INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id
DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi F yg F' memenuhi pada I. Fungsi F ini dinamakan anti turunan dari ungsi pada selang I.
Fungsi =sin, R mempunyai beberapa anti turunan. Disini terdapat tiga ungsi F yg memenuhi F' pada R yaitu F cos, F sin, F cos karena F F F ' ' ' sin sin cos cos sin sin sin sin
Maka F, F, dan F semuanya anti turunan dari ungsi pada R. Hubungan antara ketiga anti turunan dari ungsi tersebut : cos sin cos Hal diatas menyatakan bahwa anti turunan tidak tunggal, yang berbeda pada konstanta real.
TEOREMA Misalkan ungsi terdierensialkan pada selang terbuka I. Jika ' 0 pada I, maka =c. Bukti : Tetapkan I ungsi yang dierensiabel pada I memenuhi Teorema Nilai Rata Rata TNR pada selang tertutup yang ujungnya dan dengan I
' p Karena pada I, maka Shg pada selang I berlaku Ambil c= maka =c, c konstanta 0 ' p 0 ' Akibatnya terdapat p antara dan sedemikian sehingga
AKIBAT Jika ' g' pada selang I maka = g+c, c konstanta real Bukti : Karena ' g' pada I maka g' 0 pada I. Berdasarkan Teorema g' c sehingga = g+c, c konstanta real
DEFINISI Karena anti turunan dari suatu ungsi tidak tunggal, maka terdapat bentuk umum anti turunan dari suatu ungsi pada selang I yang dinamakan anti dierensial Anti dierensial dari ungsi pada selang I adalah ungsi y=f+c dengan F '' pada I
Integral Tak Tentu D E F I N I S I Proses menentukan anti dierensial dari ungsi pada selang I dinamakan integral tak tentu dari ungsi pada selang I dan ditulis dengan lambang dengan d F F anti turunan pada I d c integral tak tentu dari
NOTASI Notasi yang dipakai adalah notasileibniz...d turunan terhadap D D integral tak tentu d anti turunan anti turunan mengintegralkan d tanda integrasi Integran Mengintegralkan integran Integral tak tentu
0, ln 0 ln 0 ln 0 ln, a a a a d a e d e d n n d n n Rumus Integrasi Dasar
Rumus Integrasi Dasar sin d - cos cos d sin sec d tan csc d cot sec tan d sec csc cot d csc
arccsc arcsec arccos arcsin arccot arctan - d - d - d Rumus Integrasi Dasar
TEOREMA. Faktor konstan dapat diletakkan diluar tanda integral, yaitu jika k maka k d k d konstanta. Integral dari jumlah dua ungsi sama dengan jumlah integral masing masing ungsi. g d d g d
d d d d d d d d d d 5 8 0. 9. 8 8. 7. 7 0. 5..... 8 5 5 7 7 5 ari anti turunan F+ untuk yang berikut ontoh
5.. 5... 5 5 5 - d d d d d d d d d d d d
8 8 8. 7. 7 0 7 0. 5 5 5 7 7 7 0 9 7 d d d d d d
5 5 8 0. 9. 5 9 8 d d d
INTEGRASI SUBTITUSI Untuk mencari d yang tdk dpt langsung diperoleh dari siat-siat anti derivati dan rumus integrasi dasar yang telah ada. mengubah variabel yang terdapat dibawah tanda integral dengan suatu subtitute, sehingga diperoleh integral dalam variabel baru yang diharapkan lebih mudah daripada integral yang diberikan.
TEOREMA Jika gt yang dideinisikan pada suatu interval, mempunyai invers t g dan ungsi-ungsi g dan g - keduanya mempunyai derivati yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan kontinu pada interval dimana g - dideinisikan, maka d g t g' t dt
BUKTI : Teorema akan terbukti apabila dpt diperlihatkan samanya derivati terhadap dari ungsi ruas kiri dan ungsi ruas kanan dalam kesamaan diatas. Jadi harus diperlihatkan bahwa d d d d d g t g' t dt Menurut deinisi d d d
Sedangkan menurut teori hitung dierensial ' ' ' ' ' ' t g t g t g t g t g t g d dt t g t g d dt dt t g t g dt d dt t g t g d d dt d
sin sin cos cos cos Misal t dt t dt t d dt d t ontoh d cos arilah
d 9 5 Hitung ontoh 5 0 0 5 Jadi 5 Subtitusi 0 0 9 9 9 y dy y dy y d d dy y
ontoh Hitung d Subtitusi u du d Jadi d u d u du 5 u 5 u 5 u 5
d cos Hitung ontoh 5 sin sin cos cos cos Jadi Subtitusi u udu d d d du u
ARUS TANGENS Dalam datar rumus dasar dipunyai rumus d arctan Dengan subtitusi = ay maka d a dy arctan y arctan a a y a a a Diperoleh d arctan a a a
p y dy p b d c b d Jika dimana diskriminan maka deinit positip dan selalu dapat dibawa ke bentuk Dengan jadi c b 0 c b D p b 0 b c p Dengan y=+b, diperoleh arctan p b p c b d
LOGARITMA Dalam datar rumus dasar dipunyai rumus d ln Dengan subtitusi y= g jadi dy = g d g' d g dy y ln y Diperoleh g' d g dy y ln g
arctan. d d c arctan ln 5 0 5. d d d d d d ontoh
INTEGRASI PARSIAL Rumus derivati hasilkali dua ungsi dapat ditulis g ' g' g ' Jadi g ' d g' d g ' d Dengan subtitusi y atau y Maka g ' d g y dy g d Demikian juga g' d dg Sehingga g dg g d
Kalau dan g berturut-turut ditulis u dan v maka hubungan itu menjadi u v u dv v du atau u dv u v v du Hubungan terakhir ini disebut Rumus Integrasi Parsial Hal yang harus diperhatikan dalam pemakaian rumus integrasi parsial :. ari bagian dv yang segera bisa diintegralkan v du. tidak lebih kompleks dari u dv
TEOREMA Jika ungsi u dan v keduanya dideinisikan dalam interval yang sama dan mempunyai derivati yang kontinu, maka berlaku u dv u v v du Rumus ini sangat bermanaat untuk menentukan integral tak tentu dari ungsi transenden.
ontoh 7 arilah sin d Ada kemungkinan a u sin dv d du sin v cos d sin d sin sin cos d Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal maka pilihan ini diabaikan.
b u sin dv d sin d du v Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal maka pilihan ini diabaikan. c. u dv sin d sin cos d v du d cos cos d sin d cos cos d cos sin
d ln arilah ontoh 8 ln ln ln ln ln ln ln maka dan ln Misalkan d d d d d v u
d arctan arilah ontoh 9 ln arctan arctan arctan arctan arctan arctan dan arctan Misalkan d d d d v u
d e cos arilah ontoh 0 sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos cos cos cos,maka dan cos Misalkan e d e d e e d e e e e d e d e e d e e e d d e e v u