B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

Transkripsi

1 8 B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K Misal diberika set data Diketaui set data (, ), (, ), (, ),., (, ) ag memeui relasi = f() Aka ditetuka d/d dalam iterval, ] [. Dari formula selisi muka Newto Igat rumus iterpolasi selisi muka Newto () dega p(p ) p(p )(p ) p!! p(p )(p )...(p ) +...! p () () d d dp d = d dp d dp d d ( p ) p 6 p... 6 () () d d 6 p 6 p 6 p... 6 () Jika diambil p = seigga = (berarti diguaka sebagai awal dari ilai ) maka pers. () mejadi: d d... (6) d d... (7) da seterusa. Soal : jika diketaui =^ + ^, maka tetuka (). Utuk megimplemetasika pers. (6) da (7) dega berdasarka selisi muka ewto, maka ada arus memulai daftar dari ag ditaaka. Jadi misalka dipili ilai =, maka daftar utuk = [,.,,.,,.] kemudia ditetuka a meurut soala. N d d d

2 D/d (=) = 9 X d d d D/d) = = 9 Coba jika ada memulai daftar dari seigga = [,.,,.,., ] maka ada arus meetuka ilai p seigga persamaa ag ada guaka adala pers. () da ().. Selisi belakag Newto () dega p(p ) p(p )...(p ) p... (8)!! p atau p (jaga diuba ke betuk ag lai, aitu p ) (9) d d p p 6 p... 6 d d p... d d... ()

3 d d 6... (). Formula Stirlig p p(p ) p +! p (p )! () d... () d 6 d d () B. INTEGRASI NUMERIK Misal diberika set data Diketaui set data (, ), (, ), (, ),., (, ) ag memeui relasi = f() Aka ditetuka I = b a d. Selisi muka Newto I = d = p(p ) p(p )(p ) p... d ()!! Karea variable itegra p sedagka itegrasi dilakuka td maka dari p da d = dp da batas itegrasia dari s/d maka pers. () mejadi: I = p p( p )! p( p )( p )!... dp ( ) ( ) I... (6) N=jumla lubag (cela) atara i. Soal: tetuka d

4 . Atura Trapesoida I = d = d d d... d (7) d = ( ) demikia pula dega cara ag sama (8) d (9) d () d Jika pers. (9) s/d () dijumlaka maka diperole: () (... ) d () (b a) Kekelirua : E " () () Soal: Tetuka itegral dari : a. si d b. d. Metode Simpso Dari pers. (6) jika diambil = maka d 6 = ( ) ( ) 6 = () dega cara ag sama maka d () d Jika pers. () s/d (6) dijumlaka maka diperole: (6)

5 d (... ) ( 6... ) (7) (b a) () Kekeliruaa: E () (8). Itegrasi Romberg I b a d (9) utuk icremet maka itegrasia disebut I da utuk icremet maka itegrasia disebut I. Dari kekelirua pada metode trapesoida sebagaimaa pada pers. () jika diguaka icremet = maka diperole: E (b a) "() () Jika diguaka icremet = maka diperole: E (b a) " () () Jika pers. () dibagi dega () maka megasilka: E E () demikia pula kesalaa relative E teradap E : E E E atau () E E E karea E E I I, maka E (I I) () I I E = I (I I) I I I () Misalka diambil da.. maka,. I(.) I() I I (6) Kaita pada pers. (6) sagat petig ituk meetuka ilai itegrasi berikuta.

6 Jika dibuat table mejadi: I=I() I( ;.) =/(I-I) I=I(.) I( ;. ;.) I(. ;.) I=I(.) I(. ;. ;.) I(. ;.) I( ;. ;. ;.) I=I(.) Jadi ada dua cara utuk memperole I ag sebeara aitu dega. Is = I+E. Is = /(I I) >> cukup megguaka data I dega ag berbeda dimaa = ½. ilai dipili bebas da dijami asil aka sama saja. E.: Guaka metode Romberg utuk megitug I teliti sampai tempat decimal. Ambil =.,. da..

7 BAB 8 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Betuk Pers. Diferesial: d f(, ) () d. Peelesaia dega deret Talor Misal = f(,) dega () =. Jika () merupaka peel. Eksak dari () maka deret Talora di sekitar = adala :, ( ),, ( ),,, () ( )... ()!!,,, Jika ilai-ilai dari,,... diketaui maka diketaui. E: Tetuka (,) jika diketaui = - meguaka deret Talor. da () = dega Jawab: Karea () = maka = seigga pers. () mejadi:,,,,,, () ()!!!! ()..., ;,, ;,,, 8; () ; () 86 maka () ( ) () ( 8) () ( 86)...!!!! 7... dega esubstitusi =, pada pers. Di atas maka (,) =,98. Dega perituga sampai suku ke maka apaka suda sesuai dega ketelitia ag dimita?.. 6 jadi utuk =, tela memeui karea lebi kecil dari,6.

8 . Metode Picard Misal = f(,) dega () =. Dari itegrasi pers. () diperole: f(, )d () dalam betuk iterasi dapat ditulis: () f(, )d () () () f(, )d () () () f(, )d da seterusa (6) () () f(, )d (7) Semaki besar semaki teliti asila. E: selesaika ' dega () =. tetuka (,). () () ( f (, () () ) d ) d ( ) d () d d d d Jadi utuk meetuka (,) masi lebi teliti jika diperole dari () (,), aitu : (,) (,) (,) (,) (,) (,). Metode Euler = f(,); () =. f(, ) d (7) Jika f(,) f(, ) pada maka pers. (7) dapat ditulis mejadi:

9 6 f(, ) d f(, ) d f(, ) dega cara ag sama utuk maka f(, ) d f(, ) d f(, ) f(, ) (8) E: selesaika = - dega () = dega metode Euler. Dega megguaka =, maka = + (-) (,) = + (,) ( ) =,99 (,) =,99 +,(-,99) =,98 (,) =,98 +,(-,98) =,97 (,) =,97 +,(-,97) =,966 Peel. Eksak dari pers. di atas adala = e - ag dega =,6 maka =,968.

10 7 f(, )