BAB V PENUTUP. Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnnya baik secara matematis maupun dalam studi kasus, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB V PENUTUP. Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnnya baik secara matematis maupun dalam studi kasus, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:"

Transkripsi

1 BAB V PENUTUP 5. Kesimpula Berdasarka pembaasa pada bab-bab sebelumya baik secara matematis maupu dalam studi kasus, diperole kesimpula sebagai berikut:. Dari asil studi kasus pada 74 sugai di Idoesia yag daera pegaliraya lebi dari 000 km tau 00 di bab IV diperole: a. Kerel dega ifiite order aka memberika asil yag optimal jika kelipata titik estimasi x dipili sekecil mugki atau titik-titik yag diestimasi ampir di seluru bilaga real pada iterval data yag diguaka. Hal tersebut dapat diliat ketika kelipata ilai estimasi x yag diguaka 0,, 0, da 0,3 maka ilai MSE terkecil sebagia besar diasilka pada estimasi yag megguaka kerel dega order tak igga yaitu kerel sius. Namu ketika kelipata ilai estimasi x yag diguaka 0.5, 0,6 da 0.7 maka ilai MSE terkecil sebagia besar diasilka pada estimasi yag megguaka kerel dega order berigga yaitu kerel ormal. b. Perubaa ilai badwidt pada setiap kelipata ilai estimasi x mempegarui ilai MSE yag diasilka. Nilai badwidt yag kecil yaitu 0.3 memberika ilai MSE yag cukup besar dibadigka da 0.5. Begitu juga berlaku pada ilai badwidt yag besar yaitu. Hal ii disebabka ole sifat dari parameter badwidt yaitu semaki kecil ilai badwidt maka grafik yag diasilka aka semaki kasar da mejaui fugsi yag sebearya. Begitu juga ketika badwidt yag dipili besar maka grafik yag diasilka aka semaki alus. Sifat iila yag mempegarui ilai MSE yag diasilka. 55

2 54 Tiggi redaya grafik memperliatka besar da kecilya ilai MSE. Dari grafik MSE di atas memperliatka bawa ilai MSE yag diasilka pada badwidt lebi dari 0, tidak begitu jau berbeda atara kerel order berigga maupu yag tak igga. Namu pada badwidt kurag dari 0, memperliatka bawa terjadi perbedaa ilai MSE yag cukup sigifika dari ketiga kerel terlebi pada kelipata titik x = 0,5 da x = 0,7. Pada kelipata titik x = 0,5 kerel ormal megasilka ilai MSE yag palig besar. Sedagka pada kelipata titik x = 0,7 kerel cosius megasilka ilai MSE yag palig besar dibadigka kerel ormal utuk badwidt kurag dari 0, Grafik dari masig-masig kelipata titik dapat dega legkap diliat pada lampira 4. Berdasarka studi kasus dega pegambila ilai kelipata pada titik x atara 0, 0,7, kerel sius aka lebi uggul ketika titik-titik yag diestimasi ampir berada di seluru bilaga real di selag data pegamata. Sedagka kerel ormal aka lebi uggul ketika titik-titik yag diestimasi aya pada beberapa bilaga real di selag data pegamata. Namu secara keselurua ilai MSE yag terkecil palig bayak diasilka ole kerel dega order tak igga yaitu kerel sius. Nilai MSE yag kecil dalam al ii meujukka bawa asil estimasi yag diasilka ole estimator dekat dega ilai fugsi asliya. Seigga estimator Nadaraya Watso dega kerel berorder tak igga kususya sius dapat memberika asil estimasi yag tidak jau berbeda dega keadaa yag sebearya. Dalam al ii utuk megestimasi volume sugai di Idoesia pegamat tidak arus melakuka observasi terlebi daulu. Seigga pemerita dapat lebi emat dalam al biaya, teaga da juga waktu dalam megestimasi volume sugai di Idoesia.

3 53 Berikut grafik MSE dari masig-masig kelipata ilai x: Badwidt Badwidt a. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0. b. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0.3 Badwidt Badwidt c. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0.5 d. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0.7 Gambar 4.5 Grafik MSE

4 5. pada kelipata x sebesar 0,3, ilai MSE yag terkecil masi didomiasi ole kerel ifiite order yaitu sius dega badwidt 0,3, 0,5 da. Sedagka pada badwidt 0, ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ormal. 3. pada kelipata x sebesar 0,4, ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ifiite order yaitu sius dega badwidt 0,3 da. Sedagka pada badwidt 0, da 0,5 ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ormal. 4. pada kelipata x sebesar 0,5, ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ifiite order yaitu sius dega badwidt 0,3. Sedagka pada badwidt 0, , 0,5 da ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ormal. 5. pada kelipata x sebesar 0,6 da 0,7 di setiap ilai badwidt yag dipili terliat bawa ilai MSE yag terkecil diasilka ole estimator dega megguaka kerel ormal. Ketika kelipata x dipili yag kecil, dalam kasus ii kelipata x kurag dari 0,4, maka estimator dega megguaka kerel ifiite order yaitu sius aka megasilka ilai MSE yag kecil yag berarti bawa kerel sius aka memiliki performace lebi baik, berapapu badwidt yag dipili, dibadigka kerel yag laiya. Sedagka ilai MSE terkecil aka diasilka ole estimator dega megguaka kerel ormal ketika kelipata x yag dipili cukup besar dalam kasus ii utuk kelipata x lebi dari 0,4. Dari tabel di atas, ilai MSE yag terkecil diasilka ole estimator yag megguaka kerel sius dega ketetua sebagai berikut MSE kecil diasilka ole estimator dega megguaka kerel ormal, 5 diasilka ole estimator dega kerel sius da diasilka ole estimator dega kerel cosius. Seigga dari asil tabel di atas terliat bawa MSE terkecil palig bayak diasilka ole estimator yag megguaka kerel sius. Berikut aka ditampilka grafik dari MSE dari masig-masig kelipata titik x.

5 5 0, , , , ,5 0, , , , , , ,5 0,3,3587 0, ,0337 0, , , , ,5 0,8369 0, ,86 0, , , ,6 0,3, , , , , , , ,5 0, , ,0535 0, , , ,7 0,3, , ,0454 0, , , , ,5 0, , , ,3483 0, ,34778 Tabel 4.: Nilai-ilai MSE Nilai-ilai MSE yag diasilka seperti yag terliat pada tabel di atas berbeda atara yag satu dega yag lai, yaitu:. pada kelipata x sebesar 0, da 0, setiap ilai badwidt yag dipili terliat bawa ilai MSE yag terkecil diasilka ole estimator dega megguaka kerel berorder ifiite kususya kerel sius.

6 50 besar aka megasilka grafik yag semaki mulus. Dari keempat gambar di atas terliat bawa pada masig-masig kelipata titik x grafik yag diasilka salig berimpit, seigga belum dapat diambil kesimpula kerel maaka yag memberika performace terbaik. Maka kebaika estimasi aka diliat melalui ilai MSE ketiga kerel dari masig-masig kelipata ilai x da badwidt. Berikut ilai-ilai MSE yag diasilka setela melakuka pegolaa data dega megguaka program R: Kelipata Titik Estimasi Badwidt Nilai MSE Normal Sius Cosius 0, 0,3 0, , , , ,6945 0, , ,5 0,5539 0, ,7479 0, , , , 0,3 0, , , , , , ,4956 0,5 0,469 0, , , , , ,3 0,3, , , , ,935 0, , ,5 0,795 0, ,3609 0, , , ,4 0,3, , ,668886

7 49 a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0, d. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.4 Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,7 Grafik dari setiap kelipata titik x dega badwidt yag berbeda-beda meujukka bawa semaki kecil badwidt yag dipili maka grafik yag diasilka aka semaki kasar. Sedagka sebalikya pemilia badwidt yag

8 48 a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0, c. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.3: Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,5

9 47 a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0, c. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.: Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,3

10 46 Berikut grafik asil proses estimasi megguaka data alira sugai dega ilai kelipata titik-titik x 0,; 0,3; 0,5 da 0,7, grafik asil estimasi dapat diliat lebi lgkap pada lampira 3: a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0, c. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.: Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,

11 45 4. Pegolaa Data dega Program R Proses yag dilakuka dalam melakuka pegolaa data dega R utuk melakuka estimasi adala sebagai berikut:. Masukka data berpasaga (x i,y i ). Masukka kerel yag diguaka sebagai pembadig. Kerel yag diguaka adala sebagai berikut: K x exp, x x Kerel yag ormal: Kerel yag sius: Kerel yag cosius: K x K x si x x x x cos cos x 3. Masukka ilai kelipata utuk titik x yag aka diestimasi 4. Masukka ilai badwidt. 5. Plot pasaga data (x i,y i ) 6. Plot asil estimasi dega kerel order berigga (ormal) 7. Plot estimasi dega kerel order tak igga (sius da cosius) 8. Medapatka ilai MSE dari ketiga kerel 9. Membadigka atara ketiga ilai MSE dari ketiga kerel Dalam proses estimasi melalui studi kasus, ilai badwidt yag diguaka adala 0,3, 0, , 0,5,. Badwidt dipili dari yag kecil sampai yag besar yag dapat diguaka sebagai pembadig ilai-ilai MSE dari ketiga kerel yag diguaka da juga yag dapat memperliatka pegaru peraa badwidt teradap asil estimasi. Badwidt 0, merupaka badwidt optimum dari proses smootig megguaka ksmoot. Pada studi kasus ii, kelipata titik estimasi yag dipili adala 0,, 0,, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 da 0,7. Kelipata titik-titik tersebut dipili agar dapat diguaka sebagai pembadig dalam meliat ilai MSE yag diasilka. Seigga dari perbadiga tersebut dapat ditetuka kerel maaka yag mempuyai performace yag lebi baik.

12 BAB IV STUDI KASUS Pada bab ii aka dibaas studi kasus dari asil pegamata rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebi dari 000 km. Melalui regresi oparametrik dega megguaka estimator Nadaraya Watso data tersebut aka dibadigka ilai MSE atara kerel yag berorder tak igga da berigga. Fugsi kerel yag diguaka utuk yag berorder tak igga adala si x da Kx K x x x x cos cos x, sedagka utuk fugsi kerel berorder igga yag diguaka adala kerel Normal. Data yag dapat diliat pada lampira tersebut aka diola dega megguaka program R 4. Iformasi Data Data yag diguaka pada studi kasus ii diambil dari Statistik Idoesia, Statistical Yearbook of Idoesia 03 yag dapat diliat pada situs resmi Bada Pusat Statistik (BPS). Data yag diguaka dalam peelitia ii berjumla 74 sugai di Idoesia yag daera pegaliraya lebi dari 000 km tau 00. Dalam proses estimasi dega pedekata oparametrik sala satu syarat yag arus dipeui adala data arus kotiu. Dalam studi kasus ii, peulis megguaka data sugai di Idoesia yag daera pegaliraya lebi dari 000 km tau 00 dimaa variabel idepede yaitu tiggi alira air (juta m) da volume air (juta dam 3 ) sebagai variabel depede Data alira sugai dalam peelitia ii diguaka utuk membadigka performace atara estimator dega fugsi kerel yag berorder berigga da tak igga. 44

13 43 aˆ fˆ x x o q P 0. (3.4) 3. Membuktika estimator ˆr x berdistribusi ormal secara asimtotik Berdasarka persamaa 3. rˆ x aˆ x aˆ x fˆ x fˆ x r x. ˆ ˆ q a x q a x rˆ x r x o o ˆ f x fˆ x Maka berdasarka lemma 3..3 da persamaa 3.3 da 3.4: q d rˆ x r x o N 0, K s ds x f x f x K sds x d N 0,. f x Terbukti bawa estimator ˆr x berdistribusi ormal secara asimtotik..

14 4 q f x o. b. Nilai variasi dari â x var i aˆ x var K r X i r x i x X x u x u E K r u r x E K r u r x xu q E K r u r x f xo x u q K r u r x f udu f xo K s r x s r x f x s ds f x o. q P ˆ 0. q Aka dibuktika bawa a x f xo Berdasarka teorema.., didapatka: q P aˆ x f xo K sr x s r x f x sds q f xo. Ketika maka aˆ x f x o 0 ˆ var a x 0. Berdasarka defiisi..6 maka q P q seigga a x f xo Tela dibuktika bawa ˆ P f x f x P ˆ 0., seigga

15 4 K s x s f x sds. Ketika diperole E bi x 0. i d Seigga b x N 0, K sds x f x i i q. Membuktika a x f xo a. Nilai ekspektasi dari â d aˆ x N 0, K s ds x f x. (3.3) P ˆ 0. x adala x X E a ˆ x E K r X i r x i i xu E K r u r x xu K r u r xf udu K s r x s r x f x s ds. Megguaka defiisi..7, didapatka: E a x K s r x s o q q r s q ˆ ' q! p p f s p f x f ' x s o ds p! k q o f x o

16 40 Adaika b i x X K i i x, maka aˆ x b x. i i Didapatka: i 0 E b x var b i x x X K var i i x Xi i K E x s f x s K s ds. Berdasar defiisi..7 da asumsi 3.. didapatka var bi x K sds x f x. Aka dibuktika bawa i b x memeui defiisi..9. x Xi E b x E K i i i i x Xi EK i i x u E K

17 39 Maka berdasarka Lemma..: rˆ x x x gˆ x p g x r x. fˆ f Seigga terbukti pada kurva regresi rx ketika ˆr x merupaka estimator yag kosiste secara asimtotik 0 da. Teorema 3.. Jika x berada dalam iterval terbuka dimaa f x mempuyai turua kotiu terbatas p da rx mempuyai turua kotiu terbatas q maka berdasarka asumsi , Bukti: Y r X i i i q x x f. d rˆ x r x o N 0, K z dz Y r X r x r x i i i K x X Y K x X r x K x X r X r x i i i i i i i i Seigga, i K x X. i i rˆ x aˆ x aˆ x fˆ x fˆ x r x. (3.) dega aˆ x K x X i r X i r x da aˆ x K x X i Lagka berikutya aka diaalisis distribusi asimtotis dari kompoe kekovergea dari kompoe x aˆ fˆ x.. Membuktika bawa kompoe â i i. i â x da x berdistribusi ormal secara asimtotis

18 38 Berdasarka lemma 3.. da lemma 3.., tela didapatka: ˆ p E f x f x o da ˆ var f x K s f x ds o O. Seigga, p P fˆ x f x o ketika berakibat ˆ p f x f x. K s f x ds o O, var fˆ x 0. Berdasarka defiisi..6 maka b. Berdasarka asumsi serta lemma 3.. da 3.. aka dibuktika bawa ĝx koverge dalam probabilitas ke Pembuktia kekosistea dari gx. ĝx ampir serupa dega dega ˆf x yaitu dega megguaka defiisi dari kekovergea dalam peluag da juga ketaksamaa Cebycev. Aka dibuktika ˆ utuk semua 0. lim P g x g x 0, Berdasarka teorema.., lemma da lemma maka: var gˆ x P gˆ x E gˆ x = r x x f x K zdz o O k P gˆ x g x o(, ketika berakibat ˆ gˆ x p g x. var g x 0. Berdasarka..6 maka

19 37 b. Berdasarka defiisi..4 da lemma 3.. da lemma 3.. maka: r x x f x k MSE gˆ x K s ds o O o. Ketika maka ilai ˆ MSE gˆ x MSE g x secara asimtotik adala O. Sifat-sifat dari ˆf x da ĝx tela dipaami secara terpisa, aalisis berikutya aka megkaji kekosistea dari estimator ˆr x. Sebelum mecari kekosistea dari etimator tersebut, aka dibuktika terlebi daulu kekosistea dari estimator ˆf x da ĝx. Lemma 3..3 Berdasarka asumsi serta lemma 3.. da 3.. maka: a. ˆ p f x f x p b. gˆ x g x. Bukti: a. Aka dibuktika bawa ˆf x koverge dalam probabilitas ke f x dega megguaka asumsi serta lemma 3.. da 3... Berdasarka defiisi dari koverge dalam probabilitas, aka dibuktika: lim P fˆ x f x 0, utuk semua 0. Dega megguaka teorema.., maka: x var fˆ P fˆ x E fˆ x.

20 36 pada semua bilaga real R, dega megguaka ekspasi deret Taylor pada perkalia rf u disekitar x, berdasarka asumsi 3.. da defiisi..5 maka: E K x u y f xr x K sds o. Seigga covariasi dari ˆ da ˆ ˆ ˆ f x g x adala: cov f x, g x E K x u y E K x u E K x u y xr x f K sds o O. Akibat 3.. Berdasarka asumsi 3.. serta lemma 3.. da lemma 3.. maka ilai MSE dari masig-masig a. ˆ MSE f x O b. MSE gˆ x Bukti: O. ˆf x da ĝx : a. Berdasarka defiisi..4 da lemma 3.. da lemma 3.. maka: ˆ p MSE f x K s f x ds o O o. Ketika maka ilai ˆ MSE f x secara asimtotik adala ˆ MSE f x O.

21 35 ˆ ˆ cov f x, g x cov K x X i, K x X j Yj i j cov K x Xi, K x X j Yj Peratika utuk i j cov Kx u, Kx u y E K x u. K x u y E K x u E K x u y E K x u y E K x u E K x u y E K x u y E K x u E K x u y. E K x u y :, E K x u y K x u y f u y du dy Adaika rf, da K x u y f y u f udu dy K x u f u y f y u dy du K x uf ue y X udu K x uf ur udu K sf x sr x sds. mempuyai turua kotiu terbatas k pada selag tertutup rf mempuyai turua k+ pada iterval terbuka, memuat ilai x dega k = mi{p,q} da adaika rf yag merupaka fugsi mulus

22 34 E K x u y E K x u y. Peratika utuk E K x u y :, E K x u y K x u y f u y du dy K x u y f y u f u du dy K x u f u y f y u dy du K x u f u E y X u du K x u f u E r u X u du i Seigga: K x uf ur u udu. var ˆ g x K x u f u r u u du g x o k k K s f x s r x s x s ds g x o. Berdasarka asumsi 3.., defiisi..5 da defiisi..7 maka: var r x x f x gˆ x K s ds o O. c. cov ˆ, ˆ x r x f f x g x K s ds o O.

23 33 s E K x u K s f xds K s s f ' x f '' x p p p p s p s p f x f x ds. p! p! Seigga: fˆ x E K x u E K x u var s K s f xds K s s f ' x f '' x p p p p s p s p p f x f x ds f x o p! p! s K s f xds K s s f ' x f '' x s s f x f x ds f x o p! p! p p p p p p p. Berdasarka asumsi 3.., defiisi..5 maka variasi dari peyebut estimator Nadaraya Watso adala sebagai berikut: K s f x ds o O. ˆ var f x b. var ˆ g x K x X i Yi i var var i K x X i Yi var K x X Y

24 3 b. var ˆ r x x f x g x K zdz o O c. cov ˆ, ˆ Bukti: x r x f f x g x K zdz o O. a. Meurut persamaa (.7): var ˆ f x var Kx X i i i var K x X var K x X Peratika utuk E K x u i E K x u E K x u : E K x u K x u f u du xu K f u du K s f x s ds. Berdasarka defiisi..7, maka: p p s s p E K x u K s f x s f ' x f '' x f x p! p p s p f x ds p!.

25 3 k v k k! g x rf x K v dv. Seigga bias dari pembilag estimator Nadaraya Watso adala sebagai berikut: ˆ k v k k! E g x g x g x rf x K v dv g x k v k k! rf x K v dv. Ketika suku sisa k v k! k rf x deret Taylor di atas merupaka order kecil dari k maka dega megguaka asumsi pembatasa dari sifat badwidt, maka 0, suku sisa deret Taylor di atas koverge ke ol, yaitu: k v k! rf x K v dv k v lim lim rf x K v dv 0. 0 k 0 k k k! Seigga bias dari pembilag estimator Nadaraya Watso adala k ˆ E g x g x o. Asumsi 3..4 Titik x merupaka titik kotiu dari, x f x C utuk C > 0 da fugsi r serta fugsi f masig-masig terdiferesial di sekitar x. Lemma 3.. Jika x berada dalam iterval terbuka dimaa turua kotiu terbatas p da berdasarka asumsi maka: a. var ˆ x f f x K zdz o O f x mempuyai rx mempuyai turua kotiu terbatas q,

26 30 dega megguaka ekspasi deret Taylor pada perkalia rf maka ekspektasi dari ĝx adala sebagai berikut: u disekitar x ˆ E g x r u f u K x u du r x v f x v K v dv k v k k! rf x vrf ' x rf x K v dv ' rf x K v dv v rf x K v dv v k k k k v k k rf x K v dv rf x K v dv,!! dega terletak diatara x da x v. Ketika K teritegralka ke satu, semua momeya adala ol da ketika g x r x f x maka: ˆ ' E g x rf x K v dv v rf x K v dv v k k k k v k k rf x K v dv rf x K v dv!! ' rf x K v dv rf x vk v dv k k k k rf x v K v dv rf x K v dv!! k v k k k v k k! rf x rf x K v dv

27 9 Seigga: E g ˆ x E K x X i Yi i E K x X i Yi i E K x X Y E K x u y, K x u y f u y du dy K x u y f y u f u du dy K x u f u y f y u dy du K x u f u E y X u du K x u f u r u du r u f u K x u du. Bias utuk pembilag estimator Nadaraya-Watso adala: Adaika rf, da ˆ E g x g x r u f u K x u du g x. mempuyai turua kotiu terbatas k pada selag tertutup rf mempuyai turua k+ pada iterval terbuka, yag memuat ilai x dega k = mi{p,q} dimaa p merupaka turua kotiu terbatas dari fugsi f rx, da adaika x da q merupaka turua kotiu terbatas dari fugsi rf merupaka fugsi mulus pada semua bilaga real R,

28 8 Berdasarka persamaa (.4), bias dari peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kerel order tak igga adala: ˆ bias fˆ x E f x f x p! p f x s p f x K s ds f x Ketika suku sisa p! p f x s p K s ds. p! p f x s p deret Taylor di atas merupaka order kecil dari p maka berdasarka asumsi pembatasa dari sifat badwidt, maka 0, suku sisa deret Taylor di atas koverge ke ol, yaitu:! p f x s p K s ds lim lim 0. p p p f x s 0 p K s ds 0 p! Seigga bias ˆ p f x o. b. Bias pembilag estimator Nadaraya-Watso dega kerel order tak igga Meurut persamaa (.9) estimator fugsi r adala: rˆ x x gˆ x fˆ i k K x X i Yi. K x X k

29 7 Bukti: a. Bias peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kerel order tak igga. Meurut persamaa (.8) : Meurut defiisi..7, kita dapatka: ˆ E f x K s f x s ds. p p p! p! 3 f ' x s f '' x s f ''' x s f x s f x!! 3! p f x s f x s dega terletak diatara x da x s. Persamaa (.8) mejadi: ˆ E f x K s f x s ds p, 3 f ' x s f '' x s f ''' x s K s f x!! 3! p p p! p! p p f x s f x s ds ' p! x f '' f x K s ds f x K s s ds K s s ds 3 p p f ''' x 3 f x p f x s p p K s s ds K s s ds 6 p! K s ds. Fugsi K adala fugsi yag berorder tak igga yaitu K teritegralka ke satu, semua momeya adala ol seigga: p! p f x s E fˆ x f x K s ds p! p f x s p f x K s ds. p

30 6 3. Sifat Asimtotik Estimator Nadaraya Watso dega Kerel Berorder Tak Higga Kita aka meguji perilaku dari estimator Nadaraya-Watso kelas kerel baru yaitu kerel dega order tak igga utuk pegamata pasaga data yag berdistribusi idetik da idepede dega desitas f. Utuk memaami estimator tersebut secara meyeluru, kita aka memulai dega suatu lemma yag megukur perilaku asimtotik dari pembilag da peyebut estimator tersebut yaitu estimator desitas kerel dari ˆf x da ĝx dimaa ˆf x merupaka f x da ĝx merupaka estimator dari gx. Dalam prosesya kita memerluka beberapa asumsi. Kita aka memberika batasa utuk perilaku badwidt ketika da pada distribusi bersyarat dari error. Asumsi 3.. Ketika, badwidt 0 da. Asumsi 3.. ε i adala radom error dega asumsi idepede, i i 0 da E i Xi x E X x. Asumsi 3..3 dega desitas f. berdistribusi idetik da idepede Lemma 3.. Jika x berada dalam iterval terbuka dimaa turua kotiu terbatas p da maka berdasarka asumsi 3.. da 3. : a. ˆ p E f x f x o k b. E gˆ xg x o dega k = mi{p,q}. f x mempuyai rx mempuyai turua kotiu terbatas q,

31 5 Permasalaa di atas dapat diselesaika dega membuat trasisi dari 0 ke pada daera asal Fourier yag kurag kasar. Devroy da Gyorfi, Hall da Marro, pada kasus estimasi desitas spektral, Politis da Romao, mempelajari kerel dari Traformasi Fourier yag diberika ole: jika s s s jika s 0 jika s. Kerel yag bersesuaia adala: K x x x cos cos. x Gambar dari kerel di atas adala sebagai berikut:

32 4 ix e e x i si x. x ix Berikut gambar dari fugsi flat-top kerel di atas: Pada gambar di atas terliat bawa bagia belakag atau ekor dari kerel tersebut sagat bergelombag. Ada dua permasalaa akibat dari al ii. Pertama, ekor dari kerel tersebut yag turu secara pela-pela da geraka-geraka egatif yag sagat besar meigkatka K x dx, yag juga aka meigkatka variasi dari estimasiya. Kedua, gelombag besar yag jau dari 0 megasilka bias sampel yag berigga karea gelombag tersebut memberika pegamata yag cukup jau dari x yag sagat berpegaru dalam melakuka estimasi di titik x. Permasalaa-permasalaa tersebut membuat estimator fugsi kepadata yag megguaka kerel tersebut mejadi tidak stabil dalam bersaig kecuali utuk sampel yag berukua sagat besar.

33 3 s jika s c, g s jika s c dega fugsi g dipili seigga membuat diitegralka. Flat-top Kerel diberika sebagai berikut: s, s da s s dapat isx K x se ds. (3.) Kerel yag memeui defiisi di atas mejami bawa x i K x dx 0, utuk semua bilaga bulat i. Meurut Politis da Romao (995) keutuga megguaka kerel ii adala kita tidak perlu memili fugsi kerel yag baru ketika ada data yag baru, kerel yag sama dega badwidt yag berbeda aka meyesuaika kemulusa dari fugsi kepadata yag tidak diketaui. Berikut diberika coto yag memeui defiisi di atas. Diberika fugsi s sebagai berikut: Meurut defiisi.5.: isx K x se ds s jika s. 0 jika s isx isx isx 0. e ds. e ds 0. e ds isx. e ds e ix isx ix e e ix ix

34 BAB III ESTIMASI NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL ORDER TAK HINGGA 3. Kerel dega Order Tak Higga Meurut Berg (008) fugsi Kerel dikataka mempuyai order v jika memeui: v. x R K x dx. i. x K xdx 0, i,,..., v Seperti yag tela dijelaska pada bab sebelumya yaitu jika bayak turua dari fugsi tersebut tidak diketaui maka utuk megestimasi jumla turua dari fugsi tersebut sagat sulit, seigga kita kesulita utuk memili kerel dega order berapaka yag diguaka. Utuk meguragi permasalaa tersebut, kita fokus pada fugsi kerel yag secara efektif mempuyai order kerel tak igga. Kelas kerel tersebut secara otomatis meguragi bias ke o( p ) tidak peduli berapa kali fugsi tersebut dapat dituruka. Defiisi 3.. (Berg, 008). K(x) dikataka berorder tak igga jika memeui: i x K x dx 0, i,,... Defiisi 3.. (McMurry da Politis, 003). Sebua flat-top Kerel K dega order tak igga secara umum dibetuk melalui Trasformasi Fourier λ, yaitu utuk ilai tetap c > 0

35 leged("bottomrigt",c("fugsi r","estimasi kecil","estimasi optimal","estimasi besar"),lty=c(,,,),lwd=c(,,,),col=c(,5,4,3)). Hasil output Gambar.: Grafik estimasi dega KSmoot

36 0 Meurut Hardle (99) ilai-ilai statistik pembilag dari estimator Nadaraya-Watso dega fugsi kerelya mempuyai order dua adala sebagai berikut: Bias gˆ x g '' x K o, 0 ˆ var g x f x s x K o, utuk 4 4 MSE gˆ x f x s K g '' x K o o, 4 0, dega. s x E Y X x Berdasarka ilai statistik dari pembilag estimator Nadaraya-Watso di atas da ilai statistik dari estimasi desitas kerel maka dapat diperole ilai MSE dari estimator Nadaraya-Watso yaitu: ' 4 x r ' x f x MSE rˆ x K r '' x K o f x 4 f x 4 o, 0,. Berikut diberika coto proses smootig dega estimator Nadaraya- Watso dari data yag dibagkitka megguaka program R:. Proses smootig dalam R a=ruif(000) e=rorm(000) x=sort(a) r=cos(*pi*x) y=r+e plot(x,y) lies(x,r,col=,lwd=) lies(ksmoot(x,y,badwidt=0.03),col=5,lwd=) lies(ksmoot(x,y,badwidt=0.30),col=4,lwd=) lies(ksmoot(x,y,badwidt=),col=3,lwd=)

37 9.5 Estimator Nadaraya Watso Estimasi kerel utuk fugsi regresi r(x) dikostruksi sebagai berikut: r x E Y X x y f y x dy, x y f x y dy f. Estimator fugsi regresi utuk fugsi desitas f yag tidak diketaui adala: Estimator fugsi regresi rˆ x x y fˆ, x, y fˆ i k x dy K x X Y i i K x X k gˆ x. (.9) fˆ ˆr x di atas merupaka rata-rata lokal yag diusulka ole Nadaraya-Watso seigga disebut juga sebagai estimator Nadaraya-Watso. Berdasarka persamaa (.) maka Estimator Nadaraya- Watso mempuyai fugsi bobot sebagai berikut: dega fˆ W i x k K x X i K x X i fˆ K x X x x merupaka estimator desitas kerel. Meurut Takezawa (003) fugsi bobot dalam estimator Nadaraya-Watso mempuyai karakteristik sebagai berikut: k Wi x. i,

38 8 (i) Fugsi f bersifat kotiu da teritegralka secara kuadrat (ii) Badwidt memeui asumsi lim 0 da lim (iii) Fugsi kerel K merupaka fugsi kepadata probabilitas yag terbatas da simetri di sekitar daera asliya. Bukti: ˆ ˆ Bias f x E f x f x ' K s f x s ds f x t f x s K s f x ds K s ds! 3 f '' x s f ''' x s K s ds K s ds! 3! t f x s K s ds K s o ds f x t! t Karea K merupaka kerel berorder tiggi maka meurut defiisi: ˆ 0 0 t f x s Bias f x f x K s ds o ds f x t! t t t. t t f x s t t t t K s ds o ds f x o t! t!, 0. Terbukti bawa ketika K merupaka kerel berorder tiggi bias dari estimasi t t t desitas kerel tersebut adala t f x o, 0. t! Namu mucul permasalaa yaitu ketika derajat kemulusa atau jumla turua dari fugsi tersebut tidak diketaui maka utuk megestimasi jumla turua dari fugsi f sagat sulit, seigga kita kesulita utuk memili kerel dega order berapaka yag diguaka. Utuk meguragi permasalaa tersebut, kita fokus pada fugsi kerel yag secara efektif mempuyai order kerel tak igga. Kelas kerel tersebut secara otomatis meguragi bias ke o( p ) tidak peduli berapa kali fugsi f tersebut dapat dituruka. Kerel dega order tak igga tersebut aka dibaas lebi dalam lagi pada bab III.

39 7 Bukti: var MSE fˆ x fˆ x bias fˆ x ˆ K f x o f '' x K o 4 4 f x K f '' x K o o, 4. 0,. MSE f x koverge ke 0 bila 0,, maka estimator desitas kerel kosiste yaitu ˆ p f x f x..4 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Tiggi Dalam megaalisis arga arapa dari estimasi desitas kerel, kerel yag diguaka pada sub bab sebelumya adala kerel yag memeui syarat momet pertamaya berilai ol da mome keduaya berilai positif. Pada sub bab ii difokuska pembaasa megeai kerel dega order tiggi dega bias kurag dari O( ). Suatu kerel dikataka berorder v jika memeui syarat sebagai berikut:. Kx 0, utuk semua ilai x. K xdx 0, j,, v x K x dx j. 0, j v j 3. Teorema.4. (Hardle, 99) Adaika kerel K berorder tiggi, merupaka estimator dari fugsi desitas f yag mempuyai turua kotiu terbatas p da v adala order kerel, maka bias dari fugsi f tersebut adala t t t t f x o, 0 dimaa t = mi{p,v} dega asumsi sebagai t! berikut: fˆ x

40 6 ˆ ˆ Bias f x E f x f x K s f x s ds f x s K s f x s f x f x o ds f x ' '' f x K o '', 0. (ii) Variasi dari fˆ x adala var fˆ x var Kx X E K x X E K x X xu K f u du f x o K s f x s ds f x o K f x o f x o, K f x o utuk. Teorema.3.4 (Wad da Joes, 995). Bila maka 4 fˆ x estimator desitas kerel ˆ '' 4, MSE f x f x K f x K o o 4 0,..

41 5 Ketika 0 maka: ˆ x Xi E f x E K i x Xi EK i E K x X K x y f y dy K s f x s ds. (.8) E fˆ x K s f x sds f x K sds = f x. Sebelum membaas megeai statistik dari estimator desitas kerel aka diberika asumsi-asumsi sebagai berikut: (i) Turua kedua dari fugsi f bersifat kotiu, teritegralka secara kuadrat da juga mooto (ii) Badwidt memeui asumsi lim 0 da lim (iii) Fugsi kerel K merupaka fugsi kepadata probabilitas yag terbatas da simetri di sekitar daera asliya. Berdasarka asumsi di atas maka statistik dari estimator desitas kerel adala sebagai berikut: Teorema.3.3 (Wad da Joes, 995). Bila maka (i) (ii) Bias fˆ x f '' x K o, 0 ˆ fˆ var f x f x K o, utuk Dega Bukti: (i) Bias dari K x K x dx da fˆ x adala K adala K x estimator desitas kerel x dx.

42 4 Gambar.: Grafik jeis-jeis kerel Defiisi.3. (Hardle, 99). Estimator desitas kerel utuk fugsi desitas f x adala ˆ f x K x X i i Adaika f fˆ x Xi K i. (.7) x adala estimator desitas kerel dari suatu fugsi kepadata x pada titik x ϵ R da adaika X i berdistribusi idetik dega fugsi kepadata f x, maka:

43 3 3. x K xdx 0 4. x K xdx 0 x dx. 5. K Berikut diberika beberapa coto fugsi kerel, atara lai:. Kerel Uiform: K x I x. Kerel Triagle: K x x I x Kerel Epaecikov: K x x I x Kerel Quartic: K x x I x Kerel Triweigt: K x x I x 4 6. Kerel Cosius: K x cos x I x 7. Kerel Gausia: K x exp, x x Grafik dari masig-masig fugsi kerel di atas:

44 Defiisi..9. Adaika X, X,, X variabel radom yag idepede sedemiki igga E X da X var. Didefiisika Y X T Yi i var i i S T Syarat Liapuov didefiisika 0 sedemikia seigga S i E Y i 0 utuk.3 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Dua desitas Padag observasi X, X,, X berdistribusi idetik da idepede dega f x. Estimasi desitas kerel bergatug pada dua parameter yaitu sebagai badwidt atau lebar pita da K sebagai fugsi kerel., Suatu kerel dikataka berorder jika Kx 0, K xdx x K xdx 0 da x K x dx, utuk semua ilai x Defiisi.3. (Hardle, 99). Secara umum fugsi Kerel dega badwidt didefiisika sebagai berikut: x K x K, - < x < da > 0, (.6) yag memeui sifat-sifat:. Kx 0, utuk semua ilai x. K xdx

45 Teorema..3(Subaar,03). Misalka X, Y, =,,3,... barisa pasaga variabel radom da c kostata, maka d P d a. X X, Y c X Y X c b. d, 0 d P X Y Xc bila c X X, Y c P X Y 0, bila c 0 d P X d c. X X, Y c X, bilac 0 Y c. Defiisi..7 (Purcell da Varberg, 987). Adaika suatu fugsi turuaya, yaitu, ', '',, xo f x da f x f x f x f x kotiu dalam selag [a,b] da a, bmaka utuk ilai x disekitar dalam deret Taylor sebagai, x f x dapat diekspasi (diperluas) ke o, x x ' '' o x xo f x f x o f xo f xo....!! Apabila atau persamaa di atas dapat diyataka sebagai o o o o o f x f x f ' x f '' x... f x....!!! Defiisi..8 (Paul da David, 986). Adaika periodik yag berada pada L, didefiisika sebagai berikut f x fugsi yag tidak, seigga trasformasi Fourier i x F f xe dx, dega L, adala impua fugsi kotiu, N i x fn x F e d N da. lim f x fn x dx 0 N

46 0 Defiisi..6 (Roussas, 973). Barisa variabel radom {X } dikataka koverge ke X (dalam probabilitas), diotasika 0, P X X 0 utuk. X P X, jika utuk setiap P P Lemma.. (Roussas, 973) Jika X X da Y Y maka X Y X P, dimaa PY PY Y Bukti: Utuk meujukka PY P Y X Y 0 0. P aka ditujukka bawa X Y 0 0 0utuk setiap. Aka ditujukka bawa jika fugsi Y P P Y maka f Y f Y f P, jika Y Y y kotiu di Y yag berilai riil da. Diketaui f fugsi kotiu berilai riil seigga f Y da f Y variabel radom da diketaui juga bawa kotiu di Y yag berarti bawa utuk setiap 0, terdapat 0 igga Y Y berakibat f Y f Y. Karea f Y da f y sedemikia f Y variabel radom berakibat: P f Y f Y P Y Y. Diketaui Y P Y, maka utuk setiap 0, lim P f Y f Y lim P Y Y, P seigga terbukti bawa f Y f Y. Karea PY PY utuk setiap maka Y fugsi kotiu dari Y, seigga P. Y Y Meurut Bai (99) maka X Y P. X Y 0 0

47 9 Teorema.. (Subaar, 03). Bila X variabel radom tak egatif da adaika a>0 maka PX a Bukti: Karea 0 E X. a E X x f x dx. X maka E X x f xdx 0 a 0 a 0 x f x dx x f x dx x f a a f a a x dx x dx a f xdx a P X a, seigga E X a P X a atau P X a E X. a Teorema.. (Subaar, 03). Bila X variabel radom dega E(X) = μ, var(x) = σ maka utuk setiap Bukti:. 0, P X Misalka w X, w 0, didapatka E w E X Meurut teorema.., E w Pw P X P X..

48 8. Defiisi da Teorema yag Terkait Berikut diberika defiisi-defiisi da teorema-teorema yag terkait dalam tesis, yaitu: Defiisi.. (Bai, 99). Mome ke- dari variabel radom x adala k E x x f x dx. (.) Defiisi.. (Bai, 99). Variasi dari suatu variabel radom kotiu x adala var x E x. (.3) Defiisi..3 (Wad da Joes, 995). Bias dari estimator fugsi kepadata f(x) adala ˆ bias fˆ x E f x f x. (.4) Defiisi..4 (Wad da Joes, 995). Adaika x suatu variabel radom kotiu ilai MSE dari estimator fugsi kepadata f(x) adala MSE ˆf x = Var ˆf x + Bias ˆf x. (.5) Defiisi..5 (Wad da Joes, 995). Adaika suatu fugsi, a. a Ob a jika lim M, M 0 b b. a ob jika lim 0 a b a c. a ~ b jika lim. b a da b adala barisa

49 BAB II LANDASAN TEORI. Ide Dasar Smootig Sala satu pedekata dalam regresi yag serig diguaka adala regresi oparametrik. Pedekata ii diguaka utuk data yag tidak diketaui betuk kurva atau fugsi regresiya. Adaika fugsi tersebut adala fugsi r. Dalam al ii diasumsika bawa fugsi r termuat dalam kelas fugsi kotiu mulus di dekat persekitara x. Terdapat berbagai macam tekik yag dapat diguaka utuk medapatka estimasi dari fugsi r(x) tersebut. Tekik yag palig sederaa utuk megestimasi kurva atau fugsi regresi r(x) adala melalui rata-rata dari variabel respose Y yag dekat dega titik x biasa disebut local average (rata-rata lokal). Rata-rata lokal aya didefiisika pada pegamata yag dekat dega x. Misalka kita igi megestimasi fugsi r(x) utuk beberapa x [0,]. Jika r adala fugsi yag kotiu, maka ilai-ilai fugsi pada X i yag dekat dega x searusya aka cukup dekat dega r(x). Hal ii memberika usula bawa merata-rata ilai Y i yag bersesuaia dega X i yag dekat dega x aka megasilka estimator tak bias utuk fugsi r(x). Rata-rata lokal merupaka ide dasar dari tekik smootig. Pada tekik smootig ii, rerata sederaa di atas digatika dega jumlaa berbobot. Biasaya bobot yag lebi besar diberika pada Y i yag ilai X i ya medekati titik estimasi x. Secara umum prosedur tersebut dapat didefiisika sebagai berikut: dega Wi xi variabel prediktor X i. i rˆ x W x Y, (.) i i i adala barisa dari bobot yag bergatug pada seluru 7

50 6.6 Sistematika Peulisa BAB I PENDAHULUAN : Pada bab ii membaas tetag latar belakag da permasalaa, tujua da mafaat peelitia, tijaua pustaka, metodologi peelitia, da sistematika peulisa. BAB II LANDASAN TEORI : Pada bab ii membaas tetag ide dasar smootig, defiisi da teorema statistika yag terkait, estimasi desitas kerel utuk kerel berorder dua, estimasi desitas kerel utuk kerel berorder tiggi, estimator Nadaraya-Watso. BAB III PEMBAHASAN : Pada bab ii aka dijelaska coto fugsi kerel berorder tak igga, da juga aka dipaparka megeai performace dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kelas kerel baru tersebut serta kekosistea da distribusiya secara asimtotis. BAB IV STUDI KASUS : Pada bab ii aka dilakuka studi kasus dari data rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebi dari 000 km dega program R kemudia dibadigka performace atara estimator Nadaraya-Watso kerel order tak igga dega kerel order berigga dari grafik maupu ilai MSEya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN : Bab ii berisi pembaasa megeai kesimpula yag diperole dari bab-bab sebelumya da sara utuk peelitia selajutya berdasarka apa yag tela dibaas pada bab-bab sebelumya.

51 5 Order Flat-Top Kerels juga meguji sifat-sifat asimtotik kerel, amu megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega order yag tak igga (ifiite) megguaka estimator Gasser-Muller. Peelitia yag ampir serupa juga pera diteliti ole Timoty L McMurry da Dimitris N Politis (008) dalam juralya yag berjudul Miimally Biased Noparametric Regressio ad Autoregressseio. Dalam juralya tersebut Timoty da Dimitris membaas megeai bias regresi da autoregresi oparametrik secara miimal dega megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega order tak igga, amum dalam tesis ii peulis aya aka membaas megeai regresi oparametrik dega megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega ifiite order, dimaa kerel tersebut dapat secara otomatis dapat mereduksi bias estimator r mejadi O( k ) tapa peduli berapa kali turua kotiuya..5 Metode Peelitia Metodologi yag diguaka dalam peelitia ii adala studi literatur. Lagka-lagka yag dilakuka peulis adala sebagai berikut:. Mecari da meetuka jural yag aka dijadika baa acua.. Megumpulka jural-jural lai yag releva dega materi dalam jural acua. 3. Mempelajari buku-buku pedukug yag berkaita dega topik permasalaa peelitia. 4. Mempelajari da membaas topik peelitia yag meliputi: teori regresi oparametrik, ide dasar smootig, estimator kerel, estimasi fugsi dalam regresi oparametrik, sifat-sifat fugsi kerel, estimasi desitas kerel, fugsi estimator Nadaraya Watso, kerel dega ifiite order. 5. Mempelajari performace (bias da variasi) dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega ifiite order kerel serta melakuka simulasi dega software R. 6. Meyusu lapora peelitia sesuai dega buku petujuk peulisa tesis yag diberlakuka.

52 4 3. Melakuka studi kasus dari data rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebi dari 000 km melalui tekik pemulus kerel megguaka estimator Nadaraya-Watso kerel berorder berigga da tak igga dega megguaka program R. 4. Membadigka performace atara estimator Nadaraya-Watso kerel berorder berigga dega tak igga diliat dari grafik da ilai MSE..3 Mafaat Peelitia Mafaat yag diarapka diperole dari peulisa tesis ii adala:. Bagi peulis diarapka dapat meamba pemaama megeai sifat-sifat asimtotis dari estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerelya.. Dapat memberika sumbaga teradap perkembaga ilmu pegetaua da meamba wawasa pegetaua dalam bidag statistika terutama dalam mecari estimasi fugsi desitas dari regresi oprametrik dega tekik smootig, da dalam memaami sifat-sifat estimator Nadaraya-Watso dega kelas kerel baru secara asimtotis. 3. Bagi pembaca sebagai motivasi utuk megembagka peemua baru dalam megestimasi fugsi dalam regresi oparametrik dega tekik smootig..4 Tijaua Pustaka Dalam juralya Kerel Estimators of Regressio Fuctio, Bieres (985) meeliti megeai bagaimaa cara meetapka fugsi kerel da juga cara pemilia badwidt. Selai itu, dalam juralya tersebut Bieres juga membaas megeai sifat-sifat asimtotik dari estimator Nadaraya-Watso dega kerel yag mempuyai fiite order. Sedagka Jiaqig Fa (007) dalam juralya yag berjudul Desig Adaptive Noparametric Regressio membaas megeai performace diatara dua metode smootig yaitu lokal liear da juga kerel. Estimator kerel yag diguaka ole Jiaqig Fa adala estimator Gasser Muller da juga Nadaraya-Watso. Timoty L McMurry da Dimitris N Politis (003) dalam juralya yag berjudul Noparametric Regressio wit Ifiite

53 3 Sedagka kerel K berfugsi sebagai bobot yag ikut meetuka kemulusa fugsi r, ketepata pemulus kerel sebagai estimator, da juga dalam meetuka performace (bias, variasi da MSE) yag optimal secara asimtotik. Meurut Timoty da Dimitris (003) jika kerel K mempuyai order v da fugsi kepadata r mempuyai turua kotiu sebayak k kali maka Bias ( ˆr x ) = C K,r (x) + o( ) (.3) Dimaa =mi{v,k} da C K,r (x) adala fugsi terbatas yag bergatug pada K, r, da turua fugsi r. Ketika fugsi r cukup mulus atau dapat dideferesialka sebayak k kali dimaa v k, maka bias ˆr x dapat direduksi mejadi o( k ) dega secara tepat memili kerel dega order yag lebi besar dari bayakya diferesial. Namu utuk megestimasi jumla diferesial dari fugsi r tidakla muda, seigga kita kesulita utuk meetuka order kerel berapaka yag arus dipili agar bias estimator tersebut dapat direduksi mejadi o( k ). Ole karea itu ditetapka suatu kerel yag memiliki ifiite order. Kerel tersebut mampu mereduksi bias ˆr x dari o( ) mejadi o( k ) tidak peduli berapa besar k. Dalam tesis ii aka dicari performace (bias, variasi) dari peyebut da pembilag estimator Nadaraya Watso megguaka kerel berorder tak igga kemudia mecari sifat-sifat dari estimator tersebut secara asimtotik baik distribusiya maupu kekosisteaya. Kemudia dibadigka performace dari kerel berorder tak igga dega kerel berorder berigga megguaka program R dega membadigka ilai MSE dari masig-masig kerel.. Tujua Peelitia Berdasarka apa yag tela diuraika pada latar belakag di atas maka tujua dari peulisa tesis ii adala:. Mecari performace (bias da variasi) dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerel yaitu ifiite order Kerel secara asimtotik.. Meyelidiki kekosistea da distribusi dari estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerel secara asimtotik.

54 masig-masig metode tersebut, fugsi r(x i ) aka diestimasi dega megguaka rata-rata bobot lokal yag medekati x. Kemulusa fugsi r(x i ) da sifat-sifat dari bobot yag diguaka dalam rata-rata tersebut meetuka performace dari estimator. Meurut Hardle (990) estimator Nadaraya-Watso didefiisika sebagai berikut: i rˆ x k x Xi K Yi x Xk K (.) dega K(x) adala fugsi kerel yag diguaka sebagai pembobot, sedagka (badwidt) adala parameter yag diguaka sebagai pemulus. Peyebut dari estimator di atas biasa kita sebut sebagai estimator desitas kerel atau biasa disimbolka dega ˆ f x. Meurut Hardle (994) ketepata suatu pemulus kerel sebagai estimator dari r ditetuka ole dua al yaitu badwidt da fugsi kerel yag diguaka sebagai bobot. Badwidt pada estimator di atas berfugsi utuk meyeimbagka atara bias da variasi dari fugsi tersebut. Badwidt yag terlalu kecil aka meyebabka fugsi yag diestimasi tersebut mejadi sagat kasar seigga ubuga variasiya tiggi da memiliki potesi bias yag reda. Sebalikya jika badwidt yag terlalu besar meyebabka fugsi yag diestimasi aka sagat mulus seigga ubuga variasiya reda da memiliki potesi bias yag besar. Ole karea itu diperluka pemilia badwidt yag optimum. Cross validatio, plug-i adala beberapa metode yag diguaka utuk medapatka badwidt yag optimum. Pemilia badwidt yag optimum dilakuka dega cara memperkecil tigkat kesalaa. Semaki kecil tigkat kesalaaya semaki baik estimasiya. Utuk megetaui ukura tigkat kesalaa suatu estimator dapat diliat dari MSE (Mea Squared Error) atau MISE (Mea Itegrated Squared Error).

55 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masala Aalisis regresi merupaka metode aalisis data yag meggambarka ubuga atara variabel respo dega satu atau beberapa variabel prediktor. Aalisis regresi tersebut diracag utuk keadaa dimaa variabel respo diperkiraka memiliki ubuga dega variabel-variabel prediktor laiya. Adaika terdapat pegamata pasaga,,,,,, X Y X Y X Y sampel dega X i adala variabel prediktor da Y i adala variabel respo, maka ubuga liear atara variabel respo dega variabel prediktor yag memeui model di bawa ii: Y i = r(x i ) + ε i, (.) dapat dicari. Dimaa ε i adala radom error dega asumsi idepede, E(ε i )=0 da Var(ε i )=σ, da r(x i ) adala fugsi regresi yag tidak diketaui da aka diestimasi. Dalam al ii fugsi r(x i ) diasumsika kotiu da mempuyai tigkat kemulusa tertetu. Ada dua jeis pedekata yag diguaka utuk megestimasi fugsi regresi r(x i ) yaitu secara parametrik maupu oparametrik. Pedekata parametrik dilakuka jika ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ) megeai ubuga atara variabel respo da variabel prediktor, sedagka pedekata oparametrik dilakuka jika tidak ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ) da aka diestimasi berdasarka data pegamata dega megguaka tekik smootig. Dalam al ii, kurva regresi diasumsika termuat dalam suatu fugsi mulus yag mempuyai turua yag kotiu. Ada berbagai macam tekik smootig yag diguaka dalam pedekata oparametrik atara lai istogram, estimator kerel, deret ortogoal, estimator splie, k-nn, deret fourier, da wavelet. Da sala satu tekik yag aka diguaka dalam tesis ii adala estimator kerel. Meurut Timoty da Dimitris (008) ada berbagai macam estimator kerel atara lai yag diusulka ole Nadaraya da Watso, Gaseer da Muller, da estimator lokal poliomial. Pada

56 ABSTRACT NADARAYA WATSON REGRESSION ESTIMATION WITH INFINITE ORDER KERNEL by Maria Suci Apriai /3856/PPA/0350 Te fuctio estimatio of r(x i ) i liier regretio wic is draw ear wit oparametric approac is doe if tere is o assumptio about regretio fuctio form of r(x i ). Oe of teciques used is smootig tecique wit kerel. Fuctio of ˆr x ca be reduced to be o( k ) wit coosig te kerel tat as te bigger order from te amout of differesial umber. Terefore, a kerel wic as ifiite order ca be determied. Keywords: o-parametric regressio, Fourier trasformatio, Taylor series. xiii

57 INTISARI ESTIMASI REGRESI NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL BERORDER TAK HINGGA Ole Maria Suci Apriai /3856/PPA/0350 Estimasi fugsi r(x i ) dalam regresi liear yag didekati dega pedekata oparametrik dilakuka jika tidak ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ). Sala satu tekik yag diguaka adala tekik pegalusa dega kerel. Bias ˆr x dapat direduksi mejadi o( k ) dega memili kerel yag memiliki order lebi besar dari bayakya diferesial. Seigga ditetapka suatu kerel yag memiliki ifiite order. Kata kuci: Regresi oparametrik, trasformasi Fourier, deret Taylor xii

58 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampira. Data Rata-rata Air Sugai di Idoesia yag Pegaliraya Lebi dari 000 km Lampira. Hasil Estimasi... 6 Lampira 3. Grafik Hasil Estimasi Lampira 4. Grafik MSE Lampira 5. Program Estimasi Lampira 6. Program MSE xi

59 DAFTAR TABEL Halama Tabel 4. Nilai-ilai MSE x

60 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar. Grafik jeis-jeis Kerel... 4 Gambar. Grafik estimasi dega Ksmoot... Gambar 3. Grafik Kerel Sius... 4 Gambar 3. Grafik Kerel Cosius... 5 Gambar 4. Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar Gambar 4. Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar Gambar 4.3 Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar Gambar 4.4 Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar Gambar 4.5 Grafik MSE ix

61 5. Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN viii

62 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii HALAMAN PERNYATAAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PRAKATA... v DAFTAR ISI.... vii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR TABEL... x DAFTAR LAMPIRAN... xi INTISARI... xii ABSTRACT... xiii BAB I PENDAHULUAN.... Latar Belakag.... Tujua Peelitia Mafaat Peelitia Tijaua Pustaka Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 6 BAB II LANDASAN TEORI Ide Dasar Smootig Defiisi da Teorema yag Terkait Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Dua....4 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Tiggi Estimator Nadaraya Watso... 9 BAB III BAB IV BAB V ESTIMASI NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL ORDER TAK HINGGA Kerel dega Order Tak Higga Sifat Asimtotik Estimator Nadaraya Watso dega Kerel Berorder Tak Higga... 6 STUDI KASUS 4. Iformasi Data Pegolaa Data dega Program R PENUTUP 5. Kesimpula vii

63 7. Agustius Hary Setyawa yag tidak jemu-jemuya memberika doa da semagat utuk peulis terutama ketika peulis merasa putus asa. 8. Saudara-saudaraku di keluarga Bitara, Mas Adve, Mas Hayom, Mb Nova, Mb Idu, Veti, Sella da Aggit yag selalu memberika dukuga doa bagi peulis. 9. Cita Murti Pramaeswari yag memberika dukuga da semagat selama proses pegerjaa tesis da sidag. 0. Tema-tema seperjuaga, Pak Aris, Kak Sri, Kak Bobby, Mba Edag, Kak Sadri, Sita, Arum, Kak Yai, Tika, Dia Ayu, Adre da Dia Pratama yag selalu memberika keceriaa selama berjuag di UGM.. Reka-reka maasiswa S matematika kususya miat statistik agkata 0 yag mejadi tempat diskusi da belajar bersama.. Semua piak yag tela membatu baik secara lagsug maupu tidak lagsug yag tidak dapat peulis sebutka satu persatu dalam tesis ii. Dega segala keterbatasa peulis yag sifatya mausia maka peulis sagat meyadari bawa tesis ii masi jau dari kesempuraa, karea kesempuraa ayala milik Sag Maa Sempura. Ole karea itu sara da kritik yag sifatya membagu sagat peulis arapka. Akir kata semoga tesis ii bisa membawa mafaat kususya kepada peulis sediri da kepada pembaca pada umumya. Yogyakarta, Maret 04 Peulis vi

BAB I PENDAHULUAN. X Y X Y X Y sampel

BAB I PENDAHULUAN. X Y X Y X Y sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Aalisis regresi merupaka metode aalisis data yag meggambarka hubuga atara variabel respo dega satu atau beberapa variabel prediktor. Aalisis regresi tersebut

Lebih terperinci

ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI. Novita Eka Chandra Universitas Islam Darul Ulum Lamongan

ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI. Novita Eka Chandra Universitas Islam Darul Ulum Lamongan JMP : Vol. 8 No., Des. 016, al. 33-40 ISSN 085-1456 ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED: STUDI SIMULASI Novita Eka Cadra Uiversitas Islam Darul Ulum Lamoga ovitaekacadra@gmail.com Masriai Mayuddi Uiversitas

Lebih terperinci

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan:

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan: BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi Parametrik Regresi parametrik merupaka metode statistika yag diguaka utuk megetahui pola hubuga atara variabel prediktor dega variabel respo, dega asumsi bahwa telah

Lebih terperinci

REGRESI KERNEL DENGAN METODE NADARAYA WATSON. Oleh : Esty

REGRESI KERNEL DENGAN METODE NADARAYA WATSON. Oleh : Esty REGRESI KERNEL DENGAN METODE NADARAYA WATSON REGRESI KERNEL DENGAN METODE NADARAYA WATSON Ole : SKRIPSI Diajuka Kepada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetaua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta Utuk Memeui

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. bagaimana respon sebuah peubah Y terhadap perubahan yang terjadi pada peubah

BAB III PEMBAHASAN. bagaimana respon sebuah peubah Y terhadap perubahan yang terjadi pada peubah BAB III PEMBAHASAN A. Estimasi Noparametrik Tujua dasar dalam sebua aalisa regresi adala utuk mempelajari bagaimaa respo sebua peuba Y teradap perubaa yag terjadi pada peuba lai yaitu X. Hubuga atara X

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

h h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n!

h h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n! Dieresiasi Numerik Sala satu perituga kalkulus yag serig diguaka adala turua/ dieresial. Coto pegguaa dieresial adala utuk meetuka ilai optimum (maksimum atau miimum) suatu ugsi y x mesyaratka ilai turua

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM. ) menyatakan banyaknya kejadian pada interval [ 0, n ] dan h

BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM. ) menyatakan banyaknya kejadian pada interval [ 0, n ] dan h BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA DENGAN MENGGUNAKAN KERNEL SERAGAM 4.1 Peduga dega Kerel Seragam Pada bab ii diguaka peduga dega kerel eragam. Hal ii karea aya belum berail memperole ebara aimtotik dari

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28

BAB III METODE PENELITIAN. penelitian yaitu PT. Sinar Gorontalo Berlian Motor, Jl. H. B Yassin no 28 5 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokasi Peelitia da Waktu Peelitia Sehubuga dega peelitia ii, lokasi yag dijadika tempat peelitia yaitu PT. Siar Gorotalo Berlia Motor, Jl. H. B Yassi o 8 Kota Gorotalo.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Bagi Negara yang mempunyai wilayah terdiri dari pulau-pulau yang dikelilingi lautan,

BAB 1 PENDAHULUAN. Bagi Negara yang mempunyai wilayah terdiri dari pulau-pulau yang dikelilingi lautan, BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Bagi Negara yag mempuyai wilayah terdiri dari pulau-pulau yag dikeliligi lauta, laut merupaka saraa trasportasi yag dimia, sehigga laut memiliki peraa yag petig bagi

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA Telah dikeal bahwa X 1, X 2...X sampel radom dari distribusi ormal dega mea µ da variasi σ 2, maka x µ σ/ atau xi µ σ

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

PENDUGA RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KUARTIL VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA DAN PENGATURAN PERINGKAT MEDIAN

PENDUGA RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KUARTIL VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA DAN PENGATURAN PERINGKAT MEDIAN PEDUGA RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI MEGGUAKA KUARTIL VARIABEL BATU PADA PEGAMBILA SAMPEL ACAK SEDERHAA DA PEGATURA PERIGKAT MEDIA ur Khasaah, Etik Zukhroah, da Dewi Reto Sari S. Prodi Matematika Fakultas

Lebih terperinci

PROSIDING ISBN:

PROSIDING ISBN: S-6 Perlukah Cross Validatio dilakuka? Perbadiga atara Mea Square Predictio Error da Mea Square Error sebagai Peaksir Harapa Kuadrat Kekelirua Model Yusep Suparma (yusep.suparma@ upad.ac.id) Uiversitas

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur 0 III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

BAB III 1 METODE PENELITAN. Penelitian dilakukan di SMP Negeri 2 Batudaa Kab. Gorontalo dengan

BAB III 1 METODE PENELITAN. Penelitian dilakukan di SMP Negeri 2 Batudaa Kab. Gorontalo dengan BAB III METODE PENELITAN. Tempat Da Waktu Peelitia Peelitia dilakuka di SMP Negeri Batudaa Kab. Gorotalo dega subject Peelitia adalah siswa kelas VIII. Pemiliha SMP Negeri Batudaa Kab. Gorotalo. Adapu

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Jenis data yang digunakan berupa data sekunder yang menggunakan Tabel

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Jenis data yang digunakan berupa data sekunder yang menggunakan Tabel 49 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Jeis da Sumber Data Jeis data yag diguaka berupa data sekuder yag megguaka Tabel Iput Output Idoesia Tau 2005 dega klasifikasi 9 sektor. Data tersebut berasal dari

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Maajeme risiko merupaka salah satu eleme petig dalam mejalaka bisis perusahaa karea semaki berkembagya duia perusahaa serta meigkatya kompleksitas aktivitas perusahaa

Lebih terperinci

Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai

Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai PENGUJIAN HIPOTESIS Pedahulua Hipotesis: asumsi atau dugaa semetara megeai sesuatu hal. Ditutut utuk dilakuka pegeceka kebearaya. Jika asumsi atau dugaa dikhususka megeai ilai-ilai parameter populasi,

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Sampling adalah proses pengambilan atau memilih n buah elemen dari populasi yang

II. LANDASAN TEORI. Sampling adalah proses pengambilan atau memilih n buah elemen dari populasi yang II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Samplig Samplig adalah proses pegambila atau memilih buah eleme dari populasi yag berukura N (Lohr, 1999). Dalam melakuka samplig, terdapat teori dasar yag disebut teori

Lebih terperinci

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PENDAHULUAN

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PENDAHULUAN PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI Abstrat I tis mausript, estimatio of te periodi

Lebih terperinci

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,

Lebih terperinci

B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK 8 B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K Misal diberika set data Diketaui set data (, ), (, ), (, ),., (, ) ag memeui relasi = f() Aka ditetuka d/d dalam iterval,

Lebih terperinci

PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI

PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI Nadya Zulfa Negsih, Bustami Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL. : harga saham : tingkat harapan pendapatan. yaitu

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL. : harga saham : tingkat harapan pendapatan. yaitu III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL 3. Model Kotiu da Model Diskret Perkembaga Harga Saham Saham merupaka aset fiasial yag ilaiya berubah-ubah megikuti harga pasar, sehigga dalam jagka waktu tertetu

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET Diskret radom variabel dapat diguaka utuk berbagai radom umber yag diambil dalam betuk iteger. Pola kebutuha ivetori (persediaa) merupaka cotoh yag serig diguaka

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK

PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 71 75 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK SUCI SARI WAHYUNI,

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA Fitriai Agustia, Math, UPI 1 Fiacial Derivative Opsi Mafaat Opsi Opsi Eropa Peetua Harga Opsi Kekovergea Model Biomial Fitriai Agustia, Math,

Lebih terperinci

PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES

PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Bab III Metoda Taguchi

Bab III Metoda Taguchi Bab III Metoda Taguchi 3.1 Pedahulua [2][3] Metoda Taguchi meitikberatka pada pecapaia suatu target tertetu da meguragi variasi suatu produk atau proses. Pecapaia tersebut dilakuka dega megguaka ilmu statistika.

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Metode Peelitia Peelitia ii megguaka metode peelitia Korelasioal. Peelitia korelasioaal yaitu suatu metode yag meggambarka secara sistematis da obyektif tetag hubuga atara

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN A. Subjek Peelitia Peelitia ii dilaksaaka di kawasa huta magrove, yag berada pada muara sugai Opak di Dusu Baros, Kecamata Kretek, Kabupate Batul. Populasi dalam peelitia ii adalah

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai dega Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI

REGRESI DAN KORELASI REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN 6 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Desai Peelitia Meurut Kucoro (003:3): Peelitia ilmiah merupaka usaha utuk megugkapka feomea alami fisik secara sistematik, empirik da rasioal. Sistematik artiya proses yag

Lebih terperinci

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2)

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2) Bab 6: Estimasi Parameter () BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (). ESTIMASI PROPORSI POPULASI Proporsi merupaka perbadiga atara terjadiya suatu peristiwa dega semua kemugkiaa peritiwa yag bisa terjadi. Besara

Lebih terperinci

BAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL

BAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL BAB III PENGGUNAAN MEODE EMPIRICAL BES LINEAR UNBIASED PREDICION (EBLUP PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL Pada Bab III ii aka dibahas megeai taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model berdasarka asumsi

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pegatar Statistika Matematika II Metode Evaluasi Atia Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia April 11, 2017 atiaahdika.com Pegguaa metode estimasi yag berbeda dapat meghasilka

Lebih terperinci

METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR

METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR Buleti Ilmia Mat. Stat. da Terapaa (Bimaster) Volume 0, No. (0), al 07 6. METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL NON LINEAR Apriadi, Bau Priadoo, Evi Noviai INTISARI Metode

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel.

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel. II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel.

Lebih terperinci

III. METODELOGI PENELITIAN

III. METODELOGI PENELITIAN III. METODELOGI PENELITIAN A. Metode Peelitia Metode peelitia merupaka suatu cara tertetu yag diguaka utuk meeliti suatu permasalaha sehigga medapatka hasil atau tujua yag diigika, meurut Arikuto (998:73)

Lebih terperinci

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah

Lebih terperinci