BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaag Kombiatoria mempuyai beberapa aspe, yaitu eumerasi, teori graf, da ofigurasi atau peyusua. Eumerasi membahas peghituga susua berbagai tipe. Sebagai cotoh: (i) meghitug bayaya cara memilih artu jatug (heart) dalam satu set artu bridge dalam satu pegambila, (ii) meghitug bayaya cara meyusu 6 siswa elas II salah satu SMA di Yogyaarta e dalam 4 grup atas 4 aggota, (iii) meyusu buu berbeda dega uruta tertetu. Cara palig mudah melaua eumerasi adalah medaftar semua emugia yag terjadi. Utu permasalaha dega cacah bilaga yag ecil tida mejadi masalah, tetapi utu permasalaha yag melibata cacah bilaga yag cuup besar mejadi tida efetif da efisie. Kombiatoria memberia metode utu mempermudah meyelesaia permasalaha tersebut. B. Tujua da Sasara Tulisa ii bertujua memberi gambara bagi para pembaca yag tertari dega masalah ombiatoria, hususya para siswa seolah meegah atas. C. Ruag Ligup Materi yag diberia meliputi: Atura Pejumlaha, Atura Peralia, Prisip Ilusi-Eslusi, Permutasi da Kombiasi, Koefisie Biomial da
Multiomial, Pemiliha dega da tapa pegembalia, Prisip Sarag Merpati, da Relasi Reuresi. D. Pedoma Pegguaa Paet Paet ii dimulai dega pemapara pegertia dasar da sifat-sifatya. Cotoh diberia pada setiap pembahasa pegertia yag disampaia dega pembahasa yag legap. Pembaca diharapa megembaga pemahama materi melalui soal-soal di dalam latiha, sehigga jawaba latiha haya merupaa uci saja. Di sampig itu cotoh da latiha diusahaa memberia gambara pemaaiaya pada beberapa masalah sehari-hari. Dari cotoh da latiha yag dipapara diharapa pembaca dapat megerjaa masalah-masalah sejeis atau yag dapat diselesaia dega materi tersebut.
BAB II PENGERTIAN DASAR Masalah di dalam ombiatoria dapat beraea-ragam. Utu dapat megiuti tulisa ii, diperlua pegertia-pegertia dasar, seperti: himpua, barisa aritmetia da barisa geometri, pembagi perseutua terbesar (great commo divisor / GCD), idusi matematia, da fugsi. Pada bagia ii haya disampaia pegertia fugsi ijetif, fugsi surjetif, da fugsi bijetif. Pegertia bilaga modulo diberia di dalam pembahasa Prisip Sarag Merpati. A. Atura Pejumlaha da Peralia Atura Pejumlaha Prisip ii megambil dasar bahwa jia A,, A, A adalah himpua yag salig asig dega ardial higga da A A i i, maa A A i i.. Atura Peralia Jia suatu peerjaa melibata buah lagah dega sifat utu setiap lagah e-i, i,,3,,, dapat dierjaa dalam i cara maa eseluruha peerjaa dapat dilasaaa dalam cara. Cotoh.:. Seelompo siswa terdiri dari 4 siswa lai-lai da 3 siswa perempua. Berapa bayaya cara memilih satu siswa wail pria da satu siswa wail perempua? 3
Jawab: Ada 4 emugia memilih satu wail siswa lai-lai, da 3 emugia memilih satu wail siswa permpua. Jia dua siswa dipilih, masigmasig siswa lai-lai da siswa perempua, maa bayaya cara pemiliha adalah 4 3.. Perpustaaa "Raji Membaca" mempuyai 6 buah buu berbahasa Iggris, 8 buah buu berbahasa Peracis, da 0 buah buu berbahasa Jerma. Dietahui masigmasig buu mempuyai judul yag berbeda. Berapa bayaya cara memilih a. 3 buah buu yag meliputi tiap bahasa yag berbeda? Jawab: bayaya cara memilih 3 buah buu, masig-masig dari bahasa berbeda, adalah 6 80 480 cara. b. buah buu? Jawab: bayaya cara memilih buah buu adalah 6 + 8 + 0 = 4 cara. 3. Seelompo siswa terdiri dari 4 siswa lai-lai da 3 siswa perempua. Berapa bayaya cara memilih satu siswa dari elompo tersebut? Jawab: Ada 4 emugia memilih satu wail siswa lai-lai, da 3 emugia memilih satu wail siswa permpua. Jia satu siswa dipilih, maa bayaya cara pemiliha adalah 4 + 3 = 7. Latiha.. Jia tiga dadu seimbag yag berbeda dilempara, berapa bayaya emugia aga yag mucul?. Dua dadu berwara merah da putih. Berapa cara utu medapata jumlah aga 9 atau 5? 8 cara 3. Suatu pabri maaa aleg memberi ode pada produya dega ode yag terdiri 3 huruf diiuti 4 aga (misala ABD53). a. Jia huruf maupu aga boleh berulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? 4
b. Jia haya huruf yag dapat diulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? c. Jia haya aga yag dapat diulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? d. Jia aga da huruf tida boleh diulag, berapa baya ode yag dapat dibuat pabri tersebut? Jawaba Latiha.:. 6 3. 8 cara 3. a. (6) 3 0 4 b. (6) 3 0 9 8 7 c. 6 5 4 0 4 d. 6 5 4 0 9 8 7 B. Prisip Ilusi-Eslusi Dasar prisip ilusi-eslusi adalah A Selajutya, prisip () diperluas mejadi B A B A B. () i A i Ai Ai Aj Ai Aj A ( ) Ai. () i i j i j i Dega idusi matematia, tujua peryataa di dalam ()! Cotoh.:. Tetua bayaya bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 atau 7! Jawab: Kataa A adalah himpua bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 da B adalah himpua bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 7. Diperoleh A = {3, 6, 9,, 5, 8,..., 99}, B = { 7, 4,, 8,..., 98}, da 5
A B = {, 4, 63, 84}. Berarti, A = 33, B =4, da A B = 4, sehigga A B = A + B A B = 33 + 4 3 = 44. Jadi bayaya bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 atau 7 adalah 44 bilaga.. Tetua bayaya bilaga bulat positif yag urag atau sama dega ( ) 00 yag habis dibagi 3 atau 4 atau 7! Jawab: Guaa prisip A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. C. Relasi da Fugsi Pembahasa bagia ii haya sebatas yag diperlua utu memahami tulisa di dalam pembahasa beriutya. Diberia himpua ta osog A da B. Relasi R dari A e B adalah atura yag megawaa aggota-aggota A e aggota B. Cotoh.3: Dietahui A = {Tii, Too, Tata, Teteh} da B = {a, i, u, e, o}. Atura yag megawaa aggota A e aggota B diberia dega setiap ama aggota A diawaa dega huruf hidup yag termuat di dalam ama yag bersesuaia. Dega megguaa diagram paah, relasi tersebut dapat digambara dalam Gambar.. Tii Too Tata Teteh a i u e o A Gambar. B 6
Relasi f dari A e B dega sifat bahwa setiap aggota A mempuyai awa tuggal di B disebut fugsi. Selajutya, A disebut domai fugsi f (ditulisa D f ) da B disebut odomai f. Daerah hasil (rage) fugsi f, ditulisa R f, didefiisia dega R f { y / y f ( x), x A, y B}. Peulisa R f diyataa juga seperti beriut R f { y B: y f ( x), x A}. Perhatia bahwa R f B. Jia fugsi f mempuyai daerah hasil sama dega odomai (R f = B), fugsi f diataa surjetif atau oto. Lebih lajut, jia fugsi f mempuyai sifat bahwa setiap aggota R f mejadi awa tuggal aggota A, fugsi f diataa ijetif. Fugsi yag sealigus surjetif da ijetif disebut fugsi bijetif. Pada Cotoh.3, relasi yag diberia pada Gambar. merupaa fugsi, sebab setiap aggota A mempuyai awa tuggal di B. Kataa fugsi tersebut diyataa dega f. Perhatia bahwa R f = {a, i, e, o}. Fugsi tersebut merupaa fugsi ijetif sebab setiap aggota R f mejadi awa tuggal aggota A. Karea R f B, maa fugsi tersebut bua fugsi surjetif. Aibatya, fugsi tersebut bua fugsi bijetif. Cotoh.4: Dietahui A = {Tii, Too, Tata, Teteh} e C = {Lai-lai, Perempua}. Fugsi g dari A e C diberia di dalam diagram paah pada Gambar.! Tii Too Tata Teteh Lai-lai Perempua o A C Gambar. Pada Cotoh.4 ii, fugsi g mempuyai R g = {Lai-lai, Perempua} = C. Berarti g merupaa fugsi surjetif. Namu, perhatia bahwa aggota dari C, yaitu Lai-lai, tida mejadi awa tuggal dari aggota A. Dega demiia, g bua fugsi ijetif. Aibatya, g bua fugsi bijetif. 7
Cotoh.5: Dietahui A = {Tii, Too, Tata, Teteh} e D = {Ta, Te, Ti, To}. Fugsi h dari A e D diberia di dalam diagram paah pada Gambar.3! Tii Too Tata Teteh Ta Te Ti To A Gambar.3 D Fugsi h mempuyai R h = { Ta, Te, Ti, To } = D. Berarti g merupaa fugsi surjetif. Perhatia bahwa setiap aggota aggota R h = D mejadi awa tuggal dari aggota A. Dega demiia, h fugsi ijetif. Aibatya, h fugsi bijetif. Latiha.: Dietahui S = {x : x bilaga bulat di atara -3 da 7}, T = { x : x huruf hidup}, da U = { x : x bilaga bulat positif yag uadratya urag dari 36}.. Buatlah fugsi a. dari S e T! b. dari T e S! c. dari S e U! d. dari T e U!. Dapatah Ada membuat fugsi surjetif a. dari S e T? b. dari T e S? c. dari S e U? d. dari T e U? 8
3. Dapatah Ada membuat fugsi ijetif a. dari S e T? b. dari T e S? c. dari S e U? d. dari T e U? 4. Dapatah Ada membuat fugsi bijetif a. dari S e T? b. dari T e S? c. dari S e U? d. dari T e U? Jawaba Latiha.: a. Bisa 3 a. Tida bisa 4 a. Tida bisa b. Tida bisa b. Bisa b. Tida bisa c. Bisa c. Tida bisa c. Tida bisa d. Bisa d. Bisa d. Bisa 9
BAB III PERMUTASI DAN KOMBINASI SERTA PEMAKAIANNYA A. Permutasi da Kombiasi Pembahasa permutasi da ombiasi medasara pada pegertia fatorial. Utu bilaga asli, didefiisia! 3. Selajutya, didefiisia 0!. Permasalaha permutasi adalah meetua bayaya peyusua yag berbeda dalam pegatura obye-obye. Permutasi merupaa betu husus dari pegguaa atura peralia. Jia bayaya obye yag disusu adalah, maa uruta pertama dipilih dari obye, uruta e- dipilih dari (-) obye, uruta e-3 dipilih dari (-) obye, da seterusya higga uruta e- dipilih dari obye. Dega megguaa atura peralia, bayaya permutasi obye adalah (-)(-) ()() =!. Permutasi r dari eleme, P(, r), adalah bayaya emugia uruta r buah eleme yag dipilih dari buah eleme, dega r, yag dalam pemiliha ii uruta diperhatia. Dalam permutasi susua ab berbeda dega susua ba. Perhatia bahwa pada permutasi r dari eleme,uruta pertama ditempati oleh satu eleme dari eleme, uruta e- ditempati oleh satu eleme dari (-) eleme, uruta e- 3 ditempati oleh satu eleme dari (-) eleme, da seterusya higga uruta e-r ditempati oleh satu eleme dari (-r+) eleme. Dega demiia, bayaya permutasi r dari eleme adalah 0
Jadi! (-)(-) (-r+) =. ( r)!! P(, r). ( r)! Persoala ombiasi C(, r) = adalah meghitug bayaya himpua r bagia dega r eleme yag dapat dibetu dari himpua dega eleme. Dega demiia beberapa himpua dega eleme-eleme sama (mesipu uruta berbeda) merupaa himpua yag sama, sehigga dihitug seali. Perhatia bahwa himpua {a,b} dapat juga ditulisa dega {b, a}. Perhatia bahwa ada sebaya r! buah himpua atas r eleme yag sama. Dega demiia, C(, r) r! = P(, r), sehigga C(, r) = Jadi P(, r)!. r! r!( r)!! C(, r). r r!( r)! Kombiasi C(, r) = dapat juga dipadag sebagai bayaya cara pemiliha r r buah eleme dari buah eleme. Pada ombiasi uruta tida diperhatia, ab dipadag sama dega ba. Hal petig yag perlu diperhatia adalah peyusua dilaua dalam suatu deret atau dalam ligara. Dalam peyusua dalam ligara, dua pegatura atau lebih
diataa sama jia uruta di sebelah iri da aa tida berubah. Jadi etiga pegatura di Gambar 3. adalah sama. A B C A B C C B A Gambar 3. Perluasa permutasi da ombiasi diberia sebagai beriut. Dietahui obye terdiri dari item dega cacah masig-masig item berturut-turut adalah item pertama, item e-dua,, item e-. Bayaya cara pegatura! obye tersebut adalah.!!! Perhatia bahwa!!! P( ;,!,, ) C( ;,,, ). Cotoh 3.:. Seorag pelatih volley aa memilih pemai-pemai di dalam tim utama, tapa memperhatia omposisi pemai, yag aa diturua dalam suatu pertadiga. Ada orag yag dapat dipilih. Berapa cara tim yag dapat dibetuya? Jawab: Dalam pemiliha ii tida diperhatia omposisi pemai, sehigga bayaya cara adalah = 94 cara. 6. Dalam suatu acara pariwisata e pulau Bali, 0 orag bermiat ai bus I. Bus I haya diijia utu 40 peumpag da teryata sudah ada 3 orag di bus I. Berapa baya cara memilih 8 orag yag dapat ai di bus I?
Jawab: Dari 0 orag dipilih 8 orag. Jadi bayaya cara memilih adalah 3. Dalam suatu perlombaa meggambar hadir 5 peserta. Paitia haya igi 0. 8 megambil 3 pemeag saja. Berapa baya cara memilih 3 pemeag dari peserta tersebut utu diberi gelar juara I, II, da III? Jawab: Perhatia bahwa dalam masalah ii uruta diperhatia, area seseorag mejadi juara I da juara II tidalah sama. Jadi bayaya cara melaua pemiliha adalah P(5, 3) = 730 cara. 4. Suatu elompo terdiri dari 7 pria da 3 waita. Ada berapa cara berbaris yag mugi jia etiga waita tersebut harus berdiri bersebelaha satu sama lai? Jawab: Cara megatur waita utu selalu berbaris bersebelaha adalah 3! = 6 cara. Dega demiia, bayaya cara berbaris dega syarat etiga waita selalu bersebelaha adalah 6(8!) = 490 cara. Latiha 3.. Tujua bahwa utu bilaga bulat r, 0 r, berlau. r r. Tujua bahwa utu bilaga bulat positif r, r, berlau. r r r 3. Suatu omite dibetu utu megawasi pelasaaa pemiliha preside. Komite tersebut beraggotaa 8 orag. Jia tersedia orag waita da 5 orag pria, berapa baya cara peyusua omite jia a. omite terdiri dari 4 pria da 4 waita? b. palig sediit pria di dalam omite tersebut? c. omite mempuyai aggota pria lebih baya daripada aggota waita? 4. Sepuluh Perdaa Meteri egara peghasil miya di duia dudu dalam rapat meja budar di Kuwait. Sebuah ursi tertetu sudah ditadai utu Perdaa Meteri 3
Kuwait. Berapa baya cara peyusua tempat dudu utu esepuluh perdaa meteri tersebut? 5. Ada pelamar sedag atri wawacara tahap I utu suatu peerjaa tertetu. Pada tahap ii haya selesi admiistratif sehigga wawacara dilaua r pelamar dapat masu sealigus utu didudua dalam ursi berbetu ligara dega r ursi. Berapa bayaya cara pemiliha r pelamar tersebut utu wawacara yag dilaua dalam sususa ligara? 6. Perhatia papa catur 5 5 dega atura tambaha yag meyataa: "Suatu bida haya boleh bergera e aa da e atas saja". Jia bida tersebut ditempata di diagoal iri bawah, berapa bayaya cara yag dapat dilaua utu membawa bida e diagoal atas aa? 7. Berapa baya cara meyusu ata berdasara huruf-huruf di dalam ata "COMMITTEE"? 8. Diberia ertas aa diwarai sehigga 3 berwara hijau, berwara merah, 5 berwara uig, da sisaya biru. Berapa bayaya cara pewaraa? 9. Dietahui A = {,, 3,, m} da B = {p, q}. Berapa bayaya a. fugsi yag dapat dibuat dari A e B? b. fugsi surjetif yag dapat dibuat dari A e B? c. fugsi tida surjetif yag dapat dibuat dari A e B? d. fugsi ijetif yag dapat dibuat dari A e B? e. fugsi bijetif yag dapat dibuat dari A e B? 0. Berapa bayaya bilaga bulat positif yag merupaa fator 30030? (Jawab: 6 ). Sepuluh siswa, termasu Too da Tia, megumpula tugas membuat lipig ebersiha ota. Berapa cara yag dapat dilaua agar supaya lipig mili Too da Tia tertetu tida beruruta?. Butia bahwa 0. 4
5 Jawaba Latiha 3.: Haya diberia utu omor geap! 4. Bayaya cara peyusua tempat dudu adalah 9! = 36880. 6. Ada 5 0 = 5 cara. 8. Ada!!!!!!! = 386 cara pewaraa. 0. Ada 6 = 64. B. Koefisie Biomial da Multiomial Pada ombiatoria, oefisie Biomial dapat diturua megguaa ombiasi. Perhatia rumus Biomium Newto. 0 0 o o b b a b a b a a b a b a b a b a b a b a. Permasalaha yag dapat diturua dega megguaa oefisie biomial disebut masalah biomial da proses peuruaya disebut proses biomial. Terait dega oefisie biomial adalah Segitiga Pascal. Selajutya, oefisie biomial diperluas mejadi oefisie multiomial berdasara prisip multiomial. q q q q q q x x x q q q x x x!!!!. Cotoh 3.:. Berapa oefisie. y 3 x dalam pejabara 5 y x? Jawab:. 0 0!3! 5!
3. Berapa oefisie x y 3 dalam 4y 5 3 5! Jawab: ( 4) ( 64)0 640.!3! 4. Berapa oefisie x y z 3 x? dalam 6 6! Jawab: () 3 ( ) ( 8)(60) 480.!3!! x y z? C. Pemiliha dega atau tapa pegembalia Pemiliha beberapa obye dari eseluruha obye yag tersedia dapat dilaua dega memberia syarat:. pegembalia (sesudah megambil diembalia lagi). Pemiliha dega cara ii memugia obye yag sudah terpilih dapat terpilih lagi.. tapa pegembalia (sesudah megambil tida boleh diembalia lagi). Jadi yag sudah terambil tida aa terpilih lagi. Beriut diberia cotoh permasalaha yag megguaa prisip ii. Suatu ota berisi 5 buah bola berwara merah, 3 buah bola berwara biru, da 4 buah bola berwara hijau. Diambil 3 buah bola dari ota tersebut. Tetua bayaya cara utu medapata bola dega etiga wara tersebut jia pemiliha dilaua a. satu-persatu dega pegembalia. b. sealigus. Teorema 3.: Bayaya pemiliha ta beruruta sebaya r dari yag memperboleha pegulaga adalah r. r 6
Buti: Pada pembutia, yag dimasud xi 0s adalah 000 dega bayaya ompoe 0 adalah x i. Sebarag pemiliha aa terdiri dari x pemiliha obye pertama, x pemiliha obye edua, da seterusya dega x x x r. Dega demiia, bayaya pemiliha adalah bayaya peyelesaia bilaga bulat o-egatif persamaa x x x r. Peyelesaia x,, x, x dapat diyataa dalam barisa bier: x 0 s, x 0 s,, x 0 s. Aga meujua suatu perpidaha dari satu obye e obye beriutya. Sebagai cotoh, peyelesaia x, x 0, x, x dari x x x x 5 3 4 berorespodesi dega barisa bier 00000. Pada 3 4 x x x r, terdapat (- )s da r0s, sehigga setiap barisa mempuyai pajag +r- yag memuat tepat r buah digit 0. Perhatia bahwa, r buah digit 0 dapat berada di +r- tempat, sehigga bayaya pemiliha ta beruruta dega pegembalia diperboleha adalah r, yaitu bayaya cara memilih r tempat dari +r-. r Aibat 3.: Bayaya peyelesaia bilaga bulat ta egatif persamaa x x x r r adalah. r Cotoh 3.3:. Bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 0 adalah 3 0. 0 0 3. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 0, dega x 0? 3 7
* Jawab: Karea x 0, berarti x 0. Dega megambil x x, maa * masalah mejadi x x x 9. Dega demiia, bayaya bilaga bulat 3 3 9 yag dicari adalah. 9 9 3. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 0, dega 0 x 9? 3 Jawab: Jawaba adalah ilai di jawaba soal o diuragi ilai dari cacah peyelesaia bulat ta egatif dega syarat x 9. Latiha 3.. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x x 5? 3 4. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x x x 5 dega syarat x da x 0? 4 3 3. Berapa bayaya peyelesaia bulat ta egatif dari x y z 0 dega syarat x, y, da z 3? 4. Berapa bayaya cara meyusu 8 tada + da 3 tada dalam suatu baris sehigga tida ada tada yag berdampiga? Jawaba Latiha 3.:. Ada 3.76 buah peyelesaia.. Ada 36 buah peyelesaia. 3. Ada 0 buah peyelesaia. 4. Ada 84 cara. 8
BAB IV PRINSIP SARANG MERPATI ( PIGEONHOLE PRINCIPLE) Prisip ii haya diguaa utu meujua adaya item (obye) dega sifat tertetu, bua utu meemua obyeya atau bayaya obye dega sifat yag telah ditetua. Prisip ii mempuyai 3 versi, yaitu: Betu I: sebaya r merpati masu e dalam sagar, dega r >, maa terdapat palig sediit satu sagar yag terisi dua eor atau lebih merpati. Betu II: Jia f adalah fugsi dari himpua berhigga X e himpua berhigga Y da X > Y, maa terdapat x x, x, dega f x ) f ( )., x ( x Pada betu II, X meyataa himpua merpati da Y meyataa himpua sagar. Pada betu III beriut, yag dimasud dega yag lebih ecil dari m. m adalah bilaga bulat terbesar Betu III: Jia f adalah fugsi dari himpua berhigga X e himpua berhigga Y dega X =, Y = m, da =, maa terdapat x x x x x X m,,,, dega f x ) f ( x ) f ( x ). ( Permasalaha megguaa prisip ii memerlua pealara yag cuup disampig pegertia fugsi. Pegertia lai terait dega permasalaha ii adalah pegertia modulo. Dua bilaga bulat x da y diataa ogrue modulo, ditulisa x y (mod ), jia x y habis dibagi. 9
Catata: x y (mod ) dibaca x ogrue dega y modulo. Sifat 4.: Utu setiap bilaga bulat x, y, da z berlau (i) x x(mod ). (ii) jia x y (mod ) maa y x (mod ). (iii) jia { x y (mod ) da y z (mod )}, maa x z (mod ). Cotoh 4.: Tujua bahwa peryataa beriut bear: Dari 5 buah bilaga bulat, maa terdapat buah bilaga yag jumlah atau selisihya habis dibagi 00. Jawab: Kataa a, a,, a 5 adalah 5 buah bilaga bulat yag dimasud. Dicari bilaga bulat i da j dega i j 5 dega sifat habis dibagi 00. a i + a j atau a i a j Kataa r i a i (mod 00). Dega ata lai, r i adalah sisa pembagia a i oleh 00. Berarti a i = q i 00 + r i utu suatu q i Z, utu i =,,, 5. Didefiisia s i ri 00 ri, r, r i i 50 50. Ada 50 + = 5 emugia ilai s i, yaitu 0,,,, 50. Karea ada 5 buah bilaga bulat, maa ada i da j dega i j da i s j ri rj atau si ri da Perhatia bahwa terdapat q i,q j Z, s 00 r s j i 00 r 00 r. j j a i = q i 00 + r i a j = q j 00 + r j 0
Jia s i = r i = r j = s j, berarti a i = q i 00 + r i a j = q j 00 + r j = q j 00 + r i sehigga a i - a j habis dibagi 00. Jia s i = s j, dega 00 r i = 00 r j, maa r i r j = 0. Aibatya, a i - a j = (q i q j ) 00. Jadi a i - a j habis dibagi 00. Jia s i = r i, dega s j = 00 r j. Karea s i = s j, maa r i = 00 r j r i + r j = 00. Aibatya, a i + a j = q i 00 + r i + q j 00 + r j = (q i + q j + ) 00. Jadi a i + a j habis dibagi 00. Latiha 4.. Butia Sifat 4.!. Dietahui buah bilaga bulat. Tujua bahwa ada salah satu atau jumlah beberapa bilaga tersebut habis dibagi! 3. Diambil (+) aggota dari himpua A = {,, 3,, }. Tujua bahwa a. terdapat x, y A dega x, y relatif prima! b. Terdapat x, y A dega x y atau y x! 4. Dua puluh lima team bola baset memasui turame yag aa berlagsug 0 hari. Tujua bahwa pada ahir hari e-4, palig sediit satu dari dua puluh lima team memaia sebaya geap pertadiga! 5. Jia ada 3 orag yag meghadiri ulag tahu Pa Adi yag e-40, maa tujua bahwa palig sediit terdapat orag yag mempuyai bula elahira yag sama! 6. Dalam satu elompo yag terdiri dari 0 orag, maa tujua terdapat dua umur yag jumlah atau selisihya habis dibagi 6.
7. Tujuh buah bilaga diambil dari bilaga sampai dega, maa tujua terdapat dua bilaga yag jumlahya 3. 8. Dipilih 8 buah bilaga bulat positif, tujua terdapat bilaga yag mempuyai sisa pembagia yag sama saat dibagi 7! 9. Diberia sebelas buah bilaga bulat berbeda. Butia bahwa dua di atara bilaga-bilaga tersebut memilii selisih yag merupaa elipata 0!
BAB V RELASI REKURENSI Peulisa barisa bilaga {a } dapat diberia dalam 3 (tiga) cara, yaitu: (i) cara medaftar Beberapa aggota didaftar dega memperhatia bahwa tida boleh terjadiya eragua utu peetua suu-suu beriutya. Cotoh 5.:{ a } = {3, 5, 7, } belum memberia gambara yag jelas utu peetua suu e-4. Hal ii disebaba perbedaa persepsi yag mugi terjadi megeai barisa tersebut. Barisa tersebut dapat ditafsira sebagai barisa bilaga prima dimulai dega 3 atau dapat juga ditafsira sebagai barisa bilaga bulat positif gajil mulai 3. Jia yag dimasud adalah barisa bilaga gajil atas bilaga bulat positif mulai 3, maa barisa tersebut aa ditulisa { a } = {3, 5, 7, 9, }. (ii) cara esplisit Pada cara ii, suu e-, a, diberia secara esplisit. Barisa { a } pada Cotoh, dapat diyataa secara esplisit, yaitu barisa dega a. (iii) cara reuresi Suu e-, a, tida lagi diberia secara esplisit tetapi diberia dalam perumusa yag memafaata satu atau beberapa suu sebelumya. Peulisa barisa pada Cotoh, secara reuresi dapat ditulisa sebagai beriut a 3, a a,. Pada umumya, perumusa reuresi lebih mudah da lebih sederhaa. Selajutya, dari perumusa reuresi dega peurua suu-suuya 3
diperoleh perumusa esplisitya. Permasalaha terait dega perumusa reuresi yag serigali mucul adalah masalah meara Haoi da barisa Fiboaci. Perhatia barisa,,, 3, 5, 8, 3,,. Barisa tersebut dieal sebagai barisa Fiboacci yag mempuyai perumusa reuresi f f f, f f. Permasalaha yag mucul di dalam relasi reuresi adalah meetua perumusa esplisit suu e- dari barisa yag bersesuaia. Peetua rumus esplisit dapat dilaua dega cara melaua peurua e suu yag lebih redah, sehigga dapat diguaa suu-suu yag dietahui. Cara ii dieal dega cara bacward. Utu eperlua cara bacward ii, pada umumya, diperlua jumlaha -buah suu pertama barisa/deret aritmetia atau geometri. Beberapa deret yag serig diguaa, di ataraya adalah: ( ) 3 4. 3 4 ( )( 6 a ar ar a ar ar ar ar 3 3 ). a( r ) ar, utu r <. r a( r ) ar, utu r >. r Cotoh 5.: Salah satu cotoh tereal persamaa reuresi adalah Permasalaha Meara Haoi. Meurut legeda, ada sebuah uil Budha yag di dalamya terdapat 3 buah tiag berdiameter ecil terbuat dari permata, ataa tiag A, B, da C. Ada 64 buah caram dega uura diameter berbeda-beda di tiag A, tersusu dari bawah e atas dari diameter terbesar e terecil. Permasalahaya adalah memidaha caram-caram tersebut e tiag C dega batua tiag B dega syarat sebagai beriut: pemidaha haya boleh dilaua satu-persatu (tida boleh 4
memidaha beberapa caram sealigus), da pada setiap eadaa, caram yag berdiameter lebih ecil harus berada di atas caram berdiameter lebih besar. Berapa bayaya lagah yag ditempuh utu memidaha caramcaram dari tiag A e tiag C tersebut? Jawab: Jia dietahui cara memidaha (-) caram dari satu tiag e tiag lai (dega tetap memeuhi syarat yag ada), maa cara palig efisie utu memidaha buah caram dari tiag A e tiag C adalah sebagai beriut. Lagah I: pidaha (-) buah caram dari tiag A e tiag B. Jia >, perlu dilaua sejumlah proses utu memidaha caram satu-persatu. Karea megguaa metode reursif, proses-proses tersebut tida perlu dirisaua. Lagah II: pidaha caram yag terleta palig bawah dari tiag A e tiag C. Lagah III: pidaha (-) buah caram dari tiag B e tiag C. Laua seperti lagah I. Kataa m meyataa bayaya lagah miimal utu memidaha buah caram dari satu tiag e tiag lai. Perhatia bahwa m tida tergatug oleh asal da tujua tiag ataupu bayaya caram yag terleta di bawah buah caram yag dipidaha tersebut. Lagah I memerlua m ali perpidaha. Lagah II memerlua ali perpidaha. Lagah III memerlua m ali perpidaha. Jadi eseluruha perpidaha miimal adalah m m m m. 5
Syarat (odisi) awal terjadi jia = (jumlah lagah miimal utu memidaha buah caram dari tiag A e tiag C). Jadi haya diperlua diperlua ali perpidaha, atau m =. Dega demiia diperoleh persamaa reursif Utu memidaha m m m. buah caram, diperlua sebaya m m () 3 lagah. 3 buah caram, diperlua sebaya m m (3) 7 lagah. 3 4 buah caram, diperlua sebaya m m (7) 5 lagah, da 4 3 seterusya. Ahirya utu memidaha 64 buah caram, dihitug m 64. Persamaa esplisit permasalaha Meara Haoi adalah sebagai beriut: m dega m =. m = (m ) m 3 = (m ) m 3 4 3 = m =. 4 3 3 = m ( ) 3 = m 3 = ( ) =,. Searag dega idusi matematia ditujua bahwa utu bilaga Asli, m Perhatia bahwa utu =, m =. 6
Jia rumus bear utu, yaitu m bear, maa m ( ). m Berarti rumus bear utu +. Jadi terbuti bahwa m utu. Dega demiia, m ( 64 ). 64 Latiha 5.. Diberia suatu barisa {a } dega a a. Tetua a 998! a. Pada barisa Fiboacci tujua bahwa f f f! 3. Pada peyimpaa uag di ba, biasaya ba memberia buga yag dihitug per tahu, ataa i. Jia buga diberia per periode tertetu da dalam satu tahu ada m ali periode, maa besarya buga per periode adalah i m. Utu, P meyataa jumlah tabuga pada ahir periode e-. Jia P o meyataa besar tabuga mula-mula, Nyataa P a. megguaa rumus reuresi! b. Megguaa rumus esplisitya! 4. Seorag pejahit, yag sagat gemar memotog ai, mempuyai sepuluh potog bagia. Dia memutusa utu memotog beberapa dari potogapotoga ii mejadi masig-masig sepuluh potog. Lalu dia memotog beberapa dari potoga-hasil mejadi masig-masig sepuluh potoga. Lalu dia memotog beberapa dari potoga-hasil masig-masig mejadi sepuluh potoga. Dia melajuta cara ii sampai dia ahirya lelah da berheti. Dia mulai meghitug jumlah total potoga ai yag searag dimiliiya; setelah beerja beberapa meit dia meetapa jumlah 984. Butia bahwa hitugaya salah! 7
5. Dari satu buah bujursagar dapatah ada medapata 993 bujursagar? Jawaba Latiha 5.. a a 998. a i 3. a. P P utu. m i b. P Po utu. m 5. Tida bisa. (Petuju: 993 tida merupaa jumlaha deret geometri dega suu awal da rasio 4). 8
BAB IV PENUTUP Permasalaha ombiatoria di dalam olimpiade matematia di satu egara dega egara yag lai sagatlah beragam. Pada umumya, permasalaha berada di seitar permutasi, ombiasi da gabuga eduaya. Di Idoesia, masalah di seitar permutasi da ombiasi medomiasi permasalaha ombiatoria, bai di tigat propisi maupu di tigat asioal. Di Colorado persoala ombiatoria medomiasi permasalaha olimpiade matematia di egara tersebut. Permasalaha di egara ii lebih baya terait dega Prisip Sarag Merpati. Di Kaada prosetase masalah ombiatoria sagat ecil. Di Sigapura prosetase masalah ombiatoria sedag dega materi yag megaita bilaga Bell da Stirlig disampig pegertia di seitar permutasi da ombiasi. Pada umumya prisip ombiasi da permutasi dega cepat dapat diuasai. Sebaiya disadari bahwa baya permasalaha yag merupaa gabuga dari permasalaha ombiasi da permutasi, tida berdiri sediri-sediri. Selai itu, perlu diperhatia permasalaha yag merupaa permasalaha multiomial. Pada permasalaha multiomial perlu diperhatia apaah diperboleha adaya pegulaga atau tida. Baya masalah tida dapat lagsug diselesaia dega rumus-rumus yag tersedia, tetapi merupaa gabuga dari beberapa rumus. Dega demiia, pemahama soal mejadi bagia petig yag tida boleh ditiggala. Selai pealara mejadi dasar yag petig, etelitia da etagguha (daya juag) merupaa usur yag tida boleh dilepasa. Baya masalah yag diberia dalam soal cerita yag aga pajag, demiia juga dega peyelesaiaya. Dega demiia, diperlua pemahama, etelitia, da etahaa berpiir. Ketagguha yag bai aa membuat tida segera meyerah dega soal yag diberia. Usur etelitia sagat membatu meyelesaia soalsoal dega peurua yag cuup pajag. 9
DAFTAR PUSTAKA Pustaa peduug yag membahas materi ombiatoria baya diberia dalam buu matematia disrit. Beriut diberia tiga buah buu yag dapat diguaa sebagai acua pemahama materi-materi di atas. Aderso, I., 00, A First Course i Discrete Mathematics, Lodo: Spriger- Verlag Lodo Limited. Cohe, D.I.A, 978, Basic Techiques of Combiatorial Theory, New Yor: Joh Wiley ad Sos. Johsobaugh, R., 997, Discrete Mathematics, Iteratioal Editio, Fourth Editio, New Jersey: Pretice Hall Iteratioal. 30
Lampira Cotoh Soal Selesi Bidag Kombiatoria Pejelasa: Notasi meyataa bayaya cara memilih usur dari suatu himpua dega usur. BAGIAN PERTAMA. Suatu delegasi yag terdiri dari 5 orag aa dibetu dari 0 siswa lai-lai da 8 siswa perempua. Bayaya piliha tim yag dapat dibetu yag memuat palig sediit siswa perempua adalah.... Sebuah elas terdiri dari 30 siswa. Di elas tersebut siswa meyuai matematia, 4 meyuai biologi, 3 meyuai imia, 5 siswa meyuai matematia da biologi, 7 siswa meyuai biologi da imia, da 4 siswa meyuai matematia da imia. Kemudia 4 siswa tida meyuai satu pu dari etiga matapelajara itu. Bayaya siswa yag meyuai matematia, biologi, da imia adalah... 3. Bayaya peyelesaia bilaga asli bagi pertidasamaa a b c d adalah... 00 4. 004 0 =... 3
5. Baya titi miimal yag harus diambil dari sebuah persegi dega pajag sisi, agar dapat dijami seatiasa terambil dua titi yag jara atara eduaya tida lebih dari adalah... 6. Diberia hubuga reursi a a, ( 0), a. 3 o Betu esplisit utu a adalah... 7. Seeor semut berjala dari titi asal oordiat O(0, 0) e titi P(4, 5). Semut tersebut haya berjala pada arah horisotal e aa da vertial e atas saja. Berapa baya cara yag dapat ditempuh semut tersebut dari titi O e titi P? BAGIAN KE-DUA. Diberia sebelas buah bilaga berbeda. Butia bahwa dua di atara bilagabilaga tersebut memilii selisih yag merupaa elipata 0.. Butia bahwa o. 3