Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
|
|
|
- Sudomo Darmali
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35
2 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 2/35
3 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; nilai sangat besar; Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 2/35
4 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; nilai sangat besar; besaran yang tidak dapat diketahui nilainya secara tepat. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 2/35
5 Grafik Perhatikan fungsi f(x) = x2 9 x 3. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 3/35
6 Grafik Perhatikan fungsi f(x) = x2 9 x 3. f(x) tidak ada nilainya di x = 3, karena terjadi pembagian dengan nol. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 3/35
7 Grafik Perhatikan fungsi f(x) = x2 9 x 3. f(x) tidak ada nilainya di x = 3, karena terjadi pembagian dengan nol. Untuk x 3 fungsi tersebut dapat diubah menjadi f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 3/35
8 Untuk x 3, Grafik f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3, dan perhatikan nilai f(x) untuk x di dekat 3 x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2, f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999 5, Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 4/35
9 Untuk x 3, Grafik f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3, dan perhatikan nilai f(x) untuk x di dekat 3 x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2, f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999 5, Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 4/35
10 Untuk x 3, Grafik f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3, dan perhatikan nilai f(x) untuk x di dekat 3 x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2, f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999 5, Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 dibaca: limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri sama dengan 6. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 4/35
11 Grafik Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f(x) dengan pendekatan dari sebelah kanan: x 4 3, 5 3, 2 3, 1 3, 01 3, 001 3, , f(x) 7 6, 5 6, 2 6, 1 6, 01 6, 001 6, , Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 5/35
12 Grafik Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f(x) dengan pendekatan dari sebelah kanan: x 4 3, 5 3, 2 3, 1 3, 01 3, 001 3, , f(x) 7 6, 5 6, 2 6, 1 6, 01 6, 001 6, , Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 + Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 5/35
13 Grafik Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f(x) dengan pendekatan dari sebelah kanan: x 4 3, 5 3, 2 3, 1 3, 01 3, 001 3, , f(x) 7 6, 5 6, 2 6, 1 6, 01 6, 001 6, , Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 + dibaca: limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan sama dengan 6. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 5/35
14 Grafik Jika maka ditulis lim f(x) = lim f(x) = L x a x a + lim f(x) = L x a dan disebut limit dua sisi (sisi kiri dan kanan). Dalam hal ini L disebut limit fungsi f. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 6/35
15 Beberapa limit dasar lim k = k x a lim x = a x a lim k = k x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
16 Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim k = k x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
17 Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim k = k x lim x = x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
18 Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
19 Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim x = 5 x 5 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
20 Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim x = 5 x 5 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
21 Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim x = 5 x 5 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x lim x = x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
22 Sifat-sifat limit Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
23 Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
24 Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
25 Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl [ (c) lim f(x)g(x) x a ] = lim x a f(x) lim x a g(x) = LM Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
26 Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl [ (c) lim f(x)g(x) x a (d) lim x a [ ] f(x) = g(x) ] = lim x a f(x) lim x a g(x) = LM lim f(x) x a lim g(x) = L M untuk M 0 x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
27 Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl [ (c) lim f(x)g(x) x a (d) lim x a [ ] f(x) = g(x) ] = lim x a f(x) lim x a g(x) = LM lim f(x) x a lim g(x) = L M untuk M 0 x a (e) lim x a f(x) = lim x a f(x) = L, untuk L 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
28 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
29 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
30 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
31 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = Sifat (a) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
32 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = lim x 5 x lim x 5 x 4 lim x 5 x + lim x 5 3 Sifat (a) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
33 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = lim x 5 x lim x 5 x 4 lim x 5 x + lim x 5 3 = 5 2 4(5) + 3 Sifat (a) Sifat, (b) dan (c) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
34 Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = lim x 5 x lim x 5 x 4 lim x 5 x + lim x 5 3 = 5 2 4(5) + 3 = 8 Sifat (a) Sifat, (b) dan (c) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
35 Limit polinomial Untuk sebarang polinomial Grafik p(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n dan sebarang bilangan real a, berlaku lim p(x) = c 0 + c 1 a + + c n a n = p(a) x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 10/35
36 Limit polinomial Untuk sebarang polinomial Grafik p(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n dan sebarang bilangan real a, berlaku Contoh: lim p(x) = c 0 + c 1 a + + c n a n = p(a) x a ( ) lim x 2 4x + 3 = 5 2 4(5) + 3 = 8 x 5 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 10/35
37 Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
38 Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Contoh: Dapatkan lim x 2 5x x 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
39 Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Contoh: Dapatkan lim x 2 5x x 3 Jawaban: 5x lim x 2 x 3 lim(5x 3 + 4) = x 2 lim (x 3) = = x 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
40 Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Contoh: Dapatkan lim x 2 5x x 3 Jawaban: 5x lim x 2 x 3 lim(5x 3 + 4) = x 2 lim (x 3) = = x 2 Perhatikan bahwa cara tersebut hanya berlaku untuk penyebut yang tidak nol. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
41 Perhatikan fungsi berikut Grafik f(x) = x + 2 x untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x f(x) 3 1,2 1,02 1,002 1, , Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 12/35
42 Perhatikan fungsi berikut Grafik f(x) = x + 2 x untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x f(x) 3 1,2 1,02 1,002 1, , jika x terus makin besar, maka dugaan nilai f(x) akan mendekati 1, yang ditulis x + 2 lim = 1 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 12/35
43 Perhatikan fungsi berikut Grafik f(x) = x + 2 x untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x f(x) 3 1,2 1,02 1,002 1, , jika x terus makin besar, maka dugaan nilai f(x) akan mendekati 1, yang ditulis x + 2 lim = 1 x x y 3 1 f (x) = x + 2 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 12/35
44 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Limit fungsi rasional untuk x + atau x hanya dipengaruhi oleh suku dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, yaitu jika c n 0 dan d m 0, dan lim x + lim x c 0 + c 1 x + + c n x n d 0 + d 1 x + + d m x m = c 0 + c 1 x + + c n x n d 0 + d 1 x + + d m x m = lim x + lim x c n x n d m x m c n x n d m x m Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 13/35
45 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
46 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = lim 3x x + 6x = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
47 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = lim 3x x + 6x = lim 1 x + 2 = 1 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
48 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 1 x + 2 = 1 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
49 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = lim 3x x + 6x = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
50 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
51 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
52 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = 3 2x 4 3 lim x + x + 1 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
53 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = 3 2x 4 3 lim x + x + 1 = lim 2x 4 x + x lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
54 Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = 3 2x 4 3 lim x + x + 1 = lim 2x 4 x + x lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 = lim x + 2x3 = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
55 subsetionlimit untuk 1/x Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 15/35
56 Limit yang memuat 1 x 1 lim x 0 + x = + Grafik 1 x y = 1 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 15/35
57 Limit yang memuat 1 x 1 lim x 0 x = Grafik y = 1 x x 1 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 16/35
58 Limit yang memuat 1 x 1 lim x + x = 0 Grafik 1 x y = 1 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 17/35
59 Limit yang memuat 1 x 1 lim x x = 0 Grafik y = 1 x x 1 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 18/35
60 Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
61 Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
62 Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + 1 lim x a x a = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
63 Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + 1 lim x a x a = lim x + 1 x a = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
64 Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + 1 lim x a x a = lim x + lim x 1 x a = 0 1 x a = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
65 Grafik Pada bagian logaritma telah diketahui bahwa logaritma dengan bilangan pokok e = 2, tersebut adalah bilangan yang merupakan nilai limit, yaitu ( lim x = e x x) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 20/35
66 Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
67 Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
68 Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x tan x lim = x 0 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
69 Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x tan x lim = lim x 0 x x 0 ( sin x x ) 1 = cos x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
70 Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x tan x lim = lim x 0 x x 0 ( sin x x ) 1 = (1) (1) = 1. cos x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
71 Grafik Jika diketahui fungsi y = f(x), dan telah dipelajari bahwa turunan fungsi tersebut di x = a adalah asalkan limit tersebut ada. f(a + h) f(a) f(x) f(a) lim = lim h 0 h h 0 x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 22/35
72 Grafik Jika diketahui fungsi y = f(x), dan telah dipelajari bahwa turunan fungsi tersebut di x = a adalah asalkan limit tersebut ada. f(a + h) f(a) f(x) f(a) lim = lim h 0 h h 0 x a Untuk fungsi y = f(x), turunan fungsinya adalah f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h asalkan limitnya ada. baru ini dinamakan fungsi turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 22/35
73 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Jawaban: Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
74 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
75 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
76 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
77 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = lim h 0 2xh + h 2 3h h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
78 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = lim h 0 2xh + h 2 3h h = lim h 0 (2x + h 3) = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
79 Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = lim h 0 2xh + h 2 3h h = lim h 0 (2x + h 3) = 2x 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
80 Beberapa aturan mendapatkan fungsi turunan asal turunan Grafik f(x) = c, c konstan f (x) = 0 f(x) = x n p(x) = cf(x), c konstan p(x) = f(x) + g(x) p(x) = f(x)g(x) p(x) = f(x) g(x) f (x) = nx n 1 f (x) = cf (x) p (x) = f (x) + g (x) p (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) p (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [ g(x) ] 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 24/35
81 fungsi trigonometri Grafik asal f(x) = sin x f(x) = cos x turunan f (x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tan x f (x) = 1 cos 2 x = sec2 x f(x) = cot x f(x) = sec x f(x) = csc x f (x) = csc 2 x f (x) = sec x tan x f (x) = csc x cot x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 25/35
82 Aturan rantai Contoh: Grafik Telah diketahui bahwa f(x) = x n = f (x) = nx n 1 dan g(x) = sin x = g (x) = cos x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 26/35
83 Aturan rantai Contoh: Grafik Telah diketahui bahwa f(x) = x n = f (x) = nx n 1 dan g(x) = sin x = g (x) = cos x Bagaimana cara mendapatkan fungsi turunan dari fungsi-fungsi f(x) = (ax 2 + b) n atau g(x) = sin(ax n + b)??? Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 26/35
84 Aturan rantai f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
85 Aturan rantai Grafik f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Selanjutnya dapat dicari f (x), yaitu dengan aturan f (x) = f (u) u (x). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
86 Aturan rantai Grafik f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Selanjutnya dapat dicari f (x), yaitu dengan aturan f (x) = f (u) u (x). g(x) = sin(ax n + b) dapat dipandang sebagai bentuk g(u) = sin u dengan u = ax n + b. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
87 Aturan rantai Grafik f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Selanjutnya dapat dicari f (x), yaitu dengan aturan f (x) = f (u) u (x). g(x) = sin(ax n + b) dapat dipandang sebagai bentuk g(u) = sin u dengan u = ax n + b. Selanjutnya dapat dicari g (x), yaitu dengan aturan g (x) = g (u) u (x). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
88 Aturan rantai Contoh: Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
89 Aturan rantai Contoh: Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Grafik Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
90 Aturan rantai Contoh: Grafik Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Sehingga didapat f (x) = f (u) u (x) = = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
91 Aturan rantai Contoh: Grafik Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Sehingga didapat f (x) = f (u) u (x) = (cos u) (2x + 2) = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
92 Aturan rantai Contoh: Grafik Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Sehingga didapat f (x) = f (u) u (x) = (cos u) (2x + 2) = cos(x 2 + 2x 2) (2x + 2) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
93 tingkat tinggi Grafik Misal diketahui fungsi y = f(x) pertama: ke-dua: Didefinisikan dy dx = y = f (x) d 2 y dx 2 = y = f (x) d 2 y dx 2 = d [ dy ] dx dx Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 29/35
94 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 30/35
95 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. f naik di I jika untuk x 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) < f(x 2 ) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 30/35
96 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. f naik di I jika untuk x 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) < f(x 2 ) f turun di I jika untuk x 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) > f(x 2 ) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 30/35
97 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
98 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
99 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Jika f (x) < 0 pada I, maka f fungs turun di I. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
100 grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Jika f (x) < 0 pada I, maka f fungs turun di I. Contoh: f(x) = sin x = f (x) = cos x. Interval 0 < x < π 2 π 2 < x < 3π 2 Tanda y Positif Negatif Positif 3π 2 < x < 2π Sifat fungsi Naik Turun Naik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
101 Titik stasioner Grafik Titik stasioner Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan di x = a. Titik x = a disebut titik stasioner jika f (a) = 0. Perlu dicatat bahwa jika f (a) = 0 maka a belum tentu titik stasioner. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 32/35
102 Test turunan pertama untuk titik stasioner Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
103 Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
104 Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). 2 Jika nilai f negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
105 Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). 2 Jika nilai f negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a). 3 Jika di sekitar x = a tidak ada perubahan tanda nilai f, maka a disebut titik belok horisontal. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
106 Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). 2 Jika nilai f negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a). 3 Jika di sekitar x = a tidak ada perubahan tanda nilai f, maka a disebut titik belok horisontal. Misal diketahui fungsi f. Jika titik a adalah titik stasioner, maka nilai f(a) adalah nilai stasioner. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
107 Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Contoh: Diberikan fungsi f(x) = 1 3 x3 2x 2 + 3x + 2. (a) Tentukan titik stasioner, tentukan pula nilai stasionernya. (b) Tentukan jenis titik stasioner yang ditemukan. (c) Buatlah sketsa grafiknya. Jawab: (a) Titik stasioner: x = 1 dan x = 3 Nilai stasioner: f(1) = 10 3 dan f(3) = 2. (b) Karena di kiri x = 1 fungsi naik dan di kanan x = 1 fungsi turun, berarti x = 1 adalah titik maksimum; sedangkan di kiri x = 3 fungsi turun dan di kanan x = 3 fungsi naik, berarti x = 3 adalah titi minimum. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 34/35
108 Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
109 Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). 1 Jika nilai f (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
110 Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). 1 Jika nilai f (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a. 2 Jika nilai f (a) < 0, maka f maksimum di sekitar titik a. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
111 Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). 1 Jika nilai f (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a. 2 Jika nilai f (a) < 0, maka f maksimum di sekitar titik a. 3 Jika f (a) = 0, gunakan test turunan pertama untuk menentukan jenis titik stasioner. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Latar belakang penyusunan: Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu
Rencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Matematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
DERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
FUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka
A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m =
LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari
LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 015-016 XI IPS Semester Tahun Pelajaran 015 016 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Matematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Hendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
BAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Derivatives D A. Turunan Tingkat Tinggi Jika f adalah turunan fungsi f, maka f juga merupakan suatu fungsi. f adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f ada, turunan ini dinamakan turunan
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Teknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Kalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
FUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
PREDIKSI UN 2014 MATEMATIKA IPA
NAMA : KELAS : 1. Kisi-Kisi: Logika Matematika Diketahui 3 Premis, Premis Menggunakan kesetaraan, dan penarikan MP atau MT PREDIKSI UN 2014 MATEMATIKA IPA 3. Kisi-Kisi: Materi Ekponen Éksponen pecahan,3
LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
Matematika
Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat
Materi W8e TRIGONOMETRI 1. Kelas X, Semester 2. E. Grafik Fungsi Trigonometri.
Materi W8e TRIGONOMETRI 1 Kelas X, Semester 2 E. Grafik Fungsi Trigonometri www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Trigonometri tata koordinat Cartesius fungsi trigonometri sumbu-x sebagai nilai sudut sumbu-y
TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
DIKTAT KALKULUS DASAR
DIKTAT KALKULUS DASAR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc Rosita Kusumawati, M.Sc Nikenasih Binatari, M.Si email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTUKTUR LIMIT DAN TURUNAN Disusun oleh : RADITYA AMARA BOJA 1037 SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON 1 KULON PROGO OKTOBER 2015 Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan kepada
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
15. TURUNAN (DERIVATIF)
5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
a b c d e nol di belakang pada representasi desimalnya adalah... a b c d e. 40.
Soal Babak Penyisihan OMITS 0 Soal Pilihan Ganda. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif O, M, I, T, S yang memenuhi : O + M + I + T + S = Dimana O, M 4, I 5, T 6, dan S 7, adalah... a. 80 b. 80
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan
A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Analisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:
LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
B. y = 1 x 2 1 UN-SMK-TEK Jika A = 2 0
UN-SMK-TEK-04-0 Jarak kota A ke kota B pada peta 0 cm. Jika skala peta : 0.000, maka jarak kedua kota sebenarnya adalah..., km km 0 km.00 km.000 km UN-SMK-TEK-04-0 Hasil perkalian dari (4a) - (a) =...
tidak terdefinisi ketika x = 1, tetapi dapat kita peroleh
Lecture 4. Limit A A. Definition of Limit Definisi 4.1 (a). Jika f adalah suatu fungsi, maka kita mengatakan bahwa jika nilai f(x) mendekati L saat x dipilih mendekati a. Dengan kata lain, bilangan L merupakan
FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS
MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari
SILABUS PEMBELAJARAN
SILABUS PEMBELAJARAN Nama Sekolah : Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : XI / IPA Semester : GENAP STANDAR KOMPETENSI: 4 Menggunakan aturan dalam penyelesaian masalah Kompetensi Dasar Materi Ajar
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis
Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)
MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini
APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2
Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan XI IPA2 pada bulan April- Mei Pada bulan April 2014 peneliti
33 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian Penelitian dilaksanakan di SMAN 1 Kasihan untuk kelas XI IPA1 dan XI IPA2 pada bulan April- Mei 2014. Pada bulan April 2014 peneliti melakukan
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :
KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
BAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan