Diagram Kendali Simpangan Baku Eksak untuk Proses Berdistribusi Normal dengan Parameter σ Diketahui

Transkripsi

1 Statitika, Vol. No., 5 6 Mei Diagram Kedali Simpaga Baku Ekak utuk Proe Berditribui Normal dega Parameter Diketahui Aceg Komarudi Mutaqi, Suwada Program Studi Statitika Fakulta MIPA Uiverita Ilam Badug, Purawarma 63 Badug, 46. aceg.k.mutaqi@uiba.ac.id Abtrak Makalah ii membaha pembetuka diagram kedali impaga baku (diagram kedali S ekak utuk kau proe berditribui ormal dega parameter diketahui. Diagram kedali S ekak terebut dibadigka dega diagram kedali S koveioal megguaka ukura Average Ru Leght (ARL. Diagram kedali S koveioal terlalu eitif terhadap perubaha yag kecil dari impaga baku proe. Bahka utuk kau tertetu, ketika proe ebearya dalam kedali, diagram kedali S koveioal meyimpulka bahwa proe udah di luar kedali. Kata Kuci: Average Ru Leght; diagram kedali impaga baku; peluag kealaha tipe I; teorema limit puat.. PENDAHULUAN Salah atu alat yag diracag ecara tatitik da erig diguaka dalam bidag idutri adalah diagram kedali impaga baku (diagram kedali S. Diagram kedali S ii erig diguaka utuk pegedalia impaga baku proe dalam idutri-idutri maufaktur. Diagram kedali ii megaumika bahwa proe berditribui ormal. Secara umum ada dua jei diagram kedali S. Pertama, diagram kedali S utuk kau parameter impaga baku proe, diketahui. Kedua, diagram kedali S utuk kau parameter impaga baku proe, tidak diketahui. Utuk lebih riciya megeai kedua jei diagram kedali S terebut dapat dilihat pada Motgomery (. Diagram kedali S jei yag pertama (yag elajutya aka diebut ebagai diagram kedali S koveioal didaarka pada ditribui dari peubah acak impaga baku S. Sayagya, pada aat meetuka bata-bata kedaliya didaarka pada teorema limit puat. Jadi diagram kedali S koveioal terebut bia diebut ebagai diagram kedali yag ifatya pedekata. Utuk memperoleh diagram kedali S ekak, caraya adalah pada aat meetuka bata-bata kedaliya lagug didaarka pada ditribui amplig dari impaga baku, S. Tujua dari makalah ii adalah memaparka pembetuka diagram kedali S ekak utuk kau proe berditribui ormal dega parameter diketahui. Makalah ii diuu ebagai berikut. Bagia memuat peurua ditribui amplig utuk peubah acak impaga baku, S. Diagram kedali S koveioal dibaha pada Bagia 3. Bagia 4 meguraika pembetuka diagram kedali S ekak. Perbadiga atara diagram kedali S ekak da koveioal dikemukaka dalam Bagia 5. Sedagka bagia terakhir beriika keimpula da dikui.. DISTRIBUSI SAMPLING DARI SIMPANGAN BAKU, S Mialka X, X,, X merupaka uatu ampel acak dari ditribui ormal, N(μ,. Hogg da Tai ( telah meujukka bahwa peubah acak, ( S berditribui chi-quare dega derajat beba (, dimaa S merupaka variai dari ampel acak di ata, 5

2 Aceg Komarudi Mutaqi, dkk Statitika, Vol. No., Mei 5 ( X X S i i ( da X merupaka rata-rata dari ampel acak di ata, X X i i. ( Dapat ditujukka bahwa fugi deita peluag dari peubah acak impaga baku, S, adalah ( e f Γ ; utuk >. (3 Fugi ditribui kumulatif dari peubah acak S adalah dx x f S P F ( } { ( Γ x dx e x F ( Dega memialka x w, dapat ditujukka bahwa gamma tak-legkap fugi ( Γ w dw e w F. (4 Dapat ditujukka pula bahwa ekpektai da variai dari peubah acak S maig-maig adalah 4 ( c S E (5 da 4 ( ( c S Var (6 dega / (( / ( 4 Γ Γ c. (7

3 Diagram Kedali Simpaga Baku Ekak utuk DIAGRAM KENDALI S KONVENSIONAL Yag dimakud dega diagram kedali S koveioal dalam makalah ii adalah diagram kedali impaga baku, S utuk kau proe berditribui ormal dega parameter diketahui, dimaa pembetuka bata-bata kedaliya megguaka teorema limit puat. Jadi diagram kedali koveioal ii ifatya pedekata. Berdaarka ekpektai da variai dari peubah acak S yag ada pada Peramaa (5 da (6, dapat dibetuk uatu peubah acak baru yaitu S E( S S c4 Z Var( S c4 Dega megguaka teorema limit puat, utuk, peubah acak Z di ata aka medekati ditribui ormal baku, N(,. Peetua bata-bata kedali utuk diagram kedali S koveioal didaarka pada peubah acak Z di ata. utuk kau 3-igma (dega peluag kealaha tipe I, α,7, maka peluag atau, P{3 < Z < 3},9973 S c { 3 4 P < c4 < 3},9973 P{ c4 3 c4 < S < c4 + 3 c4 },9973 P { B5 < S < B6 },9973 dimaa, B5 c4 3 c (8 4 B6 c4 + 3 c. (9 4 Dega demikia bata kedali bawah (lower cotrol limit - LCL da bata kedali ata (upper cotrol limit - UCL dari diagram kedali S koveioal adalah, LCL B5 ( UCL B6 ( Tabel meyajika ilai rata-rata pajag bergerak (average ru legth ARL dari diagram kedali S koveioal ketika proe dalam kedali (impaga baku proeya adalah da ketika proe di luar kedali (impaga baku proe telah berubah dari ke k utuk α,7, k (,3 da ukura ampel, 6,, 5,, da 3. Sebagai catata, berapapu ilai, ilai ARL-ya tetap tidak berubah. Gambar megilutraika ilai-ilai ARL utuk 6, 5, da 3 yag ada pada Tabel. Berdaarka ilai-ilai ARL yag ada pada Tabel da Gambar terlihat bahwa emaki bear ukura ampel, maka ilai ARL-ya baik ketika proe dalam kedali maupu di luar kedali emaki bear. Khuu utuk ketika proe dalam kedali, ilai ARL-ya emaki medekati ilai omial 37,398 (/,7. Hal ii ejala dega priip dari diagram kedali S koveioal yag megguaka teorema limit puat pada aat peetua batabata kedaliya. Statitika, Vol. No., Mei

4 54 Aceg Komarudi Mutaqi, dkk Tabel. Nilai ARL utuk Diagram Kedali S Koveioal k N 6 5 3, 8,88 333,4 366,68 368,7 369,87, 79,46 7,66 7,343 3,63 3,79, 3,6 3,479 5,6,3,6,3 5,48,48,76,3,,4 9,38 5,83,337,9,,5 5,978 3,763,7,3,,6 4,35,74,3,,,7 3,347,39,9,,,8,77,784,,,,9,3,556,,,,,,43,,,,,8,97,,,,,656,,,,,3,537,68,,,,4,444,8,,,,5,37,98,,,,6,33,76,,,,7,66,59,,,,8,7,46,,,,9,95,36,,, 3,,69,9,,, ARL k Gambar. Nilai ARL utuk Diagram Kedali S Koveioal 4. DIAGRAM KENDALI S EKSAK Dalam bagia ii aka dipaparka pembetuka diagram kedali impaga baku S ekak utuk proe yag berditribui ormal dega parameter impaga baku diketahui. Berdaarka ditribui dari peubah acak impaga baku S yag dibaha pada Bagia, dapat dibetuk diagram kedali S ekak dega peluag kealaha tipe I, α. LCL da UCL dari diagram kedali S ekak adalah memeuhi ifat-ifat berikut, P{LCL < S < UCL} - α Statitika, Vol. No., Mei

5 Diagram Kedali Simpaga Baku Ekak utuk dega, P{S LCL} F(LCL α/ da, P{S UCL} F(UCL α/. Dega megguaka fugi ditribui dari peubah acak S, maka diperoleh LCL α ( w F LCL w e dw. Γ Mial x LCL ( Jadi x merupaka olui dari peramaa berikut x w α w e dw. Γ fugi gamma tak-legkap Berdaarka Peramaa (, dapat diperoleh LCL utuk diagram kedali S ekak, yaitu LCL E, dimaa, E x. Dega cara yag ama, dega megguaka fugi ditribui dari peubah acak S, maka diperoleh UCL α ( w F UCL w e dw. Γ Mial x UCL. (3 Jadi x merupaka olui dari peramaa berikut, x w α w e dw. Γ fugi gamma tak-legkap Berdaarka Peramaa (3, dapat diperoleh UCL utuk diagram kedali S ekak, yaitu UCL E, dimaa, E x. Statitika, Vol. No., Mei

6 56 Aceg Komarudi Mutaqi, dkk Tabel meyajika cotoh ilai E da E utuk (. Nilai E da E utuk berbagai yag laiya teredia di peuli pertama makalah ii. Tabel. Cotoh Nilai E da E utuk Ukura Sampel, ( E E,7 3,5 3,368,575 4,995,86 5,66,95 6,8,99 7,656,935 8,36,8354 9,34,785,374,735,398,6966,45,6636 3,445,6348 4,464,694 5,4785,5868 6,494,5665 7,584,548 8,55,534 9,5336,56,5449,5 Tabel 3 meyajika ilai ARL dari diagram kedali S ekak ketika proe dalam kedali da ketika proe di luar kedali utuk α,7, k (,3 da ukura ampel, 6,, 5,, da 3. Berapapu ilai, ilai ARL-ya tetap tidak berubah. Tabel 3. Nilai ARL utuk Diagram Kedali S Ekak k N 6 5 3, 37,398 37,398 37,398 37,398 37,398, 49,56 9,86 34,77 5,439 3,466, 56,4 36,874 5,93,477,66,3 5,59 5,64,56,4,,4 3,8 7,76,393,34,,5 8,54 4,739,6,3,,6 5,844 3,75,38,,,7 4,3,479,,,,8 3,39,8,3,,,9,785,7,,,,,373,54,,,,,8,378,,,,,866,83,,,,3,75,4,,,,4,58,64,,,,5,485,6,,,,6,48,98,,,,7,346,76,,,,8,95,6,,,,9,53,47,,, 3,,9,38,,, Statitika, Vol. No., Mei

7 Diagram Kedali Simpaga Baku Ekak utuk Gambar megilutraika ilai-ilai ARL utuk 6, 5, da 3 yag ada pada Tabel 3. Berdaarka ilai-ilai ARL yag ada pada Tabel 3 da Gambar terlihat bahwa emaki bear ukura ampel, maka ilai ARL ketika proe di luar kedali emaki bear. Sedagka ketika proe dalam kedali, ilai ARL-ya tetap pada ilai omial 37,398 (/,7. Hal ii ebagai bukti bahwa diagram kedali S yag dibetuk ifatya ekak. ARL k Gambar. Nilai ARL utuk Diagram Kedali S Ekak 5. PERBANDINGAN ANTARA DIAGRAM KENDALI S EKSAK DAN KONVENSIONAL Dalam bagia ii aka dilakuka perbadiga atara diagram kedali S ekak dega diagram kedali S koveioal berdaarka ukura ARL ketika proe dalam kedali da ketika proe di luar kedali utuk α,7, k (,3 da ukura ampel, 6, 5, da 3. Perbadiga terebut ditampilka dalam Gambar 3, 4, da 5. Statitika, Vol. No., Mei

8 58 Aceg Komarudi Mutaqi, dkk ARL 3 5 Pedekata Ekak k Gambar 3. Perbadiga ARL utuk Diagram Kedali S Ekak da Koveioal utuk 6 ARL 3 5 Pedekata Ekak k Gambar 4. Perbadiga ARL utuk Diagram Kedali S Ekak da Koveioal utuk 5 Statitika, Vol. No., Mei

9 Diagram Kedali Simpaga Baku Ekak utuk ARL 3 5 Pedekata Ekak k Gambar 5. Perbadiga ARL utuk Diagram Kedali S Ekak da Koveioal utuk Berdaarka Gambar 3, 4, da 5, terlihat bahwa emaki bear ukura ampel, maka baik utuk ketika proe dalam kedali maupu di luar kedali, ilai-ilai ARL dari diagram kedali S koveioal emaki medekati ilai-ilai ARL dari diagram kedali S ekak. Hal ii ejala dega priip dari diagram kedali S koveioal yag megguaka teorema limit puat pada aat peetua bata-bata kedaliya. Hal ii meujukka bahwa, ketika proe ebearya dalam kedali ataupu di luar kedali, diagram kedali S koveioal aka terlalu cepat medeteki bahwa proe udah di luar kedali. Diagram kedali S koveioal terlalu eitif (terlalu cepat memutuka bahwa proe udah di luar kedali terhadap perubaha yag kecil dari impaga baku proe. Hal ii terlihat ketika k, eliih ilaiilai ARL dari diagram kedali S koveioal da ekak cederug lebih bear dibadigka ketika k >. Seliih terebut emaki kecil ketika ukura ampelya emaki bear. 6. CONTOH NUMERIK Berikut ii aka diberika cotoh peerapa dari diagram kedali S koveioal da ekak utuk kau diketahui. Baha yag diguaka adalah data megeai alah atu karakteritik kuci produk hige rib (Dataya diajika dalam Tabel 4, dega,667. Produk hige rib adalah alah atu produk yag dibuat oleh PT Dirgatara Idoeia. Produk terebut merupaka bagia dari kompoe ayap peawat terbag. Nilai-ilai impaga baku utuk etiap omor ampel diajika dalam kolom terakhir pada Tabel 4. Sedagka gambar diagram kedali S koveioal da ekakya diajika pada Gambar 6. Tabel 4. Data Nomor Nomor Pegamata Sampel S 58,894 59,43 58,886 58,9 59,5,37 58,8 58,989 58,798 59,4 58,77, ,84 58,98 58,94 58,94 58,839, ,757 58,756 58,93 58,844 59,9,4 5 58,967 58,93 58,993 58,893 58,88, ,76 58,89 58,94 58,787 58,845,739 Berdaarka Gambar 6 terlihat bahwa omor ampel da omor ampel 4 berada di luar kedali dari diagram kedali impaga baku S koveioal edagka meurut diagram Statitika, Vol. No., Mei

10 6 Aceg Komarudi Mutaqi, dkk kedali impaga baku S ekak maih dalam bata-bata kedali. Ii meujukka uatu cotoh bukti bahwa diagram kedali impaga baku S koveioal terlalu cepat utuk medeteki bahwa proe udah di luar kedali. Simpaga Baku (S UCL Ekak UCL Koveioal LCL Ekak LCL Koveioal Nomor Sampel Gambar 6. Diagram Kedali S Koveioal da Ekak 7. KESIMPULAN DAN DISKUSI Diagram kedali impaga baku, S ekak yag dibagu dalam makalah ii khuu utuk kau ampel beraal dari populai yag berditribui ormal dega parameter impaga baku, diketahui. Secara umum, jika diagram kedali S koveioal (yag bayak dimuat dalam buku-buku pegedalia proe tatiti diguaka dalam aplikai maka diagram kedali ii aka terlalu cepat medeteki bahwa proe udah di luar kedali. Utuk itu kami meyaraka utuk megguaka diagram kedali S ekak yag ada dalam makalah ii. Permaalahaya adalah dalam meetuka ilai kotata E da E utuk meetuka bata-bata kedaliya. Peuli pertama dari makalah ii dapat meyediaka ilai-ilai kotata terebut. Dalam makalah ii haya dibaha diagram kedali S utuk parameter diketahui. Utuk kau parameter tidak diketahui, peuli edag mecoba utuk meracag uatu alat tatitik yag mempuyai kemampua yag lebih baik dibadigka dega yag udah ada ebelumya. DAFTAR PUSTAKA []. Motgomery, D. C. (. Itroductio to Statitical Quality Cotrol. Fourth editio. Joh Wiley & So, Ic., New York. []. Hogg, R. V., da Tai, E. A. (. Probability ad Statitical Iferece. Sixth editio. Pretice Hall, Ic., New Jerey. Statitika, Vol. No., Mei