TEKNIK PENGINTEGRALAN

Transkripsi

1 TEKNIK PENGINTEGRALAN KALKULUS S- Teknik Industri

2 Outline Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional

3 . Integral Parsial Formula Integral Parsial : u dv uv v du Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana Contoh : Hitung xex misal u = x, maka du= dv e x v ex e x sehingga xex x e x ex x e x e x C 3

4 Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali Contoh: x sin x x cos x x cos x x cos x (x sin x sin x ) x cos x x sin x cos x C Integral parsial (i) Misal u x dv = sinx (ii) Misal u = x dv = cosx du = x V=-cosx du = v = sinx 4

5 Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan Hitung: e x cos x Integral parsial Jawab : (i) Misal u e x dv=cosx (ii) Misal u e x dv = sinx e x cos x du e x v=sinx du e x v=-cosx e x sin x e x sin x e x sin x (e x cos x e x cos x) C e x sin x e x cos x e x cos x) C Integral yang dicari bawa keruas kiri ex cos x e x sin x e x cos x C e x cos x (e x sin x e x cos x) C 5

6 6

7 Soal latihan Hitung. ln x. 3. x ln x ln( x ) 4. sin x tan x x tan x 7

8 . Integral Fungsi Trigonometri Bentuk : cos n x & sin n x * Untuk n ganjil, Tuliskan : sin n x sin x sin n x dan cos n x cosx cos n x dan gunakan identitas sin x cos x * Untuk n genap, Tuliskan : sin n x sin xsin n x dan cos n x cos x cos n x dan gunakan identitas cos x cos x sin x 8

9 Contoh Hitung integral berikut:... Jawab sin 3 x sin 4 x sin 3 x sin x sin x dcosx cos x cos x 3 3 cos x C cosx cosx. sin 4 x sin x sin x ( )( ) 4 ( cosx cos x) x sin x x sin 4x C ( cosx cos4x 3 x sin x sin 4x C ) 9

10 Bentuk sin m x cos n x a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan gunakan identitas sin x cos x b). Untuk m dan n genap, tuliskan sin m x dan cos n x menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas cos x cos x sin x Contoh: sin 3 xcos x sin xcos xsinx cos xcos xdcosx cos x cos 4 x dcosx cos 5 x cos 3 x C 5 3 0

11 sin x cos x cos x cos x 4 (cos x) cos 4x 8 8 x sin 4x C 8 3 ( cos 4x ) 4

12 Bentuk tan m x sec n x dan cotm xcsc n x. Gunakan identitas tan x sec x, cot x csc x serta turunan tangen dan kotangen d(tan x) sec x, d(cot x) csc x Contoh: a. tan 4 x tan x tan x tan x(sec ) tan x sec x tan x tan x d(tan x) (sec x ) tan 3 x tan x x C 3

13 b. tan x sec 4 x tan x sec x sec x tan x( tan x)d(tan x) tan x tan 4 x d (tan x) tan 5 x tan 3 x C 5 3 3

14 Soal Latihan Hitung integral trigonometri berikut: sin 4 x cos 5 x tan 4 t sec t dt sec4 x cot wcsc 4 w dw csc3 x 4

15 3. Substitusi Trigonometri a x x asin t a. Integran memuat bentuk misalkan Contoh Hitung 5 x x 5 x x 5 5sin t 5sin t 5cost dt 5 t Misal x 5sint x = 5 cost dt 5( sin t) 5sin t costdt cos t sin t (csc t )dt cott t c 5 x x sin ( ) C x 5 dt cot t dt 5 x 5

16 b. Integran memuat bentuk misalkan x a tant Contoh Hitung x 5 x a x x 5 x 5 tan t 5sec t dt 5 5tan t Misal x 5 tan t 5 x t 5 5sec t dt x tan t x 5 5 tan t sect cost 5 sin t sec t dt dt 5sin t C 5 x 5x C d(sin(t)) 5 sin t 6

17 c. Integran memuat bentuk misalkan x asect Contoh Hitung x x 5 x a 5 sect tan t dt x x 5 5sec t 5sec t 5 Misal x 5 sect x t 5 5sect tan t dt sect x 5 x 5 sect sect tan t dt 5 sec t tan t dt cost dt 5 sec t 5 sin t C 5 x 5 5x C 7

18 Soal Latihan Hitung integral berikut: x 9 x x 3 4 x 4 x x x 9 x x x x 9 3/ 3x x x x x 9. x x x 8

19 Substitusi Bentuk Akar Integran memuat n ax b u n ax b misalkan Contoh Hitung Jawab : Misal u x x u Dengan turunan implisit u du x x =udu udu u u u u u du u ln(u ) C du x ln x C ( )du u 9

20 Soal Latihan Hitung. x 3 x 4. x x x x t dt t x t 3t 4 dt x( x) / 3 0

21 4. Integral Fungsi Rasional Integran berbentuk fungsi rasional: f(x) = P(x) Q(x) Derajat P(x)<Q(x) Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu:. Faktor linear tidak berulang.. Faktor linear berulang. 3. Faktor kuadratik tidak berulang. 4. Faktor kuadratik berulang. Kasus ( linier tidak berulang ) Misal Q x a x b a x b...a n x b n maka, Px A A A n... Qx a x b a x b a n x b n dengan A, A,...,, An adalah konstanta yang dicari

22 Contoh Hitung Jawab x x 9 Faktorkan penyebut : x 9 (x 3)(x 3) x x 9 A x3 B A(x 3) B(x 3) x3 (x 3)(x 3) x Ax3Bx3 A Bx 3A3B Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan Sehingga A +B = x3-3a+3b= x 3 x x 9 x3 3 x3 3A +3B=3-3A+3B= 6B=4 + B=/3,A=/3 3 ln x 3 3 ln x 3 C

23 Kasus Linear berulang Misal Maka Qx a i x b i p Px A A... p Qx a xb a xb a xb a xb i i A p i i i i i A p i p dengan konstanta A,A,...,A p,a p akan dicari Contoh Hitung x x Jawab A B x x x x C x 3

24 x x A(x )(x ) B(x ) C(x ) x x A(x )(x ) B(x ) C(x ) (A C)x (A B 4C)x (4C A B) Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan A+C=0 A+B+4C=0 -A-B+4C= A+B+4C=0 -A-B+4C= + -A+8C= A+C=0 -A+8C= 9C= + B=-/3 A=-/9 C=/9 x x 9 x 3 ln x 9 x 9 x ln x C 3(x ) 9 4

25 Kasus 3 Kuadratik tak berulang Misal Qx a x b x c a x b x c...a n x b n x c n Maka P x Qx A x B A x B a x b x c a x b x c... A n x B n a n x b n x c n DenganA,A,...,A n, dan B,B,...,B n konstanta yang akan dicari 5

26 Contoh Hitung xx Jawab x x A BxC x x Ax Ax (Bx c)x A+B=0 C=0 A= B=- x xx x x (Bx c)x xx ln x ln(x ) C (A B)x cx A x x d(x ) x x x d(x ) x 6

27 Kasus 4 Kuadratik berulang Misal ai x b i x c i Q x p Maka Px A A p xb p xb A xb A p xb p Qx a x b xc... a x b xc c p i i i a ix bi xci i i i a ix bi x i p Dimana A,A,...,A p,a p danb,b,...,b p,b p konstanta yang akan dicari 7

28 Contoh Hitung 6 x 5x x 3x Jawab : 6x 5x A BxC DxE x3x x3 x x Ax (BxC)x x3 (DxE)(x 3) x3x 6x 5x Ax (BxC)x x3 (DxE)(x 3) 6x 5x (A B)x 4 (3B C)x 3 (4A B 3C D)x (6B C 3D E)x (4A 6C 3E) 8

29 Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh A+B=0 3B+C=0 4A+B+3C+D=6 6B+C+3D+E=-5 4A+6C+3E= Sehingga Dengan eliminasi : A=,B=-, C=3 D=-5, E=0 6x 5x x3x x3 x 5 x3 x x x x 5 3 x 3 x x (x ) ln x 3 ln(x ) 3 x 5 tan (x ) C. 9

30 Catatan jika Contoh Hitung der(p(x)) der(q(x)), bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga P(x) S(x) H (x),der(s(x)) der(q(x)) Q(x) Q(x) x 4 x 3 x x 4 x 4 Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x) x + x 3 x x 4 x 3 4x x 5x 4 x 8 5x+4 x 3 Der(P(x))=3>der(Q(x))= x x 4 5x 4 x x 4 x 4 30

31 5x 4 5x 4 A B x 4 (x )(x ) (x ) (x ) A(x ) B(x ) (x )(x ) 5x 4 A(x ) B(x )..(*) Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x= dan x=- Untuk x = Untuk x = =A(+) 5.(-)+4=B(--) Dengan menggunakan hasil diatas : A=7/ B=3/ x 3 x x x 4 (x ) x x x x 7 ln x 3 ln x C 3

32 Soal Latihan Hitung.. 3. x x 6x 8 (x 5) (x ) 5x 3x x 3 x x 3 x 36 x x 9 x x 3 x 5x 6 4. x(x ) 5. x x x 3 3x + 4 3