ditulis x ( s k) N( dx) 4 h ( ) 0 k s k h x ( s k) h s k h N sehigga (3.6) dapat ( ) ( [0, ]) 4 x x dx k0 ( ). (3.7) Dega meggati peubah, misalka : y x ( s k ), dy dx, maka persamaa (3.7) dapat ditulis y h s k h ( ) ( [0, ]) 4 y s k y s k dy k0 ( ). (3.8) Dega megguaka persamaa (3.) da (3.), maka (3.8) dapat ditulis mejadi y ( )( ) ( [0, ]) 4 y s y s k y s k dy h k0 ( s k ) h y ( y s k) ( ) ( [0, ]) y s y s k dy. (3.9) 4 h h k0 ( s k ) Pada Helmers da Magku (009) telah diketahui bahwa ( x s k [0, ]) o () k0 (3.30) k 6

36 4 jika. Dega megguaka (3.30) maka diperoleh ( x s k) ( x s k [0, ]) o(), (3.3) 4 ( s k) 6 k 0 jika, dega adalah kostata. Dega meyubstitusika persamaa (3.3) ke (3.9) diperoleh h y ( y s) o() dy (3.3) h 6 area terbatas di sekitar s maka ( ys) 0, 0 adalah kostata, sehigga (3.3) dapat ditulis h y ( y s) o() dy h 6 h y o dy. (3.33) 0 () h 6 y Dega meggati peubah, misalka : z, h dy dz, maka (3.33) dapat ditulis h 0 ( z) o() dz (3.34) h 6 area memeuhi kodisi (.3) maka (3.34) dapat ditulis 0 ( z) o() dz. h 6 0 ( z) dz o. 6 h h Akhirya diperoleh (3.35) ˆ 0 Var(,, ( s)) ( z) dz o. (3.36) 6 h h Berdasarka asumsi pada Lema 3., bahwa h, utuk maka ruas kaa pada pertidaksamaa (3.36) koverge ke ol, sehigga diperoleh Var( ˆ ( s)) 0,, utuk. Dega demikia Lema 3. terbukti.

37 5 Bukti Teorema 3. ( ekosistea ˆ () s ),, Utuk membuktika (3.), berdasarka Defiisi.3 (overge dalam peluag) aka diperlihatka bahwa utuk 0,,, ˆ ( s ) ( s ) 0, (3.37) utuk. Sebelumya, diuraika dahulu ˆ ( ) ( ),, s s ˆ ˆ ˆ,,,,,, ˆ ˆ s s s s,, s s dari (3.37), yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Berdasarka ketaksamaa segitiga, diperoleh,,,,,,,, (3.38) ˆ ( s) ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s) (3.39) sehigga ruas kaa persamaa (3.38) mejadi ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s),,,,,, ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s). (3.40),,,,,, Berdasarka Lema 3., yaitu ˆ ( s ) ( s ),, utuk. meurut Defiisi. (ekovergea barisa bilaga yata) maka utuk 0, ada N agar utuk N, ˆ ( ) ( ),, s s. (3.4) Berdasarka (3.4), diperoleh bahwa ruas kaa persamaa (3.40) mejadi ˆ ˆ ˆ ˆ,, ( s),, ( s),, ( s),, ( s). (3.4) Sehigga dari persamaa (3.38) da (3.4) diperoleh bahwa ˆ ˆ ˆ,, ( s) ( s),, ( s),, ( s). Jadi utuk membuktika (3.37) ukup ditujukka ˆ ˆ,, ( s),, ( s) 0, jika. Dega ketaksamaa Chebyshev, dapat diperoleh

38 6 ˆ ˆ ˆ 4 Var(,, ( s)),, ( s),, ( s). Jadi tiggal dibuktika bahwa 4 Var( ˆ,, ( s)) 0. (3.43) Berdasarka Lema 3., maka (3.43) terbukti. emudia syarat ukup agar ˆ ( ) p ( ),, s s adalah mea square error peduga koverge ke ol, sehigga aka dibuktika (3.3). Berdasarka defiisi (mea square error), berarti ukup dibuktika bahwa [ Bias( ˆ ( s)] Var(( ˆ ( s)) 0 (3.44),,,, utuk. Diketahui bahwa Bias( ˆ ( s)) ˆ ( s) ( s).,,,, Berdasarka Lema 3. maka Bias( ˆ,, ( s)) 0 sehigga ˆ, [ Bias(,, ( s))] 0 jika. emudia berdasarka Lema 3. diperoleh Var(( ˆ,, ( s)) 0, jika. Jadi (3.44) terbukti dega demikia Teorema 3. terbukti. Pada uraia di atas telah dibuktika ketakbiasa asimtotik, kekovergea ragam da kekovergea mea square error dari peduga yag diperoleh. Dega demikia peduga yag diperoleh terbukti sebagai peduga yag kosiste dalam hal ii disebut kosiste lemah.

39 7 BAB IV LAJU EONSISTENAN LEMAH DAN EONSISTENAN UAT PENDUGA 4. Laju ekosistea Lemah Peduga Pada Teorema 3. telah dibuktika bahwa peduga bagi () s adalah kosiste. Suatu peduga yag kosiste umumya mempuyai laju tertetu. Pada Teorema 4. berikut ii aka dibuktika laju kekosistea peduga bagi () s. Teorema 4. (Laju kekosistea ˆ () s ),, Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel adalah simetrik da memeuhi sifat (), (), (3), h utuk 0, h da utuk semua mi, berlaku,, memiliki turua kedua berhigga pada s maka ( ˆ p ( s) ( s)) 0, (4.) utuk. Dega kata lai ˆ () s,, merupaka peduga kosiste bagi () s dega laju. Bukti : Utuk membuktika Teorema 4. diperluka aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa da aproksimasi asimtotik bagi ragam, sehigga diperluka Lema 4. (Aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa) da Lema 4. (Aproksimasi asimtotik bagi ragam). Lema 4. (Aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa) Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel adalah simetrik da memeuhi sifat (), (), (3), h 0, memiliki turua kedua berhigga pada s da h maka 7

40 8 () s ˆ,, s = () s h x x dx o h utuk. Bukti :, (4.) Berdasarka (3.8) pada Lema 3. (ketakbiasa asimtotik), maka ilai harapa dari s dapat ditulis sebagai berikut ˆ,, ˆ y ( y s k) (,, ( s)) y s y s k 0, dy. h h k s k (4.3) Dega meggatika peubah da memperhatika persamaa (3.9), maka persamaa (4.3) dapat ditulis mejadi ˆ (,, ( s)) ( x) xh s O() dx (4.4) area mempuyai turua kedua yag berilai berhigga di sekitar s da terbatas di sekitar s, maka dega megguaka deret Taylor, diperoleh xh ( xh s) ( s) ( s) xh ( s) ( h ) (4.5)! utuk. Berdasarka persamaa (4.5) maka persamaa (4.4) dapat ditulis mejadi ˆ xh (,, ( s)) ( x)( ( s) ( s) xh ( s) ( h )) O() dx.! (4.6) area fugsi kerel memeuhi (.3) maka persamaa (4.6) dapat dituliska mejadi ˆ xh (,, ( s)) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) s s xh s h O dx! ( s) ( x) dx ( s) h x( x) dx () s h x ( x ) dx o ( h ) O (4.7)

41 9 utuk. area merupaka fugsi kepekata peluag yag memiliki daerah defiisi pada [-,], maka maka E x dx. area kerel adalah simetrik, x x dx 0 sehigga persamaa (4.7) dapat ditulis mejadi () s ˆ,, s = () utuk. area s h x x dx o h O () s h (4.8) s h x x dx o h O h = () h, maka persamaa (4.8) dapat ditulis mejadi ˆ () s,, ( s) ( s) h x xdx oh, utuk. Jadi Lema 4. terbukti. Lema 4. (Aproksimasi asimtotik bagi ragam) Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel memeuhi sifat (), (), (3) da h 0 utuk, maka s,, 6 h ˆ Var s x dx h (4.9) utuk, asalka s adalah titik Lebesque bagi. Bukti Berdasarka (3.9) pada Lema 3. (ekovergea ragam), maka ragam dari ˆ,, s dapat ditulis sebagai berikut ˆ y ( y s k) Var(,, ( s)) ( ) ( [0, ]). y s y s k dy 4 h k h ( s k ) (4.0) Dega memperhatika persamaa (3.3) maka ruas kaa persamaa (4.0) dapat ditulis mejadi ˆ y Var(,, ( s)) y sdy o h h 6 (4.) utuk. area y s ( y s ( s)) ( s) maka persamaa (4.) dapat ditulis

42 30 ˆ y Var(,, ( s)) ( y s ( s)) dy o h h 6 y ( s) dy o(). (4.) h h 6 area s adalah titik Lebesgue dari da kerel terbatas maka h h y ( y s ( s)) dy o() h h, utuk, sehigga suku pertama ruas kaa persamaa (4.) adalah o ( o()) o h 6 h, (4.3) utuk. Selajutya perhatika suku kedua ruas kaa persamaa (4.). Dega meggati peubah, misal y z, h dy dz da karea fugsi kerel memeuhi h (.3) maka suku kedua ruas kaa persamaa (4.) dapat dituliska mejadi ( s) ( z) dz o ( ) ( ) s z dz o h 6 6 h h (4.4) utuk. Dega meyubstitusi persamaa (4.3) da (4.4) ke (4.), maka diperoleh s,, 6 h ˆ Var s x dx h (4.5) utuk. Dega demikia Lema 4. terbukti. Bukti Teorema 4. Utuk membuktika (4.), aka diperlihatka bahwa utuk 0,,, ˆ ( s ) ( s ) 0, (4.6) utuk. Sebelumya, kita uraika dahulu ˆ ( ) ( ),, s s ˆ,, ˆ ˆ,,,, ˆ ˆ s s s s,, s s dari (4.6), yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (4.7)

43 3 Berdasarka ketaksamaa (3.39), maka ruas kaa persamaa (4.7) mejadi utuk h ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s),,,,,, ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s). (4.8),,,,,, Berdasarka Lema 4., yaitu ˆ () s (,, ( s)) ( s) h x xdx oh (4.9) da 0 ˆ ( ) ( ) ( ),, s s O, maka diperoleh, (4.0) jika. Dari (4.0), diperoleh ˆ ( ) ( ) ( ),, s s O. (4.) utuk. Berdasarka persamaa (4.), diperoleh ˆ ( ) ( ) ( ),, s s O O() (4.) utuk. Berdasarka (4.) da asumsi, diperoleh ˆ ( s ) ( s ) 0,, utuk. meurut Defiisi. (ekovergea barisa bilaga yata) maka utuk 0, ada N agar utuk N, ˆ ( ) ( ),, s s. (4.3) Berdasarka (4.3), diperoleh bahwa ruas kaa persamaa (4.8) mejadi ˆ ˆ ˆ ˆ,, ( s),, ( s),, ( s),, ( s). (4.4) Sehigga dari persamaa (4.7) da (4.4) diperoleh bahwa s s s s. ˆ ˆ ˆ,, ( ) ( ),, ( ),, ( ) Jadi utuk membuktika (4.6) ukup ditujukka ˆ ˆ,, ( s),, ( s) 0, jika. Dega ketaksamaa Chebyshev, dapat diperoleh

44 3 ˆ ˆ ˆ 4 Var(,, ( s)),, ( s),, ( s) Dari Lema 4. dapat ditulis Var( ˆ ( )),, s area maka s 6h 6 s x dx xdx 6 h s xdx 6,, s Var( ˆ ( )) xdx. s ˆ ˆ,, ( s),, ( s) 0, 0 sehigga jika. Dega demikia Teorema 4. terbukti.. 4. ekosistea uat peduga Pada Teorema 3. telah dibuktika kekosistea lemah peduga yag diperoleh maka selajutya aka dibuktika kekosistea kuat peduga. kekosistea kuat peduga adalah implikasi dari kekovergea legkap oleh karea itu utuk membuktika kekosistea kuat peduga maka aka dibuktika terlebih dahulu kekovergea legkap peduga. Teorema 4. (ekovergea Legkap) Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel memeuhi sifat (), (), (3) da h,, utuk 0, maka ˆ ( ) s ( s ) (4.5) utuk, asalka s adalah titik Lebesque dari. Dega kata lai, ˆ () s,, adalah koverge legkap ke, utuk.

45 33 Bukti : Berdasarka Defiisi.6 (overge legkap), utuk membuktika bahwa ˆ () s merupaka peduga yag koverge legkap ke, berarti aka,, ditujukka bahwa, utuk 0,,, ˆ () s. (4.6) Sebelumya, uraika dahulu kompoe ˆ (),, s. ˆ ˆ ˆ,,,,,, ˆ s s s s,, s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Berdasarka ketaksamaa (3.39), maka persamaa (4.7) mejadi ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s),,,,,,,,,,,, (4.7) ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ( s) ( s). (4.8) Berdasarka Lema 3., diperoeh ˆ ( s ) ( s ),, utuk, meurut Defiisi. (ekovergea barisa bilaga yata) maka utuk 0, ada N agar utuk N, ˆ ( ) ( ),, s s. (4.9) Berdasarka (4.9), diperoleh bahwa ruas kaa persamaa (4.8) mejadi ˆ ˆ ˆ ˆ,, ( s),, ( s),, ( s),, ( s). (4.30) Sehigga dari persamaa (4.7) da (4.30) diperoleh bahwa ˆ ˆ ˆ,, ( s) ( s),, ( s),, ( s). Dega ketaksamaa Chebyshev, dapat diperoleh bahwa ˆ ˆ ˆ 4 Var(,, ( s)),, ( s),, ( s). (4.3) Dega mejumlahka kedua ruas pada (4.3), maka 4 Var( ˆ ( s)). ˆ ˆ,,,, ( s),, ( s)

46 34 Sehigga utuk membuktika (4.6), ukup dibuktika bahwa 4 Var( ˆ,, ( s)). Berdasarka Lema 4., diperoleh area h ˆ,, k 4 Var s () s ( x) dx h h. utuk 0 ˆ,, da berdasarka Lema (Deret-p), diperoleh 4 Var ( s) () s ( x) dx. Jadi (4.6) terbukti, sehigga Teorema 4. terbukti. Akibat 4. (ekosistea kuat bagi ˆ () s ),, Misalka fugsi itesitas memeuhi (3.) da teritegralka lokal. Jika kerel memeuhi sifat (), (), (3) da h ˆ ( ) as.. ( ),, s s utuk 0, maka (4.3) utuk, asalka s adalah titik Lebesque dari. Dega kata lai, ˆ () s,, adalah peduga kosiste kuat dari. Bukti : Berdasarka Defiisi.5 (overge hampir pasti), utuk membuktika ˆ () s adalah peduga kosiste kuat bagi, maka setara dega,, membuktika bahwa lim ˆ,, ( s) ( s) atau ˆ,, s s lim ( ) ( ) 0. Dari Teorema 4. diketahui bahwa ˆ,, () s. Berdasarka bagia (i) Lema Borel-Catelli, jika ˆ,, () s, maka kejadia ˆ ( ) ( ),, s s haya terjadi sebayak terhigga, yag berimplikasi bahwa ˆ,, s s lim ( ) ( ) 0. Sehigga Akibat 4. terbukti.

47 35 BAB V ESIMPULAN DAN SARAN 5. esimpula Utuk meduga fugsi itesitas lokal berbetuk ( s) ( ( )) s as, s[0, ) dari suatu proses Poisso periodik dega periode yag diamati pada iterval [0, ] ukup diduga ilai () s pada s [0, ). Peduga tipe kerel dari () s pada s [0, ) dirumuska sebagai berikut: ˆ x ( s k),, ( s) N( dx). 0 k h( s k ) h Dari hasil pegkajia yag dilakuka, dega suatu syarat tertetu, diperoleh kesimpula sebagai berikut : (i) Peduga ˆ () s,, adalah peduga tak bias asimtotik bagi () s da ragam dari ˆ () s koverge meuju ol, sehigga ˆ,, () s,, merupaka peduga kosiste bagi () s da MSE( ˆ,, ( s)) 0 jika. (ii) Utuk setiap mi(, ), ˆ ( ) ( ),, s s koverge dalam peluag meuju ol jika, yaitu ˆ () s,, merupaka peduga kosiste bagi () s dega laju. (iii) Peduga ˆ () s,, koverge legkap ke () s utuk, yag juga berimplikasi ˆ () s,, merupaka peduga kosiste kuat bagi () s. 5. Sara Peelitia yag telah dilakuka adalah pedugaa fugsi itesitas berbetuk perkalia atara fugsi periodik dega tre kuadratik, sehigga perlu dikembagka peelitia lebih lajut yaitu pedugaa fugsi itesitas berbetuk perkalia atara fugsi periodik dega suatu tre koefisie tre tersebut. 35 k as dega k da a adalah

48 36 DAFTAR PUSTAA Browder A Mathematial Aalysis : A Itrodutio. New York: Spriger. Casella G, Breger RL Statistial Iferee. Seod Editio. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasifi Grove, Califoria. Cressie, NAC Statistis for Spatial Data. Revised Editio. Wiley, New York. Dudley RM Real Aalysis ad Probability. Califoria: Wardswort & Brooks. Durret Probability: Theory ad Examples. Third Editio. Duxbury Press. New York. Ghahramai S Fudametal of Probability with Stohastis Proesses. Third Editio. New Jersey: Pearso Pretie Hall. Grimmett GR, Stizaker DR. 99. Probability ad Radom Proesses. Seod Editio. Oxford: Claredo Press. Helmers R, Magku IW Estimatig the itesity of a yli Poisso proess i the presee of liear tred. A. Ist. Stat. Math, 6(3), Helmers R, Magku IW, Zitikis R Cosistet estimatio of the itesity futio of a yli Poisso proses. Joural of Multivariate Aalysis. 84, Helms, LL Itrodutio to Probability Theory: With Cotemporary Appliatios. W.H. Freema & Compay. New York. Hogg RV, Craig AT, M ea JW Itrodutio to Mathematial Statistis. Sixth Editio. New Jersey: Pretie Hall, Upper Saddle River. Magku IW. 00. Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proess. Uiversity of Amsterdam, Amsterdam. Magku IW Weak ad strog overgee of a kerel-type estimator for the itesity of a periodi Poisso proess. Joural of Mathematis ad Its Appliatio. Vol.5, No:. 36

49 37 Magku IW. 0. Estimatig the itesity obtaied as the produt of a periodi futio with the liear tred of a o-homogeous Poisso proess. Aepted by Far East Joural of Mathematial Siees. Vol.5, No:, halama Rahmawati RN. 00. Sebara Asimtotik Peduga ompoe Periodik Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Tesis. Bogor. Rahayu M ekosistea Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Skripsi. Bogor. Ross SM Stohasti Proesses. Seod Editio. Joh Wiley & Sos. New York. Serfllig RJ Approximatio Theorems of Mathematial Statistis. New York: Joh Wiley & Sos. Stewart J alkulus. Jilid. Ed. e-4. Peerbit Erlagga. Jakarta Taylor HM, arli S A Itrodutio to Stohasti Modellig. Aedemi Press I. Orlado, Florida. Wheede RL. ad Zygmud A Measure ad Itegral: A Itrodutio to Real Aalysis. New York: Marel Dekker, I.

50 38 LAMPIRAN

51 39