Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak

Transkripsi

1 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017, Hal p-issn: ; e-issn: X Halama 453 Kovolusi pada Distribusi dega Support Kompa Cythia Tri Octaviati, Fitria Khasaah Pedidia Matematia, Uiversitas Wisuwardhaa Malag Ifo Artiel Riwayat Artiel: Diterima: 15 Mei 2017 Direvisi: 1 Jui 2017 Diterbita: 31 Juli 2017 Keyword: ovolusi support support ompa fugsioal distribusi ABSTRACT (10 PT) Matematia adalah ilmu pegetahua yag sagat petig dalam ehidupa sehari-hari Teori distribusi merupaa caupa dari matematia aalisis fugsioal Pada Teori distribusi diberia defiisi megeai support, support ompa da distribusi Dapat didefiisia distribusi dega support ompa Beriut diberia defiisi support Diberia himpua terbua X da fugsi f: X R, support fugsi f, ditulis supp f, adalah losur dari himpua {x X: f(x) 0} Selajutya fugsi f diataa mempuyai support ompa jia supp f merupaa himpua ompa Notasi C c ( ) meyataa eluarga fugsi aggota C ( ) yag mempuyai support ompa, da otasi C c ( ) meyataa eluarga fugsi aggota C ( ) yag mempuyai support ompa Fugsioal Liear Kotiu f: C c ( ) R disebut distribusi Dega demiia fugsioal liear T pada C c ( ) disebut distribusi jia utu setiap {φ j } C c ( ) overge e 0 C c ( ), beraibat {T, φ j } 0 Himpua semua distribusi pada diotasia dega D atau D ( ) da ruag distribusi yag mempuyai support ompa pada diotasia dega E atau E ( ) Diberia defiisi ovolusi Jia u D ( ) da φ D ( ), maa u φ(x) = u y, φ(x y) Defiisi tersebut dapat diguaa pula jia u E ( ), φ C ( ) Kovolusi dapat dioperasia pada distribusi dega support ompa Copyright 2017 SI MaNIs All rights reserved Correspodig Author: Third Author, Departemet of Mathematics, UIN Maulaa Mali Ibrahim Malag, Jl Gajayaa No 50 Malag, Jawa Timur, Idoesia cythiaocta3@gmailcom, fitria_ha@yahoocom 1 INTRODUCTION The Matematia adalah ilmu pegetahua yag sagat petig dalam ehidupa sehari-hari Teori distribusi merupaa caupa dari matematia aalisis fugsioal Dalam matematia (da, hususya, aalisis fugsioal) ovolusi adalah operasi matematia pada dua fugsi (f da g); Itu meghasila fugsi etiga, yag biasaya dipadag sebagai versi modifiasi dari salah satu fugsi asli, memberia itegral dari peralia titi bali dari dua fugsi tersebut sebagai fugsi dari jumlah yag salah satu fugsi asli diterjemaha Kovolusi mirip dega orelasi silag Ii memilii apliasi yag mecaup probabilitas, statisti, visi omputer, pemrosesa bahasa alami, pemrosesa gambar da siyal, reayasa, da persamaa diferesial[1] Distribusi (atau fugsi umum) adalah obje yag meggeeralisasi gagasa lasi tetag fugsi dalam aalisis matematis Distribusi memugia utu membedaa fugsi yag derivatifya tida ada Secara husus, fugsi itegrable loal memilii derivatif distribusi Distribusi baya diguaa dalam teori persamaa diferesial parsial, di maa mugi lebih mudah utu meetapa adaya solusi distribusi Distribusi juga petig dalam fisia da tei dimaa baya masalah secara alami megarah pada persamaa diferesial yag solusiya atau odisi awalya adalah distribusi, seperti fugsi delta Dirac Meurut Lama Prosidig:

2 Halama 454 p-issn: ; e-issn: X otobiografiya, Lauret Schwartz(1940) mempereala istilah "distribusi" dega aalogi dega distribusi muata listri Ide dasar dalam teori distribusi adalah meafsira ulag fugsi sebagai fugsi liier yag beerja pada ruag fugsi test Ada berbagai emugia piliha utu ruag fugsi test, yag megarah e ruag distribusi yag berbeda Ruag dasar fugsi test terdiri dari fugsi smooth dega support ompa, yag megarah e distribusi stadar Dari sii aa diberia ovolusi pada distribusi dega support ompa 2 RESEARCH METHOD Peelitia ii bertujua utu memberia ilmu pegetahua di bidag matematia aalisis yaitu Aalisis Fugsioal yag beraita dega ovolusi pada distribusi dega support ompa Adapu lagah-lagah peelitia ii adalah : 1 Memberia defiisi da sifat distribusi da distribusi dega support ompa 2 Memberia defiisi da sifat Kovolusi distribusi dega support ompa 3 RESULTS AND ANALYSIS 31 Distribusi da Distribusi dega support Kompa Himpua D diataa terpisah (discoected) jia terdapat himpua terbua ta osog A, B, dega A D da B D salig asig da gabugaya mejadi D Selajutya A da B disebut discoectio D sedaga himpua yag tida terpisah disebut himpua terhubug (coected) Himpua Ω, himpua Ω disebut domai jia himpua Ω terbua da coected Keluarga himpua terbua G = {G i : i I, I himpua ides} disebut liput terbua (ope cover) himpua K, jia K G i G i G Dietahui G liput terbua K i Liput terbua G disebut liput terbua berhigga, jia baya aggota G berhigga ii Keluarga himpua H disebut liput bagia (sub cover) G, jia H G da H merupaa liput K Defiisi 3,11 (Himpua Kompa) Himpua K diataa ompa jia utu setiap liput terbua K mempuyai liput bagia yag baya aggotaya berhigga (fiite sub cover) Dega demiia himpua K ompa jia da haya jia utu setiap liput terbua G utu K, terdapat G 1, G 2,, G p G sehigga p K G i Himpua K diataa terbatas jia terdapat sel I dega K I Sedaga himpua K ompa jia da haya jia K terbatas da tertutup [3] Diberia Ω himpua ta osog, olesi semua himpua bagia dari Ω disebut himpua uasa (power set) da biasa ditulisa dega P(Ω) atau 2 Ω Diberia X himpua ta osog Kolesi A 2 X disebut aljabar-σ pada X, jia memeuhi sifatsifat : i A, ii Jia A A maa A c A, iii Jia {A } A maa =1 A A Himpua I da I = [a i, b i ] dega [a i, b i ] sel utu setiap i Volume dari I ditulisa I, dega I = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b a ) = (b i a i ) Himpua E Uura luar dari E, ditulisa μ (E), dega =1 =1 } μ (E) = if{ I : I sel, E I Himpua E da μ (E) uura luar dari E, maa μ (E) 0 Jia μ uura luar, maa μ ( ) = 0 Selajutya jia A, B, dega A B, maa μ (A) μ (B) Jia {A i } utu setiap 1 i <, maa μ ( A i ) μ (A i ) Defiisi 312 (Himpua Teruur) Himpua A diataa teruur jia μ (E) = μ (E A) + μ (E A c ) Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017:

3 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Halama 455 Utu setiap E Karea E = (E A) (E A c ), diperoleh μ (E) = μ (E A) + μ (E A c ) Dega demiia utu membutia himpua A teruur, cuup dega membutia μ (E) = μ (E A) + μ (E A c ) Himpua A Jia A teruur maa A c teruur da himpua A, B Jia A da B teruur maa A B, A B teruur Aibatya Jia E 1, E 2, E 3,, E teruur, maa E i da E i teruur Jia E 1, E 2, E 3,, E teruur da salig-asig maa utu setiap A berlau μ (A ( E i ) = μ (A E i ) Jia E 1, E 2, E 3,, E teruur da salig-asig maa utu setiap A berlau μ (A ( E i ) = μ (A E i ) Jia E 1, E 2, E 3,, E teruur da salig-asig maa μ ( E i ) = μ (E i ) Jia E 1, E 2, E 3,, E teruur maa E i teruur Kolesi semua himpua teruur pada diotasia m Jia μ uura luar pada himpua ta osog, maa m merupaa aljabar-σ Defiisi 313 (Uura) Dietahui A merupaa aljabar-σ Fugsi μ: A R, disebut uura, jia μ memeuhi sifat-sifat : i μ(a) 0 utu setiap A A, ii μ( ) = 0 iii μ( A i ) = μ(a i ) utu setiap barisa {A i } A dega A i A j =, i j Jia μ uura luar pada maa fugsi μ: m R, dega μ(e) = μ (E) utu setiap E m, merupaa uura Jia E himpua teruur, f: R fugsi, da sebarag α R, maa peryataa-peryataa beriut euivale : i {x E f(x) > α} teruur ii {x E f(x) α} teruur iii {x E f(x) < α} teruur iv {x E f(x) α} teruur Ruag uura (, m, μ) da E himpua teruur Fugsi f: R diataa teruur pada E jia salah satu peryataa di atas terpeuhi Diberia (, m, μ) ruag uura da E m Suatu sifat P diataa berlau hampir di maamaa pada E, jia terdapat himpua teruur A E dega μ(a) = 0 sehigga sifat P berlau utu setiap x E A Diberia himpua A, fugsi arateristi χ A : R didefiisia dega 1, jia t A χ A = { 0, jia t A fugsi χ A teruur jia da haya jia A teruur Defiisi 314 (Fugsi Sederhaa) Fugsi s: R disebut fugsi sederhaa jia terdapat b 1, b 2,, b R da himpua teruur E 1, E 2, E 3,, E sehigga s = b i χ Ei dega χ Ei fugsi Karateristi dari E i Selajutya utu E i E j =, i j da b i = b j, i j maa b i χ Ei sebagai represetasi aoi Diberia ruag uura (, m, μ), fugsi f: R, g: R da E teruur Jia f teruur pada E da f = g hampir dimaa-maa pada E maa g teruur pada E Defiisi 315 (Itegral Lebesgue) Diberia ruag uura (, m, μ) ruag uura Lebesgue, E, da fugsi sederhaa φ: E R berbetu aoi, yaitu φ = c i χ Ei Bilaga φ = c i μ(χ Ei ) E disebut itegral Lebesgue fugsi sederhaa φ pada E Defiisi 316 (Ruag L p (, m, μ)) Kovolusi pada Distribusi dega Support Kompa

4 Halama 456 p-issn: ; e-issn: X Diberia ruag uura (, m, μ), utu 1 p <, L p (, m, μ) adalah himpua semua fugsi teruur f: R dega f p dμ < Kolesi L p (, m, μ)merupaa ruag berorma terhadap orma Utu f L p (, m, μ), 1 p < [3], [5] Fugsi φ : A C, φ = (φ 1, φ 2 ) diataa mempuyai derivatif parsial terhadap peubah e- da φ 2(c) ada Lebih lajut m di cεa, jia φ 1(c) f p = ( f p dμ ) φ (c) 1 p = φ 1(c) + i φ 2(c) Lebih lajut utu 1, 2,, bilaga bulat o egatif, pasaga = ( 1, 2,, ) disebut multi ides berdimesi Kemudia didefiisia = da D = = x x Sehigga fugsi φ diataa mempuyai derivative parsial higga ali jia φ (x) = φ 1 (x) φ 2 (x) + i x x x Kolesi semua fugsi φ: R sehigga D α φ C( ) utu setiap multi ides α yag urag atau sama dega diotasia dega C ( ) Selajutya olesi semua fugsi φ: R sehigga D α φ C( ) utu setiap multi ides α diotasia dega C ( ) Defiisi 317 (Support) Diberia himpua terbua X da fugsi f: X R Support fugsi f, ditulis supp f, adalah losur dari himpua {x X: f(x) 0} Selajutya fugsi f diataa mempuyai support ompa jia supp f merupaa himpua ompa Notasi C c ( ) meyataa eluarga fugsi aggota C ( ) yag mempuyai support ompa, da otasi C c ( ) meyataa eluarga fugsi aggota C ( ) yag mempuyai support ompa Defiisi 318( Fugsi Tes) Diberia fugsi φ: R Fugsi φ disebut fugsi tes (test fuctio) pada jia 1 Fugsi φ mempuyai derivatif parsial sampai ta higga ali yag otiu pada, 2 terdapat domai terbatas Ω sehigga φ(x) = 0 utu setiap x Ω Diperhatia bahwa setiap φ C c ( ) merupaa fugsi tes area terdapat domai Ω yag supportya ompa Sebaliya setiap fugsi tes belum tetu aggota C c ( ) Jia φ C c ( ) da f sebarag fugsi yag mempuyai derivatif parsial sampai ta higga ali maa peralia (fφ)(x) = f(x)φ(x) C c ( ) Defiisi 319 (Distribusi) Fugsioal liear otiu f: C c ( ) R disebut distribusi Dega demiia fugsioal liear T pada C c ( ) disebut distribusi jia utu setiap {φ j } C c ( ) overge e 0 C c ( ), beraibat {T, φ j } 0 Himpua semua distribusi pada diotasia dega D atau D ( ) da ruag distribusi yag mempuyai support ompa pada diotasia E atau E ( )([4] Teorema 3110 Fugsioal Liear T pada C c ( ) distribusi jia da haya jia K Ω ompa C > 0 da m N sehigga berlau T, φ C sup α φ(x), utu φ D K (Ω) α m 32 Kovolusi Distribusi dega support Kompa Kovolusi dua fugsi f da φ didefiisia sebagai f φ(x) = f(y)φ(x y)dy Jia f L Loc 1 da φ C 0 maa f φ = φ f, f φ C da α (f φ) = f α φ Defiisi 321 Jia u D ( ) da φ D( ) maa u φ(x) = u y, φ(x y) Notasi u y, φ(x y) berarti bahwa distribusi u beerja pada fugsi tes y φ(x y) Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Vol1, No1, Juli 2017:

5 Prosidig SI MaNIs (Semiar Nasioal Itegrasi Matematia da Nilai Islami) Halama 457 Teorema 322 Jia u D ( ) da φ D( ), maa u φ C ( ) Buti : Aa ditujua u φ otiu Adaia x x 0 Jia x x 0 1 maa y φ(x y) mempuyai support pada himpua ompa Lebih lajut y α (φ(x y) φ(x 0 y)) 0, x x 0 overge seragam Jadi φ(x y) φ(x 0 y) pada D etia x x 0 diperoleh u φ(x) = u y, φ(x y) u y, φ(x 0 y) = u φ(x 0 ), x x 0 Aibat 323 ii juga berlau pada u ℇ ( ), φ C ( ) Teorema 324 Jia u D ( ) da φ, ψ D( ) maa(u φ) ψ = u (φ ψ) Cotoh 325 Aa dipetaa ψ a ψ, dimaa a D( ) Utu φ, ψ D( ), diperoleh (a ψ) φ = a(x z)ψ(z)φ(x)dz dx = ψ(a φ) di maa a (x) = a( x) Sehigga diperoleh a u, φ = u, a φ, u D ( ), φ D( ) Aibat 326 Jia u ℇ ( ) cuup jia salah satu dari φ, ψ mempuyai support ompa maa(u φ) ψ = u (φ ψ) Buti u (φ ψ)(x) = u y, φ(x y t)ψ(t)dt = u y, φ(x y t) ψ(t)dt = u φ(x t)ψ(t)dt = (u φ) ψ 4 CONCLUSION Kovolusi juga berlau pada distribusi dega support ompa dega salah satu dari φ, ψ mempuyai support ompa Yaitu Jia u ℇ ( ) cuup jia salah satu dari φ, ψ mempuyai support ompa maa(u φ) ψ = u (φ ψ) REFERENCES [1] diases 31 Maret 2017 [2] diases 31 Maret 2017 [3] Royde HL Real Aalysis New Yor: Collier Mac Milla Iteratioal Editios 1968 [4] Stagold I Gree s Fuctios ad Boudary Value Problems New Yor: Joh Wiley ad Sos 1979 [5] Wheede RL Measure ad Itegral New Yor: Marcell Deer, Ic 1977 Kovolusi pada Distribusi dega Support Kompa