TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN"

Ridwan Iwan Muljana
7 tahun lalu
Tontonan:

1 TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1. Hitunglah d Misalkan u = = 1/ sehingga du = 1 1/ sin d = sin udu 1/ 6e. Hitunglah d. 1 1/ = cos u + c = cos + c. 1 1 Misalkan u = sehingga du = d 1/ 6e 1/ Maka d = 6 e 1 d = 6 e u du = 6 e u + c = 6 e 1/ + c.. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri.a. sin n d, cos n d d maka sin d = Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin atau cos dan kemudian gunakan kesamaan Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 1

2 Sin + cos = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut Sin = 1 cos, cos = 1 cos 1. sin 5 d = sin 4 sin d = - (1 cos ) d(cos ) = (1 cos + cos 4 ) d(cos ) = cos + cos 5 1 cos 5 + c 1 cos d. cos 4 d = 1 = 4 (1 + cos + cos ) d 1 = 4 d cos () d (1 + cos 4) d 1 1 = + sin + sin 4 + c 8 4.b. sin m cos n d Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin atau cos yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin + cos = 1 Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut. Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page

3 Tentukan : 1. sin cos 4 d.c. tg n d, cotg n d.. sin cos 4 d Keluarkan faktor tg = sec 1 dalam kasus tg atau faktor cotg = cosec 1 dalam kasus cotg. cotg 4 d = cotg (cosec 1) d = cotg cosec d cotg d = - cotg d(cotg ) - (cosec 1) d = - 1 cotg + cotg + + c.d. tg m sec n d, cotg m cosec n d Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec atau cosec. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg.sec. Tentukan : 1. tg / sec 4 d. tg sec 1/ d.e. sin m cos n d, sin m sin n d, cos m cos n d. Gunakan kesamaan : sin m cos n = ½[sin (m+n) + sin (m n)] sin m sin n = -½[cos (m+n) - cos (m n)] cos m cos n = ½[cos (m+n) + cos (m n)] sin cos d = 1/ sin 5 + sin (-) d = 1/10 sin 5 d(5) ½ sin d Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page

4 . Teknik Subtitusi Yang Merasionalkan = - 1/10 cos 5 + ½ cos + c.. a. Integran Yang Memuat Bentuk n a b Gunakan subtitusi u = n a b. Hitung 4d Misalkan u = 4 maka u = 4 dan u du = d sehingga 4d = ( u 4) u.u du = 6 ( u 4 u ) du u u c = 7 ( 4) 7/ + ( 4) 4/ + c.b. Integran Yang Memuat Bentuk a, a, a. Gunakan subtitusi = a sin t, = a tg t dan = a sec t berturut-turut untuk a, a dan a Tentukan d Misalkan = sin t, - / t / maka d = cos t dt dan 4 = 4 4sin t = cos t sehingga Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 4

5 4 d = cost 4sin t = cot g tdt ( cos t) dt = (cosec t 1) dt = - cotg t t + c. Tentukan 4 1 = sin c d 6 Terlebih dahulu bentuk kuadrat diubah menjadi kuadrat sempurna ( + 1) + 5, kemudian misalkan u = + 1 maka du = d sehingga d 6 = du u 5 kemudian misalkan pula u = 5 tg t, - / t / maka du = 5 sec t dt dan u 5 = 5 tg t 5 = 5 sec t sehingga du u 5 5sec t = dt 5sect = sec tdt = ln sec t tgt + c = ln u 5 u c = ln u 5 u - ln 5 + c. Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 5

6 Jadi d 6 = ln 6 ( 1) K. 4. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula. udv uv vdu 1. Tentukan cos d Ambil u = dan dv = cos d maka du = d dan v = sin sehingga cos d = d(sin ) =.sin - sin d =.sin + cos + c.. Hitunglah sin d Jawab sehingga Ambil u = dan dv = sin d maka du = d dan v = - cos sin d = - d(cos ) = - cos + cos d lakukan sekali lagi pengintegralan parsial, sehingga = - cos + d sin = - cos + sin sin d = - cos + sin + cos + c Jadi sin d = - cos + sin + cos + c Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 6

7 Rumus Reduksi Suat rumus yang berbentuk f n () d = g() + f k () d dengan k < n dinamakan rumus reduksi karena pangkat dari f berkurang. sin n1 n sin n d d cos n 1 sin n n (buktikan dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial). 5. Pengintegralan Fungsi Rasional. Fungsi rasional merupakan fungsi hasilbagi dua fungsi polinom (suku banyak) yang ditulis : F() = P( ) Q( ), P() dan Q() fungsi-fungsi polinom dengan Q() 0 untuk semua di domain F. Fungsi rasional dibedakan atas : 1. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. f() =, g() = ( 1) 4 8. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. 5 1 f() = 5 Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 7

8 Fungsi rasional tak sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi rasional sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut f() = = ( ) Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta bahwa fungsi rasional sejati senantiasa dapat ditulis sebagai jumlah fungsi rasional sejati yang sederhana Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Linear Yang Berbeda. Tentukan 5 d Jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berbeda. 5 5 A B C ( 1)( ) 1 maka 5 + = A(+1)(-) + B(-) + C(+1) dengan mengambil nilai = 0, = -1 dan = diperoleh = A(-) maka A = -1 - = B(4) maka B = - ½ 18 = C(1) maka C = /, sehingga 5 d 1 1/ / = d d d 1 1 = - ln - ln 1 ln + c 5.. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Linear Yang Berulang. Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 8

9 Hitunglah ( ) d Jabarkan fungsi rasional atas faktor linear yang berulang. A B ( ) ( ) maka = A(-) + B dengan mengambil = dan = 0 diperoleh B = dan A = 1, sehingga ( = ln ) d 1 d d ( ) = + c 5.. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Linear Yang Berbeda dan Berulang. Tentukan 8 1 d ( )( 1) Jabarkan fungsi rasional menjadi 8 1 ( )( 1) A B C 1 ( 1) Selanjutnya kerjakan sama seperti contoh terdahulu. Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor (a + b) k dalam penyebut maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu A1 A a b ( a b) A... k k ( a b) 5.4. Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Kuadrat Yang Berbeda. Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 9

10 Tentukan 6 1 d (4 1)( 1) Jabarkan fungsi rasional menjadi 6 1 A B C (4 1)( 1) maka = A( + 1) + (B + C)(4+1) Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti biasa dan tentukan harga masing-masing integral pecahan parsial Penjabaran Fungsi Rasional Atas Faktor Kuadrat Yang Berulang. Tentukan 6 15 d ( )( ) Jabarkan fungsi rasional menjadi 6 ( )( 15 ) A B C D E ( ) Selanjutnya tentukan A, B, C, D dan E seperti biasa dan tentukan harga masing-masing integral pecahan parsial. Tri Murdiyanto Teknik Pengintegralan Page 10

dokumen-dokumen yang mirip

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal