SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN

Transkripsi

1 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dega ii saya meyataka bahwa tesis dega judul Sebara Asimtotik Peduga Kompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Fugsi Periodik Kali Tre Kuadratik pada Proses Poisso No Homoge adalah karya saya sediri dega araha dari komisi pembimbig da belum diajuka dalam betuk apapu kepada pergurua tiggi maapu. Sumber iformasi yag berasal atau dikutip dari karya yag diterbitka maupu tidak diterbitka dari peulis lai telah disebutka dalam teks da diatumka dalam daftar pustaka di bagia akhir tesis ii. Bogor, Jauari 0 CASMAN NIM G550909

3 ABSTRACT CASMAN. Asymptoti Distributio of a Estimator for Periodi Compoet of the Itesity Futio Obtaied as the produt of a Periodi Futio with the Quadrati tred of a No Homogeous Poisso Proess. Supervised by I WAYAN MANGKU ad RETNO BUDIARTI I this thesis, estimatio of periodi ompoet of the itesity futio obtaied as the produt of a periodi futio with the quadrati tred of a o homogeeous Poisso proess by usig geeral kerel is disussed. It is osidered the worst ase where there is oly available a sigle realizatio of the Poisso proess havig itesity of form a periodi futio multiplied by the quadrati tred, observed i iterval [0,]. It is assumed that the period of the periodi ompoet is kow. It has bee ostruted estimator of periodi ompoet of the itesity futio of form periodi futio multiplied by the quadrati tred of a o homogeous Poisso Proess. Statistial properties of this estimator are also formulated. Fially, asymptoti ormality of the estimator is also give. Keywords: periodi proess, quadrati tred, kerel futio, asymptoti ormality.

4 RINGKASAN CASMAN. Sebara Asimtotik Peduga Kompoe Periodik Fugsi Itesitas berbetuk Fugsi Periodik Kali Tre Kuadratik pada Proses Poisso No - Homoge. Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI. Proses stokastik merupaka salah satu bidag kajia dalam matematika yag dapat diguaka utuk memprediksi atau mejelaska feomea-feomea dalam kehidupa sehari-hari. Proses stokastik dibedaka mejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses Poisso periodik bayak diguaka utuk memodelka feomea pada berbagai bidag di ataraya bidag komuikasi, hidrologi, meteorologi, asurasi, ilmu pegobata da seismologi (Helmers et al Fugsi itesitas suatu proses Poisso Periodik merupaka laju dari proses Poisso tersebut. Fugsi itesitas dibagi mejadi dua yaitu fugsi itesitas lokal da itesitas global. Fugsi itesitas lokal merupaka laju dari proses Poisso di titik tertetu, sedagka fugsi itesitas global merupaka rata rata laju dari proses Poisso pada iterval dega pajag meuju tak higga. Salah satu pedekata o parametrik yag dapat diguaka utuk meduga fugsi itesitas adalah pedekata fugsi kerel. Hal ii karea betuk fugsi itesitasya tidak diketahui, sehigga utuk meduga betuk fugsiya dapat didekati dega fugsi peduga kerel (Hardle, 993. Pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas lokal dari suatu proses Poisso di titik s ialah dega meaksir rata rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut dalam iterval waktu di sekitar titik s. Alur dari peelitia ii adalah sebagai berikut: pertama dirumuska peduga. Selajutya meghitug aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa, ragam da MSE peduga yag diperoleh da yag terakhir meetuka sebara asimtotik peduga dega kerel seragam. Dari hasil pegkajia diperoleh hasil sebagai berikut: (i Peduga tipe kerel utuk λ pada titik s [ 0, adalah :

5 λ ( K,, 0 k = h s k ( x s+ k s = K N ( dx. ( + h dega adalah pajag iterval pegamata, K adalah suatu kerel, da h adalah barisa bilaga real positif yag koverge meuju ol, yaitu h 0 utuk. (ii Aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa λ ( s K,, adalah (,, ˆ K λ = λ ( ( ( s + h x K x dx + o h E ( s utuk. λ ( s (iii Aproksimasi asimtotik bagi ragam λ ( s ( s K,, adalah π λ Var ( λk,, ( s = K ( x dx ο 6h + h utuk. (iv Aproksimasi asimtotik bagi MSE adalah MSE (,, ( λ s K ( λ ( ( s 4 π λ 4 = ( s x K x dx h ( (. 4 + K x dx ο o h 6 h + + h utuk. (v. Peduga dega tipe kerel seragam dari dirumuska sebagai berikut:, k = 0 + λ pada titik ([ +, + + ] [ 0, ] ˆ N s k h s k h λ ( s =. ( s k h (vi. Keormala asimtotik bagi peduga dega kerel seragam adalah ( Jika h 0, maka ˆ d h λ ( s λ ( s Normal 0, σ 5 (,, ( K ( π λ utuk dega s σ =.

6 ( Jika h maka ˆ d h λ ( s λ ( s Normal µσ, 5 (,, ( K utuk, dega µ λ ( ( π λ = s da s σ =. 6 Kata kui : Proses Poisso Periodik, tre kuadratik, fugsi kerel, sebara ormal.

7 Hak ipta milik Istitut Pertaia Bogor, tahu 0 Hak ipta dilidugi Udag-udag. Dilarag megutip sebagia atau seluruh karya tulis ii tapa meatumka atau meyebutka sumber a. Pegutipa haya utuk kepetiga pedidika, peelitia, peulisa karya ilmiah, peyusua lapora, peulisa kritik atau tijaua suatu masalah. b. Pegutipa tidak merugika kepetiga yag wajar Istitut Pertaia Bogor.. Dilarag megumumka da memperbayak sebagia atau seluruh karya tulis dalam betuk apapu tapa izi Istitut Pertaia Bogor.

8 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN Tesis sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Magister Sais pada Program Studi Matematika Terapa SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

9 Peguji Luar Komisi pada Ujia Tesis : Dr.Ir.Hadi Sumaro, M.S

10 Judul Tesis : Sebara Asimtotik Peduga Kompoe Periodik Fugsi Itesitas Berbetuk Fugsi Periodik Kali Tre Kuadratik pada Proses Poisso No Homoge Nama : Casma NIM : G Program Studi : Matematika Terapa Disetujui Komisi Pembimbig Dr. Ir. I Waya Magku, M.S. Ketua Ir. Reto Budiarti, M.S. Aggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapa Deka Sekolah Pasasarjaa IPB Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, M.S. Dr.Ir Dahrul Syah, M.S.Agr Taggal Ujia : 8 Desember 0 Taggal Lulus :

11 PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karuia-nya sehigga karya ilmiah ii dapat dilaksaaka da diselesaika dega baik. Peelitia ii diberi judul Sebara Asimtotik Peduga Kompoe Periodik Fugsi Itesitas berbetuk Fugsi Periodik Kali Tre Kuadratik pada Proses Poisso No Homoge. Karya ilmiah ii tidak aka mugki terselesaika tapa adaya doroga, batua da kritika membagu dari berbagai pihak. Terimakasih peulis uapka kepada Dr. Ir. I Waya Magku, M.S da Ir,Reto Budiarti, M.S selaku pembimbig serta Dr.Ir.HadiSumaro,M.S selaku peguji yag bayak memberika sara. Demikia pula, peulis meguapka terimakasih kepada Kemeteria Agama Republik Idoesia yag telah memberika beasiswa. Ugkapa terimakasih juga disampaika kepada ibu da kakak kakakku, reka reka seperjuaga di S agkata 009, Keluarga besar MTs N Jatibarag, Idramayu da keluarga besar MA Fatahillah Lohbeer, Idramayu serta berbagai pihak yag tak dapat peulis sebutka satu per satu, peulis meguapka bayak terima kasih, da semoga Allah SWT melimpahka keberkaha serta kemafaata atas keberhasila ii. Amie. Peulis meyadari bahwa karya ilmiah ii masih jauh dari sempura, walaupu demikia peulis tetap berharap semoga karya ilmiah ii dapat memberika kotribusi pada bidag matematika da bidag bidag laiya. Bogor, Jauari 0 Casma

12 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Jatibarag,Idramayu pada taggal 9 Agustus 980 dari Bapak Taram da Ibu Naswe. Peulis merupaka aak keeam dari eam bersaudara. Tahu 998 peulis lulus dari MA Fatahillah Lohbeer Idramayu. Pada Tahu 999 peulis melajutka kuliah di Uiversitas Wiralodra Idramayu, megambil program studi Pedidika Matematika da lulus pada tahu 003. Tahu 005 medapat SK CPNS sebagai guru di Madrasah Tsaawiyah Negeri (MTsN Jatibarag, Idramayu. Pada tahu 009 peulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Program Studi Matematika Terapa di Istitut Pertaia Bogor melalui jalur Beasiswa Utusa Daerah Kemeteria Agama Republik Idoesia.

13 DAFTAR ISI Halama I PENDAHULUAN..... Latar Belakag..... Tujua Peelitia... II TINJAUAN PUSTAKA Proses Poisso Periodik Pedugaa Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik... 7 III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT-SIFAT STATISTIKNYA Perumusa Peduga Sifat-Sifat Statistik Peduga... IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN 9 KERNEL SERAGAM 4. Peduga dega Kerel Seragam Sebara Asimtotik Peduga dega Kerel Seragam. VI. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA... 3 LAMPIRAN... 35

14 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Proses stokastik merupaka salah satu bidag kajia dalam matematika yag dapat diguaka utuk memprediksi atau mejelaska feomea-feomea dalam kehidupa sehari - hari. Proses stokastik merupaka suatu model yag berkaita dega atura - atura peluag. Sebagai otoh kita aka memprediksi dega membuat suatu model yag dapat diguaka utuk memprediksi kedataga para pelagga pada suatu pusat layaa seperti supermarket, kedataga da atria asabah di suatu bak, da lai sebagaiya. Proses stokastik dibedaka mejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses Poisso periodik bayak diguaka utuk memodelka feomea pada berbagai bidag di ataraya bidag komuikasi, hidrologi, meteorologi, asurasi, ilmu pegobata da seismologi (Helmers et al Fugsi itesitas λ diasumsika teritegralka lokal, yaitu ilai itegral dari fugsi tersebut pada sebarag iterval dega pajag terhigga adalah berilai terhigga. Ii berakibat bahwa ilai harapa dari bayakya data pegamata pada sebarag iterval dega pajag terhigga adalah berilai terhigga. Utuk meyusu suatu peduga yag kosiste, diperluka data yag bayakya meuju tak higga. Agar data pegamata di berbagai bagia selag waktu yag berbeda bisa diguaka utuk meduga fugsi itesitas pada suatu titik s, maka diperluka asumsi bahwa fugsi itesitas tersebut adalah periodik (siklik. Pada kajia ii kita aggap periode dari fugsi itesitas λ diketahui, yaitu. Jika laju proses meigkat berdasarka suatu fugsi terhadap waktu maka model yag lebih tepat utuk diguaka adalah proses Poisso periodik dega suatu tre. Pada pemodela stokastik dari suatu feomea yag

15 dimodelka dega proses Poisso periodik, fugsi itesitas dari proses tersebut umumya tidak diketahui. Sehigga diperluka suatu metode utuk meduga fugsi tersebut. Pada tulisa ii dipelajari perumusa peduga tipe kerel dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik kali tre kuadratik, beserta sebara asimtotik dari peduga yag diperoleh. Pada peelitia yag dilakuka fugsi itesitasya buka fugsi periodik ditambah tre tetapi fugsi periodik dikalika dega tre. Motivasiya karea bayak feomea yag tidak ook dimodelka dega proses Poisso yag fugsi itesitasya fugsi periodik ditambah tre. Sebagai otoh pemodela proses kedataga asabah pada suatu pusat servis, kalau pusat servis tutup maka fugsi itesitasya ol, kalau pedudukya lama kelamaa bertambah seara sigifika maka fugsi itesitasya lama kelamaa semaki besar. Oleh karea itu yag ook diguaka adalah fugsi periodik kali suatu tre. Pada peelitia ii dibahas kasus khusus, yaitu suatu proses Poisso yag fugsi itesitasya berbetuk fugsi periodik dikalika tre kuadratik.. Tujua Peelitia Tujua dari peelitia ii adalah utuk : i. Meetuka aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa peduga. ii. Meetuka aproksimasi asimtotik bagi ragam peduga. iii. Meetuka aproksimasi asimtotik bagi MSE peduga. iv. Meetuka sebara asimtotik dari peduga kerel seragam.

16 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Proses Poisso Periodik Defiisi. (Proses stokastik Proses stokastik X = {X(t, t T } adalah suatu himpua dari peubah aak yag memetaka suatu ruag otoh Ω ke suatu ruag state S. (Ross, 007 Dega demikia, X(t adalah suatu peubah aak, dega t adalah eleme dari T yag serig diiterpretasika sebagai satua waktu (walaupu tidak harus merupaka waktu. X(t dapat dibaa sebagai state (keadaa dari suatu proses pada waktu t. Dalam hal ii, suatu ruag state S dapat berupa himpua bilaga real atau himpua bagiaya. Defiisi. (Proses stokastik dega waktu kotiu Suatu proses stokastik X ={X(t, t T}disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T merupaka suatu iterval. (Ross, 007 Defiisi.3 (Ikreme bebas Suatu proses stokastik dega waktu kotiu {X(t, t T} disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t 0 < t < t <... < t, peubah aak X(t X(t 0, X(t X(t, X(t 3 X(t,..., X(t X(t, adalah salig bebas. (Ross, 007 Dega demikia dapat dikataka bahwa suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak salig tumpag tidih (tidak overlap adalah salig bebas.

17 Defiisi.4 (Ikreme stasioer Suatu proses stokastik dega waktu kotiu {X(t, t T} disebut memiliki ikreme stasioer jika X(t + s X(t memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t. (Ross, 007 Dapat kita kataka bahwa suatu proses stokastik dega waktu kotiu X aka mempuyai ikreme stasioer jika sebara dari perubaha ilai pada sembarag suatu iterval itu haya tergatug pada pajag iterval tersebut da tidak tergatug pada lokasi dimaa iterval tersebut terletak. Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses Poisso, keuali diyataka seara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu iterval [0,. Defiisi.5 (Proses peaaha Suatu proses stokastik {N(t, t > 0} disebut proses peaaha jika N(t meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t. Dari defiisi tersebut, maka proses peaaha N(t harus memeuhi syaratsyarat sebagai beriku: (. N(t 0 utuk setiap t [0,. (. Nilai N(t adalah iteger. (3. Jika s < t maka N(s N(t, s, t [0,. (4. Utuk s < t maka N(t - N(s, sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada selag (s,t]. (Ross, 007

18 Defiisi.6 (Proses Poisso Suatu proses peaaha {N(t, t 0} disebut proses Poisso dega laju λ, λ > 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut: (. N(0 = 0 (. Proses tersebut mempuyai ikreme bebas. (3. Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara Poisso dega ilai harapa λt. Jadi k ( λt ; 0,,... λt e P( N( t+ s N( s = k = k = k! (Ross, 007 Dari syarat (3 dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme stasioer. Dari syarat ii juga dapat diketahui bahwa: E(N(t = λt yag juga mejelaska megapa λ disebut laju dari proses Poisso tersebut. Defiisi.7 (Proses Poisso homoge Proses Poisso homoge adalah proses Poisso dega laju λ yag merupaka kostata utuk setiap waktu t. (Ross, 007 Defiisi.8 (Proses Poisso tak homoge Proses Poisso tak homoge adalah proses Poisso dega laju λ pada sembarag waktu t yag merupaka suatu fugsi tak kosta dari waktu t yaitu λ(t. (Ross, 007

19 Defiisi.9 (Fugsi itesitas Laju dari suatu proses Poisso tak homoge {N(t, t 0} yaitu λ(t, disebut fugsi itesitas proses Poisso pada t. (Ross, 007 Defiisi.0 (Itesitas lokal Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge N dega fugsi itesitas λ pada titik s Ρ adalah λ(s, yaitu ilai fugsi λ di s. (Cressie, 993 Defiisi. (Fugsi itesitas global Misalka N([0,] adalah proses Poisso pada iterval [0,]. Fugsi itesitas global θ dari proses Poisso ii didefiisika sebagai: EN θ = lim ([ 0, ] jika limit di atas ada. (Cressie, 993 Defiisi. (Fugsi periodik Suatu fugsi λ disebut periodik jika: λ(s + k = λ(s utuk semua s da k Ζ, dega Ζ adalah himpua bilaga bulat. Kostata terkeil yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi itesitas λ tersebut. (Browder, 996

20 Defiisi.3 (Proses Poisso periodik Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik. (Ross, 007 Defiisi.4 (Fugsi teritegralka lokal Fugsi itesitas λ adalah teritegralka lokal, jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B diperoleh ( B = ( s ds <. µ λ B (Dudley,989. Pedugaa Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik Fugsi itesitas suatu proses Poisso Periodik merupaka laju dari Poisso tersebut. Fugsi itesitas dibagi mejadi dua yaitu fugsi itesitas lokal da itesitas global. Fugsi itesitas lokal merupaka laju dari Poisso di titik tertetu, sedagka fugsi itesitas global merupaka rata rata laju dari proses Poisso pada iterval dega pajag meuju tak higga. Utuk meduga fugsi itesitas dapat diguaka pedekata o parametrik (Diggle, 985. Salah satu pedekata o parametrik yag dapat diguaka adalah pedekata fugsi kerel. Adapu hal ii karea fugsi itesitasya tidak diketahui, sehigga utuk meduga betuk fugsiya dapat didekati dega fugsi peduga kerel (Hardle, 993. Pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas lokal dari suatu proses Poisso di titik s ialah dega meaksir rata rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut dalam iterval waktu di sekitar titik s. Seara matematis, misalka h 0 da N[0,t] meyataka bayakya kejadia yag terjadi pada [0,t], maka itesitas di titik s dapat dihampiri oleh N( [ s h s+ h] h,.

21 Sedagka pedekata yag dipakai pada pedugaa fugsi itesitas global dari suatu proses Poisso ialah dega meaksir rata rata bayakya kejadia proses Poisso tersebut pada selag waktu [0,]. Seara matematis, itesitas global dapat dihampiri dega N( [ ] 0,. Pedugaa fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik dapat dibedaka berdasarka periodeya, yaitu proses Poisso dega periode yag diketahui da periode yag tidak diketahui. Pada periode yag tidak diketahui, pedugaa fugsi itesitasya lebih rumit dibadigka dega pedugaa fugsi itesitas dega periode yag diketahui. Namu demikia, Helmers et al. (003, 005 telah merumuska pedekata dega tipe kerel yag dapat diguaka utuk mejelaska kekosistea da sifat-sifat statistik dari peduga fugsi itesitas proses Poisso periodik tersebut. Pada Magku (006 telah dikaji sifat ormalitas asimtotik peduga tipe kerel utuk fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. Kemudia peduga sebara asimtotik pada turua pertama da kedua proses Poisso periodik dibahas pada Arifi (008 da sifat-sifat statistika orde kedua peduga proses Poisso periodik dega tre liear telah dibahas pada Marliaa (008. Pemodela suatu feomea dega proses Poisso berkembag dega meyertaka suatu kompoe tre liear ( Helmers da Magku 009, maupu megguaka periodik gada dalam fugsi itesitasya ( Helmers et al.007. Adapu pedugaa utuk fugsi itesitas globalya telah dilakuka pada Magku (005. Selai itu, pedugaa fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik yag meyertaka suatu kompoe tre berbetuk fugsi pagkat dega megguaka fugsi kerel seragam telah dikaji pada Rahayu (008, sifat sifat statistik peduga yag diperoleh dega megguaka kerel seragam telah dikaji pada Rahmawati (008, pedugaa fugsi itesitas global dari kompoe periodikya telah dikaji pada Yuliawati (008.

22 Sedagka sifat-sifat statistik peduga yag diperoleh dega megguaka fugsi kerel umum telah dikaji pada Farida (008, sebara asimtotik peduga kompoe periodik fugsi itesitas proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat telah dikaji pada Rahmawati (00 da kekosistea peduga fugsi distribusi da kepekata waktu tuggu pada proses Poisso siklik dega tre liear telah dikaji pada Magku (00.

23 BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adalah proses Poisso o homoge pada iterval [0, dega fugsi itesitas λ yag tidak diketahui. Fugsi ii diasumsika teritegralka lokal da terdiri atas kompoe periodik atau kompoe siklik kali tre kuadratik. Dega kata lai utuk sembarag titik s [ 0, meuliska fugsi itesitas λ sebagai berikut * dega ( s ( ( λ ( λ s s as λ kita dapat * = (3. ( ( s λ ( = * s a s (3. ( ( λ ( λ s = s s (3.3 λ adalah fugsi periodik dega periode da a adalah * kemiriga dari tre kuadratik serta λ ( λ ( s = a s. Dalam bahasa ii tidak diasumsika suatu betuk parametrik dari λ keuali bahwa λ adalah periodik dega persamaa : ( s k ( s λ + = λ (3.4 utuk semua s da k Ζ, dega Ζ adalah himpua bilaga bulat. Diasumsika bahwa adalah diketahui. Misalka utuk suatu ω Ω, kita haya memiliki sebuah realisasi N ( ω dari proses Poisso N yag terdefiisi pada suatu ruag peluag ( ΩI,,P dega fugsi itesitas seperti (3. yag diamati pada iterval terbatas [ 0, ] [ 0,. Karea s diketahui maka utuk meduga fugsi itesitas λ ( s seperti pada (3.3 ukup diduga kompoe periodikya yaitu λ ( s. Karea λ adalah fugsi periodik dega periode, maka masalah meduga λ pada titik s

24 dega s [ 0, dapat direduksi mejadi masalah meduga λ pada titik s dega s [ 0,. Kita juga asumsika bahwa s adalah titik Lebesque dari λ yaitu berlaku : h lim λ 0 ( s x λ( s dx 0 h h + =. (3.5 h Syarat ukup agar s merupaka titik Lebesque dari λ adalah fugsi λ kotiu di s. Misalka K : [ 0, merupaka fugsi berilai real, yag disebut kerel, yag memeuhi sifat sifat berikut: (K K merupaka fugsi kepekata peluag, (K K terbatas, da (K3 K memiliki daerah defiisi pada [-,] (Helmers et al Misalka juga h merupaka barisa bilaga real positif yag koverge ke 0, yaitu : jika h 0 (3.6 Dega otasi di atas, dapat dirumuska peduga bagi λ pada titik s [ 0, sebagai berikut: λ ( K,, 0 k = 0 h s k ( x s+ k s = K N ( dx. ( + h (3.7 Ide dibalik pembetuka peduga tipe kerel di atas dapat digambarka sebagai berikut. Dega megguaka (3.3 da (3.4, kita peroleh : Misalka N # ( ( ( + ( + λ s λ s k λ( s = λ( s+ k = = s s k : = { k: s k [ 0, ] } λ( s = λ s+ k I s+ k 0, N k = 0. (3.8 + dimaa # meyataka bayakya aggota. ( { [ ]} ( ( λ s+ k = I s+ k 0, N k = 0 s+ k { [ ]} N s+ k + h 0 s k h k h + = ( s+ k ( ( [ 0, ] λ x I x dx

25 = N k = 0 h s+ k ( ( + N k = 0 h s k ([ +, + + ] [ 0, ] EN s k h s k h N s+ k h s+ k + h ([, ] [ 0, ] h s k N( [ s k h, s k h] [ 0, ] (3.9 k = 0 ( + dimaa I meyataka fugsi idikator. Agar pedekata ( pertama pada (3.9 berlaku, diperluka asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi λ da asumsi (3.6 terpeuhi. Dega demikia dari (3.9 dapat disimpulka ˆ λ ( s = N( [ s+ k h, s+ k + h ] [ 0, ] (3.0 ( +. k = 0 h s k adalah peduga utuk λ ( s. Peduga ( s ( λ dapat ditulis kembali sebagai berikut: ˆ λ s = I s+ k h, s+ k + h N d. x ˆ, [ ] ([ ] ( 0 k = 0 ( + (3.,, h s k Dega meggati fugsi Ι[ ] (., kita dapatka peduga pada (3.7. pada (3. dega kerel umum K, maka 3. Sifat Sifat Statistik Peduga Teorema 3. ( Aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa Misalka fugsi itesitas λ memeuhi (3. da teritegralka lokal. Jika kerel K adalah simetrik da memeuhi sifat (K,(K,(K3, h 0, λ memiliki turua kedua λ berhigga pada s da ( ˆ λ ( s λ ( ( ( K,, = λ( + + h maka E s s h x K x dx o h (3. utuk

26 Bukti Teorema : λ =E (,, ˆ K E ( s = k = 0 ( h s k ( x s+ k K h 0 + N ( dx x ( s+ k K EN ( dx 0 k = 0 h ( s k. (3.3 h + Persamaa (3.3 dapat ditulis mejadi x ( s+ k K λ( x I ( x [ 0, ] ( dx R k = 0 h ( s k. (3.4 h Persamaa (3.4 dapat ditulis = = + R k 0 h ( s k = + h R k = 0 h ( s k x K λ x s k x s k d ( + + Ι ( + + [ 0, ] x K λ ( x+ s( x+ s+ k Ι ( x+ s+ k [ 0, ] d. + h (3.5 Dega meggati variabel, maka persamaa (3.5 dapat ditulis mejadi ( xh + s + k ( + R k = 0 h s k K ( x λ ( xh + s Ι ( xh + s + k [ 0, ] dx (3.6 Karea λ mempuyai turua kedua pada s, megakibatka λ terbatas di sekitar s. Dega megguaka deret Taylor, yaitu : xh λ( xh + s = λ( s + λ ( s xh + λ ( s + ο( h! (3.7 da fakta bahwa k = 0 ( + + ( s+ k xh s k Ι ( xh + s + k [ 0, ] = +Ο(, (3.8 utuk berlaku seragam utuk semua x [ h, h ] (3.6 mejadi maka persamaa

27 xh = K( x λ ( ( ( ( ( s λ s xh λ s ο h O ! λ ( s = λ( s K( x dx + λ ( ( ( ( s h xk x dx h x K x dx ο h! O (3.9 Karea K merupaka fugsi kepekata peluag yag memiliki daerah defiisi K x dx =. Karea kerel K adalah simetrik, maka pada[-,], maka ( ( xk x dx = 0 da berdasarka asumsi ruas kaa persamaa (3.9, yaitu O Sehigga persamaa (3.9 dapat ditulis mejadi λ E(,, ( ˆ ( s s λ ( s + h x K x dx o h K + h, maka suku ke lima dari sama dega o( h λ = ( ( utuk. Jadi Teorema 3. terbukti., utuk. Teorema 3. ( Aproksimasi asimtotik bagi ragam Misalka fugsi itesitas λ memeuhi (3. da teritegralka lokal. Jika kerel K memeuhi sifat (K, (K, (K3, h 0, utuk, maka ( s π λ Var ( λk,, ( s = K ( x dx ο 6h + h (3.0 utuk, asalka s adalah titik Lebesgue bagi λ. Bukti Teorema 3. : Utuk ilai yag besar da k j, [ s j h, s j h ] iterval [ s k h, s k h ] da tidak overlap sehigga utuk semua ( ( x s+ k x s+ j k j, K N ( dx da K N ( dx adalah h h Sehigga Var λ ( s dapat ditetuka sebagai berikut: ( K,, bebas. Var ( K,, ( s λ = ( x s+ k Var K 0 k = 0 h ( s k + h N ( dx

28 = h (( s+ k ( x s+ k K Var ( N ( dx. 0 k = 0 h (3. Karea N adalah peubah aak Poisso, maka Var (N = E(N sehigga (3. mejadi = h h ( x s+ k K 4 0 k 0 ( s k = + h E N dx ( ( x ( s+ k K λ ( x dx. k = 0 (( s k h ( Dega peggatia variabel, serta megguaka persamaa (3.3 da (3.4, maka persamaa (3. dapat ditulis h k = 0 x λ + ( s k ( ( [ 0, K 4 x s k I x s k d h R. x = 4 h k = 0 + h R ( s k ( ( λ ( ( [ 0, K x s x s k I x s k d = λ ( ( x+ s+ k 4 ( + x K x+ s I( x+ s+ k [ 0, d.(3.3 h h R k = 0 s k Dapat diperhatika bahwa ( x+ s+ k ( s+ k π I 4 ( x + s + k [ 0, dx = 6 k = + o( (3.4 utuk berlaku seragam utuk semua x [ h, h ] meyubstitusika persamaa (3.4 ke (3.3 diperoleh ( K,, h h 6 R Var λ ( s = K λ ( x + s dx + o(. Dega x π (3.5 utuk. Dega peggatia variabel, maka persamaa (3.5 dapat ditulis mejadi

29 π π K ( x ( xh s dx o( K ( x ( xh s dx. 6h h λ + + λ + 6h R h R (3.6 Selajutya, dari suku pertama (3.6 kita mempuyai h h h h λ ( xh + s dx h = ( λ( + λ( + λ( h xh s s s dx xh s s dx s dx h h h h h = ( λ h ( + λ ( + λ (. (3.7 Utuk meujukka bahwa suku pertama (3.7 adalah koverge ke ol, aka diguaka ilai yag lebih besar, yaitu h ( + λ ( h λ xh h s s dx. (3.8 Dega asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi λ, maka kuatitas (3.8 koverge ke ol jika, atau dapat juga ditulis o (. Sedagka suku kedua persamaa (3.7 adalah h h h λ ( s dx = λ (s. Dega meggabugka hasil yag diperoleh, maka h h h λ ( xh + s dx λ (s + ( = o. utuk. Dega demikia (3.6 dapat ditulis mejadi π K x dx o o K x dx o 6h π 6 h ( ( λ( s + ( + ( ( λ( s + ( = ( π λ s s K ( x dx o( K ( x dx o K ( x dx o 6h π λ + 6h + + h h (

30 utuk. Akhirya didapatka ( s π λ Var ( λk,, ( s = K ( x dx ο 6h + h (3.9 utuk. Jadi Teorema 3. terbukti. Akibat 3. ( Aproksimasi asimtotik bagi MSE Misalka fugsi itesitas λ memeuhi (3. da teritegralka lokal. Jika kerel K adalah simetrik da memeuhi sifat (K, (K, (K3, λ memiliki turua kedua MSE utuk. (3.30 λ berhigga pada s maka ( π λ (,, ( ˆ ( s λ s λ ( K Bukti Akibat 3. : h 0, h da 4 4 = ( s x K x dx h ( (, 4 + K x dx + ο + o h 6 h h ( ( ( ( ( ( ( MSE ˆ λ s = Bias ˆ λ s + Var ˆ λ s (3.3 K,, K,, K,, (,, ˆ K ( ˆ,, λ ( K dega Bias λ ( s = λ ( E s s. Dega megguaka Teorema 3. da 3. kita peroleh da utuk. Bias s h x K x dx o h ( ˆ λ ( s λ ( ( ( K,, = + ( s π λ Var ( λk,, ( s = K ( x dx ο, 6h + h Sehigga persamaa (3.3 dapat ditulis mejadi: ( s π λ ( ( ( ο h λ ( s = h x K x dx + o h + K x dx + 6 h

31 ( ( ( 4 π λ s 4 λ ( s x K x dx h ( (, K x dx ο o h (3.3 = h h utuk Dega demikia Akibat 3. terbukti.

32 BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM 4. Peduga dega Kerel Seragam Pada bab ii diguaka peduga dega kerel seragam. Hal ii karea saya belum berhasil memperoleh sebara asimtotik dari peduga dega kerel umum. Utuk itu bab ii megguaka kerel seragam. Peduga bagi λ ( s pada s [ 0, didefiisika sebagai berikut (lihat 3.0 megguaka kerel seragam dapat ˆ λ ( s, k = 0 + ([ +, + + ] [ 0, ] N s k h s k h = ( s k h (4. dega N ([ 0, ] meyataka bayakya kejadia pada iterval [ 0, ] da h adalah barisa bilaga real positif yag koverge meuju ol, yaitu h 0 (4. utuk. Pada peduga di atas, h disebut badwidth. Utuk meyusu peduga diperluka data ([ 0, ] N, yaitu data realisasi proses Poisso pada iterval [ 0, ], dega bilaga real da harus relatif besar dibadigka periode. Fugsi itesitas λ ( s dapat didekati dega ratarata bayakya kejadia di sekitar s atau pada iterval [ s h, s h ] itu, peduga bagi λ ( s, diotasika dega ˆ λ ( s +. Oleh karea, diperoleh dega meetuka rata-rata bayakya kejadia di sekitar s. Seara matematis dapat ditulis mejadi

33 ˆ λ ( s ([, + ] N s h s h =. (4.3 h Berdasarka sifat keperiodika λ pada persamaa (3.4, maka didapatka peduga kompoe periodik fugsi itesitas λ di sekitar s+ k, yaitu λ ( s yag meyataka rata-rata bayakya kejadia di sekitar s+ k dibagi ( s+ k. Seara matematis dapat ditulis mejadi ˆ ˆ λ ( s = ([ +, + + ] ( s+ k h N s k h s k h. (4.4 Data yag diamati pada iterval [ 0, ]. Diotasika bayakya bilaga bulat k sehigga s k [ 0, ] peduga bagi λ utuk s k [ 0, ] ( s+ k +, yaitu meyataka +. Sehigga didapatka suatu ([ +, + + ] ( 0, N s k h s k h ˆ λ ( s =. (4.5 k = 0 h Dega meggati dega, maka diperoleh peduga kompoe periodik λ ( s ˆ λ, yaitu ( s, k = 0 + seperti pada persamaa (4.. ([ +, + + ] [ 0, ] N s k h s k h = ( s k h Berdasarka Teorema 3. diperoleh ilai harapa utuk peduga dega kerel seragam sebagai berikut:

34 E ( λ, ( λ ( λ ( s '' s = s + h + o h 6 ( (4.6 utuk. Berdasarka Teorema 3., ilai ragam peduga dega kerel seragam adalah ( λ( ( s π λ, h ˆ Var s = + o, h (4.7 utuk. 4. Sebara Asimtotik Peduga dega Kerel Seragam Teorema 4. (Sebara asimtotik peduga ( s λ Misalka fugsi itesitas λ memeuhi (3. da teritegralka lokal, serta h 0, h ˆ,, da λ memiliki turua kedua λ berhigga pada titik s. 5 (i Jika h 0, maka ˆ d h λ ( s λ ( s Normal 0, σ (4.8 (,, ( K ( π λ utuk dega s σ =. (iijika h maka ˆ d h λ ( s λ ( s Normal µσ, (4.9 5 (,, ( K utuk, dega µ λ ( Bukti : ( π λ = s da s σ =. 6 Ruas kiri (4.8 da (4.9 dapat ditulis sebagai berikut: ( ˆ λ, ( λ ( h s s ( ˆ λ ˆ, λ ( ˆ, λ, ( λ ( = ( ( h s E s + h E s s. (4.0 Sehigga utuk membuktika Teorema 4., ukup dibuktika

35 ( ˆ ( ˆ d λ, λ, ( ( 0, σ h s E s Normal (4. utuk da jika h 0 maka 5 ( λ,, ( λ ( ˆ 0 (4. h E K s s utuk da jika h maka 5 (,, ( ( ˆ λ λ λ, (4.3 6 h E K s s utuk. Berdasarka Lema 4. kita peroleh (4. da (4.3, da berdasarka Lema 4. kita peroleh (4.. Jadi Teorema 4. terbukti. Lema 4. Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3. da teritegralka lokal. Misalka pula h 0 da 5 (i Jika h 0 maka h utuk. ( λ, ( λ ( ˆ 0 h E s s (4.4 utuk. 5 (ii Jika h maka ( ˆ λ, ( λ ( λ ( h E s s s 6 (4.5 Bukti : utuk. Utuk membuktika Lema 4. dapat diguaka persamaa (4.6 sehigga diperoleh

36 ( ˆ λ, ( λ ( h E s s = = = ( s λ h h + ο h 6 ( hh h 5 λ 6 λ 6 ( s ( s + ο + ο ( (. (4.6 Karea h 0 da λ 6 ( s + ο = ( O( maka diperoleh bagia (i dari Lema 5 Jika h utuk demikia Lema 4. terbukti. maka diperoleh bagia (ii dari Lema 4.. Dega Lema 4. Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3. da teritegralka lokal. h 0 da h utuk maka ( ˆ ( ˆ d λ, λ, ( ( 0, σ h s E s Normal (4.7 dega π λ ( s σ = utuk, Bukti : Perhatika bahwa ruas kiri peryataa Lema 4. dapat ditulis sebagai ( h Varλ, s ˆ ˆ λ ( s E ˆ λ( s Var ˆ λ ( s,, Utuk membuktika Lema 4. ukup dibuktika,.. (4.8

37 ˆ λ ( h Var K,, s da π λ ( s (4.9 ˆ λ, utuk ( s E ˆ λ ( s E ˆ λ ( s,, d Normal ( 0, (4.0 Pertama dibuktika peryataa (4.9. Dega meyubstitusika (4.7 ke ruas kiri (4.9 diperoleh ( h Varλ K,, s ˆ = h ( s π λ + o h h = ( h ( s π λ + o h h = ( π λ s ( + ο (4. utuk. Misalka diperoleh u π λ ( s = + ο ( da f ( u u, = dega megguaka deret Taylor ( π λ ( π λ π λ s s f ( u = f ( s + f u ( s π λ ( s π λ + f u +...! π λ ο( ο( π λ = ( s = ( s + ο ( π λ π λ ( s 4 ( s

38 utuk. Maka diperoleh (4.9. Berdasarka Lema 4.3 diperoleh (4.0. Dega demikia Lema 4. terbukti. Lema 4.3 Misalka fugsi itesitas λ memeuhi persamaa (3. da teritegralka lokal, h 0, da s adalah titik Lebesgue maka ˆ λ ( s E ˆ λ ( s E ˆ λ ( s,, d, Normal ( 0, (4. utuk. Bukti : Misalka X = k = 0 ([ +, + + ] N s k h s k h ( s+ k h (4.3 da µ = EX (, dega meyataka bayakya bilaga k sehigga s+ k [ 0, ]. Karea h 0 jika, maka utuk ilai yag ukup besar, peubah aak N( [ s+ j h, s+ j + h] da N( [ s+ k h, s+ k + h], dega k j, adalah salig bebas. Perhatika bahwa jumlah peubah aak Poisso yag salig λ s dapat ditulis bebas juga merupaka peubah aak Poisso. Sehigga ( ˆ λ, = ( s ( X yag merupaka peubah aak Poisso dikalika suatu kostata. Sehigga, berdasarka Lema 4.4 utuk membuktika (4. ukup ditujukka ˆ,

39 µ (4.4 utuk Utuk sembarag ilai diperoleh ilai harapa peubah aak ([ +, + + ] N s k h s k h µ = E k = 0 ( s+ k h = = ([ +, + + ] N s k h s k h E s k h k = 0 ( + ([ +, + + ] EN s k h s k h s k h k = 0 ( + Kemudia kompoe N( [ s+ k h, s+ k + h] dapat diuraika mejadi X adalah dx dx (4.5 E pada persamaa (4.5 s+ k + h ([ ] = λ( ( [ ] EN s k h, s k h x I x 0, d. s+ k h (4.6 Dega melakuka peggatia peubah y = x ( s+ k, persamaa (4.6 dapat ditulis mejadi h ([ ] = λ( + + ( + + [ ] EN s k h, s k h y s k I y s k 0, d. h Dega megguaka persamaa (3.3, maka persamaa (4.6 dapat ditulis mejadi ([ +, + + ] E N s k h s k h h ( ( ( [ ] = λ y+ s+ k y+ s+ k I y+ s+ k 0, d. h (4.7 Berdasarka sifat keperiodika, maka persamaa (4.7 dapat ditulis mejadi

40 h ([ +, + + ] EN s k h s k h ( ( ( [ ] = λ y+ s y+ s+ k I y+ s+ k 0, d. h (4.8 Kemudia kembalika persamaa (4.8 ke persamaa (4.5 sehigga mejadi µ = λ h ( s+ k ( y s( y s k I( y s k [ 0, ] d. (4.9 k = 0 h Persamaa (4.9 bisa ditulis mejadi Perhatika bahwa h ( + + h k = 0 ( y+ s+ k y s k I ( y+ s+ k [ 0, ] = + O( (4.3 k = 0 ( s+ k utuk. Jadi persamaa (4.30 dapat ditulis mejadi h h (4.3 h h µ ( y s O( dy O( ( y s dy h λ = + + = + h λ + Dilakuka operasi perkalia pada ruas kaa persamaa (4.3 sehigga didapat µ = ( y s I ( y s k [ 0, ] d. y (4.30 h λ ( s+ k h h µ = λ + + h h ( y s dy O( (4.33 Suku pertama pada ruas kaa dari persamaa (4.33 dapat ditulis mejadi h = ( λ( y + s + λ( s λ( s dy h h h = ( λ( y s λ( s dy λ( s dy. h + + h h h h (4.34

41 Perhatika suku pertama dari persamaa (4.34. Karea s adalah titik Lebesgue λ diguaka ilai yag lebih besar, yaitu h = λ( y + s λ( s dy h h = ο ( = ο ( (4.35 utuk. Sedagka suku kedua persamaa (4.34 adalah h = λ( s dy λ( s. h = (4.36 h Dega meggabugka hasil yag diperoleh, maka h ( λ( y s λ( s dy λ( s dy h + + h h = λ + ( s o( utuk. h h Dega demikia diperoleh bahwa suku pertama ruas kaa persamaa (4.33 adalah h h h λ ( y + s dy = λ ( s + o( utuk. Akhirya diperoleh dari ruas kaa persamaa (4.33, adalah µ = λ + +Ο ( s o( ( = λ ( s + o(

42 utuk. Dega demikia Lema 4.3 terbukti. Lema 4.4 Misalka X adalah barisa peubah aak Poisso dega EX = µ. Jika µ X µ d utuk, maka N ( 0, µ utuk. Bukti : Lihat Cheg 949

43 BAB V KESIMPULAN Berdasarka pembahasa di atas dapat disimpulka sebagai berikut:. Utuk meduga fugsi itesitas lokal dari suatu kompoe periodik fugsi itesitas berbetuk fugsi periodik kali tre kuadratik pada proses Poisso o homoge dilakuka pedugaa di titik ukup diduga ilai pada. Peduga tipe kerel dari fugsi itesitas pada titik dirumuska sebagai berikut: λ ( K,, 0 k = 0 h s k ( x s+ k s = K N ( dx. ( + h utuk.. Selajutya dilakuka pegkajia megeai sifat-sifat statistik da keormala asimtotik, yag hasilya sebagai berikut: a. Aproksimasi asimtotik bagi ilai harapa adalah : E (,, ( ˆ s K λ ( s λ = λ ( ( ( s + h x K x dx + o h utuk. b. Aproksimasi asimtotik bagi ragam adalah ( s π λ Var ( λk,, ( s = K ( x dx ο 6h + h utuk.. Mea Square Error (MSE adalah

44 ( ( ( ( ˆ 4 π λ 4 MSE λk,, s = λ ( s x K x dx h ( (. 4 + K x dx ο o h 6 h + + h ( s utuk. 3. Peduga dega tipe kerel seragam dari fugsi itesitas pada titik dirumuska sebagai berikut: ˆ λ ( s, k = 0 + ([ +, + + ] [ 0, ] N s k h s k h = ( s k h 4. Keormala asimtotik bagi peduga dega kerel seragam adalah ( Jika h 0, maka ˆ d h λ ( s λ ( s Normal 0, σ 5 (,, ( K ( π λ utuk dega s σ =. ( Jika h maka ˆ d h λ ( s λ ( s Normal µσ, 5 (,, ( K utuk, dega µ λ ( ( π λ = s da s σ =. 6

45 DAFTAR PUSTAKA Arifi, Z Sebara Asimtotik Peduga Turua Pertama da Turua Kedua dari Fugsi Itesitas Suatu Proses Poisso Periodik. Departeme Matematika IPB. Tesis. Bogor. Browder A Mathematial Aalysis: A Itrodutio. New York: Spriger. Cheg, T. T The ormal approximatio to the Poisso distributio ad a proof of a ojeture of Ramauja. Buleti of the Ameria Mathematial Soiety. 55 (4, Cressie, N. 99. Statistis for Spatial Data. New York: Wiley. Diggle, P. J A kerel method for smoothig poit proses data. Applied Statisti, 34, Dudley RM Real Aalysis ad Probability. Califoria: Wadsworth & Brooks. Farida, T Pedugaa Kompoe Periodik dari Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Tesis. Bogor. Grimmet GR, Stizaker DR. 00. Probability ad Radom Proesses. Ed.ke. Oxford: Claredo Press. Hardle, W Applied Noparametri Regressio, Cambridge Uiversity Press. Helmers R, Magku IW, Zitikis R Cosistet estimatio of the itesity futio of a yli Poisso proess. Joural of Multivariate Aalysis. 84, Helmers R, Magku I W., Zitikis R Statistial properties of the itesity futio of the itesity futio of yli Poisso proess. Joural of Multivariate Aalysis. 9, -3.

46 Helmers R, Magku I W., Zitikis R A o parametri estimator for the double periodi Poisso itesity futio. Statistial Methodology. 4 : Hogg RV, Craig AT, M Kea JW Itrodutio to Mathematial Statistis. Ed. Ke-5. New Jersey: Pretie Hall, Upper Saddle River. Magku, I W A ote o estimatio of the global Itesity of a yli Poisso proess i the presee of liear tred. Joural of Mathematis ad Its Appliatio. Vol.4, No:,0 Magku, I W Asymptoti ormality of a kerel-type estimator for the itesity of a periodi Poisso proess. Joural of Mathematis ad Its Appliatio. Vol.5, No:, 3- Marliaa, N Sifat sifat Statistik Orde - Peduga Tipe Kerel bagi Kompoe Periodik Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Liear. Departeme Matematika IPB. Tesis. Bogor. Rahmawati RN Sifat sifat Statistik Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega TreFugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Skripsi. Bogor Rahmawati RN. 00. Sebara Asimtotik Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Tesis. Bogor. Rahayu M Sifat Sifat Statistik Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Skripsi. Bogor Roos S. M Itrodutio to Probability Models. 9 th ed. Aademi Press I. Orlado, Florida Serfllig, R. J Approximatio Theorems of Mathematial Statistis. New York: Joh Wiley & Sos.

47 Stewart, J Kalkulus. Jilid. Jakarta: Erlagga. Wheede, R L ad Zygmud Measure ad Itegral: A Itrodutio to Real Aalysis. New York: Marel Dekker, I. Yuliawati L Pedugaa Fugsi Itesitas Global dari Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat. Departeme Matematika IPB. Skripsi. Bogor

48 Lampira. Beberapa Defiisi da Lema Tekis Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi A. ( Ruag otoh Ruag otoh adalah himpua semua hasil dari suatu perobaa aak, da diotasika dega (Grimmett da Stirzaker, 00 Defeisi A. (Kejadia Kejadia adalah himpua bagia dari ruag otoh. (Grimmett da Stirzaker, 00 Defiisi A.3 (Kejadia lepas Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog (Ø. (Grimmett da Stirzaker, 00 Defiisi A.4 (Meda- Meda- adalah suatu himpua yag aggotaya adalah himpua bagia ruag otoh yag memeuhi syarat syarat berikut :. Ø.. Jika maka 3. Jika maka (Grimmett da Stirzaker, 00 Jadi, suatu himpua disebut Meda- (field jika adalah aggota, tertutup terhadap operasi uio tak higga, da tertutup terhadap operasi kompleme. Defiisi A.5 (Ukura peluag Suatu ukura peluag P pada Ω, ( adalah suatu fugsi P: [0,] yag memeuhi syarat syarat berikut:. P( = 0 da P(Ω =. Jika A, A.. adalah himpua himpua yag salig lepas, yaitu

49 A i A j = utuk setiap pasaga i, j dega i j, maka : P( i= Ai = i= PA ( i i= PA ( Defiisi A.6 (Kejadia salig bebas Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: i (Grimmett da Stirzaker, 00 Seara umum himpua kejadia dikataka salig bebas jika : utuk setiap himpua bagia J dari I. Peduga Defiisi A.7 ( Statistika Statistika (Grimmett da Stirzaker, 00 adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah aak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui. Defiisi A.8 ( Peduga ( Hogg et al, 005 Misalka X, X,.., X adalah otoh aak. Suatu statistik U(X, X,.., X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g(θ, dilambagka oleh g(θ. Bilamaa X = x, X = x,., X = x, maka ilai U(X, X,.., X disebut sebagai dugaa ( estimate bagi g(θ Defiisi A.9 ( Peduga Tak Bias ( Hogg et al, 005 (i Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g(θ, yaitu E[U(X, X,.., X ] = g(θ, disebut peduga tak bias bagi parameter g(θ. Selaiya, pemduga di atas dikataka berbias. (ii Jika lim E[U(X, X,.., X ] = g(θ utuk, maka U(X, X,.., X disebut sebagai peduga tak bias asimtotik bagi g(θ ( Hogg et al, 005

50 Defiisi A.0 ( Peduga kosiste Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g(θ, disebut peduga kosiste bagi g(θ Defiisi A. ( MSE suatu peduga Mea Square Error (MSE dari suatu peduga U didefiisika sebagai : MSE(U = E (U - g(θ Dapat ditujukka bahwa MSE(U = Var (U + ( Bias (U dega Bias (U = EU - g(θ MSE(U = E(U - g(θ = E(U EU + EU - g(θ = E(U - EU + E(U EU(EU - g(θ + (EU - g(θ = E(U - EU + ( EU - g(θ = Var (U + ( Bias (U Nilai Harapa, Ragam da Mome Defiisi A. (Nilai harapa ( Hogg et al, 005 bagi parameter g(θ Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi massa peluag px ( x. Nilai harapa dari X, diotasika dega E(X, adalah ( ( E X = xpx x x jika jumlah di atas koverge mutlak. Defiisi A.3 (Ragam (Hogg et al, 005 Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi massa peluag p ( ilai harapa E(X. Ragam dari X, diotasika dega Var(X atau σ x, adalah x (( ( ( ( X ( σ = E X E X = X E X xp x x X x da (Hogg et al, 005

51 Defiisi A.4 (Mome ke-k Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome ke-k atau dari peubah aak X adalah (Hogg et al, 005 Nilai harapa dari peubah aak X juga merupaka mome pertama dari X. Defiisi A.5 (Mome pusat ke-k Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome pusat ke-k atau dari peubah aak X adalah (Hogg et al, 005 Nilai harapa dari kuadrat pebedaa atara peubah aak X dega ilai harapaya disebut ragam atau varias dari X. Ragam merupaka mome pusat ke- dari peubah aak X. Defiisi A.6 (Fugsi idikator Misalka A adalah suatu kejadia. Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi, yag diberika oleh: Dega fugsi idikator kita dapat meyataka hal berikut : (Grimmett da Stirzaker, 00 Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi A.7 ( (. da o(. Simbol simbol (. da o(. merupaka ara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x da v(x dega x meuju suatu limit L. (i Notasi u(x = (v(x,, meyataka bahwa terbatas, utuk

52 (ii Notasi u(x = o(v(x,, meyataka bahwa, utuk Defiisi 8 (Titik Lebesgue Kita kataka s adalah titik Lebesgue dari fugsi λ jika berlaku (Serflig, 980 (Wheede ad Zygmud, 977 Lema A. (Formula Youg dari Teorema Taylor Misalka g memiliki turua ke- yag berhigga pada suatu titik x. Maka utuk. (Serflig, 980 Bukti: Lihat Serflig 980. Lema A. (Teorema Deret Taylor Deret Taylor dari fugsi f di a (atau di sekitar a atau yag berpusat di a memiliki persamaa Bukti:Lihat Stewart 003.

53