Persamaan Di erensial Orde-2

Transkripsi

1 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y ; : : : ; y (n) = : (1) Contoh (ln y) y + (y ) = ln x adalah persamaan linear orde-3. Masalah utama adalah menentukan solusi dari persamaan diferensial (1) ; yaitu fungsi y = g (x) yang memenuhi (1) ; yaitu jika disubstitusikan untuk y; maka persamaan ini dipenuhi, F x; g; g ; g ; : : : ; g (n) = : Persamaan diferensial yang akan dibahas adalah persamaan diferensial linear orde ; p (x) y + q (x) y + r (x) y = s (x) () dengan p (x) ; q (x) ; r (x) ; dan s (x) kontinu pada suatu interval buka I = (a; b) : Jika s (x) = ; p (x) y + q (x) y + r (x) y = ; (3) maka persamaan diferensial dikatakan homogen. Persamaan diferensial ini selalu punya solusi karena y (x) = pasti merupakan solusi. Solusi ini disebut solusi trivial. Notasi operator: Misalkan y (n) ditulis sebagai D n y: () dapat ditulis sebagai p (x) D + q (x) D + r (x) y = s (x) atau Ly = s (x) : {z } L Juga diasumsikan bahwa p (x) tidak pernah nol pada I: Secara umum, a (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) + + a n 1 (x) y + a n (x) y = k (x) (4) dapat ditulis sebagai a (x) D n + a 1 (x) D n a n 1 (x) D + a n (x) y = k (x) {z } L Ly = k (x) Dari sifat kelinearan turunan, kita peroleh bahwa L (cy) = cly dan L (y 1 + y ) = Ly 1 + Ly Jika u 1 (x) dan u (x) adalah dua penyelesaian dari PD homogen L (y) = ; yaitu maka untuk tiap c 1 dan c bilangan real, berlaku Lu 1 = dan Lu = ; L (c 1 u 1 + c u ) = c 1 L (u 1 ) + c L (u ) = Theorem 1 (Prinsip Superposisi) Jika u 1 (x) dan u (x) adalah dua penyelesaian dari persamaan diferensial linear homogen a (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) + + a n 1 (x) y + a n (x) y = dan c 1 ; c dua bilangan real, maka kombinasi linear y (x) = c 1 u 1 (x) + c u (x) juga merupakan solusi persamaan diferensial tersebut. 1

2 Theorem Jika p (x) ; q (x) ; dan r (x) kontinu pada interval buka I; p (x) 6= untuk tiap x I; maka persamaan diferensial linear homogen p (x) y + q (x) y + r (x) y = ; mempunyai dua solusi u 1 (x) dan u (x) yang bebas linear. Selain itu, untuk tiap solusi u 1 (x) dan u (x) yang bebas linear, maka untuk tiap solusi y (x) ; terdapat c 1 dan c sehingga y (x) = c 1 u 1 (x) + c u (x) : Catatan: dua solusi y 1 dan y disebut bebas linear jika satu adalah kelipatan dari yang lain, y 1 = cy atau y = dy 1 : Persamaan Diferensial Linear Orde- dengan Koe sien Konstan Persamaan diferensial orde- dengan koe sien konstan adalah persamaan () dengan p (x) ; q (x) ; dan r (x) adalah fungsi konstan, sebut p (x) = r; q (x) = q; dan r (x) = r: py" + qy + ry = s (x) : Karena p 6= ; maka persamaan ini dapat ditulis sebagai y" + ay + by = s (x) : Kita akan mulai dengan solusi jika s (x) = atau versi homogen Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde- dengan Koe sien Konstan Diberikan persamaan difenresial Bila Dy = ry; maka y" + ay + by = ; a 6= : (5) D + ad + b y = ; a 6= : D y = D (Dy) = D (ry) = rdy = r y Solusi umum dari Dy = ry adalah y (x) = Ae rx : Solusi yang paling sederhana adalah y (x) = e rx : Jika y adalah solusi persamaan diferensial orde-1 Dy = ry; maka dapat disimpulkan bahwa jika D + ad + b y = D y + ady + by = r y + ary + by = r + ar + b y: r + ar + b = ; (6) maka y (x) = e rx juga solusi dari (5) : Persamaan (6) disebut persamaan bantu (auxilliary equation), dan g (r) = r + ar + b disebut polinom karakteristik dari (5).. Misalkan = a 4b adalah diskriminan dari persamaan bantu. terdapat diga kasus: > ; = ; dan < : Case 3 ( > ) Polinom karakteristik memiliki dua akar tunggal berbeda, sebut r 1 dan r ; r 1 6= r : Diperoleh dua akar yang bebas linear.u 1 (x) = e r1x dan u (x) = e rx : menurut Teorema di atas, adalah solusi umum (5). Case 4 ( = ) Karena = a 4b = ; y (x) = c 1 e r1x + c e rx r + ar + b = r + ar + r a 4 = + a =

3 polinom karakteristik mempunyai akar ganda, r = a Diperoleh satu solusi yaitu u (x) = e rx : Teorema di atas memberikan bahwa terdapat dua solusi yang bebas linear. Solusi kedua v (x) 6= u (x) : Misalkan v (x) = xu (x) = xe rx : Dv = e rx + rxe rx = (1 + rx) e rx D v = D (1 + rx) e rx = re rx + (1 + rx) re rx = r x + r e rx D + ad + b v = D v + adv + bv = r x + r + a (1 + rx) + bx e rx = ( r + ar + b x + (a + r) e rx = {z } {z } v (x) = xe rx juga merupakan solusi, u (x) dan v (x) bebas linear. solusi umum (5) berbentuk y (x) = c 1 e rx + c xe rx = (c 1 + c x) e rx Case 5 ( < ) Dalam hal ini, = a 4b < : akar-akar adalah dua bilangan kompleks yang saling konjugat r 1; = a p a 4b = a p 4b a + i ; dengan i = 1: Misalkan = a dan = p 4b a dan Ini memberikan dua solusi bebas linear r 1 = + i dan r = i: ~y 1 (x) = e r1x = e (+i)x = e x (cos + i sin ) ~y (x) = e rx = e ( i)x = e x (cos i sin ) Tetapi kedua solusi ini bernilai kompleks. Dengan menggunakan Prinsip Superposisi di atas, y 1 (x) = 1 ~y 1 (x) + 1 ~y (x) = e x cos y (x) = 1 i ~y 1 (x) 1 i ~y (x) = e x sin juga solusi dan keduanya bebas linear. solusi umum (5) adalah y (x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) = e x (c 1 cos + c sin ) Theorem 6 Diberikan persamaan diferensial linear homogen orde- dengan koe sien konstan. y" + ay + by = ; a 6= (7) 1. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar berbeda r 1 dan r ; maka solusi umum (7) adalah y (x) = c 1 e r1x + c e rx :. Jika persamaan karakteristik mempunyai hanya satu akar r = a ; maka solusi umum (7) adalah y (x) = c 1 e rx + c xe rx : 3. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar kompleks r 1 = + i dan r = i; dengan = a ; = p 4b a ; maka solusi umum (7) adalah y (x) = e x (c 1 cos + c sin ) : 3

4 Persamaan Diferensial Linear Nonhomogen Orde- dengan Koe sien Konstan Misalkan kita akan menentukan solusi persamaan diferensial orde- linear nonhomogen y" + ay + by = s (x) : (8) dengan s (x) kontinu pada suatu interval buka I: Misalkan y p (x) adalah salah satu solusi dari (8) : Misalkan y (x) adalah sebarang solusi lain dari (8) dan y h (x) = y (x) y p (x) : dan diperoleh y p " + ay p + by p = s (x) dan y" + ay + by = s (x) (y + ay + by) yp + ayp + by p = s (x) s (x) = y yp + ay ayp + by by p = y yp + a y yp + b (y yp ) = (y y p ) + a (y y p ) + b (y y p ) = y h + ay h + by h = Dengan demikian y h (x) = y (x) y p (x) adalah solusi dari versi homogen (8) :, dapat disimpulkan bahwa setiap solusi y (x) dari (8) berbentuk y" + ay + by = (9) y (x) = y h (x) + y p (x) : Theorem 7 Solusi umum persamaan diferensial (8) berbentuk y (x) = y h (x) + y p (x) dengan y h (x) adalah solusi versi homogen (9) dan y p (x) adalah solusi khusus (partikular) dari (8) : Menentukan Solusi Khusus (Partikular) Bagaimana menentukan solusi khusus atau solusi partikular? Dua metode yang akan dibahas adalah Metode Koe sien Tak Tentu dan Metoda Variasi Parameter. Metode Koe sien Tak Tentu Metoda ini berlaku untuk kasus-kasus khusus dari s (x) ; yaitu jika s (x) adalah merupakan polinom atau hasil kali polinom p (x) dengan fungsi eksponensial atau dengan fungsi sinus atau kosinus, yaitu p (x) ; p (x) e rx ; p (x) sin kx; p (x) cos kx; p (x) e rx sin kx; p (x) e rx cos kx atau jumlah dari fungsi-fungsi seperti di atas. Contoh bentuk-bentuk s (x) 1 + x; e x ; xe x ; e x + cos x Example 8 Tentukan solusi umum persamaan diferensial nonhomogen y + y 3y = 1 + x : Solution 9 Persamaan versi homogennya adalah y + y 3y = : Bentuk karakteristiknya adalah r + r 3 = r + r 3 = (r + 3) (r 1) = : Persamaan karakteristik memiliki dua akar yaitu r = 1 dan r = y h (x) = c 1 e x + c e 3x : 3: solusi homogen adalah 4

5 Karena s (x) = 1 + x adalah polinom orde, maka y p juga merupakan polinom orde, sebab jika y (x) adalah polinom orde, maka y + y 3y juga polinom orde. Misalkan y = Ax + B dan y = A: y p (x) = Ax + Bx + C: y + y 3y = A + (Ax + B) 3 Ax + Bx + C = 1 + x ( 3A) x + (4A 3B) x + (A + B 3C) = 1 + x yang memberikan A + B 3C = 1 3A = 1; 4A 3B = ; A + B 3C = 1 4A 3B = 3A = 1 Solusinya adalah A = 1 3 ; B = 4 9 ; C = 3 7 : y p (x) = x 3 4x :, solusi umum adalah y (x) = y p (x) + y h (x) = x 3 4x c 1e x + c e 3x : Example 1 Tentukan solusi khusus dari y y = 3 cos x: Solution 11 Karena s (x) = cos x; maka kita mencoba y p (x) = A cos x + B sin x: Dengan demikian y p = A sin x + B cos x y p = 4A cos x 4B sin x y p y p = ( 4A cos x 4B sin x) ( A sin x + B cos x) = ( 4A B) cos x + (A 4B) sin x Sebagai solusi, y p y p = 3 cos x: ( 4A B) cos x + (A 4B) sin x = 3 cos x: haruslah 4A B = 3 dan A 4B = yang memberikan A = 3 5 ; B = 3 1 : solusi khususnya adalah y p (x) = 3 5 cos x 3 sin x: 1 Example 1 Tentukan solusi khusus persamaan diferensial y + y 3y = 4e 3x : Solution 13 Karena s (x) = 4e =3x ; maka kita mungkin mencoba y p = Ae 3x : Tetapi, y p + y p 3y p = 9Ae 3x 6e 3x 3A 3x = = 4e 3x 5

6 Ini tidak mungkin karena fungsi eksponensial tidak pernah nol. Hal ini karena persamaan karakteristik persamaan diferensial ini adalah r + r 3 = (r + 3) (r 1) = r = 3 adalah akarnya dan oleh karena itu e 3x adalah solusi homogen. tidak mungkin y p = Ae 3x : coba y p = Axe 3x : Substitusi pada persamaan memberikan y p = Ae 3x 3Axe 3x = (1 3x) Ae 3x y p = 3Ae 3x + ( 3) (1 3x) Ae 3x = (9x 6) Ae 3x y p + y p 3y p = (9x 6) Ae 3x + (1 3x) Ae 3x 3Axe 3x : = 4Ae 3x A = 1: Diperoleh 4Ae 3x = 4e 3x y p (x) = e 3x : Example 14 Tentukan solusi khusus persamaan diferensial y + 4y + 4y = 8e x : Solution 15 Persamaan diferensial y + 4y + 4y = 8e x memiliki persamaan karakteristik r + 4r + 4 = (r + ) = : diperoleh hanya satu akar, r = : solusi homogen adalah y h (x) = c 1 e x + c xe x = (c 1 + c x) e x : y p = Ae x maupun y p = Axe x akan memberikan yp + yp jauh lagi, yaitu y p (x) = Ax e x : Jadi 3y p = : Kita harus memodi kasi lebih y p (x) = Axe x Ax e x = Ax Ax e x y p (x) = (A Ax) e x 4 Ax Ax e x = 4x + x + 1 Ae x 8e x = y p + 4y p + 4y p = 4x + x + 1 Ae x + 4 Ax Ax e x + 4Ax e x = Ae x A = 4: y p (x) = 4x e x : Example 16 Tentukan solusi umum persamaan diferensial y 5y 6y = e x cos x Solution 17 Persamaan karakteristik ini adalah = r 5r 6 = (r 6) (r + 1) : r = 6 dan r = 1: y h (x) = c 1 e 6x + c e x : Karena e x adalah solusi homogen, maka y p (x) = Cxe x + A cos x + B sin x: 6

7 , y p (x) = Ce x Cxe x + B cos x A sin x = C (1 x) e x + B cos x A sin x y p (x) = Ce x C (1 x) e x B sin x A cos x = (x ) Ce x B sin x A cos x e x 7 cos x = y p 5y p 6y p = (x ) Ce x B sin x A cos x 5 (1 x) Ce x + B cos x A sin x 6 Cxe x + A cos x + B sin x = 7Ce x + ( 7A 5B) cos x + (5A 7B) sin x Diperoleh bahwa C = 1 7 ; A = 7 37 ; B = 5 37 : solusi umum adalah 7C = 1 7A 5B = 5A 7B = y p (x) = 1 7 xe x cos x sin x y (x) = 1 7 xe x cos x sin x + c 1e 6x + c e x : Berikut adalah tabel penentuan y p (x) persamaan diferensial y + ay + by = s (x) Metode Variasi Parameter khusus dari Metode ini, sifatnya lebih umum, digunakan untuk menentukan solusi y" + ay + by = s (x) (1) dengan menggunakan solusi umum homogennya. Misalkan u 1 (x) dan u (x) adalah dua solusi homogen yang bebas linear. Pada metode ini kita mengganti c 1 dan c pada solusi homogen dengan fungsi v 1 (x) dan v (x) y (x) = v 1 (x) u 1 (x) + v (x) u (x) atau singkatnya y = v 1 u 1 + v u 7

8 Kita tambahkan satu syarat yaitu v 1u 1 + v u = (11) Substitusikan pada (1) y = v 1 u 1 + v u y = v 1 u 1 + v u + v1u 1 + vu v 1 u 1 + v u + v1u 1 + vu + a (v 1 u 1 + v u ) + b (v 1 u 1 + v u ) = s (x) v 1 (u 1 + au 1 + bu 1 ) {z } + v (u + au + bu ) + (v {z } 1u 1 + vu ) = s (x) Karena u 1 dan u solusi homogen, maka dua suku pertama adalah nol. Jadi v 1u 1 + v u = s (x) (1) dari (11) dan (1) ; kita harus menyelesaikan sistem persamaan linear dalam v 1 dan v v 1 u 1 + v u = v 1u 1 + v u = s (x) (13) Solusi dalam v 1 dan v adalah v 1 dan v ditentukan dengan integral. Example 18 Tentukan solusi umum y + y = tan x Solution 19 Persamaan karakteristik adalah dengan akar-akar kompleks r 1 = i dan r = v1 u s = u u 1 u 1 u ; v u 1 s = u u 1 u 1 u r + 1 = i: solusi umum homogen adalah y h (x) = c 1 cos x + c sin x: Dengan u 1 = cos x dan u = sin x; persamaan (13) memberikan v 1 cos x + v sin x = v1 ( sin x) + v cos x = tan x Dengan integral, Z v 1 (x) = v1 sin x tan x = cos x cos x + sin x sin x = sin x tan x = sin x cos x v cos x tan x = cos x cos x + sin x sin x = sin x sin x cos x dx = Z 1 cos x dx = cos x = ln jsec x tan xj + sin x + C 1 Z v (x) = sin xdx = cos x + C Z (sec x cos x) dx y p (x) = ( ln jsec x + tan xj + sin x) cos x + ( cos x) sin x = (cos x) ln jsec x + tan xj dan solusi umum adalah y (x) = c 1 cos x + c sin x (cos x) ln jsec x + tan xj 8