PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PENDAHULUAN

Transkripsi

1 PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI Abstrat I tis mausript, estimatio of te periodi ompoet of itesity avig form periodi futio multiplied by te liear tred of a o omogeeous Poisso proess is disussed. Te estimator is ostruted usig a sigle realizatio of te Poisso proess observed i te iterval 0,. It is assumed tat te period of te periodi ompoet is kow. Te overgee of te Mea Square Error (MSE) of te estimator as bee proved. I additio, asymptoti approximatios to te bias, variae, ad Mea Square Error (MSE) of te estimator ave bee proved. A asymptoti optimal badwidt is also give. Keywords : osistet estimator, itesity futio, mea squared error, periodi Poisso proesses. PENDAHULUAN Latar Belakag Terdapat bayak permasalaa dalam keidupa seari-ari yag dapat dimodelka dega suatu proses stokastik. Permasalaa tersebut misalya proses kedataga pelagga ke suatu pusat layaa (bak, kator, supermarket, da sebagaiya), proses kedataga peggua lie telepo dega periode satu ari atau juga bayakya kedaraa yag melewati suatu jala raya pada suatu iterval waktu tertetu yag aya bisa diamati sekali. Utuk itu, proses stokastik mempuyai peraa ukup petig dalam berbagai bidag dalam keidupa seari-ari. Proses stokastik ada dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Sala satu betuk kusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adala proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adala suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Coto dalam keidupa seari-ari yag dapat dimodelka dega proses stokastik misalya proses kedataga asaba ke suatu bak dalam periode satu ari. Fugsi itesitas lokal λ(s) pada proses tersebut meyataka laju kedataga asaba pada waktu s. Pada umumya fugsi itesitas tidak Maasiswa Program Sarjaa, Departeme Matematika, Fakultas Ilmu Pegetaua Alam, Jala Merati Kampus IPB Dramaga Bogor, Departeme Matematika, Fakultas Ilmu Pegetaua Alam, Jala Merati Kampus IPB Dramaga Bogor, 6680.

2 50 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI diketaui tetapi bayak yag periodeya diketaui yaitu τ. Utuk meyusu peduga yag kosiste, diperluka bayak data. Diasumsika fugsi itesitas tersebut adala fugsi periodik agar data pegamata di berbagai selag waktu yag berbeda dapat diguaka utuk meduga fugsi itesitas pada suatu titik s. Fugsi itesitas pada ari berikutya dapat diprediksi dega megguaka proses Poisso periodik. Pada umumya betuk fugsi itesitas pada ari ii da ari berikutya ampir sama. Sedagka jika pada ari berikutya jumla asabaya bertamba, maka fugsi itesitas aka lebi besar dibadig ari sebelumya. Ada beberapa feomea yag kurag ook dimodelka dega proses Poisso periodik tapa memperitugka suatu tre. Utuk itu, fugsi itesitasya perlu megakomodasi adaya suatu tre. Pada kajia ii dibatasi pada fugsi itesitas yag berbetuk fugsi periodik kali tre liear. Seigga karya ilmia ii megkaji peduga fugsi itesitas yag berbetuk fugsi periodik kali tre liear suatu proses Poisso o-omoge. Tujua Tujua peulisa karya ilmia ii adala utuk: (i) Meetuka perumusa peduga kompoe periodik fugsi itesitas yag berbetuk fugsi periodik kali tre liear suatu proses Poisso o-omoge serta membuktika kekosistea pedugaya. (ii) Meetuka aproksimasi asimtotik bagi bias peduga. (iii)meetuka aproksimasi asimtotik bagi ragam peduga. (iv) Meetuka aproksimasi asimtotik bagi MSE peduga. (v) Meetuka badwidt optimal asimtotik utuk peduga yag dikaji. PERUMUSAN PENDUGA Perumusa Masala Misalka N adala proses Poisso o-omoge pada iterval [0, ) dega fugsi itesitas λ yag tidak diketaui. Fugsi itesitas λ diasumsika teritegralka lokal da merupaka asil kali dari dua kompoe yaitu kompoe periodik atau kompoe siklik λ dega periode τ (diketaui) dikalika kompoe tre liear as. Kostata a merupaka kemiriga dari tre liear dimaa a > 0. Dega demikia, utuk sebarag titik s 0,, fugsi itesitas λ(s) dapat diyataka sebagai berikut * s s as dega λ (s) adala fugsi periodik dega periode τ. Persamaa () juga dapat ditulis mejadi ()

3 JMA, VOL., NO., JULI 03, dega aλ (s) adala fugsi periodik. Misalka λ s = aλ s, maka persamaa () dapat ditulis mejadi s s s. (3) Karea λ adala fugsi periodik dega periode τ da a > 0 adala kostata, maka adala fugsi periodik dega periode τ seigga persamaa berlaku utuk setiap s [0, ) da k Z, dega Z adala impua bilaga bulat. Berdasarka persamaa (3), utuk meduga λ(s) ukup diduga λ s. Karea λ (s) adala fugsi periodik dega periode τ, maka utuk meduga λ (s) pada s [0, ) ukup diduga ilai λ (s) pada s 0, τ. Tujua dari peulisa karya ilmia ii adala mempelajari peyusua peduga kosiste bagi λ (s) utuk s [0, τ) dega megguaka realisasi tuggal N(ω) dari proses Poisso yag diamati pada iterval 0,. Diasumsika bawa s adala titik Lebesque dari λ, yag seara otomatis berarti bawa s adala titik Lebesque dari λ. Perumusa Peduga Peduga bagi λ (s) pada titik s 0, τ dapat dirumuska sebagai berikut, 0, ˆ N s k s k, s (5) k0 ( s k ) dega N([0, ]) meyataka bayak kejadia pada iterval 0,, k merupaka suatu bilaga bulat da adala barisa bilaga real positif yag koverge meuju ol yaitu 0 (6) utuk. Pada peduga di atas disebut badwidt. Berikut diuraika ide tetag pembetuka dari peduga λ, (s) bagi λ (s). Meurut persamaa (3) da (4) diperole s k s s k. (7) ( s k ) Maka rata-rata ilai yag diduga: s * s k ( s k ) k0 dega τ = meyataka bilaga bulat terbesar yag lebi keil atau sama τ dega. Dari persamaa (8) diperole τ s s a s s k s () (4) (8)

4 5 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI s s k ( s k ) k 0 sk. k 0 ( s k ) Utuk melakuka pedekata teradap persamaa (9) diperluka asumsi bawa s adala titik Lebesque bagi λ da asumsi (6) terpeui, seigga persamaa (9) mejadi s s k k 0 ( s k ) ( s k ) [ s k, s k ] k 0 sk k 0 ( s k ) sk E N([ s k, s k ] [0, ]). ( x) I( x [0, ]) dx Dega meggati E N([ s k, s k ] [0, ]) N([ s k, s k ] [0, ]) yag merupaka padaa stokastikya, maka dapat diaproksimasi N([ s k, s k ] [0, ]) ( s). k0 ( s k ) Seigga diperole peduga bagi λ (s) adala ˆ, s N([ s k, s k ] [ o, ]), k0 ( s k ) seperti pada persamaa (5). (9) KEKONVERGENAN MSE PENDUGA Teorema (Kekovergea MSE peduga). Misalka fugsi itesitas λ memeui persamaa (3) da teritegralka lokal. Jika asumsi (6) dipeui da, maka MSE ˆ s 0 (0), utuk, asalka s adala titik Lebesgue bagi λ. Bukti. Berdasarka defiisi MSE, Teorema merupaka akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema megeai ketakbiasa asimtotik da Lema megeai kekovergea ragam. Lema (Ketakbiasa asimtotik). Misalka fugsi itesitas λ memeui persamaa (3) da teritegralka lokal. Jika asumsi (6) dipeui maka

5 JMA, VOL., NO., JULI 03, ˆ, s s E () utuk, asalka s adala titik Lebesgue bagi λ.. Dega kata lai λ, (s) adala peduga tak bias asimtotik bagi λ s. Bukti. Utuk membuktika persamaa () aka diperliatka bawa lim E ˆ ( s) ( s). () Utuk meyelesaika persamaa () dapat diperole dega ara sebagai berikut ˆ E, ( s) E N([ s k, s k ] [0, ]). (3) k0 s k Karea tidak megadug ideks k, maka persamaa (3) dapat ditulis mejadi ˆ, k0 s k, E ( s) E N([ s k, s k ] [0, ]). (4) Nilai arapa EN( s + kτ, s + kτ + ) pada persamaa (4) dapat diuraika mejadi Misalka E N([ s k, s k ] [0, ]) x I( x [0, ]) dx. (5) sk sk y = x s + kτ, dy = dx, x = y + s + kτ. Maka pada persamaa (5) dilakuka pergatia peuba seigga diperole E N([ s k, s k ] [0, ]) y s k I( y s k [0, ]) dy. (6) Dega berpedoma pada persamaa (7), maka persamaa (6) dapat diuba mejadi E N([ s k, s k ] [0, ]) y s k y s k I ( y s k [0, ]) dy. (7) Berdasarka sifat keperiodika pada persamaa (4), maka persamaa (7) dapat ditulis mejadi (8) E N([ s k, s k ] [0, ]) y s y s k I( y s k [0, ]) dy. Kemudia persamaa (8) disubstitusika kembali ke persamaa (4) seigga diperole ˆ, k0 s k E ( s) y s y s k I( y s k [0, ]) dy. Lalu usur yag memiliki ideks k dikelompokka seigga diperole

6 54 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI ( y s k ) I( y s k [0, ]) O () (9) k0 ( s k) Karea y = O( ) 0, jika, maka ( ) E ˆ y s k, ( s) ( y s) I( y s k [0, ]) dy. (0) k 0 ( s k ) utuk semua y,. Dari persamaa (0), maka persamaa (9) dapat ditulis sebagai E ˆ, ( s) ( y s) O() dy. () Dega melakuka operasi perkalia pada ruas kaa, maka diperole ˆ, E ( s) y s dy O y s dy. () Suku pertama pada ruas kaa dari persamaa () dapat ditulis mejadi y s ( s) ( s) dy y s ( s) dy ( s) dy. Utuk meujukka bawa suku pertama dari persamaa (3) adala koverge ke ol, aka diguaka ilai yag lebi besar, yaitu (3) y s ( s) dy. (4) Berdasarka asumsi (6) da dega asumsi bawa s adala titik Lebesgue bagi λ, maka kuatitas pada persamaa (4) koverge ke ol, jika, atau dapat juga ditulis o. Sedagka suku kedua persamaa (3) adala ( s) dy ( s) dy ( s) y ( s) ( ) ( s). Dega meggabugka asil yag diperole, maka ( y s) ( s) dy ( s) dy ( s) o,

7 JMA, VOL., NO., JULI 03, jika. Dega demikia, diperole bawa suku pertama pada ruas kaa persamaa () adala y sdy ( s) o (5) utuk. Sedagka suku kedua pada ruas kaa persamaa () mejadi O y s dy O s o ( ) () O o, utuk. Dega mesubstitusika asil yag diperole dari suku pertama da suku kedua di atas maka diperole E ˆ ( s ) s o (6), utuk. Dega demikia Lema terbukti. Lema (Kekovergea ragam). Misalka fugsi itesitas λ memeui persamaa (3) da teritegralka lokal. Jika asumsi (6) dipeui, λ terbatas di sekitar s da, maka Var ˆ s 0 (7) utuk., Bukti. Karea 0 jika, maka utuk ilai yag ukup besar, iterval s k, s k da s j, s j utuk k j tidak tumpag tidi atau tidak overlap. Akibatya, berdasarka sifat ikreme bebas N s k, s k dari proses Poisso (Defiisi (5), diperole bawa da N s j, s j utuk k j adala peuba aak bebas. Seigga Var(λ, (s)) dapat ditetuka sebagai berikut ˆ Var, s Var N s k, 0, s k k 0 4 s k (8) Var( N[ s k, ] [0, ]). s k 4 k0 ( s k ) Karea N s + kτ, s + kτ + [0, ] ~ Poisso, maka Var N = EN seigga persamaa (8) mejadi ˆ Var, s E ([, ]) [0, ]). N s k s k (9) 4 k0 s k Dari persamaa (8) utuk sebarag k, kita bisa tuliska

8 56 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI E N([ s k, s k ] [0, ]) y s y s k I( y s k [0, ]) dy. Dega demikia persamaa (9) dapat ditulis mejadi Var ˆ, s y s y s k I ( y s k [0, ]) dy. (30) 4 k0 s k Dega megelompoka usur yag memiliki ideks k, persamaa (30) dapat ditulis mejadi ˆ y s k Var, s y s I( y s k [0, ]) dy k0 s k (3) Peratika bawa, karea y s k I y s k [0, ] l( ) O(), (3) k0 s k maka persamaa (3) mejadi ˆ Var, s y sl( ) O() dy. (33) Karea λ terbatas di sekitar s, maka ada kostata K seigga λ K utuk semua x s, s +. Maka ruas kaa persamaa (33) tidak melebii τ K(l + O ) dy = jika. Dega demikia Lema terbukti. Berdasarka kedua lema tersebut, yaitu (i) Lema (ketakbiasa asimtotik) ˆ, s s, jika, maka ˆ s s E, E 0 (ii) Lema (kekovergea ragam) Var ˆ s 0, jika,, τ Kl + o = τ K l() + o 0 maka defiisi MSE aka diperole, yaitu sebagai berikut MSE ˆ s Var ˆ s Bias ˆ s 0,,, utuk. Dega demikia Teorema terbukti.

9 JMA, VOL., NO., JULI 03, APROKSIMASI ASIMTOTIK BAGI BIAS, RAGAM DAN MSE PENDUGA Teorema (Aproksimasi asimtotik bagi bias). Misalka fugsi itesitas λ memeui persamaa (3) da teritegralka lokal. Jika asumsi (6) dipeui, da λ memiliki turua kedua berigga pada s, maka utuk. E ˆ, " s s s o (34) 6 Bukti. Berdasarka bukti Lema megeai ketakbiasa asimtotik, maka ilai arapa dari λ, (s) dapat dituliska sebagai berikut ˆ, k0 s k E ( s) EN([ s k, s k ] [0, ]). Berdasarka persamaa (9), maka diperole ˆ y s k E, ( s) y s I( y s k [0, ]) dy. (35) k0 s k Diperluka asumsi λ memiliki turua yag terigga di s maka ada da kotiu pada s, megakibatka λ memiliki ilai yag terbatas di sekitar s. Dega Formula Youg (Lema ), maka diperole ( k ) s k x s x s o x s k0 k! utuk x s, atau bila diuraika mejadi s s x s x s x s o x s!! (36) utuk x s. Misalka x = y + s, maka persamaa (36) dapat ditulis mejadi s s y s s y y o y!! utuk x 0. Seigga dapat diyataka s s y s dy s y y o y!! dy s s s y dy y dy o y dy 4

10 58 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI s s 3 s y y o( ) 4 3 s s s s y sdy s o s o( ) s o 6 utuk. Karea meurut persamaa (0) ( y s k ) I( y s k [0, ]) O () k0 ( s k) maka persamaa (35) aka mejadi ˆ s E, ( s) s o O() 6 s s o 6 O s s o O 6 s = s o 6 utuk. Dega demikia Teorema terbukti. Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam). Misalka fugsi itesitas memeui persamaa (3) da teritegralka lokal. Jika asumsi (6) dipeui, terbatas di sekitar s da, maka utuk., ˆ s l( ) l( ) Var s o Bukti. Berdasarka bukti dari Lema 5 (kekovergea ragam), maka ragam dari ˆ, s dapat ditulis seperti pada persamaa (3) ˆ y s k Var, s y s I( y s k [0, ]) dy (3) k0 s k Peratika persamaa (3) y s k I y s k [0, ] l( ) O(). (3) k0 s k Maka persamaa (3) mejadi ( )

11 JMA, VOL., NO., JULI 03, ˆ Var, s y sl( ) O() dy. (33) Dari persamaa (33) kita mempuyai y sdy y s s sdy y s sdy sdy. (38) Utuk meujukka bawa suku pertama dari persamaa (38) adala koverge ke ol, aka diguaka ilai yag lebi besar, yaitu y s s dy. (39) Berdasarka asumsi (6) da dega asumsi bawa s adala titik Lebesgue bagi λ, maka kuatitas pada (39) aka meuju ol jika, atau dapat juga ditulis o. Sedagka suku kedua persamaa (38) adala s dy Dega meggabugka asil yag diperole, maka s y sdy s o Dega demikia meurut persamaa (5) maka persamaa (33) dapat ditulis mejadi ˆ Var s s o l( ) O(), s.. o l( ) O() s l( ) l( ) o utuk. Dega demikia Terorema 3 terbukti. (40) Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE). Misalka fugsi itesitas λ memeui persamaa (3) da teritegralka lokal. Jika asumsi (6) dipeui bagi λ da memiliki turua kedua λ " berigga pada s, maka utuk. s '' s 4 4, 36 MSE ˆ s o o (4) Bukti. Berdasarka defiisi MSE, maka

12 60 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI MSE ˆ s Var ˆ s bias ˆ s (4),,, ˆ () s, s s o dega bias ˆ s E ˆ s s. Pada persamaa (34) diperole,, E ( ) ( ) ( ) 6 '' ˆ s bias, s ( s) o ( s) 6 '' s o 6 Berdasarka Teorema 3 diperole ˆ sl( ) l( ) Var, s o. Seigga ruas kaa (4) dapat ditulis mejadi '' ˆ s l( ) l( ) s MSE, () s o o 6 '' s '' s l( ) 4 l( ) s 4 o o o 36 3 utuk. Karea λ mempuyai turua kedua berigga pada s, maka s 4 O, akibatya suku kedua pada ruas kaa persamaa (43) berilai o 3 utuk, seigga diperole persamaa (37). Dega demikia Teorema 4 terbukti. PENENTUAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK (43) Ukura terbaik dari suatu peduga relatif teradap kesalaaya adala peduga dega MSE yag berilai miimum. Misalka M( ) yag merupaka fugsi dari, meyataka suku utama dari MSE ˆ, s, yaitu s l( ) s 4 M. 36 Dapat diperole ilai yag memiimumka M( ) utuk tetap, dega membuat turua pertama M( ) sama dega ol, seigga diperole

13 JMA, VOL., NO., JULI 03, M s l( ) 9 s s l( ) s s l( ) s s s 9 l( ) s s 9 l( ) s 5 l( ) s Selajutya aka diperiksa apaka yag diperole memiimumka M( ) dega memeriksa turua kedua M( ), yaitu s l( ) s M Tela kita ketaui bawa ilai dari 0 3 3, s 0, s 0, 0, da adala badwidt yag berilai positif, seigga M 0. Dega demikia, yag diperole memiimumka M( ). Seigga ilai badwidt yag optimal adala 5 * 9 s. 5 l( ) s Turua pertama sama dega ol M 0 da turua kedua berilai positif M 0 maka memeui syarat miimum. Karea () s tidak diketaui, seigga badwidt di atas bersifat asimtotik. DAFTAR PUSTAKA [] Browder A Matematial Aalysis: A Itrodutio. Spriger. New York. [] Casella G, Berger RL Statistial Iferee. Ed. ke-. Wadswort & Brooks/Cole. Pasivi Grove. Califoria. [3] Cressie NA. C.993. Statisti for Spotial Data.Revised Editio. Wiley. New York. [4] Dudley RM Real Aalysis ad Probability. Wadswort & Brooks. Califoria. [5] Grimmett GR, Stirzaker DR. 99. Probability ad Radom Proesses. Ed. ke-. Claredo Press. Oxford.

14 6 W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI [6] Hogg RV, Graig AT, MaKea, JW.995. Itrodutio to Matematial Statisti. Ed. ke-6. Pretie Hall, Eglewood Cliffs. New Jersey. [7] Magku IW. 00. Estimatig te Itesity of a Cyli Poisso Proess (P.D.Tesis). Uiversity of Amsterdam. Amsterdam. [8] Ross SM Itrodutio to Probability Model. Ed. ke-9. Aademi Press I. Orlado. Florida. [9] Serflig RJ Approximatio Teorems of Matematial Statisti. Jo Wiley & Sos. New York. [0] Taylor HM, Karli S A Itrodutio to Stoastis Modellig. Aademi Press I. Orlado. Florida. [] Weede RL, Zygmud A Measure ad Itegral: A Itrodutio to Real Aalysis. Marel Dekker, I. New York.