Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Transkripsi

1 BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag diberika (betapu kecilya), terdapat yag c berpadaa sedemikia rupa seigga f () L asalka bawa c yaitu: c f ( ) L Coto soal : Buktika bawa ( 7) 5 Peyelesaia: Aalisis Pedaulua: aka ditetuka Ruas kaa ( 7) 5 ( ) sedemikia rupa seigga ( 7) 5 Dega demikia yag dipili adala Bukti Formal: Misal diberika, pili. Maka, dari diperole: ( 7) 5 ( ) Coto soal : Buktika bawa 5 5 Peyelesaia Bukti Formal: aka ditetuka 5 9 sedemikia rupa seigga Ruas kaa: utuk 5 (ii diperluka agar peyebutya tidak ol) ( )( 5) 5 9 ( ) 9 ( 5) ( 5) Dega demikia yag dipili adala ( 5)

2 Bukti Formal: Misal diberika, pili. Maka, dari 5 diperole: 5 ( )( 5) 9 9 ( ) 9 ( 5) Soal utuk dibuktika sediri: Dega megguaka defiisi pegertia presisi it, buktika bawa: 5 A. B Teorema Limit Peratika Teorema A! Teorema B Jika f fugsi poliomial atau fugsi rasioal, maka f ( ) f ( c ) c Asalka f() c terdefiisi, jika f fugsi rasioal ila peyebut pada c tidak ol. Teorema C: Jika f ( ) g( ) utuk semua di dalam suatu iterval terbuka yag magadug bilaga c, terkecuali mugki pada bilaga c itu sediri, da jika g ( ) ada, maka f( ) ada da f ( ) g ( ) c c c c Tips: Utuk meyelesaika soal-soal tetag it fugsi rasioal, ikuti diagram alir berikut Subtitusi Apaka tidak Guaka teorema B ya Guaka teorema C Lakuka: Faktorisasi atau kalika dega betuk sekawa, bagila faktor yag sama Igat betuk betuk berikut: a ( a)( a ) a ( a)( a a ) selesai Coto Soal : Selesaika : a. ( ) guaka terorema B ( ) ( ) ( ) 8

3 b. c. d. e. f. guaka terorema B () Igat! Kita tidak pera membagiya dega ol, tetapi kita membagiya dega bilaga yag sagat dekat dega ol. guaka terorema B Karea f ( ), guaka teoreme C ( )( ) ( ) Guaka teorema B pada betuk terakir ( ) ( ) 7 9 Guaka teorema C 7 ( )( ) ( ) () 5 9 ( )( ) ( ) () 6 9 ( ) 5 5 Kalika dega betuk sekawaya 5 9 ( ) ( ) 9 ( ) 5 9 ( ) 9 ( ) 5 ( 5)( 5) 9 ( ) 5 ( 5)( 5) 9 ( ) ( 5) 5 ( 5)( 5) 9 ( ) 5 ( 5) 9 ( ) (5 5) 5 9 (5 ) ( )

4 Soal soal utuk dikerjaka sediri Tetukala ilai it berikut: ( ) 9. Limit Tak Berigga Cara meyelesaika it tak igga (biasaya dalam betuk rasioal) adala dega cara membagi pembilag da peyebut dega variabel berpagkat tertiggi Coto soal : Selesaika it berikut: 7 a. b. c. d. pagkat tertiggi adala, jadi bagila pembilag da peyebut dga 7 7 () () () () pagkat tertiggi adala, jadi bagila pembilag da peyebut dga Solusi ( ) muculka betuk dega megalika betuk sekawaya ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 6) ( ) ( 8 ) ( )

5 Soal utuk dikerjaka sediri: Tetuka ilai it berikut: ( ) 5 5 ( ) 5 5 ( ). Limit Fugsi Trigoometri Peratika Teorema A Teorema B: Limit Fugsi Trigoometri Kusus. si cos. Secara umum: si a a ta a a a a a a b b b b si b b ta b b Coto Soal 5: a. cos cos b. si ta 5 si si 5 si 5 ta 5 ta 5 5 ta c. ta si peratika pagkat masig-masig fugsiya! ta ta ta si si si 8 8 d. cos t t t Igat rumus cos t si t cos t si t cos t si t si t t t t t t t Soal utuk dikerjaka sediri: Tetuka ilai it berikut: si ta cos si

6 BAB. TURUNAN FUNGSI Defisi Turua Turua fugsi f adala fugsi lai Asalka it ii ada da buka f ' (dibaca f akse ) yag ilaiya pada sebarag bilaga c adala atau f '( c) ( ) ( ) f c f c Notasi Leibiz dy f ( c ) f ( c) f '( ) d Coto : Jika f ( ), tetuka f '( )! PENYELESAIAN f '( ) f ( c ) f ( c) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ) Soal utuk dicoba sediri: Dega megguaka defiisi turua, tetukala turua fugsi berikut:. f ( ). f ( ). ATURAN MENCARI TURUNAN FUNGSI dy Tiga otasi utuk turuadari fugsi f, yaitu f '( ) atau atau D f ( ) d Resume dari Teorema A s.d. H A. Jika f () k, maka f '( ) B. Jika f ( ), maka f '( ) C. Jika f ( ) a, maka f '( ) a D. Jika f() kg( ), maka f '( ) k. g '( ) E. Jika f() u( ) v( ), maka f '( ) u'( ) v'( ) F. Jika f() u( ) v( ), maka f '( ) u '( ) v'( ) G. Jika f() u( ) v( ), maka f '( ) u'( ) v( ) u( ) v'( ) H. Jika f() u ( ), maka f '( ) v ( ) u '( ) v( ) u( ) v '( ) v ( )

7 Coto Soal : Tetuka turua setiap fugsi berikut: a. f ( ) 7 Solusi Teorema C sagat serig diguaka! f ( ) a, f '( ) a b. 7 6 f '( ) 7 f ( ) C B A Turua f '( ) 8 f '( ) 8 Begii ceritaya f ( ) f '( ) c. f () sederaaka mejadi pagkat rasioal f ( ) d. f '( ) f ( ) Sederaaka mejadi pagkat rasioal f ( ) Turua kostata f '( ). Igat Bila dijadika pagkat positif, maka diperole f '( ) 9 a a da a a m a m e. f ( ) ( ) guaka teorema G f() u( ) v( ), f '( ) u'( ) v( ) u( ) v'( ) f '( ) ( )( ) 9 f. f( ) ( ) guaka teorema I u ( ) u '( ) v( ) u( ) v '( ) f(), f '( ) v ( ) v ( ) ( ) 6 6 f '( ) ( ) ( ) ( ) Soal utuk dicoba sediri: Tetuka turua setiap fugsi berikut:.. f ( ) 5.. f( ) 5 f ( ) 6 5. f ( ) f( ) 5 ( )

8 . TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Teorema A Teorema B D (ta ) sec D (si ) cos da D (cos ) si D (cot ) csc D (sec ) sec ta D (csc ) csc cot Dalil ratai D ( f ( g( ))) f '( g( )) g '( ) atau dy dy du d du d Coto Soal : Tetuka turua fugsi berikut:. f ( ) ( ) misal f '( ) f ( ) u, maka u ( ) seigga dy dy du d du d u 8( ). f ( ) si Misal f ( ) si u, maka u seigga f '( ) dy dy du d du d cosu cos.. f ( ) si Bila dipadag sebagai komposisi fugsi, maka f ( ) u ; u si seigga dy dy du u cos si cos d du d Dega rumus si si cos, dapat disederaaka mejadi f '( ) si cos si (si cos ) si si f ( ) cos ( ) f ( ) u ; u cos v; v dy dy du dv d du dv d 8 u ( si v) cos( ) si( ) (si( ) cos( ) si(( )) si(6 ) Soal utuk diselesaika sediri: Tetuka turua masig-masig fugsi berikut:. f ( ) ( )... f ( ) f ( ) 6si 5 f( ) cos ( )

9 . TURUNAN TINGKAT TINGGI d y Turua kedua dari fugsi f diotasika dega f ''( ) atau atau D y d Coto Soal : Tetuka turua pertama da kedua fugsi f ( ) si ( ) PENYELESAIAN f '( ) si ( ) cos( ) ( ) si cos si si 8 f ''( ) 6 (8 si si 8 si 6 si 8 ) 6 88 si si 8 5. APLIKASI TURUNAN a. Persamaa garis siggug suatu kurva Y P Coto soal: Tetuka persamaa garis siggug pada kurva m f '( ) y ' y ' ( )( ) ; 8 ; y Soal utuk diselesaika: y. Tetuka persamaa garis siggug pada kurva. Tetuka Q g Peratika gambar di sampig gradie garis PQ adala f ( ) f ( ) mpq Jika titik Q digeser sepajag kurva sedekat mugki dega titik P maka diperole garis siggug. Dega demikia, gradie garis siggugya adala f ( ) f ( ) mg f '( ) y yag mempuyai kemiriga. y di titik (, ) y yag mempuyai kemiriga garis. b. Maksimum da Miimum Teorema A. Jika f kotiu pada iterval tertutup ab,, maka f mecapai ilai maksimum da miimum di saa B. Titik kritis: misal f didefiisa pada iterval I yag memuat titik c. Jika f() c adala ilai ekstrim, maka c arusla berupa suatu titik kritis, dega kata lai c adala sala satu dari: (i) Titik ujug dari I (ii) Titik stasioer dari f ; yaki titik di maa f '( c ) (iii) Titik sigular dari f ; yaki di maa f '( c) tidak ada X ilai y diperole dega mesubtitusika ilai pada persamaa kurvay. Seigga diperole titik siggug (, ) da Di titik (, ) persamaa garis siggugya adala: Tetuka persamaa garis yag laiya. C. Misalka f kotiu pada iterval I da terdeferesial pada setiap titik dalam I (i) Jika f '( ) utuk semua titik dalam I, maka f aik pada I (ii) Jika f '( ) utuk semua titik dalam I, maka f turu pada I

10 D. Misalka f terdeferesialka dua kali pada setiap titik dalam I (i) Jika f ''( ) utuk semua titik dalam I, maka f cekug ke atas pada I (ii) Jika f ''( ) utuk semua titik dalam I, maka f cekug ke bawa pada I E. Uji turua pertama utuk maksimum da miimum Misal kotiu pada iterval terbuka ( ab, ) yag memuat sebua titik c. (i) Jika f '( ) utuk semua dalam (a,c) da f '( ) utuk semua dalam (c,b) maka f() c adala ilai maksimum lokal f. (ii) Jika f '( ) utuk semua dalam (a,c) da f '( ) utuk semua dalam (c,b) maka f() c adala ilai miimum lokal f. (iii) Jika f '( ) bertada sama pada kedua piak c, maka f() c buka ilai ekstrim lokal f. F. Uji turua kedua utuk maksimum da miimum (i) Jika f ''( ), maka f() c adala ilai miimum lokal f. (ii) Jika f ''( ), maka f() c adala ilai maksimum lokal f. Coto soal: Diketaui fugsi a. Titik kritis f y 6. Tetukala: b. Iterval di maa f aik da di maa f turu c. Nilai maksimum da ilai miimum f d. Titik maksimum da miimum f PENYELESAIAN f '( ) Tada 6 6 ( )( ) da f ( ) 55 ; f () 7 a. Titik kritis ( f '( c ) ) Yaitu titik 55 (, ) da (,7) b. Peratika perubaa tada pada f '( ) di sekitar titik kritis f( ) aka aik jika f '( ) >, yaitu pada iterval (, ) atau pada (, ). Dega otasi lai, f( ) aik pada iterval atau pada f( ) aka turu jika f '( ) <, yaitu pada iterval (,) c. Nilai maksimumya adala f ( ) 55, da ilai miimumya adala f () 7 (coba megguaka uji turua ke dua) d. Titik maksimumya 55 (, ) da titik miimumya (,7)

11 Coto Soal lagi: Kotak segi empat tapa tutup aka dibuat dari selembar kartu dega pajag 6 cm da lebar 9 cm dega cara memotog keempat sudut kartu dega betuk persegi yag idetik. Tetuka volume kotak maksimum yag dapat dibuat, itugla volume maksimal tersebut. PENYELESAIAN Misalka ukura sisi persegi yag arus dipotog pada keempat sudutya adala. Maka volume kotak tersebut adala V ( )(9 )( ) (6 8 8 )( ) 6 66 Peratika bawa ukura potoga tidak aka melebii,5 cm. Titik kritis f '( ) 6 ( 8) ( )( 9) ; 9 Haya ada sebua titik kritis yag memeui yaitu pada, da f () 6() 66() () Nilai ekstrim a) Uji tada f '( ) Disekitar tada beruba dari (+) mejadi ( ) atau dega kata lai, di sekitar fuggsi f beruba dari aik mejadi turu. Ii berarti bawa f melalui titik maksimum. Tada di sekitar titik kritis b) Uji turua kedua f '( ) 6 f ''( ) f ''() () 8 Jadi f () maksimum Dega demikia, agar volume kotak yag terbetuk maksimum, maka ukura kotak terbut arus: Pajag () cm Lebar 9 9 () 5 cm Tiggi cm Volume terbesarya 5 cm