PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

Transkripsi

1 PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

2 Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan penting dalam kalkulus. Pembuktian TNR membutuhkan Teorema ROLLE (kalkulus dierensial) yang selanjutnya akan dipakai pada Penggunaan Turunan, Kalkulus Integral dan Analisis Numerik.

3 Penggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran graik ungsi 2. Penarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa teorema dan beberapa konsep yang akan saling menunjang satu sama lain.

4 Pada materi turunan dijelaskan bahwa kemiringan garis singgung merupakan tasiran geometris dari TURUNAN ungsi, sehingga turunan dapat digunakan sebagai alat bantu menggambar graik ungsi. Bantuan tersebut dalam hal penentuan titik-titik garis singgung atau penentuan interval dimana graik terletak di atas garis singgung atau dibawahnya dst.

5 ILUSTRASI GRAFIK ekung kebawah maks lokal B, y 2 2 y ekung keatas H maks lokal turun D 4, y 4 G F E 5, y 5 min lokal 7, y 7 6, y 6 8, y 8 maks mutlak ekung kebawah titik belok min mutlak A naik 1, y 1 C 3, y 3 min lokal naik ekung keatas

6 ekstrim relati/ekstrim lokal (i) F punya nilai maksimum relati di jika ada selang terbuka I memuat dimana terdeinisi, sehingga () (), I a b a b (ii) F punya nilai minimum relati di jika ada selang terbuka I memuat dimana terdeinisi, sehingga () (), I

7 TEOREMA 1 Jika () ada untuk semua nilai dalam selang terbuka (a,b) dan jika mempunyai ekstrim relati di dimana a<<b maka () ada dan () =. Jika ungsi mempunyai nilai maksimum relati atau nilai minimum relati di, maka dikatakan mempunyai ekstrim relati di.

8 B U K T I (i) punya maksimum relati di. Jika () ada maka ( ) - () '() lim menurut deinisi (i) > sehingga jika ( )- () (ii) punya minimum relati di. Jika () ada maka ( ) - () '() lim menurut deinisi (ii) > sehingga jika ( )- ()

9 lim kasus (i) -Jika mendekati dari kanan > & jika () berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka () lim '() -Jika mendekati dari kiri < & jika () berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka () '() Karena () ada dan '() serta '() maka '()

10 -Jika mendekati dari kanan > & jika () berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka () lim '() -Jika mendekati dari kiri < & jika () berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka lim kasus (ii) () '() Karena () ada dan '() serta '() maka '()

11 Bila ungsi dideinisikan di suatu bilangan maka syarat perlu (bukan syarat ukup) agar mempunyai ekstrim relati di adalah ()= atau () tidak ada. Bila bilangan dalam daerah asal dan bila ()= atau () tidak ada maka dikatakan bilangan kritis dari.

12 TEOREMA 2 Andaikan dideinisikan pada suatu selang yang memuat, misalkan I. Jika () adalah titik ekstrim maka haruslah suatu titik kritis, yakni berupa salah satu : 1. Titik ujung dari selang 2. Titik stasioner dari [ ()=] 3. Titik singular dari [ () tidak ada]

13 B U K T I (1) () nilai maksimum relati pada I Andaikan bukan titik ujung dan bukan titik singular maka titik stasioner. Karena () maksimum dari deinisi (i), () (), I ()-(). (2) () nilai minimum relati pada I Andaikan bukan titik ujung dan bukan titik singular maka titik stasioner. Karena () minimum dari deinisi (ii), ()(), I ()-().

14 kasus (1) jika,maka () karena bukan titik singular '()ada, shg () karena bukan titik singular '()ada, shg,sehingga () '() lim '() - jika, maka,sehingga () '() lim '() Karena '()ada dan '() serta '() maka '()

15 . '() maka '() serta '() '()ada dan karena '() () ) ( lim '() ada,shg '() bukan titik singular maka karena () ) ( sehingga maka jika '() () ) ( lim '() ada,shg '() bukan titik singular maka karena () ) ( sehingga maka jika kasus (2)

16 ekstrim mutlak/ekstrim global 1. () dikatakan nilai maksimum mutlak ungsi jika di daerah asal dan () () untuk semua nilai dalam daerah asal. 2. () dikatakan nilai minimum mutlak ungsi jika di daerah asal dan () () untuk semua nilai dalam daerah asal.

17 Ekstrim mutlak suatu ungsi adalah nilai maksimum mutlak atau nilai minimum mutlak ungsi didaerah asal. Daerah asal disini bisa berupa suatu selang ataupun himpunan dst.

18 Misalkan ungsi yg dideinisikan pd [-4,3] ( ) ontoh Cari titik-titik kritisnya dan nilai ekstrim nya! Jawab titik-titik ujungnya adalah -4 dan 3 titik stasionernya =-3 dan =2 [jika ()= titik singularnya tidak ada. titik-titik kritisnya adalah -4, -3, 2 dan 3

19 Nilai () pada titik-titik kritisnya adalah = -4 (-4) = 18,67; = -3 (-3) = 21,5; = 2 (2) =,67; = 3 (3) = 3,5 Jadi pada selang [-4,3] punyai nilai maksimum mutlak 21,5 punya nilai minimum mutlak,67

20 ( )

21 TEOREMA 3 Bila ungsi kontinu pada selang tertutup [a,b] maka ungsi mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum mutlak (nilai ekstrim) pada [a,b] (syarat ukup bukan syarat perlu) Bukti dapat dilihat pada buku teks kalkulus lanjut, pada kuliah ini teorema ini hanya akan dipakai tanpa dibuktikan.

22 nilai maksimum & nilai minimum ungsi kontinu pada selang tertutup I ujung Cari titik kritis ungsi pd I stasioner singular Hitung ungsi pd titik kritis Terbesar Maksimum Terkeil Minimum

23 ontoh 2 Cari nilai maksimum dan minimum dari ungsi berikut pada [-½,2] Jawab ungsi polinomial kontinu pada [-½,2] sehingga teorema-teorema nilai ekstrim dapat digunakan

24 I.Diari titik kritis - Titik ujung adalah -½ dan 2 - Titik stasioner ()=6 2 +6=-6(-1)= diperoleh = dan =1 - Titik singular tidak ada Jadi titik kritis -½,,1,2 II. (-½)=1, ()=, (1)=1, (2)=-4 - Nilai maksimum 1 pada =1 dan = -½ - Nilai minimum 4 pada =2

25 y

26 kemonotonan Andaikan terdeinisi pada suatu selang I, (i) naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 1 dan 2 dalam I 1 2 ( 1 )( 2 ) (ii) turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 1 dan 2 dalam I 1 2 ( 1 )( 2 ) (iii) monoton pada I jika naik atau turun pada suatu selang I.

27 TEOREMA 4 Misalkan kontinu pada selang [a,b], dan terdierensiasi pada (a,b): (i) Jika () untuk setiap pada (a,b) maka naik pada [a,b] (ii) Jika () untuk setiap pada (a,b) maka turun pada [a,b]

28 B U K T I i Misalkan 1, 2 [a,b] dgn 1 2. Karena kontinu pada [ 1, 2 ] dan terdierensial pada ( 1, 2 ), dari teorema TNR bilangan pada [ 1, 2 ] sehingga '() Dari & (), sehingga ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) naik pada [a,b] ( ) ( )

29 B U K T I ii Misalkan 1, 2 [a,b] dgn 1 2. Karena kontinu pada [ 1, 2 ] dan terdierensial pada ( 1, 2 ), dari teorema TNR bilangan pada [ 1, 2 ] sehingga '() ( 2 ) ( 1 ) 2 Dari dan ()<, sehingga ( 2 ) ( 1 )< ( 1 )>( 2 ) turun pd [a,b] 1

30 ontoh 3 Diberikan ungsi () = Dengan menggunakan teorema kemonotonan, ari dimana ungsi yang diberikan naik dan dimana turun. Jawab ( ) '( )

31 ) (1, dan 4), naik pada ( Jadi 4) -1)( ( ) '( naik jika (i) 2 2 4,1) pada ( turun Jadi 4) -1)( ( ) '( turun jika (ii) 2 2

32 () = y

33 keekungan ungsi Andaikan terdeinisi pada (a,b) yang memuat sehingga (a,b), titik (,()) pada graik terletak 1. Diatas garis singgung pada graik dititik (,()) maka graik ungsi ekung keatas dititik (,()). 2. Dibawah garis singgung pada graik dititik (,()) maka graik ungsi ekung kebawah dititik (,()). ekung keatas (,()) (,()) ekung kebawah

34 TEOREMA 5 Misalkan ungsi terdierensial pada selang terbuka yang memuat, maka : (i) ()>, ekung keatas di (,()). (ii) ()<, ekung kebawah di (,()). y y ekung keatas ekung kebawah

35 , '() ) '( eoremalimit berdasar t '() ) '( lim "() karena '() ) '( lim "() B U K T I i

36 () Q(, ()) (, ()) T Tinjau garis singgung pada graik dititik (,()). Persamaan garisnya : y ( ) '()( )

37 Misalkan : bilangan pada selang terbuka sehingga. Q titik pada graik dengan titik (, ()). T titik perpotongan garis singgung dan garis sejajar sumbu y melalui Q. Untuk membuktikan ekung keatas dititik (,()) akan ditunjukkan TQ diselang terbuka tersebut. TQ ( ) [ () '()( )] TQ [ ( ) ()] '()( )

38 Menurut TNR terdapat bilangan d antara dan sehingga Jadi '(d) TQ ( ) () '(d)( ) ( ) () '()( '(d)( ) ) TQ ( )[ '(d) '()] karena d antara dan, dan d pada selang terbuka yang sama sehingga dengan mengambil = d. Diperoleh '(d) d '()

39 Diketahui TQ ( )[ '(d) '()] jika - d '(d) '() jika - d '(d) '() sehingga ( - )dan [ '(d)- '()] punya tanda yang sama TQ bilangan positip TQ Jadi ekungkeatas di (, ()).

40 , '() ) '( eoremalimit berdasar t '() ) '( lim "() karena '() ) '( lim "() B U K T I ii

41 Tinjau garis singgung pada graik dititik (,()). Persamaan garisnya : y ( ) '()( )

42 Misalkan : bilangan pada selang terbuka sehingga. Q titik pada graik dengan titik (, ()). T titik perpotongan garis singgung dan garis sejajar sumbu y melalui Q. Untuk membuktikan ekung kebawah dititik (,()) akan ditunjukkan TQ diselang terbuka tersebut. TQ ( ) [ () '()( )] TQ [ ( ) ()] '()( )

43 Menurut TNR terdapat bilangan d antara dan sehingga Jadi '(d) TQ ( ) () '(d)( ) ( ) () '()( '(d)( ) ) TQ ( )[ '(d) '()] karena d antara dan, dan d pada selang terbuka yang sama sehingga dengan mengambil = d. Diperoleh '(d) d '()

44 ()). (, di ekungkebawah Jadi bilangan negati punya tanda yang beda '()] '(d)- [ - )dan ( sehingga '() '(d) d - jika '() '(d) d - jika '()] '(d) )[ ( Diketahui TQ TQ TQ

45 titik belok Titik (,()) titik belok (balik) dari ungsi jika mempunyai garis singgung di titik (,()) dan terdapat selang buka yang memuat sehingga untuk diselang tersebut berlaku : (i) () < jika < dan () > jika >. (ii) () > jika < dan () < jika >.

46 TEOREMA 6 Bila ungsi terdierensial pada interval terbuka yang memuat dan (,()) suatu titik belok (balik) dari graik ungsi maka () ada dan () =.

47 B U K T I Misalkan g()= () g ()= (). Karena (,()) titik belok graik menurut keekungan ungsi maka () berganti tanda di akibatnya g () berganti tanda di. Berdasar teorema uji turunan pertama maka g mempunyai ekstrim relati di dan bilangan kritis dari g. Karena: g () = () dan () ada g () ada Sehingga berdasarkan teorema g () = sehingga () =.

48 ontoh 4 Diberikan ungsi ()=1/ Tentukan titik belok, graik ekung keatas dan ekung kebawah, sketsa graik dan segmen garis singgung pembelokan graik? Jawab () = 1/ () = = ( 3)( + 1) () = 2 2 = 2( 1)

49 () =( 3)( + 1) = titik kritis = 3 dan = -1 titik stasioner (-1) = 17/3 (maksimum relati) (3) = -5 (minimum relati) () = 2( 1) = 2( 1) > ( 1) > > 1 maka () > jika > 1 ekung keatas 2( 1) < ( 1) < < 1 maka () < jika < 1 ekung kebawah titik belok = 1 (1) = 1/3

50 () '( ) ''( ) Keterangan < naik, ekung kebawah 17 3 = -1-4 Maksimum relati -1< < turun, ekung kebawah 1 3 = 1-4 Titik belok 1< < turun, ekung keatas = Minimum relati > naik, ekung keatas

51

52 ontoh 5 Diberikan ungsi ()=(1 2) 3. Tentukan titik belok, titik dimana graik ekung keatas dan ekung kebawah, sketsa graik graik? Jawab () = (1 2) 3 () = -6(1 2) 2 () = 24(1 2)

53 ()= -6(1 2) 2 = titik kritis = ½ (titik stasioner) (½) = () = 24(1 2) = (1 2) > < ½ maka () > jika < ½ ekung keatas (1 2) < > ½ maka () < jika > ½ ekung kebawah titik belok = ½ (½) =.

54 () '( ) ''( ) Keterangan < ½ - + turun, ekung keatas = ½ Titik belok > ½ - - turun, ekung kebawah