INTEGRAL TAK TENTU 1

Transkripsi

1 INTEGRAL TAK TENTU 1

2 Rumus umum integral b a f (x) dx F(x) =lambang integral f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral F = hasil integral dari f(x) 2

3 Perbedaan integral tentu dan tak tentu Integral tentu b f(x) a dx bilangan Integral tak tentu b f(x) dx a fungsi 3

4 Penerapan Integral dalam Ilmu Sains Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V (t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t. t2 V' (t) dt V(t2 ) V(t1) t 1 perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t 1 dan t 2 4

5 Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[c]/dt t2 t 1 d[c] dt dt [C](t 2 )-[C](t 1 ) perubahan konsentrasi C dari waktu t 1 ke t 2 Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m (x) b ρ(x) a dx m(b) m(a) massa dari ruas batang yg terletak diantara x=a dan x=b 5

6 Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka t2 t 1 dn dt dt n(t2) n(t1) pertambahan populasi selama periode waktu t 1 ke t 2 Percepatan benda adl a(t)=v (t) sehingga t2 a(t) dt v(t2) v(t1 ) t 1 perubahan dlm kecepatan dari waktu t 1 ke t 2 6

7 RUMUS DASAR & SIFAT n1 d x 1. x n x x dx dx n 1 n 1 d lnx dx lnx C dx x x d n n1 n x x x x 3. e e e dx e C dx d dx kx kx kx kx 4. e ke e dx C (kf )(x)dx k f (x)dx x a dx f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx e k x a ln a C 7

8 Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka Contoh : x 4 dx =???? r 1 r g(x) g(x) dx C r 1 g(x) = x r = 4 r g(x) dx r 1 g(x) C r x x C = C 8

9 Teknik pengintegralan INTEGRAL SUBSTITUSI Integral substitusi yaitu menggantikan suatu variabel dg variabel baru dalam operasi pengintegralan Aturan substitusi Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu pada I, maka f (U) du = f (g(x)) g (x) dx u du 9

10 1. Hitunglah 2x 1 dx 10

11 1. Hitunglah 2x 1 dx u=2x+1 du=2 dx dx=1/2 du 2x 1 dx du u 2 u 3/2 3/2 (2x 1 2 C 1) 3/2 u 1/2 du 1 3 u 3/2 C C 11

12 INTEGRAL PARSIAL Bila integral substitusi GAGAL integral parsial Integral parsial : suatu metode yg didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsi Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka Dx[u(x) v(x)] = u(x) v (x) + v(x) u (x) dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh u(x) v(x) = u(x) v (x) dx + v(x) u (x) dx 12

13 atau u(x) v (x) dx = u(x) v(x) - v(x) u (x) dx krn dv=v (x) dx dan du=u (x)dx, persamaan menjadi: Pengintegralan Parsial Tak Tentu u dv = u v - v du Pengintegralan Parsial Tentu b a u(x) v' (x) dx b b u(x) v(x) a a v(x) u'(x) dx b a u dv b b u v a a v du 13

14 Gambar diagram u dv=uv-vdu 14

15 1. Tentukan lnx dx 15

16 1. Tentukan lnx dx u = ln x du = 1/x dx dv = dx v = x 1 ln x dx x lnx x dx x x ln x dx x ln x x C 16

17 INTEGRAL TRIGONOMETRI sin x dx = - cos x + C cos x dx = sin x + C 2 sec x dx = tan x + C 2 co sec x dx = -cotan x + C tan x sec x dx = sec x + C cotan x cosec x dx = -cosec x + C 17

18 INTEGRAL TRIGONOMETRI Strategi untuk menghitung sin m x cos n x dx 1. Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1), simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos 2 x=1-sin 2 x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinus sin m x cos 2k+1 x dx = sin m x (cos 2 x) k cos x dx = sin m x (1-sin 2 x ) k cos x dx kemudian substitusikan u=sinx du=cosx dx 18

19 2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sinus dan gunakan sin 2 x=1-cos 2 x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinus sin 2k+1 x cos n x dx = (sin 2 x) k cos n x sin x dx = (1-cos 2 x) k cos n x sin x dx kemudian substitusikan u = cosx du= -sin x dx NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2) 19

20 3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudutparuh sin 2 x = ½ (1-cos 2x) cos 2 x = ½ (1+cos2x) sinx cosx = ½ sin 2x 20

21 1. Tentukan cos 3 x dx 21

22 1. Tentukan cos 3 x dx untuk mempermudah dijabarkan menjadi: cos 3 x = cos 2 x. cos x = (1-sin 2 x) cos x cos 3 x = cos 2 x. cos x dx = (1-sin 2 x) cos x dx misal : u = sin x du= cos x dx cos 3 x = (1-u 2 ) du = u - 1/3 u 3 + C = sin x 1/3 sin 3 x + C 22

23 Strategi untuk menghitung tan m x sec n x dx 1. Jika pangkat secan bil.genap (n=2k), simpan satu faktor sec 2 x dan gunakan sec 2 x=1+tan 2 x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x tan m x sec 2k x dx = tan m x (sec 2 x) k-1 sec 2 x dx = tan m x (1+ tan 2 x ) k-1 sec 2 x dx kemudian substitusikan u = tan x du=sec 2 x dx 23

24 2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan 2 x=sec 2 x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x tan 2k+1 x sec n x dx = (tan 2 x) k sec n-1 x sec x tan x dx = (sec 2 x-1 ) k sec n-1 x sec x tan x dx kemudian substitusikan u = sec x du=tan x sec x dx 24

25 Hitunglah tan 6 x sec 4 x dx 25

26 Hitunglah tan 6 x sec 4 x dx ingat, sec 2 x = 1 + tan 2 x tan 6 x sec 4 x dx tan tan misal u=tan x du = sec 2 x dx 6 6 x sec x (1 2 x sec tan 2 x) 2 x dx sec 2 x dx tan 6 x sec 4 x dx u u 6 u 6 7 (1 tan 7 u 1 9 x 8 u u 2 ) du du du tan 9 x C 26