GRAFIKA

Transkripsi

1 GRAFIKA

2 ANALISA REAL Utu uliah (pegatar) aalisa real yag dilegapi dega program MATLAB Dr. H.A. Parhusip G R A F I K A Peerbit Tisara Grafia SALATIGA 03

3 Katalog Dalam Terbita 55.8 PAR Parhusip, H. A. a Aalisa real: utu uliah (pegatar) Aalisa Real yag dilegapi dega program MATLAB/ H. A. Parhusip. - - Salatiga: Tisara Grafia, 03. i, 4 hlm. ; 3 cm. ISBN Fuctio of real variables.. Fuctioal aalysis. 3. Mathematical aalysis. 4. MATLAB. I. Title. Cetaa pertama : Otober 03 ISBN : ISBN Ha Cipta : Pada Peulis Disai Sampul : Tisara Grafia Tata leta : Harrie Siswato Percetaa : Tisara Grafia Peerbit : Tisara Grafia Ha Cipta dilidugi oleh Udag-udag Dilarag megutip atau memperbaya sebagia atau seluruh buu ii tapa seiji peulis Diterbita oleh: G R A F I K A JL. DIPONEGORO 98 D - SALATIGA JAWA TENGAH Telp.: Mobile: , Fa : [email protected], [email protected] Ba: BNI Cabag Salatiga No. Re

4 Didediasia epada mahasiswa da pegajar S Matematia da Pedidia Matematia pada umumya

5 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm KATA PENGANTAR Aalisa real merupaa salah satu mata uliah wajib pada aras S matematia da S matematia maupu pedidia matematia. Mata uliah ii lebih megaalisa secara formal tetag fugsi-fugsi yag dieal di alulus hususya utu fugsi peubah. Karea sediitya beredar buu aalisa real dalam bahasa Idoesia, hal ii medorog peulis utu meulis buu ii sehigga buu ii dapat sebagai materi awal utu memulai memahami aalisa real. Demiia pula cara peyajia mata uliah ii serigali tida melibata omputer dalam memvisualisasia barisa bilaga real da barisa fugsi, sehigga mahasiswa esulita dalam memformala pemahama yag diperoleh. Dega adaya pegguaa omputer dalam aalisa real sebagaimaa disajia pada buu ii, maa diharapa mahasiswa dapat dega mudah megiuti mata uliah ii da megembagaya. Buu ii lebih baya merupaa terjemaha dari beberapa buu aalisa real (lihat daftar pustaa). Pada tahu 005 peulis mulai terlibat lagsug utu melatih olimpiade mahasiswa, dari eterlibata ii peulis mejadi belajar lebih baya da harus selalu belajar. Hal ii juga meyadara, bahwa teryata apa yag peulis pelajari selama ii belum cuup baha masih sagat jauh. Dega melibata mahasiswa pada berbagai egiata olimpiade terutama yag diseleggaraa oleh UGM, UI yag beerjasama dega Pertamia, peulis dapat belajar meguur sejauh maa peruliaha S di Program Studi Matematia Faultas Sais da Matematia Uiversitas Kriste Satya Wacaa. v

6 Peulis juga mejumpai esulita utu mecari buu yag memberia wawasa tipe soal olimpiade mahasiswa, hususya matematia bidag aalisa real. Oleh area itu peulis sagat terbeba utu meyusu buu ii. Palig tida, buu ii memberia wawasa mula-mula bagi pemula yag belum perah megiuti olimpiade da juga memberia dasar-dasar teori yag diperlua utu tipe soal olimpiade matematia tigat mahasiswa. Peulis sagat berharap mahasiswa semai bersemagat berompetisi utu meguji seberapa jauh emampua bermai matematia. Kiraya buu ii mejadi awalya. Salatiga, Otober 03 Peulis vi

7 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm DAFTAR ISI Hlm KATA PENGGANTAR v DAFTAR ISI vii BAB I. Bagia Cara Meulis Buti Barisa Bilaga real yag -8 overge da diverge dega ilustrasi MATLAB.. Latar Belaag.. Kesimpula da Sara 9.3. Latiha Soal da Jawab Aalisa Real Latiha. Latiha. 5 Bagia Beberapa teorema petig pada bilaga real 9.. Barisa Terbatas Latiha Soal.3 39 Latiha Soal.4 4 Latiha Soal Barisa Mooto 49 Latiha Barisa Cauchy 57 Latiha soal.7 60 BAB II DERET BILANGAN REAL Pedahulua 65.. Koverge da diverge deret Uji Kovergesi utu deret dega suu-suu 68 taegatif.3.. Proposisi 3b Tes Itegral (utu deret ta egatif) Tes Aar 75 vii

8 Latiha soal. 77 Latiha soal Deret Gati tada (Alteratig Series) 80 Latiha soal Koverge Bersyarat da Koverge Absolut Tes Badig 87 Latiha soal Peyusua ulag Deret 90 Latiha soal.5 9 Latiha soal.6 9 BAB III. TOPOLOGI di R Ruag dimesi Pertidasamaa Schwarz Pertidasamaa Segitiga Kovergesia Completeess di R Subhimpua tertutup da terbua Compact set da Teorema Heie Borel 06 Latiha soal 3 06 BAB IV. LIMIT FUNGSI, BARISAN, DAN DERET FUNGSI 4. Limit fugsi da fugsi otiu 09 Latiha soal Fugsi disotiu 0 Latiha soal Sifat-sifat fugsi otiu Compactess da Nilai Estreem Limit Barisa Fugsi 34 Latiha soal Kovergesi seragam da Kotiuitas Teorema Kelegapa utu C ( K, R ) 46 Latiha soal Kovergesi seragam pada Itegral Atura Leibiz 5 viii

9 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm Latiha soal Deret Fugsi-Fugsi Tes deret fugsi 6 Latiha soal Deret pagat (power series) 70 Latiha soal Lebih lajut dega deret, hususya deret 83 Taylor Latiha soal Deret Taylor utu turua fugsi 94 BAB V. Ruag METRIK (metric space) Pedahulua Defiisi da Beberapa Teorema 97 Latiha soal 5. 0 Latiha soal Homeomorphism 03 Latiha soal BAB VI Cotoh SOAL JAWAB OLIMPIADE MAHASISWA Bidag ANALISA REAL 3-7 Bidag Aalisis Soal Olimpiade Mahasiswa Se Jawa-Bali Bidag 3 Aalisis Real 5 Mei 007 i

10 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB I Bagia CARA MENULIS BUKTI BARISAN BILANGAN REAL YANG KONVERGEN DAN DIVERGEN dega ilustrasi MATLAB. Latar Belaag Cara memahami da meulisa embali buti dalam matematia merupaa masalah yag umum bagi siswa, mahasiswa maupu pegajar. Selama ii serigali siswa diajar dega tei berhitug sedaga cara meuaga alasa secara matematis sagat miim diajara. Demiia pula megomuiasia hasil hituga secara formal da saitifi (megiuti aidah matematia) juga sagat mugi belum dialami siswa sehigga etia mejadi mahasiswa matematia hal itu mejadi edala yag sagat besar. Kemampua megugapa alasa dalam aalisis sagat diperlua. Utu itulah emampua ii perlu diaji da diembaga. Terlebih lagi adaya pegguaa omputer, maa aalisis sagat terbatu utu megugapa feomea umum dari suatu asus yag dipelajari. ANALISA REAL

11 Tulisa ii aa megispirasi bagaimaa meulisa pembutia secara formal dalam aalisa real hususya tetag overgesi atau divergesi suatu barisa bilaga real. Kasus yag dipelajari sagat sederhaa yaitu barisa (a). 3 a (b). a 4 (c). a e. Dari etiga asus yag dipelajari sebagai cotoh maa diharapa mahasiswa dapat megolah soal jawab yag terait dega pembutia tersebut. Kasus. a 3 3 /. Utu maa / 0 da / 0 /. 3 / Oleh area itu lim a lim 3/ 3. / overge e 3. Jelas barisa Biasaya mahasiswa meulis haya berheti sampai disii. Secara formal matematis, maa perlu ditulis lebih elegat. Secara formal, suatu barisa bilaga real diataa overge (puya limit) dega defiisi beriut. Aalisa Real dega MATLAB

12 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Defiisi. (Goldberg,976) Suatu barisa bilaga real a diataa mempuyai limit L, atau barisa tersebut overge e L ditulis lim L a artiya utu sembarag 0, pertidasamaa L harus dipeuhi utu semua ilai N. Dega ata lai a L harus dipeuhi utu semua ilai, ecuali palig baya pada bilaga berhigga, sebutlah pada =,,,N-. Utu memahami defiisi tersebut ita aa membahas barisa 3 a da aa membutia dega meulis- a secara formal bahwa a lim a 3 / lim / 3/ 3. Perlu dibutia bahwa lim a 3. Artiya utu sembarag 0, pertidasamaa a 3 harus dipeuhi utu semua ilai, ecuali palig baya pada bilaga berhigga, sebutlah pada =,,,N-. Sedaga pada =N berlau da N pada umumya tergatug pada ilai. Kita dapat mempelajari hal ii dega medaftar sebagai tahap observasi. Agar membuat daftar dega mudah, ita ANALISA REAL 3

13 dapat megguaa MATLAB sebagai alat batu. Program tetag ii da hasil eluara ditujua pada Tabel da Gambar. Tabel a. Daftar Program utu meggambar a 3 3 / /. clear close all =[:00]'; a=ilie('(3* +)./(+)',''); a=a(); figure() plot(,a,'o'); epsu=3-a; Daftar=[ a epsu] Tabel b. Daftar Program utu medaftar a 3 3 / / utu merupaa elipata 0 (buat sebagai elajuta Tabel a =0;j=; while <=00 g=g(); epsu=3-g; Daftar=[ g epsu] Simpa(j,:)=Daftar j=j+ =j*0; ed Gambar membatu ituisi ita utu medapata pemahama sifat overge barisa tersebut yaitu 3. Yag mejadi masalah berapaah = N sehigga ita dapat mejami limit barisa tersebut 3?. Apabila hasil Gambar didaftar utu beberapa (misalya elipata 0) maa ita dapat 3 medaftar setiap da ilai a serta yag diperoleh. Kita dapat meambaha peritah pada program sebagaimaa ditujua pada Tabel b. 4 Aalisa Real dega MATLAB

14 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Gambar. Visualisasi a 3 3 / / utu beberapa Tabel. Daftar, ilai barisa tiap da ilai utu tiap. a ANALISA REAL 5

15 Secara aaliti, umumya ita tetapa, emudia ita dapat medapata ilai =N yag sesuai dega yag dipilih. Dega ata lai ita perlu memformulasia utu suatu =N yag umumya tergatug pada. Sedaga Tabel diperoleh dega meetapa ilai terlebih dahulu sehigga ilai diperoleh merupaa selisih ilai a dega 3 (yag sudah ita laim sebagai limit barisa). Secara omputasi, maa ilai lebih mudah ditetapa terlebih dahulu. Sedaga prosedur aaliti mejelasa bahwa ita tetapa terlebih. Kita dapat meetapa misala seitar 0. maa berdasara Tabel, ita dapat memperoleh =N seitar 40. Nampaya cara aaliti lebih susah tetapi hal itu diperlua utu proses pembutia umum bahwa barisa tersebut overge pada 3. Kita coba dega proses ii. Dega proses beriut ii teryata salah. Kita aa mecari batas N dega cara mecari batas palig atas yaitu sehigga a 3 atau - < 3 3<. Dega megguaa batas atas, sebutlah 3 3= atau = +. 6 Aalisa Real dega MATLAB

16 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. atau Notasi 5-5- = atau = N =. (*). meyataa bilaga bulat terbesar yag lebih ecil atau sama dega argume di dalamya. Jelas berilai bulat egatif, padahal harus positif bulat. Jia dipilih batas bawah = -5 atau =N= (**) Dari edua batas ii ita belum medapata secara esplisit utu ilai terecil yag diijia sehigga ita dapat megataa bahwa dimulai dari =N maa limit barisa tersebut adalah 3. Cara meetua =N dapat lebih pratis dega cara sebagai beriut. 3 Coba - < 3< ditulis sebagai a 3 yaitu < atau 5 <. Karea bilaga positif ecil da bilaga asli maa ita dapat memilih 5 5 < atau 5 < + atau. Jadi ita dapat memilih N > 5 agar barisa overge pada 3. ANALISA REAL 7

17 Perhatia bahwa dega odisi ii ita dapat memilih N dega meetapa terlebih dahulu. Hal ii ditujua pada Tabel 3. Jadi dega cara ii ita dapat memperoleh buti bahwa a 3 utu N dega N Perhatia bahwa N bilaga asli (bulat), padahal 5. 5 dapat tida bulat. Utu itu ita perlu meulisa odisi N 5 mejadi N 5. Jadi dari tata cara meulis a 3 sagat meetua dalam medapata odisi N 5. Hal ii ditujua pada program pada Tabel 3 serta ilustrasi utu a,, da a pada Gambar. a Sedaga utu data tiap utu =N 5. a,, da a dega ilai ditetapa terlebih a dahulu ditujua pada Tabel 4. 8 Aalisa Real dega MATLAB

18 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Tabel 3. Program utu terlebih dahulu. Clear close all a epsu=[ ]; =roud((5-*epsu)./epsu); a=ilie('(3* +)./(+)',''); a=a(); amiuseps=a-epsu; apluseps=a+epsu; figure() plot(,a,'o',,amiuseps,'*',,apluseps,'.-'); Daftar=[epsu' ' amiuseps' a' apluseps'] 3 dega meetapa Tabel 4. Daftar ilai berbagai a 3 ditetapa utu berbagai yag 5 N a 3 a pada =N a pada =N ANALISA REAL 9

19 Gambar. Visualisasi a 3 3 / / utu beberapa dega meetapa terlebih dahulu. Kasus. Pelajari 4 a. Bagaimaa lim a? Jawab: Barisa tersebut berbetu fugsi rasioal dalam dega pembilag + 4 da peyebut betu uadrat. Utu yag membesar maa peyebut aa lebih cepat membesar daripada pada bagia pembilag. Oleh area itu ita dapat meyimpula ituisi tersebut bahwa lim a =0. Utu memberia pejelasa yag lebih reatif ita dapat memvisualisasia barisa tersebut utu berbagai. Kita dapat megubah program pada Tabel dega meggatia defiisi barisa. Aa tetapi perlu diperhatia bahwa utu yag ecil (seitar mulai dari =0, maa barisa sudah medeati 0 sehigga ita tida perlu megguaa yag 0 Aalisa Real dega MATLAB

20 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. terlalu besar. Hasil eluara pada Gambar 3 yag meujua bahwa utu membesar maa ilai barisa meuju e 0. Secara formal, ita perlu membutia bahwa utu sembarag >0, pertidasamaa a 0 harus dipeuhi utu semua ilai, ecuali palig baya pada bilaga berhigga, sebutlah pada =,,,N-. Sedaga pada =N berlau da N pada umumya tergatug pada ilai. Tabel 5. Program utu megilustrasia da medaftar a 4 clear close all =[:0]'; a=ilie('( +4)./(*.^+)',''); a=a(); figure() plot(,a,'o'); epsu=abs(0-a); Daftar=[ a epsu] Dega cara asus, ita dapat meulis a 0 yaitu 4 sebagai 4 / /. ANALISA REAL

21 Gambar 3. Visualisasi 4 a utu berbagai ilai. Kita ambil batas atas sehigga berlau + 4/ < + / atau + (4 - )/ <. Dalam betu ii ita belum mampu meyederhaaa (medapata odisi =N yag tergatug. Kita ubah dega cara lai beriut ii. Jelas bahwa (a) Perhatia bahwa pertidasamaa tersebut dicari sedemiia rupa sehigga ita medapata suatu =N yag haya tergatug. Utu medapata uruta pertidasamaa yag bear ita dapat megguaa program MATLAB utu membatu ita dalam mevisualisasia. Aalisa Real dega MATLAB

22 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Tabel 6. Meggambar berbagai barisa pada pertidasamaa (a). clear close all =lispace(,0,0); a=( +4)./(*.^+); a=( +4)./(*.^); a3=4./(*.^); plot(,a, *,,a, o,,a3,. ) Gambar 4. Visualisasi (bertada.), (bertada *) da (bertada o) utu berbagai ilai. 4 Jadi ita dapat megguaa batas < utu mecari N. Dega megguaa otasi = N pada diperoleh < N atau N. Marilah ita daftar utu berbagai ilai yag ita tetapa dega megambil ilai N yag memeuhi N da meyelidii ilai barisa utu setiap N yag dipilih. Kita dapat medaftarya dega MATLAB. Perhatia bahwa tida bulat maa ita perlu membulata dega fugsi floor pada MATLAB. Program ditujua pada Tabel 7 da hasil eluara ANALISA REAL 3

23 program ditujua dega daftar Tabel 8 agar ita dapat melihat seberapa besar ilai barisa utu tiap da N yag dipilih. Tabel 7. Program MATLAB utu membuat daftar ilai da serta ilai barisaya. epsu=[ ] batas=roud(sqrt(./epsu)); Daftar=[epsu batas ]; sin=batas + ; a=(sin +4)./(*siN.^+); Daftar=[epsu batas sin a ] Tabel 8. Daftar yag ditetapa da ilai N da barisa yag diperoleh =N yag dipilih a 4 pada N yag dipilih Aalisa Real dega MATLAB

24 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Bagaimaa meulisa buti formal bahwa 4 lim a lim 0?. Hal beriut ii ditujua berdasara tahap observasi di atas. 4 lim a lim 0 artiya utu setiap sembarag > 4 0 maa perlu ditujua 0 utu N. Dega megetahui bahwa ita 4 dapat memilih < utu mecari N. Dega megguaa otasi = N pada < diperoleh < N atau N. e Kasus 3. Bagaimaa dega lim a lim? Sebagaimaa pada asus da, utu medapata ituisi tetag sifat barisa utu membesar, maa ita dapat membuat gambar atau medaftar a utu berbagai ilai. Karea pembilag da peyebut membesar dega cepat utu ilai yag diberia, ita megguaa yag tida terlalu besar. Kita haya megedit program Tabel ANALISA REAL 5

25 yag ditujua pada Tabel 9 da hasil eluara ditujua pada Gambar 5. Tabel 9. Program MATLAB utu meggambar barisa e clear close all =[:0]'; a=ilie('ep()./(.^)',''); a=a(); figure() plot(,a,'o'); Daftar=[ a] Tabel 0. Daftar ilai da e e Gambar 5. Ilustrasi barisa e Daftar ilai da barisa terait ditujua pada Tabel 0. Hasil grafi meujua bahwa utu yag membesar maa ita peroleh e. Kita tida dapat meyimpula: berapaah =N sehigga utu setiap >N maa ada ilai 6 Aalisa Real dega MATLAB

26 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. barisa berhigga yag deat dega ilai barisa pada =N. Barisa demiia ita sebut barisa diverge. Utu itu ita perlu membutia bahwa barisa tersebut diverge (tida ada suatu ilai berhigga yag dapat dipilih). Kita meulisa a utu Secara formal ditulis suatu barisa diataa diverge dalam defiisi beriut. Defiisi (barisa diverge) (Goldberg,976) Suatu barisa bilaga real a medeati ta higga (diverge) utu medeati ta higga jia utu sembarag bilaga real M >0, terdapat suatu bilaga positif bulat N sedemiia higga berlau a M, N. (a) Espresi (a) mejelasa bahwa jia ita meetapa bahwa limit barisa adalah M, maa ilai barisa aa selalu lebih besar dari M pada suatu =N. Kita aa bahas pada asus 3. Diberia suatu M > 0, e e > M atau M atau e l M l M l M l l M atau. e l e l l l ANALISA REAL 7

27 Jadi dipilih l M ( N). (b) l Jadi jia dipilih berarti barisa tersebut diverge. Espresi l M N maa (b) dipeuhi atau l l M l bisa tida bulat sedaga N harus bulat positif (area sebagai ides). Maa ita dapat meulisa (b) dega l M, ( N) l (c) Kita dapat melaua observasi megguaa odisi (c) dega meetapa M da memilih N, serta medaftar ilai barisa pada tiap N. Peritah utu melaua hal ii ditujua pada Tabel da eluaraya ditujua pada Tabel. Tabel. Program MATLAB dega iput M da mecari batas (c) da ilai barisa clear close all M=[ ]; batasn=log(m)./( -log()) Npilih=floor(batasN)+; anpilih=ep(npilih)./(.^npilih); DaftarMNa=[M' batasn' Npilih' anpilih'] 8 Aalisa Real dega MATLAB

28 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Tabel. Daftar M, e l M, da N serta ilai barisa l M l M l N yag dipilih e Perhatia bahwa pada asus ii ita berharap bahwa ada suatu limit sebutlah M sehigga utu N yag dipilih maa hasil ilai barisa aa cuup salig berdeata atau berbeda cuup ecil (urag dari ) utu N yag berturuta. Mugi ita mecurigai hasil tersebut area N masih ecil. Kita dapat meguji program dega megguaa program Tabel 8 utu M yag jauh lebih besar.. Kesimpula da sara Pada tulisa ii telah ditujua bagaimaa meggatia ituisi ita dalam meetua barisa overge atau diverge dalam betu grafi dega batua program MATLAB. ANALISA REAL 9

29 Saya harap asus -3 dapat memberia pemahama barisa overge da diverge serta bagaimaa meulisa buti secara formal dega tata bahasa matematia yag bear. Referesi Goldberg, R.R., 976. Methods of Real Aalysis, Joh Wiley & Sos, Ic, Secod Editio, New Yor. 0 Aalisa Real dega MATLAB

30 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm..3 LATIHAN SOAL DAN JAWAB ANALISA REAL Topi: Barisa overge da barisa diverge Latiha. (E. hal 3) Jia s suatu barisa bilaga real, da jia s M, I da jia lim L, butia L M. Jawab : s Dietahui lim L artiya lim L. Artiya utu s s sembarag 0, pertidasamaa L harus dipeuhi utu semua N. s Karea dietahui pula s M berlau sebagai beriut: lim s lim M Padahal lim L da lim M = M (limit s osta tida tergatug N) lim s Jia butia L lim M =M atau L M. sehigga jelas bahwa L R, M R da L M utu setiap 0, L M. Jawab:Dietahui pula bahwa L M artiya juga L M L L. Jelas ANALISA REAL

31 Padahal bahwa L M sehigga L L M M M. Jelas pula Sehigga L L M M. Atau L M. (a) Tetua N I sedemiia higga 3 5, N. Jawab: 3 5 ditulis sebagai atau Sehigga berlau Jadi dapat dipilih atau 30 3 atau 7. 7 N sehigga berlau (b) Butia bahwa lim. 3 3 Buti: dari soal (a) ita dapat meulisa lim 3 mejadi yaitu 3, N 5. Dicari N yag memeuhi, Aalisa Real dega MATLAB

32 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm atau Jadi dapat dibutia lim artiya 3 3, N dega 6 3 N. 4. (a) Tetua N I sehigga / < 0.03 etia N. (b) Butia bahwa lim / =0. 5. Jia bilaga rasioal, butia bahwa barisa si! puya limit. 6. Utu setiap barisa beriut, butia apaah barisa tersebut puya limit (overge) atau tida puya limit. (a). 5 (b) 3 7 / (c) / 7. (a) Butia bahwa barisa puya limit 0. ANALISA REAL 3

33 / 7 (b). Butia bahwa 0 tida puya limit. Catata: perhatia bahwa beberapa suu-suu pertama pada barisa (a) lebih besar daripada beberapa suu pertama pada barisa (b). Hal ii meeaa bahwa esistesi dari suatu limit barisa tida tergatug pada beberapa suu pertama. / 8. Butia bahwa tida mempuyai limit. Buti: perlu dibutia berdasara defiisi suatu barisa diverge yaitu : Suatu barisa bilaga real medeati ta higga (diverge) utu medeati ta higga jia utu sembarag bilaga real M >0, terdapat suatu bilaga positif bulat N sedemiia higga utu berlau a M, N. (a) Utu asus soal yaitu diberia suatu M > 0 (sebagai limit), maa sehigga / > M. Kita tahu bahwa / / > M beraibat > M. Jadi jia ita meetapa mulai pada suatu =N barisa puya limit M, teryata ilai barisa (yaitu =N, ebetula) selalu lebih besar dari M. Jadi M bua limit barisa. Jadi barisa / tida puya limit. a 4 Aalisa Real dega MATLAB

34 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 9. Jia s 5 /!, tujua bahwa lim s 5 /! (Petuju: butia bahwa 5 5 /5! (5/ ) s jia >5. Latiha. (E.4). Label setiap barisa dega (A) jia overge da (B) jia diverge e ta higga da (C) jia diverge e ta higga atau (D) jia berosilasi. (Guaa ituisi ada dari pemahama ada dari calculus, tida perlu dibutia). Catata: ituisi ada dapat digatia dega membuat program ecil sebagaimaa pada paper. Defiisi Barisa Jawab pelabela si( / ) (a) si( ) (b) (c) e e / (d) si( / ) (e) ( ) ta( / ) (f) (g) 3... / (h) ANALISA REAL 5

35 Pegembaga lebih lajut (persoal study): jia ada tertari butialah hasil ada da duuglah dega ilustrasi program.. Butia bahwa diverge e ta higga 3. Butia bahwa adalah overge. Petuju: Igat bagaimaa meemua dy/d dega proses etia y. 4. Butia bahwa jia barisa bilaga real diverge e ta higga maa egative ta higga. 5. Aggap bahwa ( ) s overge e Aggap bahwa bahwa s ( ) s 7. Aggap bahwa bahwa s ( ) s s diverge e overge e 0. Butia bahwa s overge e L 0. Butia berosilasi. diverge e ta higga. Butia berosilasi. s 6 Aalisa Real dega MATLAB

36 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. JAWAB (beberapa saja). Dietahui s overge e 0 artiya lim s 0 yaitu diberia sembarag bilaga positif ecil 0 berlau s 0, N. Espresi s 0 yaitu euivale dega s. Perlu dibutia bahwa ( ) s overge e 0. Artiya yaitu diberia sembarag bilaga positif ecil 0berlau ( ) s 0, N atau ( ) s, utu N. Dietahui pula bahwa ( ) ( ) s < s. Jadi jelas bahwa N, N. s overge e 0 utu = mas (catata: Pemiliha ii utu mejami bahwa eduaya sudah overge e 0).. Aggap bahwa ( ) s s overge e L 0. Butia bahwa berosilasi. Buti: Dietahui s overge e L 0 artiya diberia sembarag bilaga positif real ecil 0 berlau s L, N. ANALISA REAL 7

37 Perlu dibutia ( ) s berosilasi sbb : Utu = geap atau = maa ( ) sehigga ( ) s s yag overge e L. = Utu = gajil atau =+ maa ( ) sehigga ( ) s = s = - lim s lim s L. Jadi terbuti (dega ata lai ( ) s ( ) s. Karea lim L maa s berosilasi (e L atau L). s tida overge) 8 Aalisa Real dega MATLAB

38 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB I Bagia. Beberapa teorema petig pada bilaga real Setiap teorema beriut tida baya ditulisa buti utu meyigat watu. Utu itu, peulisa buti mejadi tugas mahasiswa dega megguaa referesi yag masih dalam bahasa Iggris (Goldberg, 976) tetapi meulisaya embali secara sederhaa da jelas dalam bahasa Idoesia sebagai tugas uliah. Defiisi a. batas atas terecil da batas bawah terbesar (Lewi, 993) Dietahui A R da R. Kita megataa merupaa batas atas A jia tida ada aggota pada A yag lebih besar dari. Secara simboli maa diataa batas atas etia utu setiap bilaga A berlau. Batas bawah didefiisia sebaliya. Jia tida ada aggota A yag lebih ecil dari, maa diataa batas bawah A. Perhatia bahwa jia merupaa batas atas A, maa setiap bilaga yag lebih besar dari juga diataa batas atas A. Demiia pula jia batas bawah A, maa setiap bilaga yag lebih ecil dari diataa batas bawah A. ANALISA REAL 9

39 Jia merupaa batas atas A, da tida ada bilaga yag lebih ecil dari yag merupaa batas atas A, maa diataa batas atas terecil A (least upper boud (l.u.b). Jia merupaa batas bawah A, da tida ada bilaga yag lebih besar dari yag merupaa batas bawah A, maa diataa batas bawah terbesar A (greatest lower boud (g.l.b)). Batas atas terecil diataa juga supremum A, ditulis sup A; batas bawah terbesar A disebut pula ifimum A, ditulis if A. Cotoh a. (a) 6 adalah batas atas (0,) da - bua. (b) merupaa batas atas [0,) sedaga 0 bua. (c) merupaa batas atas dari [0,], da ¾ bua. (d) merupaa batas atas {-3,, 5} da 4 bua. Cotoh b. sup (0,) = da if(0,) = 0. Defiisi b. Misala A adalah himpua bilaga real (a) Jia terdapat suatu bilaga yag merupaa batas atas A, maa A diataa terbatas e atas. (b) Jia terdapat suatu bilaga yag merupaa batas bawah A, maa A diataa terbatas e bawah 30 Aalisa Real dega MATLAB

40 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (c) Jia A diataa terbatas e atas da e bawah, maa A diataa terbatas. Teorema b. Jia A adalah himpua bagia ta osog dari R yag terbatas e atas maa A mempuyai batas atas terecil (least upper boud) (l.u.b) dalam R. Teorema. Jia A adalah himpua bagia ta osog dari R yag terbatas e B bawah maa A mempuyai batas bawah terbesar (greatest lower boud (g.l.b) dalam R. Cotoh c. Perhatia barisa 3 B =,,..., 4 /,... maa g.l.b (B) = / da l.u.b (B) =. Perhatia bahwa g.l b () adalah aggota B tetapi l.u.b (B) bua aggota B. Cotoh. Himpua iterval terbua (3,4) tida memuat g.l.b (yaitu 3) maupu l.u.b (yaitu 4). Catata : megapa ada istilah g.l.b a l.u.b?. Perhatia bahwa semua bilaga real yag lebih ecil dari 3 juga merupaa batas bawah. Demiia pula semua bilaga yag lebih besar dari 4 merupaa batas atas dari himpua terbua (3,4). Perhatia bahwa ita dapat megataa barisa bilaga s real sebagai suatu fugsi dari I e R, ita megataa ANALISA REAL 3

41 bahwa daerah hasil s sebutlah,,... himpua bagia (subset) dari R. s sebagai suatu s Teorema 3. Jia s barisa bilaga real, da c R da jia lim s L maa lim cs cl. Catata : lim s L diataa pula s overge e L. Secara sama lim cs cl diataa pula cs overge (puya limit) e L. Buti : Dietahui ` artiya 0, L, N. s s L c c s L c cs cl. N. c Artiya lim cs cl. Catata: perhatia bagaimaa defiisi limit utu lim s L megguaa ilai epsilo dalam betu c (tetap merupa- a bilaga positif ecil dega syarat 0 c yag terjadi jia < c. 3 Aalisa Real dega MATLAB

42 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm.. Barisa Terbatas Defiisi 4. Secara sama s s terbatas e atas jia daerah hasil dari terbatas eatas. Ditulis s M ( I). Sehigga utu suatu I, himpua s, s, s,...} jelas { terbatas e atas da oleh area itu berdasara Teorema a, barisa tersebut mempuyai batas atas terecil (l.u.b) yaitu M l u. b s, s, s,..... Lagipula jelas mudah diperoleh bahwa M M area M = u. bs, s,... subhimpua l adalah l.u.b yag merupaa. s, s, s,.... Jadi barisa da jadi jelas overge atau diverge e ta higga. M ta ai Defiisi 5. Secara sama ita megataa barisa bawah jia daerah hasil dari Jadi s terbatas e s terbatas e bawah. s terbatas jia da haya jia ada suatu bilaga M R sedemiia higga s M ( I). ANALISA REAL 33

43 Jia suatu barisa diverge e ta higga (atau egatif ta higga) barisa tersebut ta terbatas. Suatu barisa diverge e ta higga pasti terbatas e bawah. Suatu barisa yag berosilasi bisa terbatas bisa juga tida. Barisa, -, 3, -4, berosilasi da tida terbatas e bawah juga tida terbatas e atas. Barisa -,,-,, berosilasi terbatas. Barisa,,,3,,4, berosilasi da terbatas e bawah tetapi tida terbatas e atas. Teorema 6. Jia suatu barisa bilaga real s Buti: overge, maa s terbatas. s Dietahui barisa overge, artiya limit, sebutlah L, artiya s puya L lim s. Ambilah = (eapa, buaah perluya positif ecil saja?). maa terdapat sedemiia higga s L ( N). N I Hal ii berarti s L ( N). (Karea s L ( s L) L s L s L ). 34 Aalisa Real dega MATLAB

44 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Jia ita ambil ma s, s s M maa ita puya,..., N s M L, ( N), yag meujua bahwa s terbatas. Catata: serigali utu meyimbola s terbatas ditulis s M dega M sebagai batasya. Teorema 7. (a) Jia 0 < <, maa (b) Jia < < maa Teorema 8. Jia s da overge e 0. diverge e ta higga. t barisa bilaga real da jia lim L da jia lim M maa lim ( s t ) L M. s t Aibat 9. Jia s da overge da jia t barisa bilaga real yag s t I da jia lim L da s jia lim M maa L M. t Buti : halama 43. ANALISA REAL 35

45 Teorema 0. s da t barisa bilaga real yag overge da jia lim L da lim M s t Buti: maa lim t LM. s Kita dapat meulisa s t LM s t s M s M LM s t M Ms M Sehigga s t LM s t s M s M LM s t M Ms M s t M Ms M s t M Ms M Dietahui lim s L, artiya terdapat bilaga asli N sedemiia higga utu N berlau sama dietahui s L. Secara lim t M, artiya terdapat bilaga asli N sedemiia higga utu N berlau Demiia pula area sehigga terbatas, sebutlah Dipilih N = man, N s t M. lim L berarti barisa overge s ~ s M. sehigga berlau t M Ms M s t M M s M 36 Aalisa Real dega MATLAB

46 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. M ~ t M M s M M ~ t M M s M ~ ~ M s M ~ M M M M M Sampai di sii ita belum memperoleh espresi s t LM s t s M s M LM s. t M Ms M. Utu itu pada setsa pembutia perlu disyarata ~ M M ~ M M M ~ < da ~, diperoleh M M M 0 ~. M ~ M Agar pertidasamaa terjadi berilai positif maa < atau ~ ~ M M M M. Lemma. Jia s s e L maa barisa bilaga real yag overge overge e L. Buti: guaa teorema sebelumya. Lemma. t barisa bilaga real yag overge da jia lim M da M 0 maa lim/ / M. t Buti : halama 45. t ANALISA REAL 37

47 Teorema 3. overge da jia s da t barisa bilaga real yag lim L da lim M, M 0 maa s t lim s / t L / M. Buti: halama 45. Catata : jia dalam pembutia megguaa teorema sebelumya, maa tulislah teorema tersebut da hubuga dega bai dalam pembutia ada. Cotoh 3. Tetu dapat dipahami bahwa berdasara defiisi limit maa lim / 4. (ada perlu belajar embali bagaimaa membutia bua?). Cotoh 4. Butia bahwa lim / Buti: Kita meulis soal mejadi lim lim /. Dietahui pula bahwa lim/ 0. Oleh area itu lim 6/ (Berdasara Teorema 3). Sehigga lim 3 6/ lim 3 lim 6/ 30 3 (berdasara 38 Aalisa Real dega MATLAB

48 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Teorema 5). () Karea lim/ 0, oleh area itu lim/ lim/.lim/ (Berdasara Teorema 8). () Dari hasil () maa lim 5 4 / lim 5 lim 4 / Teorema 5). Berdasara Teorema 0 maa (Berdasara lim / lim 3 6/ lim / lim 5 4/ 3/5..3 Latiha soal.3 (e..7 halama 46). Butia (a) 3 5 lim 3 4 (b) lim ( 7) 6. Butia bahwa jia s / s overge e. 3. Hitug lim overge e, maa ANALISA REAL 39

49 4. Aggap barisa s suatu barisa bilaga positif da 0. Jia s s, ( I) butia lim s 0. s 5. Aggap bahwa lim 0. Butia lim s s (petuju : Ambil s da carilah s )> Teorema s apa yag ada guaa pada bagia ii. 6. Butia bahwa lim / e lim e.. Juga butia bahwa Teorema apa yag ada guaa?. Megguaa idetitas +/ =[ + /(+)]( +/) butia bahwa lim e. Jia c > butia bahwa lim / c (Petuju: Tulis / c s da ambil pagat e pada edua ruas utu meujua bahwa s terbatas. Kemudia simpula bahwa s 0 pada. 40 Aalisa Real dega MATLAB

50 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Dietahui s da s s utu. (a) Butia berdasara idusi bahwa s utu semua. (b) Butia bahwa (c) Butia bahwa s (d) Butia bahwa lim s. s s utu semua. Aggap bahwa s 0 (a). s s,,... ta ai, 3 s5 (b) s s,,... tida turu, 4 s6 (c) s overge Jia r overge. s,. s, s s s t utu semua I, da jia eduaya r da t overge e s. Butia bahwa s overge e s. Latiha soal.4 (E..5, hal. 37). Bear atau salah?. Jia suatu barisa bilaga positif tida terbatas, maa barisa tersebut diverge e ta higga.. Beria suatu cotoh barisa s tetapi lim 0. s yag ta terbatas ANALISA REAL 4

51 3. Butia bahwa jia lim L 0 s s, ta terbatas. 4. Jia s barisa bilaga real terbatas, da t t overge e 0, butia bahwa s overge e 0. s 5. Jia terbatas, butia bahwa utu sembarag 0 terdapat suatu iterval tertutup J R sebagai pajag sedemiia higga baya ilai. Defiisi 4. Dietahui (a) Jia M s s J utu ta berhigga barisa bilaga real yag terbatas e atas da diambil M l. u. b s, s, s,... overge, maa ita medefiisia lim sups sebagai lim M. Ditulis lim sups = lim M. (b) Jia M meulis lim sups diverge e egatif ta higga, maa ita Catata: apa itu lim sups (dibaca : limit supremum s) da tetu ada lim if s (dibaca: limit ifimum s). Utu mejawab itu, sebearya ita perlu defiisi beriut ii terlebih dahulu. 4 Aalisa Real dega MATLAB

52 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Defiisi 5. Limit supremum da limit ifimum Jia ita megataa barisa s overge hal ii megataa lim s dega ata lai seberapa uura s etia besar. Notasi lim s terait dega barisa yag overge. Sedaga otasi limit supremum da limit ifimum dapat diapliasia pada semua barisa. limit supremum meyataa uura seberapa besar Notasi etia besar. Notasi limit ifimum meyataa uura seberapa ecil s etia besar. Catata : Notasi supremum da ifimum diberlaua pada barisa yag tida dietahui overge. Cotoh 5. s ( ) ( I). Maa s s terbatas e atas. Pada asus ii M utu setiap I da oleh area itu lim M. Jadi lim M. Jadi lim sup( ). Cotoh 6. Perhatia barisa, -,,-,,-3,,-4, Jelas bahwa M (barisa batas atas) Sehigga lim sup s. Cotoh 7. Diberia ( I). s Maa M l. u. b{,,,...}. ANALISA REAL 43

53 Oleh area itu M pada, sehigga lim sups lim sup( ). Defiisi 6. Jia s suatu barisa bilaga real yag ta terbatas e atas maa lim sups. s maa Cotoh 8. Jelas bahwa jia lim sups. Cotoh 9. Perhatia peryataa beriut da butia s () Jia suatu barisa bilaga real yag terbatas e atas da mempuyai suatu subbarisa yag terbatas e bawah maa s () Jia lim sup A; s suatu barisa bilaga real yag tida mempuyai suatu subbarisa yag terbatas e bawah maa lim sups. Perhatia bahwa megubah beberapa suu pada barisa s tida megubah lim sups. Cotoh 0. Limit supremum dari barisa 0 00,,,,,,,,... adalah. Teorema 7. Jia 44 Aalisa Real dega MATLAB s suatu barisa bilaga real yag overge maa lim sups lim s.

54 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Buti: Karea s overge sebutlah limitya L, atau ditulis suatu barisa bilaga real yag L lim s artiya diberia sembarag bilaga positif 0 sehigga terdapat suatu N I sedemiia higga s L ( N) atau L s L ( N). Jadi jia N maa L adalah suatu batas atas utu s s, s,... da L bua batas atas., Oleh area itu Dega teorema 5, s, s, s L L M l. u. b,... L lim M L.. Tetapi lim M lim sups. Jadi L lim sup s L. Karea sembarag maa beraibat lim sups = L. (terbuti) Searag ita aa medefiisia limit ifimum. Jia suatu barisa bilaga real s terbatas e bawah, maa himpua s s, s,... mempuyai g. l. b, (greatest lower boud). Jia diambil : ANALISA REAL 45

55 . m g l. b s, s, s,...,. maa m adalah suatu barisa tida turu (butia) da bisa overge atau diverge e ta higga. Defiisi 8. Suatu barisa bilaga real (a) Jia e bawah, da ambil. m g l. b s, s, s,...,. s da terbatas m overge, ita medefiisia lim if s lim m. (b) Jia m diverge e ta higga, ita meulis lim if s. Defiisi 9. Jia barisa bilaga real s ya ta terbatas e bawah, ita tulis lim if s. Cotoh. lim if( ), lim if, lim if( ). Barisa, -,, -,, -3,, -4, jadi puya lim if = Teorema 8. Jia s. barisa real overge, maa lim if s lim s. Ada beberapa teorema yag tida dapat ditulis butiya, iraya dapat dipelajari siswa. Teorema 9. Jia 46 Aalisa Real dega MATLAB s barisa real overge, maa

56 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. lim if s lim sups. Buti : hal Teorema 0. Jia lim sups Buti : halama 50. s barisa bilaga real da jia maa Teorema. Jia = lim if L dega L R, s s overge da lim L. s s barisa real overge da jia lim if s lim sups maa s diverge e ta higga. Buti : hal. 5 Teorema. Jia s I s t da Buti : hal. 5. lim if s barisa real overge da jia, maa lim sups lim sup t lim if t. Teorema 3. Sebarag barisa bilaga real terbatas mempuyai suatu subbarisa yag overge. Buti : hal Latiha soal.5 (e..9). Tetua limpit supremum da limit ifimum barisa beriut ii. (a),,3,,,3,,,3, ANALISA REAL 47

57 (b) si /, (c) / cos / (d). Jia lim sup dari barisa 48 Aalisa Real dega MATLAB s sama dega M, butia bahwa lim sup dari sembarag sub barisa M. 3. Jia s barisa terbatas da lim if m, butia terdapat suatu subbarisa overge e-m. 4. Jia s s s yag adalah s barisa bilaga real yag diverge e ta higga, maa lim sups lim if s. 5. Tulislah himpua semua bilaga rasioal dalam (0,) sebagai r r, r i,.... Hitug lim supr da, 3 6. Butia bahwa jia barisa subbarisa yag overge, maa s ta higga. 7. Jia s s s barisa bilaga real da jia... s, I Butia bahwa lim sup lim sups, s lim if lim if s. lim if r. tida mempuyai diverge e

58 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm..4 Barisa Mooto Dari pembahasa selama ii, barisa yag terbatas bisa jadi tida overge (misal barisa -,, -,, ). Pada bagia ii ita aa membahas odisi yag bersama dega odisi terbatas maa dapat mejami suatu barisa bisa overge. Defiisi 4. Dietahui real. Jia s s... s s..., s sebagai suatu barisa bilaga s maa diataa tida turu (odecreasig). Secara sama jia s s... s s..., maa s diataa barisa taai (oicreasig). Suatu barisa mooto merupaa barisa yag barisa tida turu atau ta ai atau eduaya). Cotoh. 3 7 Barisa,,,, / (yaitu turu (da terbatas) adalah tida Kita dapat megiilustrasia profile barisa dega program MATLAB yag ditujua pada Tabel da diilustrasia pada Gambar. ANALISA REAL 49

59 Cotoh 3. Barisa barisa tida turu (da tida terbatas). Dua cotoh ii memberia cotoh petigya teorema beriut. Tabel. Program MATLAB utu meggambar / =lispace(,0,0); a=-./(.^(-)); plot(,a,'o') ais([ 0-3]) Gambar 6. Ilustrasi / Teorema 5. Suatu barisa tida turu (odecresig) yag terbatas e atas adalah barisa yag overge. Buti : Dietahui barisa tida turu (odecresig) yag terbatas e atas sebutlah s. Ambil himpua A s, s,... adalah subhimpua dari R yag tida osog yag terbatas e atas. Berdasara iformasi sebelum ii bahwa barisa terbatas e atas pasti mempuyai batas atas terecil (l.u.b). Sebutlah s, s,... l. u b M l u. b. for A.. 50 Aalisa Real dega MATLAB

60 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Aa ditujua bahwa s M utu. Diberia 0, maa M- bua suatu batas atas utu A. Oleh area itu, utu beberapa N I, M. Tetapi area s adalah tida turu (odecreasig), hal ii beraibat s M ( N). () Sebaliya, area M adalah suatu batas atas utu A M ( N). () s Dari () da () disimpula bahwa s N s M, ( N). Hal ii membutia bahwa lim s M. (terbuti) Teorema tersebut merupaa cotoh petig perluya batas atas terecil. Teorema ii juga memampua ita utu membutia suatu barisa overge tapa harus meduga limitya terlebih dahulum Perhatia cotoh yag meari ii. ANALISA REAL 5

61 Aibat 6. Barisa Buti: / Diberia biomial maa s overge. s /. Berdasara teorema ( ) ( ) Utu =,, maa (+) suu pertama pada ruas aa adalah ( )...( )..... Juga ( )...( ) Demiia pula jia ita mejabara s diperoleh + suu, sehigga utu =,,, maa (+) suu pertama adalah... 5 Aalisa Real dega MATLAB... Hal ii meujua bahwa s turu. Tetapi juga s s (yaitu s tida

62 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm.... (/ ) 3 / / Jadi s terbatas e atas oleh 3. Berdasara Teorema maa barisa / overge. Dega megguaa MATLAB ita dapat megilustrasia barisa ii dalam Gambar sebagaimaa ditujua pada Tabel utu program yag diguaa da Gambar sebagai eluaraya. Tabel. Program MATLAB utu / Clear close all =[:00]'; g=ilie('(+./).^',''); g=g(); figure() plot(,g,'o'); ANALISA REAL 53

63 Gambar 7. Ilustrasi / Catata : Perhatia bahwa utu meujua, maa pada program diguaa = 00 (boleh lebih ecil dari 00) yag sudah meujua barisa meuju seitar.7. Apaah berarti.7 limitya?. Jialau ita tida megetahui bahwa s lim / e lim, maa ita bisa meetapa.7 sebagai limitya. Sudah mejadi ebiasaa utu mesimbola lim e Yaitu s / e lim s lim. Telah dietahui bahwa barisa yag overge pasti terbatas. Oleh area itu ita tahu bahwa barisa ta terbatas adalah diverge. Secara ituitif jelas bahwa barisa tida turu tida berosilasi. Hal ii aa beraibat bahwa barisa 54 Aalisa Real dega MATLAB

64 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. tida turu yag ta terbatas pasti diverge e ta higga. Oleh area itu maa ada Teorema beriut. Teorema 7. Suatu barisa ta turu tetapi tida terbatas e atas diverge e ta higga. Teorema 8. Suatu barisa ta ai yag terbatas e bawah overge. Suatu barisa ta ai yag ta terbatas e bawah aa diverge e ta higga. Subbarisa Jia diberia suatu barisa, ita dapat membuat barisa baru yag diambil dari beberapa aggota pada barisa tersebut. Barisa yag terbetu ita sebut subbarisa. Yag megejuta adalah jia suatu barisa tida overge, teryata dapat terjadi bahwa ita dapat membuat subbarisa yag overge. Hal ii dapat ditujua bahwa jia barisa mula-mula terbatas maa ita dapat membetu subbarisa yag overge (Daviso ad Dosig, 00, page 3-5). Oleh area itu mucullah Teorema beriut. Teorema 9. Bolzao-Weierstrass Setiap barisa bilaga real yag terbatas mempuyai subbarisa yag overge. Buti : hal 3-4 (Daviso ad Dosig, 00, page 3-5). ANALISA REAL 55

65 Cotoh 4. ) Perhatia barisa sig(si a dimaa tada sig berarti meyataa ilai barisa haya megambil tada + atau - tergatug dari ecuali pada sig (si 0) = 0. Tapa megetahui ilai barisa, ita dapat meyimpula bahwa ilai barisa palig baya ada 3 macam yaiu : -, 0, da. Artiya barisa ii terbatas e -, 0 atau. Salah satu pasti dapat diambil sagat baya sehigga ita dapat meyusu subbarisa yag berilai osta sehigga subbarisa demiia overge. a dega. ) Cotoh 5. Ambil sig(si Kita dapat meyusu subbarisa yag overge e -. Latiha.6 (e..7, hal 7) A. Apaah barisa cos log Jelasa. a overge?. B. Apaah barisa b cos( ) mempuyai subbarisa yag overge. C. Didefiisia. da 5/ utu 56 Aalisa Real dega MATLAB

66 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (i). Tetua formula 5 dalam betu 5 (ii). Hituglah lim. (iii) Hituglah 0 suu pertama dega batua program (boleh MATLAB atau Ecel, atau yag lai). (iv) Tujua bahwa suu e-0 telah medeati limit higga 600 digit (desimal). D. Dietahui suatu barisa bilaga real. Aggap terdapat suatu bilaga real L sedemiia higga L lim 3 lim 3 lim 3 lim ada da sama dega L.. Tujua bahwa Catata : Bagaimaa ada dapat memulai membutia jia memag masih tida bisa membutia dari soalsoal di atas?. Teorema 30. Diberia s mempuyai subbarisa mooto. Hal. 40 barisa bilaga real. Maa S Utu beberapa hal petig lai yag terait, utu semetara tida saya bahas..5 Barisa Cauchy Defiisi 3. Dietahui barisa bilaga real. Maa s suatu barisa s diataa barisa Cauchy jia ANALISA REAL 57

67 utu sembarag 0 terdapat suatu N I sedemiia higga berlau s s, ( m, N). m Secara asar ita dapat pula megataa bahwa barisa Cauchy jia s m da s cuup deat m da yag cuup besar. Hal ii mejelasa pula bahwa barisa yag overge pasti merupaa barisa Cauchy. Teorema 3. Jia suatu barisa bilaga real Buti: s Dietahui overge, maa Cauchy. s merupaa barisa overge sebutlah puya limit L sehigga L lim s.artiya terdapat bilaga positif ecil 0, terdapat suatu ides N I sedemiia higga s L ( N). s s Jadi jia m, N ita puya s m s s L L s m s m L L s 58 Aalisa Real dega MATLAB

68 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Sedemiia higga s s m, N m yag membutia bahwa barisa tersebut Cauchy. s Teorema 33. Jia Cauchy maa s terbatas. Buti: Diberia (megapa) dipilih N I sedemiia higga s s, m N m,. Maa s s, m N. () m N Oleh area itu jia m N, dipuyai s m sm sn sn sm sn sn da juga dega megguaa () s, m N. m s N Jia ma s s M,..., N maa s M, m I m s N, sehigga s terbatas. Teorema 34. Jia s barisa Cauchy maa s overge. Buti : hal ANALISA REAL 59

69 Latiha soal.7 : E..0. Jia s barisa Cauchy bilaga real yag mempuyai subbarisa yag overge e L, butia bahwa s overge e L juga.. Utu setiap I, dietahui Dega memperhatia tida Cauchy. s s s butia bahwa s 3. Butia bahwa setiap subbarisa barisa Cauchy juga barisa Cauchy. 4. Dietahui da s s barisa bilaga real. Jia c R, 0 r s cr I Tujua bahwa s overge. 5. Tetua suatu barisa iterval tertutup dega etetua I I... I... yag titi-titi ahirya adalah bilaga rasioal sedemiia higga I e. 60 Aalisa Real dega MATLAB

70 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 6. Dietahui I, dietahui Butia bahwa jia pula s. a barisa bilaga real, da utu setiap t s a a... a a a... a. Jawaba: ita coba mejawab ya 4. Dietahui c R, 0 r da Tujua bahwa s Jawab: Peryataa t barisa Cauchy, maa demiia s barisa bilaga real. Jia s cr I s overge. s s meyataa selisih atara suu berturuta dalam barisa tersebut. Demiia pula utu 0 r, maa selalu berlau 0 < r <. Oleh area itu diambil c < sehigga berlau cr. Hal ii beraibat s s cr <. Sehigga s merupaa suatu barisa Cauchy (berdasara defiisi barisa Cauchy). Sehigga s overge. ANALISA REAL 6

71 Teorema 35. Kelegapa pada R (Completeess Theorem) Setiap barisa Cauchy dari bilaga real merupaa barisa yag overge. Oleh area itu R diataa legap (complete). Buti : Aggaplah a suatu barisa Cauchy. Dega teorema, maa barisa tersebut terbatas. Dega teorema Bolzao Weierstrass barisa tersebut mempuyai sub-barisa yag overge, sebutlah lim L. a Ambil suatu 0. Dari defiisi barisa Cauchy utu / maa terdapat suatu bilaga bulat N sedemiia higga berlau a m a utu semua m, N. Dega megguaa defiisi limit utu /, terdapat suatu bilaga bulat K sehigga L utu semua K. a Ambil sembarag area itu utu setiap K sedemiia higga N. Oleh N a L a a a L. 6 Aalisa Real dega MATLAB

72 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Artiya lim a bilaga rasioal. L. Teorema ii tida berlau pada barisa Daftar Pustaa Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC. Goldberg, R.R., 976. Methods of Real Aalysis, Joh Wiley & Sos, Ic, Secod Editio, New Yor. Lewi, J.,Lewi, M.,993. A Itroductio to Mathematical Aalysis, Secod Editio, McGraw-Hill,Ic, New Yor. ANALISA REAL 63

73 64 Aalisa Real dega MATLAB

74 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB II DERET BILANGAN REAL. Pedahulua Pada bagia ii dibahas tetag deret bilaga real. Sebagaimaa pada barisa bilaga real, maa ata uci utama yag dibahas adalah tetag overgesi da divergesi. Sebagia besar dari Bab II ii diambil dari (Davidso, da Dosig, 00). Deret yag perah ada eal misala deret aritmatia da deret geometri. Masih igat tetag deret ii?. Deret aritmatia dibetu dari jumlah suu pertama barisa aritmatia (barisa utu edua suu berturuta mempuyai beda yag sama) yaitu a, a b, a b, a 3b,..., a ( ) b. Utu deret geometri dibetu dari jumlah parsial suu pertama barisa geometri yaitu Igat barisa a rasio r jia r 3 a, ar, ar, ar,..., ar. merupaa barisa geometri dega a utu semua atau secara euivale a ita dapat meulisa a ar utu semua ANALISA REAL 65

75 Deret geometri aa overge jia r < da a S ar. r 0 Tetuya jia a 0 da r, maa suu-suu a ar tida overge e-0. Pada asus ii deret tida dapat dijumlaha (ot summable). Utu deret bilaga real yag lebih bervariasi maa diperlua mecari jumlah parsialya jia ada (berarti berhigga).. Koverge da diverge deret Defiisi. Deret barisa bilaga real a adalah s ta higga a a... a a adalah jumlaha dari. Sebutlah jumlaha parsialya, I. Bilaga a diataa suu e- dari deret tersebut. Serigali ides suatu deret dimulai dari =0. Jadi ita serig meulis deret dega otasi 0 a (dalam hal ii ita mempuyai jumlah parsial yaitu s a... 0 a a a. Jadi deret... dapat ditulis sebagai 0. Jadi ita 66 Aalisa Real dega MATLAB

76 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. tida perlu mempermasalaha jia dalam peulisa teorema ita meulis ataupu atau a a a utu p sembarag bilaga bulat p 0. Defiisi overge atau diverge suatu deret tergatug pada defiisi overge atau diverge dari barisa jumlaha parsial s. Defiisi. Dietahui deret bilaga real dega jumlah parsial s a... a I 0. Jia barisa s overge e A R, ita megataa a overge e A. Jia s diverge, ita megataa bahwa a diverge. Catata: Perhatia bahwa overgesi barisa jumlah parsial dapat diselidii sebagaimaa pada barisa bilaga real. Jia a overge e A, ita serig meulis a a A. Jadi tida haya meyataa suatu deret, tetapi juga meyataa jumlah parsialya. ANALISA REAL 67

77 Teorema 3a. Jia a overge e A, da b overge e B, maa deret a overge e A + B. b Juga jia c R maa ca overge e ca. Buti : Dietahui a A, b B, maa a = a b a b a b... b = a + a + a a + b + b + b b 3 3 a b a b =A +B. (terbuti) ca = c a +c a +c a = c a ca. (terbuti). Bagaimaa meguji overgesi atau divergesi suatu deret?. Beriut ii terdapat beberapa uji yag tereal da serig diguaa.3 Uji Kovergesi utu deret dega suu-suu taegatif Teradag utu meyelidii overgesi suatu deret, ita dapat megujiya tapa harus megetahui 68 Aalisa Real dega MATLAB

78 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. limitya. Kita aa mulai dari deret dega suu-suuya positif. Jia setiap a 0 maa s s a s (jumlah parsialya ai mooto). Meurut Teorema Kovergesi Mooto diperoleh bahwa s overge jia da haya jia barisa tersebut terbatas e atas. Kita aa memperoleh proposisi beriut..3. Proposisi 3b. Jia a 0 utu da s a maa dapat terjadi salah satu di bawah ii () jias terbatas e-atas maa a overge, atau () jia s taterbatas, maa.3. Tes Itegral (utu deret ta egatif) Perhatia suatu deret da a a A a diverge. sedemiia higga a 0 a maa ita dapat meggambar, a dega sebagai tiggiya da guaa a a, maa aa a diperoleh fugsi otiu f() sedemiia rupa sebagaimaa ditujua pada Gambar. f ( ) a ANALISA REAL 69

79 Gambar. Jelas bahwa berdasara itegral Riema maa jumlaha luas atas yag diarsir f ( ) d a Demiia pula jumlaha luas persegi di bawah urva berlau ( ) d a f. Hal ii memberia pegertia epada ita utu teorema beriut ii. Teorema 4a. Dietahui f() fugsi otiu yag meuru sedemiia higga f ( ) Maa a a overge jia da haya jia f ( ) d overge. 70 Aalisa Real dega MATLAB

80 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Aibat 4b. Dietahui f() fugsi otiu yag meuru sedemiia higga f ( ) a Maa a diverge jia da haya jia f ( ) d diverge Cotoh a. Perhatia Susu d Jadi diperoleh d lim. M M overge. Berapaah limitya?. Kita dapat megambil beberapa suu awal utu dijumlah (jia deret overge). Misala.635. Cotoh b. Perhatia Susu / d diperoleh M / d = lim. M Jadi / d diverge. Kita tida dapat megambil beberapa suu awal utu dijumlah (jia deret diverge). Teorema 4b. Test deret p yaitu p ANALISA REAL 7

81 Susu d p = p d lim M p M p Itegral ii overge jia p + < 0 atau p > da diverge utu p <. Utu p =, maa deret Berdasara tes itegral maa d merupaa deret harmoi. = lim l. M M Jadi p overge utu p > da p. Jia setiap a 0maa s s a s sehigga jumlah parsialya ai mooto. Meurut Teorema Kovergesi Mooto diperoleh bahwa s overge jia da haya jia barisa tersebut terbatas e atas. Kita aa memperoleh proposisi beriut. Proposisi 5. Jia a 0 utu da s a dapat terjadi salah satu di bawah ii maa () jias terbatas e atas maa a overge, atau () jia s taterbatas, yag maa a diverge. Teorema 6a. Jia deret merupaa deret dega suusuu ta egatif dega s a a... a I maa 7 Aalisa Real dega MATLAB

82 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (a) (b) a overge jia barisa a diverge jia s terbatas. s ta terbatas. Teorema 6b. (a) Jia 0, maa overge e 0 (b) Jia maa diverge. Perhatia cotoh beriut yaitu deret dietahui sebagai deret harmoi. Teorema 6c. Deret / Buti: (deret harmoi) diverge. Kita mempelajari barisa deret parsial yaitu s, s, s, s,..., s,... dari 4 8 s artiya ita mempuyai s / /3/ 4... /. Jadi ita mempuyai s, s / 3/, 0 s 4 s /3/ 4 3/ / 4/ 4 s8 s4 /5/6/7 /8 /8/8/8/8 5/ ; ANALISA REAL 73

83 Pada umumya, dega idusi dapat ditujua bahwa / s. Jadi s terdiri dari subbarisa yag diverge. Jadi berdasara suatu teorema (yag maa?) bahwa deret / (harmoi) diverge. Kita aa membahas lagi deret harmoi bahwa diverge mesipu lim a 0. a Jia a deret dega suu-suu ta egatif yag overge, teradag ita meulisa dega cara a. Jia a deret diverge dega suu-suu ta egatif, maa ita dapat meulis dega cara a. Jadi 0,. 0 Kita perlu pula mecatat bahwa tida ada deret yag diverge dega cara selambat mugi. Lebih tepatya dijelasa beriut ii. 74 Aalisa Real dega MATLAB

84 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Teorema 7. Jia a deret diverge dega bilaga positif maa terdapat suatu barisa (bilaga positif) yag overge e 0, tetapi Buti: hal 7-7. a masih diverge..3.3 Test aar Aggap bahwa a 0 utu semua, da ambil l lim sup, a Jia l < maa diverge. a overge. Jia l >, maa Catata: Jia l lim sup, deret mugi atau mugi tida overge. a a Buti: Aggap l lim sup a <. Utu meujua deret overge, ita perlu meujua bahwa jumlah barisa parsialya juga terbatas eatas. Ambilah bilaga r dega l < r < da sebut r l. Karea > 0, ita dapat meemua bilaga bulat N > 0 sedemiia higga ANALISA REAL 75

85 / a l r utu semua N. Oleh area itu a r utu semua N. Perhatia barisa b yag diberia oleh b, N da b r utu N. a Barisa ii dapat dijumlah. Lagi pula b N b b N N b N r r. Karea a b utu. Dega tes badig meujua bahwa a summable. sebut Sebaliya jia l lim sup da sebutlah r l. Dari defiiisi lim sup, terdapat subbarisa... sedemiia higga / a l utu semua. Oleh area itu suu-suu a tida overge e 0 sehigga deret diverge. a Teorema 8. Jia deret overge maa lim a 0. a Catata: Hati-hati, Teorema 8 tida berarti sebaliya. Deret harmoi diverge tetapi lim a 0. Jadi tida boleh membutia overgesi deret dega Teorema Aalisa Real dega MATLAB

86 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Cotoh c. Deret / Disii a / harus diverge. sehigga lim a lim / 0 Cotoh. ada. pasti diverge area lim a baha tida. Catata: Perhatia bahwa peryataa Teorema 8 sama artiya dega jia lim a 0 (atau baha tida ada) maa a serig diguaa. diverge. Peryataa iilah yag Perhatia pula bahwa lim a 0 bua merupaa syarat cuup utu mejami bahwa a belajar tetag hal ii pada subbab beriutya. overge. Kita aa Latiha soal. : E. 3. hal. 69. Butia bahwa jia a a... overge e s, maa a a3... overge e s a.. Butia bahwa deret /( ( )) overge ANALISA REAL 77

87 Petuju: parsialya. da hitug jumlah ( ) 3. Utu setiap ilai, apaah deret 3 ( )... overge?. 4. Butia bahwa deret a a a a a a overge jia da haya jia barisa a overge. 5. Apaah log / overge atau diverge?. 6. Butia bahwa utu sembarag a, br, maa deret a ( a b) ( a b) ( a 3b)... diverge e-cuali jia a = b =0. 7. Tujua bahwa 0 terdapat N I sedemiia higga m a overge jia da haya jia a, m N. 8. Butia bahwa jia a a a... overge e A, 3 maa a a a a a a overge. 78 Aalisa Real dega MATLAB

88 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 9. Tujua bahwa jia overge da diverge, maa 0. Apaah a diverge. b a /( ) overge atau diverge?. b Apaah Catata : 0 0 ( ) overge atau diverge?. Jia a overge, maa sembarag deret yag dibetu dari deret a dega meyisipiya (misalya a a a a (...)... e jumlah yag sama ) over-ge Latiha soal. Jia a i i a deret bilaga positif yag overge da jia adalah suatu subbarisa dari i a i overge.. Butia bahwa... overge.! 4! 6! ANALISA REAL 79

89 . Jia 0 bahwa a, 0 0 a besar daripada /(-). 3. Jia da jia 0, maa butia overge da jia jumlahya tida lebih s ta turu, da 0 terdapat suatu deret 0 s s I a dega 0, butia bahwa a, I a a... a I. 4. Butia bahwa +/3 + /5 + /7 + diverge. 5. Apaah utu ilai R maa berapa limitya?. 3 da... overge?. Jia ya.4 Deret Gati tada (Alteratig Series) Deret gati tada adalah deret tahigga yag suu-suuya bergati tada. Cotoh 3. -/ +/4 -/8 + ; ; -/ + /3 -/4 + adalah merupaa cotoh-cotoh deret bergati tada. 80 Aalisa Real dega MATLAB

90 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Deret gati tada dapat ditulis suuya positif atau a jia setiap a jia suu pertamaya egatif. Kita aa membahas tetag overgesi da divergesi deret gati tada. Teorema 9. Jia a barisa bilaga positif sedemiia higga (a) a a... a a...(yaitu bahwa baris-a ta ai) da (b) lim a 0 maa deret gati tada overge. Catata: perhatia bahwa Teorema ii diguaa utu barisa gati tada dimaa gati tada tida diperhatia (semua positif), tetapi esimpula overgesi utu deret Aibat 0. Jia deret gati tada. memeuhi hipotesa pada Teorema 9 artiya overge (sebutlah e L R ) maa s L a, I. a a a a ANALISA REAL 8

91 Jadi perbedaa atara jumlaha da sembarag jumlaha parsial tida aa lebih dari suu pertama tida termasu dalam jumlah parsial. Cotoh 4. Kita etahui bahwa / diverge. Aa tetapi area / i barisa ta ai da lim/ 0maa dari Teorema 9 diperoleh L R sehigga / 3 4 overge. Artiya, ada suatu ( ) L. Aa tetapi ita tida tahu berapaah L. Utu itu ita medugaya dega megguaa Teorema 9, yaitu utu I dipuyai bahwa ( )... Jia ita ambil = 9, diperoleh L L. Sedemiia higga L (Pada eyataaya ita megetahui bahwa 0 a s9 L, sehigga ita dapat 8 Aalisa Real dega MATLAB

92 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. meyimpula L Dapat ditujua bahwa L log Jia 0 < <, maa berdasara Teorema 9 diperoleh... = 0 ( ) overge. Aibat 0 juga dapat diguaa bahwa 0 Hasil jumlaha dega rasio Cotoh 5. Perhatia deret ( ) = r = 0 a..., 0 < <. diperoleh dari jumlaha deret geometri a! ( ) ( )!!.... 3! Berdasara Teorema 0 maa deret tersebut overge. Jia L maa 0! L.!! 3! 4! 5! 6! Dari hasil tersebut, dapat disimpula bahwa L ANALISA REAL 83

93 Latiha soal.3. Utu berapaah ilai p sehigga deret... overge?. p p p p 3 4. Jia tida bulat, butia bahwa... overge Butia bahwa / / 3 / 4 (a)... diverge / / 3 / 4 (b) ( ) ( ) ( )... overge 4. Tujua bahwa jia a ( ) maa a diverge. (Disii a 0 da lim a 0, megapa Teorema 9 tida berlau?). 5. Tujua bahwa /( ) diverge..5 Koverge Bersyarat da Koverge Absolut Kita etahui dari studi yag lalu bahwa deret Aalisa Real dega MATLAB

94 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. da juga deret eduaya overge. Aa tetapi edua deret berbeda. Jia ita ambil ilai absolutya dari deret pertama diperoleh... maa deret ii overge (deret geometri 4 8 r=/) Sedaga deret edua diabsoluta diperoleh mejadi deret yag diverge. Hal ii mejelasa pada ita tetag overgesi deret mejadi elompo. Defiisi. Diberia deret bilaga real. (a) (b) Jia Jia a overge, ita megataa bahwa a overge absolut. a overge tetapi a diverge, ita megataa bahwa a overge bersyarat (coverges coditioally). Teorema. Jia a overge absolut, maa overge. a ANALISA REAL 85

95 Buti: igatlah tes badig. Jia ita memecah suatu deret a mejadi deret yag positif a da deret egatif a, ita dapat meujua perbedaa petig atara overge absolut da overge bersyarat. ambil Persisya, jia a a suatu deret bilaga real, ita p jia a 0, p 0 jia a 0, Jadi utu deret..., p, 3 p, ( ) p 3 3, Sedaga p p Secara sama, ita sebut 4 q a jia q 0 jia a 0. a 0, Oleh area itu p merupaa suu-suu positf dari a (termasu dega adaya 0) sedaga egatif. Dapat dipelajari dega mudah (?) bahwa p ma a,0 da mi a,0 q adalah suu-suu q. 86 Aalisa Real dega MATLAB

96 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Kita dapat meyusu (?) Juga p a a da q a a a p q.. Tetu mudah membutia Teorema beriut. Teorema 3. (a) Jia a ovege absolut maa edua p da q juga overge. (b) Jia a overge bersyarat, maa edua p da q juga diverge. (c) Jia edua p da q overge, maa overge absolut. a Buti: hal Tes Badig Perhatia barisa bilaga real a utu semua b summable da. Jia a da b dega b summable maa a ANALISA REAL 87

97 Jia a b. a tida dapat dijumlaha (usummable) maa usummable. Catata : Kita dapat memahami dega mudah bahwa jia deret dega jumlah yag lebih besar overge maa deret dega jumlah yag lebih ecil juga overge. Umumya pada soal ita harus meguji overgesi deret a, emudia ita mecari deret lai yag jumlahya lebih besar da sudah dietahui terlebih dahulu sifatya. Sumber lai (web) mempresetasia test badig dega berdasara rasio atara edua deret sebagai beriut. b Dietahui a da b merupaa deret ta higga. Dietahui r a lim ada da r b 0. Maa a overge absolut jia da haya jia absolut. b overge Latiha soal.4 (E. 3.4 hal. 76). Tetua deret beriut: diverge, overge bersyarat atau overge absolut: 88 Aalisa Real dega MATLAB

98 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (a)...!! 3! (b) (c) (d) (e) Dapatah suatu deret ta egative overge bersyarat?. 3. Butia bahwa jia a maa a a. 4. Jia a overge absolut, da jia utu setiap I, butia bahwa a overge. 5. Jia overge utu setiap barisa a sedemiia higga utu setiap I, butia bahwa a overge absolut. ANALISA REAL 89

99 .6 Peyusua ulag Deret Yag dimasuda peyusua ulag deret adalah meyusu deret mula-mula mejadi deret lai dega uruta berbeda. Kita aa mempelajari bahwa peyusua ulag deret overge absolute tida berpegaruh terhadap jumlahaya, tetapi peyusua ulag deret yag overge bersyarat dapat berdampa drastis. Kita telah megetahui bahwa deret / overge bersyarat pada suatu L R 9dimaa ita telah meyebuta bahwa L = log ). Lagipula ita tahu 0.6 L 0.8 sehigga L 0. Kita puya L.... () Dega teorema 3, L.... () Demiia pula L (3) Jia ita tambaha () dega () diperoleh lagi oleh Teorema 3 bahwa 90 Aalisa Real dega MATLAB

100 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Atau 3 L ( 0) ( ) ( 0) ( ) L... (3) Perhatia bahwa deret pada persamaa (3) adalah peyusua ulag deret pada ruas aa persamaa () tetapi eduaya overge pada limit yag berbeda. Defiisi 4. Ambil N = i i adalah barisa bilaga bulat positif yag setiap bilaga bulat positif terjadi tepat seali diatara a i a i i (Yaitu N adalah fugsi - dari I oto I). Jia deret bilaga real da jia b i I, maa i b i diataa suatu peyusua a ulag dari. Latiha soal.5 A. Tetua apaah deret beriut ii overge absolut, bersyarat, atau tida sama seali. ANALISA REAL 9

101 (a). ( ) log( ) (b) ( ) ( ) (c) ( ) si B. Hituglah jumlah deret jia diberia. 6 Petuju : Guaa 4 ( ). C. Tujua bahwa cos 3 overge absolut. Tetua jumlahya (berarti limit deret tersebut) da dietahui bahwa. 6 D. Dietahui bahwa a utu. Pelajari apaah deret overge. Latiha soal.6 A. Hitug jumlah deret ( ) B. Hitug deret ( )( 3)( 4 ) da a 9 Aalisa Real dega MATLAB

102 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Petuju: Tujua bahwa. ( )( 3)( 4) 3 4 C. Butia bahwa jia p da t deret yag overge dega suu-suu taegatif maa overge. D. Diberia a suatu barisa sedemiia higga lim a 0. Butia bahwa terdapat suatu sub-barisa a sedemiia higga E. Hitug ( ) e- dega =. a overge. t p. Petuju: Kalia suu F. Diberia a < da betu S a T 0 ( ) a. (a) Tujua bahwa 0 ( ) a S ( ) a 0 ( ) (b) Tujua bahwa T S a. da ANALISA REAL 93

103 (c) Tujua bahwa (d) Hituglah. 0 3 lim T lim S. G. Diberia 0 da / (a) Tetua (b) Diberia lim.. y.tetua suatu formula reursi utu y yag haya memuat y saja. (c) Tujua bahwa y mooto ai da y log. (d) Oleh area itu tujua bahwa lim 0. Teorema Kovergesi Mooto: Suatu barisa mooto ai yag terbatas e atas, barisa tersebut overge. Suatu barisa mooto turu yag terbatas e bawah, barisa tersebut overge. 94 Aalisa Real dega MATLAB

104 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB III TOPOLOGI DI R Selama ii ita telah belajar tetag limit barisa bilaga real da limit deret dari bilaga real. Kita aa megembaga pemahama tetag overgesi R. Topology dari ata Gree τόπος, artiya tempat da λόγος, artiya belajar. Topologi merupaa topi utama pada matematia yag beraita dega sifat-sifat otiuitas dari deformasi suatu obye. Pada himpua da geometri, maa topologi mempelajari osep ruag, dimesi da trasformasi. Salah satu topiya adalah tetag homorfisma (homeomorphisms) yaitu pemetaa yag otiu da iversya yag otiu. Pada bagia ii haya aa dibahas beberapa ata uci yag mucul pada bahasa bagia ii. 3. Ruag dimesi Perhatia bahwa vetor pada aa dipadag sebagai titi. Salah satu ruag adalah ruag vetor yag pada dasarya memeuhi huum pejumlaha da peralia terhadap salar. Notasi pajag vetor diberia oleh orm Euclide yaitu R /, i i,...,. ANALISA REAL 95

105 Sehigga jara atara titi aa megiuti huum Pythagoras. Yaitu sebutlah titi di R adalah da y maa jara atara titi tersebut adalah y i i y i / Sifat jara yag petig adalah pertidasamaa segitiga yag ditujua pada subbab 3.3. Ada hubuga yag sagat deat atar peralia dalam (ier product) da peralia titi (dot product) dari sifat idettas, ita dapat memperoleh sifat liear (yaitu peralia dalam mempuyai sifat tertutup terhadap peralia salar da pejumlaha, yaitu r sy, z r, z s y, z utu semua.,, y z R da r, sr da, sy tz s, y t, z utu semua, y, z R da s, t R. 3. Pertidasamaa Schwarz Utu semua da y dalam, y R berlau y 96 Aalisa Real dega MATLAB

106 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Tada sama berlau jia da haya jia da y oliear (salah satu titi dapat diyataa sebagai ombiasi liear dari yag lai). Buti: Utu membutia ita perlu meujua y -, y 0. Utu meujua (.) 0 umumya dega meyataa bahwa (.) sebagai betu uadrat. Selai itu maa dega (.) juga tida merubah maa. Artiya buti beriut disusu dega membutia pembutia disusu. y, y 0. Demiialah Utu dapat memahami pembutia lebih rici maa beriut ii dijabara utu =. Utu = maa y j = y y i j = i y = y y y y = y y y y = y j y j j j (tada sigma haya berlau utu ides j. = i y j = i j i j i y j + j y i. Demiia pula =, y y i i (berdasara defiisi) i ANALISA REAL 97

107 98 Aalisa Real dega MATLAB Ambil = i i y i = y y = y y y y = y y y y y y = y y y + y y y = y y y + y y y = y y y + y y y = j j j j j j y y y y (tada sigma haya berlau utu ides j) = i j j j i i y y = i j j j i i y y. Secara sama ita dapat megguaa peurua tersebut utu sembarag pada pembutia sebagai beriut. Sebutlah,...,, da y y y y,...,, Maa, y y = i i i j j i i y y = i j j i y + j i y - i j j j i i y y = i j j j i i i j j i y y y y

108 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. = i y j j yi i j 0. (Terbuti). 3.3 Pertidasamaa Segitiga Pertidasamaa segitiga berlau juga utu orm Euclid di R yaitu y y utu semua, y R. Tada sama berlau jia da haya jia 0 atau y c dega c 0. Buti: Kembali ita melaua buti dega meguadrata edua ruas yaitu ita perlu membutia bahwa y y. Guaa hubuga peralia dalam (ier product) da orm utu meghitug beriut : y y, y,, y,, y y, y, y y, y y y y. Jia tada sama dipeuhi, ita harus mempuyai y, y, y = y. Secara husus pertidasamaa Schwarz dipeuhi. Jadi apaah 0 atau y c. Substitusia y c dalam ANALISA REAL 99

109 , y = y. Dega c y / 0. Ketia ita meulis eleme dalam R dalam otasi vetor, ita megguaa basis stadard yaitu : i dega e i sebagai vetor dega ilai pada posisi e i, sedaga 0 pada oordiat yag lai. Suatu himpua v,..., v m dalam R adalah ortoormal jia i v j ij e i v, utu i i, j m dega 0 etia i j da. Jia berlau pula ij bahwa v meretag maa e,...,,..., e diataa v m R basis ortoormal. Secara husus, e,..., e merupaa basis ortoormal utu R. ij 3.4 Kovergesi da elegapa (completeess) di R Perhatia bahwa selama ii ita membicaraa overgesi pada himpua bilaga real R. Kita aa memperluas defiisi overge pada himpua bilaga R pada R. Aalogiya adalah bahwa tada absolut berubah mejadi tada Euclidea orm. Defiisi. Suatu barisa titi pada R ditulis sebagai overge e suatu titi a jia utu setiap 0 terdapat suatu bilaga asli N N( ) sedemiia higga a utu semua N. 00 Aalisa Real dega MATLAB

110 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Dalam ii, ita tulis lim a. Perhatia bahwa ita dapat meurua defiisi yag serupa pada himpua bilaga real tetapi harus lebih hatihati dalam meulisa area berlau pada himpua bilaga R. Lemma. Sebutlah merupaa suatu barisa dalam R. Maa lim a jia da haya jia lim a 0. Lemma 3. Suatu barisa,,...,, e suatu titi a a a,...,, oefisie overge. Ditulis, i i a lim a utu setiap i. di overge jia haya jia setiap lim a jia haya jia Buti : (pembutia pada arah '' ) Dietahui lim a. Artiya diberia 0, diperoleh bilaga bulat N sedemiia higga a utu semua N. Aibatya utu setiap i da semua N, berlau / R, i ai, j a j a. j ANALISA REAL 0

111 Oleh area itu lim a utu semua i., i i (pembutia pada arah '' ) Dietahui bahwa setiap barisa oordiat berlau lim a, setiap i. Oleh area itu diberia 0, i i, guaa / dalam defiisi limit da pilih N i sedemiia besar sehigga berlau, i ai utu semua Ni. Dega megguaa N N i : i pertidasamaa ii valid utu Oleh area itu Jadi a i lim a., i a i / ma utu semua i N. /. Sebagaimaa pada barisa bilaga real, ita aa medefiisia barisa Cauchy da completeess pada dimesi yag lebih tiggi yaitu di R Defiisi 4. Suatu barisa di R merupaa barisa Cauchy jia setiap 0 terdapat suatu bilaga bulat N sedemiia higga l utu semua, l N. 0 Aalisa Real dega MATLAB

112 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Suatu himpua S R disebut legap (complete) jia setiap barisa Cauchy sebagai titi-titi pada S overge e suatu titi di S. Teorema 5. elegapa di R (completeess theorem i R ) Setiap barisa Cauchy di R overge. Jadi R legap (complete). Buti : Sebutlah di R merupaa barisa Cauchy. Utu membutia, ita perlu membutia tiap ompoe barisa pada yaitu =, i overge. Marilah ita tulisa tiap eleme,,,...,,,. Aa ditujua tiap barisa merupaa barisa Cauchy utu setiap i. Dietahui barisa Cauchy di R overge. Artiya jia diberia 0, ita memilih N sedemiia besar sehigga utu semua, l N. Sehigga, i l, i l utu semua, l N., i Jadi utu i. Karea sifat completeess theorem berlau, berarti setiap barisa tersebut puya limit sebutlah lim a utu i. Kemudia ita, i l i ANALISA REAL 03

113 defiisia vetor oleh a a,..., a R Lemma, ita dapat memperoleh yag diehedai. a. Dega 3.5 Subhimpua tertutup da terbua Perhatia bahwa ata tertutup da terbua tida bermasud seperti tertutup da terbua pitu. Himpua tertutup merupaa himpua yag mempuyai semua titi limit. Kita aa lihat defiisi formal terlebih dahulu barulah dega cotoh. Defiisi 6. Suatu titi diataa titi limit dari suatu subhimpua A di jia suatu barisa a R dega a Asedemiia higga lim a. Suatu himpua A R tertutup jia memuat semua titi limitya. Cotoh. () a b R : a b, merupaa himpua tertutup. () da R eduaya tertutup. (3) [ 0, ) merupaa himpua tertutup. (4) 0, da, (5) R (6) R : 0 bua himpua tertutup. : merupaa himpua tertutup. tida tertutup. 04 Aalisa Real dega MATLAB

114 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (7) (, y) R : y juga tertutup. (8). Himpua berhigga dari bilaga real tertutup di R. Karea suatu himpua tertutup mempuyai sifat yag sagat bergua yaitu memuat semua titi limit-titi limitya, maa ita igi megostrusi himpua tertutup dari himpua yag lai yag bersifat sediit urag bagus dari himpua tertutup yag ditujua pada defiisi beriut. Defiisi 7. Jia A R maa closure A yag disimbola A yag memuat semua titi limit dalam A. Membiguga bua?. Bagaimaa dega himpua tertutup da closure A?. Perhatia proposisi beriut. Proposisi 8. Dietahui A R. Maa A sebagai himpua terecil yag tertutup yag memuat A. Khususya A A. (Catata: peryataa tersebut semai membiguga bua?). Buti: Perhatia utu setiap a A Bagaimaa tetag himpua terbua?. Beriut cotohcotohya. Cotoh. () a b R : a b, merupaa himpua terbua. () Q da R eduaya terbua. (3) ( 0, ) merupaa himpua tertutup. ANALISA REAL 05

115 (4) 0, da, (5) B r (a) terbua. 0 tida terbua. (7) Br a) R : a r (8) (, y) R : y terbua. (9). (,0) R : 0 ( tida terbua. tida terbua. 3.6 Compact Set da Teorema Heie Borel Defiisi 9. Suatu subhimpua A R disebut ompa a (compact) jia setiap barisa titi (disimbola pada A mempuyai suatu subbarisa yag overge a i artiya puya limit sebutlah lim a di A. a i i ) titi Dega defiisi ii maa ita dapat meyimpula bahwa setiap subbarisa di R yag tertutup da terbatas merupaa himpua compact. i Latiha soal 3 Dari himpua beriut ii maaah yag compact?. (a), yr : y (b) R : 4 06 Aalisa Real dega MATLAB (c) ( e cos, e si ) : 0 (,0) : 0 (d) ( e cos, e si ) : 0,0

116 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Daftar Pustaa Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC 00, Chapter 4. ANALISA REAL 07

117 08 Aalisa Real dega MATLAB

118 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB IV LIMIT FUNGSI, BARISAN DAN DERET FUNGSI 4. Limit fugsi da Fugsi otiu Sebagaimaa yag dibicaraa pada Bab-bab sebelum ii, maa ita searag aa membicaraa tetag barisa fugsi da deret fugsi. Defiisi. Defiisi Limit fugsi (Davidso, da Dosig, Dietahui 00) S R da f suatu fugsi dari S ito m R. Jia a suatu titi limit dari S\{ a } (dibaca: himpua S yag tida memuat himpua yag beraggotaa a), maa suatu titi v m R adalah limit dari f pada a jia utu setiap 0, terdapat suatu r > 0 sedemiia higga f () v bilamaa 0 a r da S. Ditulis lim f ( ) v. a Catata: Karea f memetaa S R e m R maa hasil m pemetaa dapat berupa vetor di R. ANALISA REAL 09

119 Secara geometris hal ii diilustrasia pada Gambar. Gambar. Limit utu fugsi f : R R Perhatia bahwa f(a) tida perlu terdefiisi. Megataa lim f ( ) v tida mejelasa apa-apa tetag f(a). Igat a asus suatu fugsi yag terdefiisi pada suatu iterval (a,b) da c ( a, b). Maa lim c f ( ) L r > 0 sedemiia higga yag berarti utu setiap 0 terdapat suatu f()-l < utu semua 0 < - < r. 0 Aalisa Real dega MATLAB

120 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Defiisi. Dietahui ito S R da f suatu fugsi dari S m R. Kita megataa bahwa f otiu pada suatu a S jia utu setiap 0, terdapat suatu r > 0 sedemiia higga utu setiap S dega a r berlau f ( ) f ( a). Lebih jelas lagi, f otiu pada S jia f otiu pada setiap titi a S. Jia f tida otiu pada a, ita megataa bahwa f disotiu pada a. Kotiuitas dapat digambara adag-adag dega limit. Jia a bua titi isolasi yaitu a suatu titi limit dari S\{a}, maa lim f ( ) masu aal da f otiu a pada a jia da haya jia f ( ) f ( a). Perhatia lim a bahwa jia a. suatu titi isolasi S, maa f selalu otiu pada a. Cotoh. Diberia f : R \{ 0 } R dalam betu f ( ). Mari ita tujua bahwa fugsi ii otiu pada domai yag diberia. Perhatia utu = da = maa maa diilustrasia pada Gambar a-b. f ( ) ANALISA REAL

121 Gambar a. Ilustrasi utu R \{0}. f ( ) Gambar b. Ilustrasi f ( ) utu y R \{ 0} Utu meujua fugsi ii otiu pada domai yag diberia, tetapa terlebih dahulu suatu a R. Maa Tada orm pada defiisi digati dega tada absolut disii area hasil pemetaa f di R. a f ( ) f ( a) (a) a a Tujua ita adalah membuat selisih ii ecil dega megotrol jara a. Utu megestimasi bagia pembilag, ita guaa pertidasamaa segitiga yaitu Aalisa Real dega MATLAB

122 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. a - a da a - a. (b) Persamaa (b) diuraga da diabsoluta, diperoleh - a - a a a - a. (c) Kita perhatia bagia pembilag a. Karea a adalah bilaga osta positif maa tida mejadi masalah. Aa tetapi harus dijaga jauh dari 0. Dipilih a a / maa a a a /. Hasil-hasil di atas digabug da dega memilih r a / da perhatia sembarag sedemiia higga - a r. Maa a - a r f ( ) f ( a). a a / a Utu membuat pertidasamaa tersebut lebih ecil dari, ita perlu r a /. Oleh area itu f ( ) f (a), yag disertai dega - a r mi a /, a /. Hal ii meujua bahwa f suatu fugsi otiu. Perhatia bahwa fugsi meuju ta higga utu medeati 0. ANALISA REAL 3

123 Catata: Perhatia f ( ) utu R \{0} maa f bermaa f ( ), Jia digambara ita medapat- a Gambar a. Jia f ( ) utu R \{ 0} maa f bermaa f ( ) yag diilustrasia y pada Gambar b. Cotoh. Suatu fugsi tida perlu aaliti (terdefiisi pada suatu titi) agar otiu. Aa tetapi perlu ehati-hatia dalam 0 jia 0 asus beriut ii yaitu f ( ) yag / e jia 0. diilustrasia pada Gambar 3. Gambar 3. Ilustrasi f 0 ) e jia ( / jia Aalisa Real dega MATLAB

124 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Utu a < 0 da 0 ita dapat megguaa r a. Jia a a maa < 0 da f ( ) f ( a) Oleh area itu f otiu di a. Jia a > 0, r harus dicari dega tepat utu setiap sebagaimaa pada cotoh sebelum ii. Espresi adalah fugsi omposisi dari g e / ( ) e da h ( ) / sehiga f() =g(h()). Kita aa pelajari bahwa fugsi omposisi dari fugsi otiu merupaa fugsi otiu. Searag ita perhatia utu a = 0 secara terpisah area f puya beda defiisi pada sebelah iri 0 da sebelah aa 0. Kita tetapa suatu 0. Perhatia bahwa e merupaa fugsi ai sehigga lim e 0. Oleh area itu ada bilaga besar -N sedemiia higga sehigga N e. Oleh area itu jia 0 < < /N berlau -/ < -N / N 0 f ( ) e e. Dega megambil r =/N diperoleh 0 jia r 0 ( ) f (0) / e jia 0 r. f ANALISA REAL 5

125 Karea 0 da e / lebih ecil dari, maa f otiu di 0. Searag ita aa membahas fugsi-fugsi yag secara otomatis otiu. Defiisi 3. Suatu fugsi f dari S R ito m R diataa fugsi Lipschitz jia terdapat suatu osta C sehigga berlau f ( ) f ( y) C - y utu semua,y S. Kosta Lipschitz f adalah bilaga terecil C sehigga odisi tersebut dipeuhi. Proposisi 4. Setiap fugsi Lipschitz adalah fugsi otiu. Buti: Dietahui f fugsi Lipschitz dega osta C. Diberi 0 da r = / C. Maa jia y r, f ( ) f ( y) C - y Cr. Oleh area itu f fugsi otiu. Aibat 5. Setiap pemetaa liear A dari Lipschitz da oleh area itu otiu. R e m R adalah Buti: Igat trasformasi liear diberia oleh suatu matris m sebutlah sebagai A = a sehigga ij 6 Aalisa Real dega MATLAB

126 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. A= T a j j,..., amj j j. j Dietahui,..., T da y y y,..., T hitug,, y, ita A Ay A( y) m i j a ij j y j /. Dega megguaa pertidasamaa Schwarz diperoleh j a ij j y j aij j y j aij y j j j. Dega medefiisia / m C a ij diperoleh i j / m A Ay A( y) y a ij. i j Oleh area pemetaa liear adalah Lipschitz, maa otiu. Latiha soal 4. A. Guaa defiisi utu membutia bahwa lim 4. ANALISA REAL 7

127 B. Dietahui f ( ) / si utu 0 / da f(0) =. Tujua bahwa f otiu pada 0. Temua suatu r > 0 sehigga berlau f ( ) 0 6 utu semua < r. petuju: guaa pertidasamaa pada cotoh-cotoh. C. Tujua bahwa fugsi f beriut otiu yaitu f ( ),, Z Z. D. Butia bahwa f otiu pada, didefiisia pada y f (, y) y e R sebagai / jia jia 0. 0 y dimaa f 0 0 E. Perhatia suatu fugsi f didefiisia pada yag didefiisia sebagai 0 jia y f, y) si R 0 atau jia y y jia 0 y. ( (a) Tujua bahwa f tida otiu di titi pusat. (b) Tujua bahwa dega membatasi f haya pada suatu garis lurus yag melalui 0 aa otiu. 8 Aalisa Real dega MATLAB

128 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. F. Aggaplah bahwa f : R R otiu. Jia terdapat R da C R sehigga f() < C. Kemudia butia bahwa terdapat r > 0 sedemiia higga utu semua y (), sehigga f() < C. G. Aggap fugsi f, g, h merupaa pemetaa B r S R ito R memeuhi f ( ) g( ) h( ) utu S. Aggap c adalah titi limit di S da lim f ( ) lim h( ) L. Butia bahwa c c lim g( ) L. c H. Perhatia suatu trasformasi lieat A pada diberia oleh matris A 4 R yag (a). Hitug osta Lipschitz yag didefiisia pada Aibat 5. (b). Tujua bahwa A utu setiap 4 R. Hasila esimpula bahwa osta Lipschitz C yag optimal adalah. Petuju: ANALISA REAL 9

129 olom-olom A membetu basis ortoormal utu 4 R. 4. Fugsi disotiu Cotoh 3. Kita perah medefisia f pada R yaitu f(0) = da f() = 0 utu semua 0. Fugsi ii tida otiu (disotiu) pada 0 area lim f ( ) 0 f (0). Fugsi 0 ii merupaa fugsi disotiu palig sederhaa. Kita dapat membuag f(0) agar fugsi tersebut otiu. Cotoh 4a. Perhatia fugsi Heaviside yag baya diguaa di tei. Didefiisia H pada R dega H() = 0 utu semua < 0 da H() = utu semua 0. Kita dapat meglaim bahwa lim H( ) 0 tida ada. Aggap bahwa lim H( ) L 0. Artiya utu sembarag 0, tetu ada r > 0 sedemiia higga H()-L < bilamaa 0 < r. Defiisia / da r sembarag bilaga positif. Dega megguaa pertidasamaa segitiga diperoleh H(r/) L + H(-r/) L H(r/) H(-r/) =. 0 Aalisa Real dega MATLAB

130 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Oleh area itu ma{ H(r/) L, H(-r/) L } =. Oleh area itu limit tida ada. Pada cotoh ii ita tida dapat membuat suatu disotiuitas seperti pada cotoh. Oleh area itu ita cuup medefiisia suatu limit f pada suatu aa atau juga limit f pada suatu iri. Defiisi 6. Limit f utu medeati a dari aa ada da sama dega L jia utu setiap 0, terdapat suatu r > 0 sehigga berlau f() L < utu semua a < < a + r. Ditulis lim a f ( ) L. Limit dari iri juga dapat didefiisia secara serupa da ditulis sebagai lim f ( ) L. a Ketia suatu fugsi f pada R mempuyai limit yag berbeda dari iri da dari aa a, ita megataa f mempuyai disotiuitas lompata (jump discotiuity) pada a. Suatu fugsi pada suatu iterval diataa otiu sepotog (piecewise cotiuous) jia pada setiap subiterval berhigga fugsi ii haya mempuyai titi-titi berhigga yag disotiu (semuaya jump disco-tiuities). Pembatasa H pada (, 0 ) da (0, ) osta da oleh area itu otiu. Apa yag terjadi pada a = 0 ANALISA REAL

131 adalah bahwa lim H( ) L H(0) 0 da lim H( ) 0. 0 Jadi H mejadi piecewise cotiuous dega jump discotiuity pada 0. Adaya defiisi otiu sepotog megijia ita pada defiisi otiu sepotog utu ta higga baya jump discotiuities. Tetapi ita tida membicaraa hal ii lebih lajut. Defiisi 7. Limit suatu fugsi f() utu medeati a adalah jia utu setiap bilaga bulat positif N, terdapat r > 0 sehigga f() > N utu semua 0 < a < r. Ditulis lim a f ( ). Kita medefiisia limit lim a f ( ) secara sama. Cotoh 4b. Kita igat embali Cotoh, diberia f : R \{ 0 } R dalam betu meyebaba f ( ). Didefiisia f(0) = 0 f ( ) otiu pada R \{ 0}. Aa tetapi lim f ( ). a Aalisa Real dega MATLAB

132 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Perhatia, utu setiap bilaga positif bulat N, da ambil r =/N. Maa dega megambil 0 / N, ita mempuyai f ( ) > N sebagaimaa diehedai. Pedefiisia f(0) = 0 tida meyebaba f otiu. Cotoh 4c. Perhatia fugsi pada f, y) ( R yag didefiisia sebagai jia (, y) (0,0) y 0 jia (, y) (0,0). Ada dapat mudah melihat bahwa f otiu pada R \(0,0). Aa tetapi pada titi pusat f bersifat buru. Utu memahami hal ii, ita megoversi f pada oordiat polar. Perhatia vetor (,y) (0,0) yag ditetua oleh pajag r y da sudut yag membuat sumbu positif da merupaa elipata r cos da y r si. Sehigga yaitu r cos f (, y) cos. y r ANALISA REAL 3

133 Perhatia bahwa fugsi ii jia diilustrasia merupaa paah-paah dari titi pusat) pada suatu sudut tetap. Sealipu fugsi ii tetap terbatas, tetapi ilai f(,y) berosilasi diatara 0 da utu (,y) berputar pada ligara. Jadi utu setiap (r. 0) da seriap bilaga L [0,] terdapat (,y) ((0,0)) dega f(,y) = L. B r Dega megubah ilai r, maa hasil tersebut tida berubah. Artiya tetap tida ada limit f pada (0,0). Cotoh 5. Feomea yag sama dapat dilihat pada fugsi-fugsi pada bilaga real, misala si jia 0 f ( ) 0 jia 0. yag diilustrasia pada Gambar 4. Jelas bahwa f(-) = -f(). Utu secara mooto meuju 0. Karea Gambar 4. maa / aa si utu ilai ilai ecil. Fugsi ita merupaa urva secara 4 Aalisa Real dega MATLAB

134 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. asimtoti medeat y=/ utu medeati berarti lim f ( ) / 0., yag Sebaliya, utu meuju Perhatia pula ilai fugsi berilai dari ( ) utu mulai dari 0, / meuju. e e. Oleh ( ) area itu fugsi si berilai dari 0 higga turu meuju - da embali e 0. Hal ii terjadi ta berhigga baya ali etia medeati 0. Oleh area itu urva berosilasi sagat cepat ai da turu diatara - da. Oleh area itu tida ada limit yag mugi. Hal ii ditujua pada Gambar 4. Dega pejelasa umum fugsi ii otiu pada R\{0} aa tetapi mempuyai sifat disotiuitas yag buru pada 0. Kita perhatia setiap ilai pada [-, ] ada ilai limit pada beberapa subbarisa. Perhatia bilaga t = si. Sehigga f ( ) t jia da haya jia si si jia da haya jia atau ( - ), Z jia da haya jia atau, ( ) Z. ANALISA REAL 5

135 Khususya, lim f si t. Hal ii meu- jua bahwa setiap titi (0,t) utu t berada pada closure grafi f. Membiguga bua?. Kita perlu defiisi closure (belum ditulisa sejauh ii). Cotoh 6. Utu sembarag subhimpua A, fugsi arateristi A didefiisia sebagai R A( ) 0 jia jia A A. Sifat A() tergatug dari sifat himpua A. Kita ambil A adalah himpua bilaga rasioal (disimbola Q) pada R. Fugsi Q aa berilai 0 da pada setiap iterval bua, betapapu ecilya, area himpua-himpua atara bilaga rasioal da ta rasioal eduaya padat (dese) pada garis. Istilah ii mugi perlu dipahami dari bahasa Iggris: That a set B is dese i a set A meas that B A ad that the smallest closed subset of A that cotai B is A. 6 Aalisa Real dega MATLAB

136 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Jadi utu setiap a R da r > 0 terdapat suatu titi dega a < r sedemiia higga f() f(a) =. Fugsi ii tida otiu pada titi maapu. Cotoh 7. f ( ) q Cotoh beriut ii adalah cotoh yag palig aeh. jia p q 0 jia dega Q FPB( p, q) da q. 0 Aa ditujua bahwa fugsi ii aa otiu pada setiap bilaga irasioal da disotiu pada setiap bilaga rasioal. Aa ditujua bahwa lim f ( ) 0 utu setiap a a R. Diberia 0 da ita tetapa M > a. Terdapat suatu bilaga bulat N yag cuup besar /N <. Himpua p S : q N, Mq p Mq \{ a} q adalah berhigga da oleh area itu tertutup. Karea terbua da S ' a S ' maa terdapat bilaga real r > 0, sedemiia higga B r ( a) S ' M, M. Searag jia M, M tida dalam S, maa bisa bilaga ANALISA REAL 7

137 irrasioal sehigga f() = 0 atau bilaga rasioal p/q dega q > N sehigga f() </N <. Oleh area itu f() 0 = f() < utu a <. Hal ii meujua bahwa lim f ( ) 0. a Utu suatu bilaga irasioal, lim f ( ) 0 f ( a) a da juga f otiu pada a. Utu a merupaa suatu bilaga rasioal, sebutlah a = p/q (FPB(p,q)=) maa lim f ( ) 0 / q f ( a) sehigga titi sigular f pada a a dapat dibuag agar f otiu. Yag megejuta adalah bahwa f mempuyai titi limit pada setiap titi pada R, oleh area itu disotiu pada himpua yag padat (dese). Latiha soal 4. A. Tujua bahwa f ( ) log utu R \{0} mempuyai titi sigular pada = 0 yag dapat dihapus. 4.3 Sifat-sifat Fugsi-fugsi otiu Kita aa mempereala otasi topologi utu suatu fugsi yag didefiisia pada suatu subhimpua di R. Suatu subhimpua V S R terbua di S atau 8 Aalisa Real dega MATLAB

138 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. terbua relatif (terhadap S) jia terdapat suatu himpua bua U pada R sehigga U S V. Dega ata lai a, V terbua di S jia utu setiap v V terdapat suatu 0 sehigga berlau B ( v) S V. Teorema 8. Utu setiap pemetaa f memetaa ito m R peryataa beriut euivale : () f otiu pada S. S R () Utu setiap barisa overge dega lim a dalam S, lim f ( ) f ( a) characterizatio of cotiuity) (3) Utu setiap himpua terbua U pada Himpua f ( U) S : f ( ) U S (topological characterizatio of cotiuity). Buti: lihat referesi pada hal 77. (sequetial m R. terbua dalam Teorema 9. Jia f da g fugsi-fugsi yag mempuyai domai yag sama higga S R ito lim f ( ) u da lim g ( ) v, maa a a () lim f ( ) lim g( u v ) a a () limf ( ) u utu setiap R. a m R da a sedemiia ANALISA REAL 9

139 Jia daerah hasil pemetaa adalah R, ataalah lim f ( ) u da a lim g( ) v maa a (3) lim f ( ) g( ) uv a da (4) f ( ) lim a g( ) u v, dega v 0. Teorema 0. Jia f da g fugsi-fugsi dega domai yag sama R maa S R ito () f + g otiu di a () f otiu di a da jia daerah hasil adalah R (3) f g otiu di a da m R yag otiu di a (4) f/g otiu di a dega g(a) 0 S da Cotoh 8. Diberia fugsi f() = otiu pada area a R lim f ( ) lim a. Dari Teorema 0 o., a a peralia fugsi ii otiu. Demiia pula g( ), 3 h( ) da secara umum fugsi ( ) utu merupaa fugsi otiu utu setiap bilaga positif. Jia f adalah fugsi rasioal yaitu f() = p()/q() maa p da q poliomial sehigga f otiu utu semua 30 Aalisa Real dega MATLAB

140 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. a R dega q(a) 0. Hal ii sesuai dega Teorema 0 o. 4. Beriut ii diperlua pada subbab lebih lajut Compactess da Nilai Estrem Istilah Compactess dari ata dasar compact. Suatu himpua diataa compact jia da haya jia himpua tersebut tertutup da terbatas. Pada himpua bilaga R, misala I=(a,b) adalah suatu iterval (himpua) titi-titi pada R dega batas bawah a da batas atas b. Iterval ii tida tertutup. Jadi I tida compact. Jelas bahwa I=[a,b] merupaa himpua compact pada R. Pada alulus serigali ita medapat tugas utu mecari masimum atau miimum atau jeis titi ritis (estrem). Sealipu fugsi tida mempuyai differesial dapat pula mempuyai ilai masimum. Kita aa perhatia cotoh beriut. Cotoh 9. Perhatia ( ) / f utu semua R. Fugsi ii terbatas e atas sehigga supremum 0 = lim f ( ) tida perah dicapai. Sedaga fugsi g ( ) ta terbatas da jadi tida dapat mecapai ANALISA REAL 3

141 supremumya. Hal ii dapat terjadi jia domai fugsi ta terbatas. Cotoh 0. Perhatia fugsi f() =- utu (0,]. Fugsi ii terbatas e-atas aa tetapi tida mecapai supremumya; yaitu 0 = lim f ( ) 0 berada pada domai. Secara sama, fugsi area titi limit (yaitu =0) tida f ( ) utu (0, ] adalah ta terbatas; jadi tida mecapai supremumya. Kesulita demiia dapat dihidari jia domai compact sehigga sifat compact ii sagat bermafaat. Teorema. Aggap C adalah subhimpua compact di merupaa fugsi otiu dari C ito pemetaa f(c) juga compact. R da f m R. Maa hasil Buti: Diambil y adalah barisa f(c). Kita harus meemua subbarisa overge e suatu titi pada hasil pemetaa. Pilih titi dalam C sehigga y f ). ( Searag adalah barisa pada himpua compact C. Oleh area itu terdapat subbarisa i yag 3 Aalisa Real dega MATLAB

142 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. overge e suatu titi c di C. Dega megguaa sifat otiu f diperoleh lim f ( c) lim y lim f ( ) f. i i i i i i Jadi y overge e f ( c ) f ( C) yag meujua i bahwa f (C) compact. Teorema. Teorema Nilai Estrem Diberia C adalah subhimpua compact di da diambil f adalah fugsi otiu dari C e R. Oleh area itu terdapat suatu titi a da b dalam C dimaa fugsi f berilai masimum da miimum di C. Yaitu f ( a) f ( ) f ( b) utu semua C. Buti: Karea C compact, meurut Teorema A maa f(c) compact. Oleh area itu C tertutup da terbatas pada R. Sifat terbatas ii meujua bahwa m if f ( ) da M sup f ( ) C C yag eduaya berhigga. Dari defiisi supremum, M merupaa titi limit f(c) Jadi f(c) tertutup da M f (C). Hal ii berarti bahwa ada suatu titi b C sehigga suatu titi R f ( b) M. Secara saa, miimum dicapai pada a C. ANALISA REAL 33

143 Kita tida aa bahas hal ii lebih lajut area yag lebih ita bahas adalah limit dari barisa fugsi. 4.4 Limit Barisa fugsi (referesi, bab 8) Defiisi 3. Diberia f barisa fugsi-fugsi dari S R ito m R. poitwise (c.p) e suatu fugsi f jia Barisa overge titi coverges lim f ( ) f ( ) utu semua S. Cotoh. Didefiisia fugsi otiu liear sepotog-sepotog (piecewise liear cotiuous fuctios f pada [0,] yag meghubuga dari titi (0,0), dega garis lurus, sebutlah f ( ),,,0 utu 0 utu 0 utu. da (,0) 34 Aalisa Real dega MATLAB

144 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Utu selajutya, ita aa megguaa sigata (c.p) utu meyebuta overge titi (coverges poitwise). Barisa pada cotoh tersebut adalah c.p e fugsi 0, yaitu lim f ( ) 0 utu semua 0. Gambar 5. Ilustrasi f da f. Perhatia bahwa pada = 0 maa ita juga mempuyai f ( ) 0 utu ; da jia > 0, maa terdapat bilaga bulat N sehigga / N. Jadi dega memilih N dipuyai ( ) 0. Oleh area itu pada setiap f titi, ilai fugsi osta. Perhatia bahwa utu yag semai medeati 0, maa haruslah semai besar pemiliha N. Hasil limit adalah fugsi otiu. Aa tetapi limit dari barisa fugsi yag diitegrala tida sama dega itegral dari hasil limit. ANALISA REAL 35

145 Artiya : lim 0 f ( ) d 0 lim f ( ) d d. Perhatia bahwa meghitug itergral pada ruas iri adalah meghitug luas yag dibatasi oleh segitiga dega alas / da tiggi sehigga luasya adalah utu semua. Notasi overge yag lai adalah overge seragam (uiform covergece). Artiya overge pada seluruh domai S. Utu medefisia hal ii ita perlu megguaa otasi overge c.p pada semua titi pada S. Suatu barisa f c.p e f jia jia utu setiap S da 0 terdapat suatu bilaga bulat N sehigga f ( ) f ( ) utu semua N. Pada asus ii, N tergatug pada edua ilai da pada ilai (Perhatia bagaimaa ita memilih N yag berbeda utu yag berbeda 0, pada cotoh 0). Koverge seragam (utu selajutya disigat c.u) meutut bahwa pemiliha ii tergatug haya ; yag berarti memerlua N yag sama utu semua ilai dalam S. 36 Aalisa Real dega MATLAB

146 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Defiisi 4. Diberia f adalah suatu barisa fugsi dari S R ito m R. Barisa ii overge seragam pada suatu fugsi f jia utu setiap 0, terdapat suatu bilaga bulat N sedemiia higga f ( ) f ( ) utu semua S da N. Jelas bahwa fugsi yag overge seragam aa overge uiform tetapi tida sebaliya. Kita aa melihat dari cotoh bahwa etia K merupaa subhimpua yag compact R ita dapat medefiisia suatu orm pada ruag C(K) (dibaca: ruag fugsi-fugsi real yag otiu pada domai K) adalah f sup f ( ). K Hal ii terdefisi area teorema ilai estrem bahwa supremum ii berhigga. Ketia S merupaa subhimpua R yag tida compact terdapat fugsi-fugsi taterbatas otiu di S. Kita aa membatas pembicaraa ita pada subruag C b (S) yag terdiri dari semua fugsi-fugsi otiu yag terbatas dari S e R. Sehigga dega cara yag sama, supremum mejadi suatu orm. Secara sama, ita dapat ANALISA REAL 37

147 meyataa fugsi-fugsi otiu terbatas dega ilai ada di m m R. Ruag ii disimbola oleh b ( S, R ) mempuyai orm f sup f ( ), K C da dimaa. adalah orm Eulide di m R. Searag ita mempuyai teorema beriut. Teorema 5. Diberia m f dalam S R C,, S R da suatu barisa fugsi f overge seragam e-f m jiada haya jia f f C ( S, R ) utu semua cuup besar da f lim f 0. Perhatia bahwa disusi sebelum ii dapat membatu b memahami peryataa tersebut. Peryataa f ( ) f ( ) utu semua S euivale dega megataa bahwa f f terbatas da f. Sebagaimaa pada f cotoh 0, masimum f terjadi pada / dega f ( ) sehigga f f. Hal ii tida overge e 0. Oleh area itu (atau fugsi terbatas yag lai). f tida overge seragam e fugsi 0 38 Aalisa Real dega MATLAB

148 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Cotoh a. Perhatia mudah dice bahwa f ( ) utu 0,. Aa 0 utu 0 lim f ( ) lim utu. Limitya adalah c.p yaitu fugsi araterisiti []. Fugsi f m erupaa fugsi poliomial da oleh area itu tida haya otiu tetapi juga halus (smooth: artiya mempuyai derivatif) sedaga limit fugsi mempuyai disotiuitas pada titi =. Jadi Utu setiap, ita puyai f ( ), sehigga f [ ] sup 0. 0 f tida overge seragam dalam orm. Jelas hal ii otradisi dega defiisi. Dega megambil /, utu setiap, ambilah f /. [ ]. Maa Oleh area itu tida ada bilaga bulat N yag memeuhi. ANALISA REAL 39

149 Cotoh b. Perhatia fugsi f pada 0, yag diberia oleh f ( ) si. Kita dapat megilustrasia f utu beberapa yag ditujua pada Gambar 6. Kita aa meyelidii bagaimaa dega barisa derivatifya. Gambar 6. Ilustrasi f ( ) si utu =, =4, da =3. 40 Aalisa Real dega MATLAB

150 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Lagipula f sup si. Jadi barisa ii c.u e 0. 0 Jia 0 ita dapat memilih N cuup besar sehigga N. Jadi utu sembarag N, f ( ) 0 si utu semua 0. N Barisa ii tida bersifat bai utu derivatifya (sealipu derivatif ada sehigga f diataa smooth), yaitu ' f ( ) cos. Oleh area itu lim f ' (0) lim 0 f '(0) da lim f ' ) ( ) lim ( tida ada. Jelas bahwa limit fugsi ii tida ada pada titi maapu di 0, ecuali di 0. Cotoh tersebut memberia pejelasa utu fugasi yag halus (smooth) yag berosilasi ai da turu dega cepat aa overge pada fugsi yag bagus tetapi derivative tida ada. ANALISA REAL 4

151 Latiha soal 4.3 (catata: c.p: coverget poitwise, c.u: coverget uiform) A. Diberia f ( ) e utu semua 0 da. Tujua bahwa f c.p e 0 pada iterval [ 0, ) tetapi tida c.u. B. Diberia f ( ) pada [0,] utu. Tetua lim ( ). Apaah c.u? Petuju: igat f bahwa h lim ( ) h e. C. Utu barisa fugsi pada latiha A da B badiga atara limit dari itegral-itegral da itegral dari limit. Apa pejelasa ada. D. Apaah barisa f ( ) merupaa c.u di R?. E. Tujua bahwa arcta( ) f ( ), merupa- a c.u di R. F. Tujua bahwa f ( ) si( / ) c.u pada [-M,M] utu sembarag bilaga berhigga M tetapi tida c.u di semua R. 4 Aalisa Real dega MATLAB

152 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. G. Tetua semua iterval sehigga f ( ), merupaa barisa c.u. H. Aggap bahwa :[0,] R adalah barisa fugsifugsi f C (fugsi-fugsi dega derivative yag otiu) yag overge c.p e suatu fugsi f. Jia terdapat suatu osta M sehigga ' f M semua maa butia bahwa f c.u e f. utu I. Butia teorema Dii : Jia f da f fugsi-fugsi otiu pada [a,b] sehigga f f utu semua da f c.p e f, maa Petuju: Beerjalah dega f c.u e f. g f f yag meuru e 0. Tujua bahwa utu sembarag titi 0 da > 0, terdapat suatu bilaga bulat N da suatu bilaga positif r > 0 sehigga g N () pada 0 r, 0 r. Jia overgesi tida seragam, sebutlah g d 0 da temua sehigga lim g ( ) d. Perolehlah otradisi, ANALISA REAL 43

153 J. (a) Tujua bahwa f : R R adalah overge seragam. Diberia ( ) f ( / ). Butia f bahwa f () c.u e f di R. (b) Apaah hal ii juga aa tetap bear jia f haya otiu?. Butia atau perlu cotoh peyagala. K. Utu ilai yag maa sehigga espresi bermaa?. Petuju : Defiisia utu. Maa f ( ) da f ( ) f ( ) (a) Tujua bahwa f ( ) f ( ) utu semua. (b) Jia L( ) lim f ( ) ada, tetua batas atas optimal utu da L. (c) Dega ilai ilai ii, tujua dega idusi bahwa f () terbatas e-atas oleh e utu semua. Apa yag dapat ada simpula?. (d) Apa yag terjadi jia besar?. 44 Aalisa Real dega MATLAB

154 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 4.5 Koverge seragam da Kotiuitas Hal positif yag dapat ita simpula ialah bahwa overge seragam mejami otiuitas da juga hampir selalu merupaa otasi yag bear utu overgesi fugsi-fugsi otiu. Teorema 6. Diambil f adalah barisa fugsi-fugsi otiu yag memetaa suatu subhimpua S ito m R yag c.u e f. Maa f otiu. Buti: Tetapa suatu a S da 0 R. Kita harus megatur f ( ) f ( a) haya dega megatur batas utu a. Utu tiba pada hal ii, ita megguaa pedeata dari sifat f otiu da hitug f ( ) f ( a) f ( ) f ( ) f ( ) f ( a) f ( a) f ( a) f ( ) f ( ) f ( ) f ( a) f ( a) f ( a). (*) Perhatia bahwa suu pertama da suu etiga dapat diatur dega f ( ) f ( f f utu semua S termasu ) a. Suu edua (tegah pada persamaa (*)) dapat diatur dega megguaa sifat otiuitas f. Persisya adalah bahwa pilih dulu N sedemiia besar sehigga ANALISA REAL 45

155 f N f. 3 Dega megguaa otiuitas bilaga positif r > 0, sehigga f N pada a, pilih f N ( ) f N ( a) utu semua a r. 3 Jadi utu semua S dega a r diperoleh f ( ) f ( a) f ( ) f ( ) f ( ) f ( a) f ( a) f ( a) N N N N < =. Jadi f otiu. m 4.6. Teorema Kelegapa utu C ( K, R ) Jia (Completeess Theorem) K R merupaa himpua compact, ruag m C ( K, R ) (dibaca ruag utu semua fugsi otiu di m R dega domai K) dega sup orm adalah legap (complete). 46 Aalisa Real dega MATLAB

156 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Catata: igat bahwa otasi complete artiya barisa di dalamya mempuyai limit (atau barisa itu barisa Cauchy). m Buti: Suatu barisa f dalam C ( K, R ) dalam barisa Cauchy utu sup orm jia utu setiap 0 terdapat suatu bilaga bulat N sehigga f f utu semua, l N. l Kita harus meujua bahwa setiap barisa Cauchy m mempuyai limit(c.u) di C ( K, R ). Pertama-tama perhatia bahwa sembarag titi K. Dega megguaa. sebagai orm Euclid di m R dipuyai f f f f utu semua, l N. Oleh area itu barisa bilaga real. Karea l l f barisa Cauchy dari m R legap(complete) (lihat bab topologi) maa barisa ii juga c.p yaitu sebutlah f ( ) : lim f. Hal ii perlu ditujua c.u. Dega megguaa da N, diperoleh f ( ) f ( ) lim f f ( ) utu semua m N. m m ANALISA REAL 47

157 Karea hal ii memeuhi utu semua disimpula f f. K, maa dapat Oleh area itu c.u. Dari teorema, maa barisa fgsi fugsi yag c.u e f maa f juga otiu. Artiya juga f aggota m m C K, R. Hal ii dapat disimpula sehigga C K, R m complete (jelasya: C K, R memuat barisa Cauchy yag otiu yag overge e suatu fugsi otiu ). Kita telah megguaa sifat K compact secara implicit (tida lagsug) area ita telah megasumsia bahwa f f m () ada/terdefiisi. Latiha soal 4.4. Tetua limit dari barisa fugsi beriut. Tetua iterval overgesi dimaa barisa mejadi c.u da pada iterval lai yag tida c.u. Jelasa. (a). f ( ) (b). g ( ) 5.. Tujua bahwa h ( ) c.u pada [0, N] 4 utu sembarag N tetapi tida c.u di [0, ). 48 Aalisa Real dega MATLAB

158 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 3. Perhatia suatu barisa fugsi otiu : (0,) R. f Aggap terdapat suatu fugsi f : (0,) R sehigga pada 0 < a < b <, bahwa f otiu pada (0,). 4. Diberia bahwa f da f c.u e f pada [a,b]. Butia g barisa fugsi-fugsi otiu pada [a,b]. Aggap bahwa f c.u e f da g c.u e g pada [a,b]. Butia bahwa ef g pada [a,b]. f c.u g 5. Aggap bahwa f c.u e f pada suatu sbuhimpua compact K di R da g c.u e g yag otiu di K sehigga g() 0 utu semua K. Butia bahwa f ( ) / g ( ) terdefiisi dimaa-maa utu yag besar da c.u e f/g di K. 6. Diberia f ( ) arcta( ) / (a) Tetua f ( ) lim f ( ) da tujua bahwa f c.u e f di R. (b) Hitug lim ' ( ) f da badiga dega f (). ' (c) Kemaaah f ( ) c.u (apaah titi limit c.u dari ' f ( ) )?. ANALISA REAL 49

159 7. Aggap bahwa fugsi f terdefiisi di R c.u e f. Aggap bahwa setiap f terbatas, sebutlah oleh A (artiya : f A ). Butia bahwa f terbatas. 8. Aggap bahwa f di C[0,] yag mempyai osta Lipschitz L. Tujua bahwa jia f () c.p e f maa f () juga c.u da f adalah Lipschitz dega osta juga L. 9. Beria cotoh suatu barisa fugsi disotiu f yag c.u e suatu fugsi otiu. 0. Diberia suatu ruag orm vetor yag complete. (a) Sebut f barisa Cauchy dlam C([a,b], V). Tujua bahwa utu setiap a, b, () adalah Cauchy da sehigga defisia limit c.pya yaitu f ( ) lim f ( ). (b) Butia bahwa f () c.u. Petuju: guaa criteria Cauchy utu memperoleh batas utu f ( ) f ( ) yag tida tergatug. (c). Butia bahwa f otiu da peroleh esimpula bahwa C([a,b], V) complete. f 50 Aalisa Real dega MATLAB

160 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 4.7 Koverge seragam pada Itegral Teorema 7. Kovergesi itegral Diberia f suatu barisa fugsi-fugsi otiu pada iterval tertutup [a,b] c.u e f da suatu c [ a, b]. Maa fugsi-fugsi F ( ) f ( t) dt utu c c.u di [a,b] pada suatu fugsi Buti : F ( ) f ( t) dt. c F ( ) F( ) f ( t) f ( t) dt c f ( t) f ( t) dt c c f f dt c f f b a) ( f f. Batas atas tida tergatug pada. Oleh area itu F F b a) Karea f c.u e f, maa ( f f. lim F F ( b a) f f 0. ANALISA REAL 5

161 Beberapa pejelasa pada buu refresi tida peulis tulis utu mempersigat watu. Peulis haya megambil beberapa yag diaggap lebih perlu pada pembahasa lebih lajut Atura Leibiz Aggap bahwa f(,t) da f (, t) fugsi-fugsi otiu pada [a,b] [c,d]. Maa fugsi F() pada [a,b] diberia oleh d F ( ) f (, t) dt terdifferesial da c d F '( ) f (, t) dt. c Buti: hal 5 Peulis tertari pada cotoh beriut area peulis perah melihat tipe soal ii dalam suatu olimpiade matematia mahasiswa. Cotoh 3. Kita tujua bahwa itegral ta tetu Dietahui bahwa u e 0 0 e d. g( u) d tida dapat diespresia dalam betu tertutup (betu stadart dalam meulisa 5 Aalisa Real dega MATLAB

162 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. hasil itegral). Aa tetapi betu itegral tetu dapat dihitug dega berbagai cara. Kita aa megguaa atura Leibiz. Beberapa lagah awal aa sagat meggaggu tapi selajutya dapat diiuti. Sebelum mulai meghitug, perhatia bahwa e fugsi positif da g(u) fugsi mooto ai. Utu membutia limit ada utu u meuju, cuup meujua bahwa g terbatas. Selai itu jelas bahwa e utu semua da e g( u) e u 0 e utu. Sehigga d 0 ds u e s ds ( e e u ) e. Sebagai oseuesi, Perhatia 0 e d ( e F( ) t F (0) dt arcta t. 0 t terdefiisi da berhigga. t ) dt da (t ) e Fugsi yag diitegral (itegrad) f (, t) t merupaa fugsi otiu pada [0, ] [0,]. Kita defiisia f ( t) f (, t) da perhatia bahwa 0 f ( t) e. Oleh area itu f c.u e 0 di [0,] utu. Dega teorema overgesi itegral (Teo.) disimpula ANALISA REAL 53

163 lim f ( ) 0 lim f ( t) dt 0 0dt 0. Dega megguaa atura Leibiz utu meghitug 0 e (t e F '( ) 0 t (t ) ( t t ) dt e ) dt 0 e t dt. Dega membuat substitusi variabel s t (dega dijaga tetap/sebagai parameter) utu memperoleh 0 e e F '( ) e ds g. Kita aa meghubuga F(0) pada itegral ta tetu utu meghitug lim F(0) F( ) lim 4 0 F '( ) d lim 0 e g d. Substitusia s. Dega Teorema Fudametal Calculus bagia, maa g '( s) e. Oleh area itu lim ( ) lim '( ) ( ) lim ( ) 4 0 e g s ds g s g s ds g s e d Dega megaara maa terbuti yag diehedai. 54 Aalisa Real dega MATLAB

164 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Latiha soal 4.5 A. Utu, ambil ) y Tujua bahwa '( ) bahwa F( ) arcsi( ). 0 / F ( dy. / F da tujua B. Utu didefiisia fugsi f pada [0, ) oleh f ( ) e ( e e ) 0 utu 0, utu e utu e. (a) Tetua limit titi (c.p) f dari f. Tujua bahwa overgesiya juga c.u pada [0, ). (b) Hitug 0 f ( ) d da lim f ( ) 0 d. (c) Megapa hal ii tida otradisi dega Teorema?. C. Aggap bahwa C[0, ] g da f suatu barisa di C[0,] yag c.u e f. Butia bahwa lim f ( ) g( ) d 0 0 f ( ) g( ) d. ANALISA REAL 55

165 si D. Carilah lim d. Petuju : tetua limit dari 0 itergral pada iterval, da tetua pula limitya pada iterval selai itu. si t E. Didefiisia f ( ) dt t (a) Butia bahwa itegral ii terdefiisi. (b) Hitug f () secara esplisit. 0 (c) Butia bahwa f juga otiu pada = 0. F. Didefiisia fugsi Bessel J 0 oleh J 0 cos( t) dt t. Butia bahwa J 0 memeuhi persamaa diferesial y + y / + y = 0, yaitu J '' ' 0 J 0 / J 0 = 0. G. Aggap bahwa f C [0, ] sedemiia higga '' ' f ( ) bf ( ) cf ( ) 0, f(0) = 0 da f (0) =. Ambil d() fgsi otiu pada [0,] da defiisia g( ) f ( t) d( t) dt. Butia bahwa g(0) = 0 '' ' g (0) = 0 da g ( ) bg ( ) cg( ) d( ). 56 Aalisa Real dega MATLAB

166 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 4.8 Deret fugsi-fugsi Materi ii juga sagat serig mucul dalam soalsoal olimpiade mahasiswa. Oleh area itu peulis meulisa dasar teori da beberapa cotoh tetag hal itu. Sebagaimaa pada barisa, ita aa meyelidii bagaimaa deret fugsi overge da bagaimaa medapata hasil limitya jia ada. Kita medefiisia deret fugsi-fugsi yag ditulis dalam betu f ( ). Utu mecari overgesiya, ita haya perlu mempelajari jumlah parsialya yaitu f ( ). Jadi ita megataa f ( ) overge titi (c.p) (atau c.u) jia jumlah parsialya adalah c.p (atau c.u). Cotoh 4. Perhatia deret fugsi si( ). Utu melihat bahwa jumlah parsialya overge, perhatia bahwa jia, maa l f ( ) f ( ) f ( ). l l Karea merupaa deret bilaga yag overge (dega test badig) maa ita dapat meyimpula ANALISA REAL 57

167 deret sebelah iri overge (deret yag lebih ecil. Aa tetapi dapat pula dega megguaa riteria Cauchy meujua bahwa utu sembarag 0 terdapat suatu bilaga bulat N sehigga Jadi utu l, N l f ( ) f ( ). Cotoh 5. Sebaliya, barisa l, N maa. f pada iterval [0,] dega f ( 0,/ ). Utu sembarag dalam [/( + ), f /), ilai-ilai f ( ), ( ), semuaya 0 da ilaiilai f ( ),..., f ( ) semuaya berilai. Oleh area itu 0 f ( ) utu. Jadi deret f ( ) overge pada setiap titi pada [0,] 0 tetapi tida c.u, area utu setiap > l (bua satu tetapi el ), ita mempuyai f ( ) f ( ) fl ( ) utu semua 0,/( l ). l 58 Aalisa Real dega MATLAB

168 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Cotoh 6. Deret fugsi yag palig serig mucul adalah deret pagat. Deret ii berbetu: 3 a a0 a a a3.... Kita aa memperhatia dega detail deret ii. Utu permulaa, perhatia deret /!. Utu setiap 0 bilaga R dapat diguaa tes rasio yaitu u lim u lim Sehigga deret mula-mula c.p utu /( )! lim 0. /! R. Pada teorema lebih lajut aa ditujua bahwa deret tersebut juga aa c.u pada setiap iterval [-A,A]. Teorema 7. Dietahui f suatu barisa fugsi-fugsi otiu pada himpua S c.u maa limitya otiu. R ito m R. Jia 0 f ( ) Defiisi 8. Diberia S suatu deret fugsi f dari S e R. Kita megataa bahwa m R adalah Cauchy seragam (C.u) jia utu setiap > 0, terdapat suatu bilaga N > 0, sedemiia higga ANALISA REAL 59

169 i l f i ( ) etia S da l N. Igat bahwa pada barisa bilaga real overge jia da haya jia barisa tersebut Cauchy. Hal ii dapat dimodifiasi utu deret fugsi berut ii. Teorema 9. Deret fugsi c.u ja da haya jia C.u (Cauchy uiformly) Buti : Sebutlah f adalah julah yag e-. Jia f c.u e f, maa utu setiap > 0, terdapat suatu N N (himpua bilaga asli) sedemiia higga f / f utu semua N. Jia l N, f fl f f f fl. Jadi terbuti c.u.. Terdapat beberapa tes overgesi yag sagat bergua ut meguji overgesi suatu deret fugsi Tes deret fugsi Teorema 0. TesWeierstrass M (disigat M-test) pada S Aggap bahwa a () adalah deret fugsi-fugsi R ito m R. M adalah barisa bilaga real 60 Aalisa Real dega MATLAB

170 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. ANALISA REAL 6 da terdapat suatu N sehigga utu semua N da utu semua S, S M a a ) ( sup. Jia M overge, maa terdapat deret ) ( a overge seragam pada S. Buti: Utu setiap S, barisa () a adalah barisa bilaga real yag overge absolut, area ) ( N N M a a a. Jadi jumlahaya ada. Defiisia ) ( ) ( a f, maa utu setiap S, ) ( ) ( ) ( ) ( l l l l l M a a a a f Utu semua l ( ii el lho) dega N l. Batas ii tida tergatug pada. Jadi

171 lim l l f a lim M 0. l l Jadi deret c.u e f. Cotoh 7. Perhatia deret geometri 0 ( ). Rasio suu-suu yag berturuta pada deret ii pada suatu titi adalah u u ( ) ( ). Jadi utu, deret ii overge, tetapi diverge utu. Kita perlu meyelidii (PR) bahwa deret ii juga diverge pada =. Utu setiap dalam (-,), ita dapat memperoleh. ( ) 0 Pada iterval overgesi (-,), overgesi tida seragam (tida c.u). Perhatia bahwa utu sembarag N dega megambil a N / da catat bahwa suu e-n N yaitu a merupaa bilaga besar. Bagai- maapu pada iterval [-r,r] utu sembarag r <, ita mempuyai sup r r. 6 Aalisa Real dega MATLAB

172 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Karea r, dega M-tes meujua 0 r bahwa deret c.u e suatu f ( ) pada [-r,r]. Perhatia fugsi-fugsi ( ) t dt F ( ) Dega megguaa Teorema overgesi itegral ita dapat melihat bahwa F c.u pada [-r,r] pada fugsi F( ) arcta( ). t dt 0 Hal ii meghasila deret Taylor utu arcta seitar 0, (belum dibahas disii) bahwa arcta() = ( ) 0. Radius overgesi deret ii adalah. Deret ii juga overge pada juga area merupaa deret gati tada (alterate) utu setiap R. Suu-suya overge mooto e 0, persisya pada. Utu melihat hal ii, ita perlu melihat batas error utu deret gati tada. Karea suu-suu meuru dalam ilai absolute, error tida perah lebih besar dari suu beriutya. Oleh area itu error berada diatara jumlah ANALISA REAL 63

173 parsial yag e- (jumlaha dari suu pertama higga suu e-) da limit tida aa lebih besar dari ( ) sup. Karea hal ii meuju e-0, deret ii c.u pada [-,] e arcta(). Ilustrasi atara arcta() da deretya ditujua pada Gambar 7 dega MATLAB program yag diguaa utu megambar juga ditulisa agar pembaca dapat meguji utu berbagai ilai. Tabel. Program MATLAB utu meggambar =================== clear close all =lispace(-,,00); b=5; jum=0; f=ata(); for =0:b atau=((- )^*.^(*+))./(*+); jum=jum+atau; ed b=; jum=0; for =0:b atau=((- )^*.^(*+))./(*+); jum=jum+atau; ed figure() plot(,f,'-',,jum,'- *',,jum,'.-') ais([mi() ma() - ]) ================== Gambar 7. Ilustrasi grafi arcta() da deretya utu jumlaha higga e =5 da =. 64 Aalisa Real dega MATLAB

174 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Cotoh 8. Kita selama ii belum membahas tetag bagaimaa derivatif dari barisa apaah c.u atau tida. Kita aa mempelajari bahwa ada fugsi-fugsi yag otiu yag tida terdifferesial di maa-maa (owhere differetiable fuctios). Diberia f ( ) cos 0. Dibetu f ( ) cos0. Maa f overge. Jadi dega teset Weierstrass M (M test) deret c.u pada seluruh garis bilaga real pada suatu fugsi otiu. Pada Gambar 8 dega program pada Tabel. Tabel. Program MATLAB utu meggambar clear close all =lispace(-0.,,00); =; cosu=(^(-)*cos(0^*pi*)); jum=jum+cosu; b=; jum=0; for =:b cosu=(^(-)*cos(0^*pi*)); jum=jum+cosu; ed figure() plot(,jum,'-*') Gambar 8a. f ( ) cos 0, = ANALISA REAL 65

175 ais([mi() ma() -/ /]) figure() plot(,jum,'.-') ais([mi() ma() -/ /]) Gambar 8b. f ( ) cos 0 dega suu. Gambar 8 meggambara macam fugsi dega = da dega suu pertama saja (Gambar 8b). Osilasi yag sagat cepat terjadi pada Gambar 8b yag mejelasa bagaimaa limit fugsi gagal utu terdifferesial. Perhatia bahwa setiap jumlaha parsialya dapat terdifferesial ta higga ali da sebagai ombiasi liear dari tahigga baya fugsi-fugsi yag terdifferesial. Hal iilah yag aeh (esimpula: jumlaha fugsi terdifferesial belum tetu limitya terdiferesial juga). Perhatia titi sembarag di R, sebutlah Kita aa ataa bahwa f tida terdifferesial pada dega megostrusi suatu barisa z 66 Aalisa Real dega MATLAB

176 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. yag overge e sehigga espresi selisih f ( z ) f ( ) / z meuju. Tetapa, Ambil y da y y0 0. Maa y0 y. Marilah ita tetua f ( y0 ) f ( y). Karea 0 y0 da 0 y adalah bilaga bulat elipata, ita puya f ( y 0 ) ( ) da f ( y ) ( ). Oleh area itu f ( y. Utu >, 0 ) f ( y) 0 y i adalah suatu bilaga bulat elipata. Oleh area itu f ( y0 ) f ( y). Utu, Berdasara teorema ilai rata-rata dari alulus diperoleh : f 0 0 ' ( y0 ) f ( y) f y y 0 5. Kita gabuga semua hasil yag telah diperoleh tadi sehigga diperoleh Teorema Nilai rata-rata : Aggap f fugsi otiu pada[a,b] ada terdifferesial pada (a,b). Maa terdapat suatu titi c ( a, b) sedemiia higga f ( b) f ( a) f '( c). b a ANALISA REAL 67

177 68 Aalisa Real dega MATLAB y f y f y f y f y f y f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Satu dari ilai-ilai ii sagat jauh dari f() area y f y f y f f f y f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0. Pilih i = 0 atau sehigga ) ( ) ( i f y f da betu i y z. Jelaslah bahwa y y z 0 0. Oleh area itu / 5 0 ) ( ) ( z f z f. (a) Utu meuju ta higga, jelas bahwa barisa z overge e sedaga espresi differesial (persamaa a) meleda. Oleh area itu f tida terdifferesial di. Latiha soal 4.6 (Referesi hal 60-6) A. (a) Tujua bahwa e c.u pda [0,A] utu setiap A > 0.

178 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (b) Apaah deret tersebut juga c.u pada [0, ). B. Apaah c.u pada seluruh bilaga real?. C. Tujua jia a maa a cos c.u pada R. D. (a) Diberia f ( ) utu R, hitug jumlaha 0 S ( ) f ( ). (b) Apaah c.u?. Utu ilai-ilai a < b yag maa sehigga deret c.u pada [a,b]?. E. Tetua jumlaha Dimaaah deret c.u?. 7 0 utu. F. Aggap bahwa a () fugsi otiu pada [0,] da tetua s ( ) a ( ). Tujua bahwa jia s c.u pada [0,] maa a c.u e 0. G. Butia deret yag memeuhi versi Teorema Dii : Jia g fugsi ta egatif pada [a,b] da g c.p e ANALISA REAL 69

179 suatu fugsi otiu pada [a,b] maa deret tersebut c.u. H. Diberia f barisa fugsi-fugsi yag didefiisia pada N (himpua bilaga asli) sedemiia higga lim f ( ) L ada utu setiap 0. Aggap f M dimaa M 0. Defiisia suatu fugsi F ( ) 0 f ( ). Butia bahwa 0 lim F ( ) L. Petuju: Piira f sebagai suatu fugsi g pada : 0 I.Apliasia soal H. Bagaimaa ada medefiisia g (0)?. utu fugsi f ( ) utu 0 da. Oleh area itu tujua bahwa lim e. 4.9 Deret Pagat (power series) Sebagaimaa disebuta sebelum ii, suatu deret pagat merupaa deret dari fugsi-fugsi berbetu 70 Aalisa Real dega MATLAB

180 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. 0 a a 0 a a a Secara formal, deret dalam da ita juga dapat meetua deret dalam 0, sebutlah 0 3 a ( 0 ) a0 a( 0 ) a ( 0 ) a3( 0 )... Kita dapat meulisa deret edua dalam y = 0 sehigga seperti deret mula-mula. Jelaslah bahwa deret pagat overge e-0. Kita aa megguaa teorema di bawah ii utu membahas pertayaa apaah deret pagat overge. Teorema 0. Diberia suatu deret 0 a, terdapat suatu r dalam [0,+ ) {+ } sehgga deret overge utu setiap bilaga dega < r da diverge utu semua dega > r. Lagipula deret c.u pada iterval tutup [a,b] yag termuat dalam (-r,r). Ahirya, jia a / lim sup maa r 0 jia jia jia 0 (0, ). ANALISA REAL 7

181 Kita meyebut r sebagai radius overgesi dari deret pagat. Buti: Tetapa R da apliasia tes aar pada 0 a, diperoleh / / lim sup a lim sup a. Jia =0 maa < utu semua piliha, da juga deret a selalu overge. Jia = +, maa > utu semua 0, sehigga deret diverge utu ta ol. Sebaliya < jia da haya jia < r, da > jia da haya jia > r. Dega tes aar lagi, ita mempuyai iterval overgesi pada iterval yag diperlua. Kita tiggal meujua c.u pada setiap iterval [a,b] yag dilajuta pada (-r,r). Terdapat suatu c sedemiia higga [a,b] [-c,c] utu suatu c < r. Perhatia utu [ c, c], a a c. Karea c < R maa ita dapat megetahui bahwa 0 a c overge. Dega tes-m, diperoleh 0 a c c.u pada [-c,c] yag berarti juga c.u pada [a,b] (area [a,b] [-c,c]). 7 Aalisa Real dega MATLAB

182 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Catata : Dari latiha soal dapat dietahui jia lim a a terdefiisi, maa lim a / lim a a. Jadi serigali ita megguaa rasio sebagai peggati aar utu meghitug radius overgesi. Cotoh 9. Pada Teorema Hadamard tida memuat iformasi apa yag terjadi jia = r. Utu hal ii, ita megguaa tes rasio da tes aar utu deret bilaga apaah deret tersebut overge atau diverge pada titititi yag diberia. Kita aa mempelajari 3 cotoh utu asus ii yaitu,,. Utu deret yag pertama, dega limit utu rasio atara oefisie yag berturuta adalah lim lim ( ) ( ). Oleh area itu radius overgesiya. Secara sama utu deret edua juga mempuyai radius overgesi. ANALISA REAL 73

183 Searag ita pelajari bagaimaa sifat deret pertama pada. Diperoleh / da ( ) / eduaya overge. Utu deret edua pada, diperoleh / da ( ) / yag diverge da overge berturut-turut (= deret diverge, pada = - deret overge). Jadi deret pertama puya iterval overgesi [-,], sedaga deret edua mempuyai iterval overgesi [-,). Pada deret etiga ita perlu lebih hati-hati megguaa teorema Hadamard. Utu meulisa deret ii dalam betu a a, ita tida dapat medefisia /( ), tetapi lebih meulisa dalam betu / a 0 da a utu 0. Dega megguaa formula ii utu yag berotribusi, diperoleh a da haya suu yag geap / / lim sup a / lim lim. 74 Aalisa Real dega MATLAB

184 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Oleh area itu deret mempuyai radius overgesi. Pada deret ii adalah yag diverge. Oleh area itu iterval overgesiya adalah (-, ). Nampaya sagat wajar jia ita berharap mediferesiala da megitegrala suatu deret pagat dari f ( ) a 0 suu demi suu. Derivatifya adalah jumlaha suu-suu dari a da itegral ta tetuya adalah jumlaha suu-demi suu dari a /( ). Aa tetapi teryata harapa tersebut tida selalu bear utu sembarag fugsi. Teorema beriut data membeara bahwa jia suatu deret pagat puyai radius overgesi r > 0, maa deret tersebut juga ta berhigga terdifferesial pada (-r,r). Teorema. Operasi suu demi suu pada deret Jia 0 f ( ) a puya radius overgesi r > 0 maa f ( ) 0 a puya radius overgesi r, da f() terdiferesial pada (-r,r) da utu (-r,r), ANALISA REAL 75

185 f '( ) a. Selai itu a 0 mempuyai radius overgesi r da utu ( r, r) Buti: hal 64. Cotoh 0. 0 a f ( t) dt 0. Kita embali mempelajari f ( ). Dega tes M, 0! dapat ditujua bahwa deret ii mempuyai radius overgesi ta higga da c.u pada [-A,A] utu sembarag bilaga berhigga A. Dega diferesial suu demi suu ita peroleh f '( ) ( )! 0 f ( ).! Persamaa f '( ) f ( ) dapat ditulis sebagai f '( ) log f '( ). f ( ) Dega megitegrala dari 0 e t, diperoleh t ' t d (log f ) ( ) d log f ( t) log f (0). 0 t 0 76 Aalisa Real dega MATLAB

186 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Jelas bahwa f(0) = da oleh area itu, sehigga log f(t) = t, f(t) = t e. Cotoh. ( ) Perhatia deret pagat. Karea lim, maa dega tes rasio megataa bahwa radius overgesi adalah. Utu =, suu-suu tida meuju 0, oleh area itu deret diverge. Jadi terdefiisi dega bai pada (, ). Mari ita perhatia searag fugsi g ( ) 0 yag mempuyai radius overgesi. Karea g terdefiisi sebagai deret geometri, ita puya utu <. Dega teorema 7, diperoleh g( ) g'( ) ( ). Sehigga ( ). Dega megguaa Teorema 7 lagi diperoleh ANALISA REAL 77

187 ( ) ( ' ) Dega megaliaya dega memberia ( ) f() =. 3 ( ) Khususya, pada =/ maa f (/ ) 6 Cotoh.. Pada bagia ii ita peroleh teorema Biomial yag serig mucul pada soal olimpiade matematia SMA maupu mahasiswa utu deret pagat pecaha. Kita megguaa deret pagat utu espasi Jia g( ) ( ) maa memeuhi persamaa diferesial 3. ) utu R (. g '( ) ( ) sehigga g ( ) g '( ) g( ), g(0) =. Aggap terdapat deret pagat 0 f ( ) a yag memeuhi persamaa diferesial ii. Jadi ita puya ( ) a a. 0 0 Dega megumpula suu-suu yag puya pagat yag sama diperoleh 78 Aalisa Real dega MATLAB

188 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. ( ) a 0 a a. 0 Oleh area itu ita puya a ( ) a = a sehigga puya a a ( ) a, a, ; Karea a f (0) ita 0 ( )( ) a 3 da 6 seterusya. Secara umum, ita memperoleh oefisie biomial pecaha yaitu a ( )( )...( )( ).! Kita tiggal meujua bahwa deret ii mempuyai radius overgesi positif da juga overge e Jia bilaga bulat taegatif, maa ( ). a pada ahirya 0 da sehigga deret ii mejadi Teorema Biomial biasa. Pada asus ii radius overgesi deret adalah tahigga. Sebaliya utu a 0 utu semua, da ita dapat megapliasia tes rasio utu memperoleh a lim lim. a Oleh area itu deret puya radius overgesi. ANALISA REAL 79

189 Utu meujua bahwa perhatia rasio f ( ) ( ), ita f ( ) /( ). Dega mediferesiala rasio tersebut terhadap maa diperoleh ( ) f '( ) ( ) f ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ) f ( ) da area ita telah meujua bahwa ( ) f '( ) f ( ), maa diperoleh bahwa derivative atau espresi (*) adalah 0. Aa tetapi dega meetapa =0 dalam f ( ) /( ) memberia /=. Oleh area itu rasio f ( ) /( ) mejadi osta e yag meujua bahwa f ( ) ( ). Jadi utu < da sembarag bilaga real ( ) 0 Latiha soal 4.7 A. Tetua iterval overgesi dari deret pagat beriut :. (a) Aalisa Real dega MATLAB

190 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (b) (c) 0 ( ) (d) 0 (e) 0 ( ) ()! (f) 0 (g)! (h) (i) 0 0 (!) ()! B. Tetua suatu deret pagat 0 a yag mempuyai beda iterval overgesi dega 0 a. ANALISA REAL 8

191 a C. Aggap bahwa lim L ada. Tetua radius a overgesi dari deret pagat 0 a D. Guaa cotoh utu meujua jia f ( ) a memeuhi persamaa diferesial f 0. 0 () =f() da f(0) =, maa f ( ) /!. E. Ulagi latiha di atas utu odisi f () =-f(), dega f adalah fugsi gaji da f(0) = 0. F. Butia bahwa jia ada tahigga baya a bilaga bulat ta ol, maa radius overgesi dari f a ( ) palig besar. G. (a) Hitug f ( ) /. (b) Hitug /( 5 ). H. (a) Hitug f ( ) 0 ( ) (b) Hitug f ( ) 0 / 3. Jelasa metode ada. 8 Aalisa Real dega MATLAB

192 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (c) Apaah substitusi =- juga berlau?. I. (a) Hitug g ( ) 0 ( ) (b) Hitug g ( ) 0 ( ) / J. Guaa deret biomial utu ( / ) da formula / ( ) si t dt,.4...() 0 Tujua bahwa utu (0, ) maa itegral / 0 ( si / t ) dt sama dega Lebih Lajut dega deret, hususya Deret Taylor Referesi: Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC, Chapter 0. Pada alulus, metode umeri da beberapa mata uliah lai serigali megguaa deret Taylor utu meyata- ANALISA REAL 83

193 a suatu fugsi dega deret pagat. Pada buu ii deret Taylor didisusia secara detail tetapi ita aa cuup merigasya saja. Defiisi. Jia f mempuyai derivatif pada suatu titi a [ A, B], deret polyomial pada derejat utu f pada = a adalah P ( ) f ( a) f '( a)( a) f "( a) ( a)... f ( a) ( a)! ( ) = 0 f! ( ) ( a). Lemma. Diberia f() merupaa fugsi C [ A, B] (yaitu: f mempuyai derivatif higga order- yag otiu) da sebutlah a [ A, B]. Poliomial P () berderajat utu f pada a adalah suatu poliomial tuggal p() dega derajat palig tiggi sedemiia higga p ( ) ( ) ( a) f ( a) utu 0. Buti: Utu setiap poliomial berderajat palig tiggi mempuyai betu j0 j j p( ) a ( a). Kita dapat medifferesiala sebaya -ali utu memperoleh 84 Aalisa Real dega MATLAB

194 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. ( ) p ( ) j( j )...( j )( a) j j. Dega mesubstitusia = a diperoleh ( ) p ( a)! a. Oleh area itu ita harus memilih oefisie a ( ) f ( a) /! yag meghasila polyomial Taylor P (). Teorema 3. Diberia f() merupaa fugsi C [ A, B] da lebih lajut lagi diasumsia bahwa ( ) f terdefiisi da ( f ) ( ) M utu [ A, B]. Ambil a [ A, B], da aggaplah P () merupaa poliomial Taylor derajat utu f pada =a. Maa utu [ A, B], pedeata error utu R ( ) f ( ) P ( ) memeuhi M a R ( ) ( )!. Buti : Perhatia bahwa utu Karea adalah, R ( ) f ( a) P 0, ( a) 0 ( ) ( ) ( ). P suatu poliomial berderajat palig tiggi R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) P ( ) f ( ). ANALISA REAL 85

195 86 Aalisa Real dega MATLAB Apliasia teorema ilai rata-rata utu ) ( ) ( R memberia a M a R R R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. Aggap utu beberapa, 0, )! ( ) ( ) ( a M R. Diitegrala, diperoleh dt t R a R R a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. )! ( )! ( 0 a M dt a t M a Kita dapat meyusu utu = 0 da sehigga dega idusi step ii dipeuhi. Demiia pula utu =, maa () R )! ( a M. Utu f C, deret Taylor f di seitar = a adalah 0 ) ( ) (! ) ( a a f. Jadi ii merupaa deret pagat sehigga ita perlu memperhatia overgesiya.

196 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Cotoh. Perhatia f ( ) e. Fugsi ii mempuyai sifat yag sagat bagus yaitu f =f. Jadi f ( ) ( ) e utu semua 0. Espasia semuaya pada seitar a = 0, ita peroleh poliomial Taylor ( bahwa f ) ( t) e t ma, e t P ( ). Perhatia 0! jia t diatara 0 da. Jadi teorema Taylor utu iterval [0,] atau utu [,0] megataa bahwa batas error yaitu e ma, e!. ( )! 0 Sealipu utu ilai-ilai yag ecil, P () medeati e di seitar titi pusat. Kita dapat megilustrasia pedeata da fugsi espoe pada gambar da program diberia pada Tabel. ANALISA REAL 87

197 Tabel a. Meyusu fugsi factorial utu poliomial Taylor fuctio y=myfactorial() ali=; for =: ali=ali*; ed y=ali; =lispace(-,,00) =; f=ep(); plot(,f,'.-'); hold o =4; jm=0; %defie fuctio factorial for =0: y=myfactorial(); e=.^/y; jm=jm + e; ed figure() plot(,f,'-',,jm,'.-') ais([ ]) Gambar. Ilustrasi f ( ) e da P ( ) utu =4 0! Dari test rasio meujua bahwa lim 0 ( )! utu setiap R. Jadi deret Taylor overge e e pada seluruh bilaga real. Selai itu deret ii overge seragam pada sembarag iterval [-A,A]. Perhatia bahwa batas error pada sembarag A, A pada =A. Oleh area itu terbesar 88 Aalisa Real dega MATLAB

198 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. A e A! sup e. A! ( )! 0 Utu meghitug e, tia dapat megguaa formula utu meghitug e e 3.! ( )! ( )! 0 Utu medapata bilaga e dega 0 bilaga aga dibelaag oma, ita perlu ( )! atau ( + )! > Kita dapat meghitug bahwa dega batas tersebut =3. Kita dapat meigata laju overgesi dega megguaa ilai yag lebih ecil. Cotohya, dipilih =/6 utu meghitug /6 e. Kita dapat megguaa 0 suu pertama, diperoleh e 0 /6 0 (6) /6 e.6(0).! (6) ()! Perhatia deret pagat. Dega tes Rasio 0! meujua bahwa lim /( )! lim 0 /! ANALISA REAL 89

199 utu setiap bilaga real. Jadi deret pagat utu e mempuyai radius overgesi ta higga. 0! Karea berlau pada semua bilaga real maa deret ii overge seragam. Situasi yag sama juga terjadi utu deret si da cos. Latiha soal 4.8 A. Tetua poliomial Taylor derajat 3 utu setiap fugsi-fugsi beriut pada titi a yag diberia da carilah error pada titi b. (a) f ( ) ta seitar a = / 4 da b = (b) g( ) seitar a = 0 da b = 0. (c) 4 h( ) seitar a = da b = 0.99 (d) () = sih seitar a=0 da b = B. Diberia a [ A, B], f C [ A, B] da diberia P ( ) f ( a) f '( a)( ) merupaa poliomial a Taylor order. Tetapa suatu titi 0 dalam [A,B], (a) Didefiisia h(t)=f(t) + f (t)( 0 -t) + f (t)( 0 -t). Tetua D sehigga h(a) =h( 0 ). 90 Aalisa Real dega MATLAB

200 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (b) Tetua c diatara a da 0 sehigga f ( 0 ) P ( 0 ) f "( c)( 0 a). (c) Tetua suatu osta M sehigga f ( ) f ( a) M a utu semua [ A, B]. C. Diberia f memeuhi hipotesis teorema Taylor pada = a. f ( ) P ( ) (a) Tujua bahwa dalam lim 0. a ( a) (b) Jia f ( ) Q( ) Q( ) P da lim 0, a ( a) butia bahwa Q = P (). D. (a) Tetua deret Taylor utu si seitar =0 da butia bahwa deret ii c.u e si pada sembarag iterval tertutup [-N,N]. (b) Tetua deret Taylor si seitar = / 6. Oleh area itu tujua bagaimaa medeati 0 si(3 ) higga 0 aga dibelaag oma. E. Diberia f() = log. (a) Tetua deret Taylor f di seitar =. (b) Apaah radius overgesiya?. ANALISA REAL 9

201 (c) Apa yag terjadi pada batas-batas iterval overgesi?. Oleh area itu carilah suatu deret yag overge e log. (d) Dega megobservasi bahwa log = log 4/3 log /3, tetua deret lai yag overge e log. Megapa deret ii lebih bermafaat?. 8 (e) Tujua bahwa log 3 = 3 log log 0.9. Tetua suatu espresi berhigga yag tida memuat logs yag medeati lo3 higga 50 aga di belaag oma. F. Aggap f, g C a, a utu ( ) ( ) da f ( a) g ( a) 0 ( ) 0 da g ( a) 0. Guaa poliomial Taylor utu meujua bahwa / G. Diberia f ( ). ( ) f ( ) f ( a) lim. a ( ) g( ) g ( a) ( ) (a) Tetua formula utu f ( ). Selajutya tujua bahwa ( ) / (.)... ( ) ( )! f ( 0) :.! (!) 4 9 Aalisa Real dega MATLAB

202 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (b) Tujua bahwa deret Taylor utu f seitar = 0 adalah overgesiya. da hitug radius 0 4 (c) Tujua bahwa.4 f ( 0.0). Oleh area itu hitug oma. pada 8 aga di belaag (d) Nyataa.45 f ( ) dega sebagai pecaha rasioal palig sederhaa. Guaa ii utu memperoleh deret gati tada utu. Berapa suu diperlua utu medeati higga 00 aga di belaag oma?. H. Sebutlah a adalah bilaga dega 98 aga ( a... ). Tetua a higga aga di belaag oma Petuju: 0 a 0 3 haruslah diahiri dega Espresi decimal ANALISA REAL 93

203 4.0. Deret Taylor utu turua fugsi?. Karea deret Taylor megguaa iformasi haya pada satu titi, maa deret Taylor tida bisa diharapa selalu bagus utu seluruh iterval. Hal ii aga membiguga bua?. Hal ii hususya utu meetua turua fugsi. Karea ovegesi ditetua oleh iterval yag diguaa, maa esalaha ecil aa meyebaba esalaha yag besar pda derivatifya. Cotoh 3. f ( ) si utu. Kita dapat membutia bahwa f () c.u pada iterval [, ] pada fugsi f() =. Oleh area itu f f ma si utu. Aa tetapi f () = dimaa-maa, sedaga ' f ( ) cos. Oleh area itu f ' f ' ma cos utu. Perhatia bahwa etia f () medeati f, maa merea sagat berosilasi. Oleh area itu derivative f () aa sagat jauh dari derivatif f. 94 Aalisa Real dega MATLAB

204 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Jadi hati-hatilah megguaa pedeata derivatif fugsi yag diyataa dega poliomial Taylor. Daftar Pustaa Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC 00, Chapter 5. ANALISA REAL 95

205 96 Aalisa Real dega MATLAB

206 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB V RUANG METRIK HAP: bagaia sebuah model baju yag haya utu pamera da eidaha duia fashio, demiialah juga beberapa bagia dari matematia it may be oly for its ow beauty ( 6 Agustus 0). 5. Pedahulua Pada ruag orm, jara atara eleme ditetua oleh beda orm atara eduaya. Jara fugsi juga dapat didefiisia dega ide metric (awas, bua matri ya). Hampir semua hal yag didisusia pada ruag orm juga aa mejadi pembahasa pada ruag metric dega sediit perbedaa. Hal yag palig utama yag meujua perbedaa atara ruag orm da ruag metric adalah bahwa ita tida beerja pada ruag vetor sehigga tida ada sifat pejumlaha da peralia salar. Dega ata lai ruag orm merupaa salah satu ruag metri. 5. Defiisi da beberapa Teorema Defiisi. Misala X suatu himpua. Suatu metric pada himpua X adalah suatu fugsi yag didefiisia pada X X yag berilai [ 0, ) dega sifat sebagai beriut () Positif tegas (positive defiiteess) :, y 0 ANALISA REAL 97

207 (), y 0 jia haya jia =y. (3) Simetri :, y y,, utu semua, y X (4) Ketasamaa segitiga:, y, y y, z semua, y, z X., utu Ruag metric adalah suatu himpua X dega suatu metric yag disimbola sebagai X,. Teradag juga ditulis haya X saja pada bab ii. Aa tetapi perlu diteaa bahwa ruag metric bualah X merupaa himpua titititi tetapi harus berpasaga dega metric. Cotohya himpua titi-titi dega setiap titi mempuyai bilaga real dapat didefiisia suatu ruag metric dega suatu metric yag didefiisia sebagai da ii bua ruag metric * (, y) y... y, R (jia > ). Jia ita puya ruag metric (X, ) da (Y, ) ita dapat membetu ruag metric baru yag disebut peralia Cartesia (Cartesia product) X Y yag merupaa himpua titi-titi XY = (, y) : X, y Y yag metricya didefiisia sebagai (, ) ( y, / (( y., y),(, y)) ) Utu meujua bahwa memeuhi sifat metric (-4). Beberapa cotoh lebih lajut ditulisa beriut ii. 98 Aalisa Real dega MATLAB

208 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Cotoh. a. Ruag metric yag palig sederhaa adalah himpua bilaga real R dega (, y) y. b. Cotoh beriutya adalah ruag Euclide -dimesi R yag titi-titiya merupaa bilaga real yaitu = ) da, y) y y (,,..., Sifat (4) utu X adalah. (... R berarti bahwa jumlah pajag suatu sisi segitiga lebih ecil dari jumlah pajag dari dua sisi yag lai. Hal iilah yag meyebaba sifat (4) diataa etasama segitiga. c. Jia X adalah subruag dari ruag orm V, maa dapat didefiisia (, y) y. Sehigga sifat (4) dapat ditulis dalam betu y y. d. Betulah suatu metric pada permuaa suatu bola dega medefiisia (, y) adalah pajag litasa terpede dari e y (dieal sebagai suatu geodesic). Litasa terpede ii merupaa urva eleguga terpede dari suatu ligara yag melalui da y. ANALISA REAL 99

209 Cotoh. Metric disrit pada suatu himpua X didefiisia sebagai 0 jia y d(, y) jia y Cotoh 3. Didefiisia suatu metric pada Z oleh (, ) 0 da d ( m, ) dimaa d adalah pagat tertiggi yag jia dibagi oleh m- tida ol. Perhatia bagaimaa membutia sifat ii. d Jia l, m) da m, ) ( ( e, maa mi e d, ma l, m), ( m, ). ( Metri demiia dieal sebagai (-adic metric). Dega meggatia dega bilaga prima p ita juga dapat mempuyai p-adic metric. Latiha soal 5. (Royde,987). Tujua bahwa himpua semua titi dega tiap titi memuat bilaga real mejadi suatu ruag metric dega defiisi metric sebagai beriut : (a), y) y... * ( y (b), y) y,..., ( y. 00 Aalisa Real dega MATLAB

210 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm.. Utu soal dega = da =3, gambara himpua : (, y) : (, y)., : * (, y) Latiha soal 5. (Davidso, da Dosig, 00, page 8, E. 9. ) da. Tujua bahwa y /, y) e e adalah suatu metric pada R. Perhatia -adic metric pada Cotoh. Kembaga Q dega medefiisia ( a / b, a / b) 0 da jia a b c / d a / b, c / d e / maa dimaa e adalah suatu bilaga bulat tuggal sedemiia higga a/b c/d e = f / g dega f da g eduaya merupaa bilaga bulat gajil. (a) Butia bahwa adalah suatu metri Q. (b) Tujua bahwa barisa bilaga bulat a ( ) / 3 overge dalam Q,.! (c) Tetua limit dari pada metric ii.! Defiisi. Bola B r () dega jari jari r > 0 di seitar titi didefiisia sebagai y X : (, y) r. Suatu subhimpua U diataa terbua jia utu setiap U, terdapat ANALISA REAL 0

211 suatu r > 0 sehigga B r () termuat dalam U da titi dalam dari suatu himpua A. lim (, Barisa diataa overge e jia ) 0. Himpua C diataa tertutup jia terdiri C memuat semua titi limit dari barisa titi-titi dalam C. Demiia pula closure dari himpua A ditulis ( A ) adalah himpua semua titi limit A. Defiisi 3. Suatu barisa adalah suatu ruag metri ( X, ) adalah barisa Cauchy jia utu setiap 0, terdapat suatu bilaga bulat N sehigga, ) utu ( i j semua i, j N. Suatu ruag metric X diataa complete jia setiap barisa Cauchy overge dalam (X). Cotoh 4. (a) Setiap barisa overge adalah Cauchy (b) Jia X adalah metric disrit: satu-satuya cara suatu barisa bisa overge e jia barisa pada ahirya osta (yaitu area ) / ( 0 Aalisa Real dega MATLAB utu semua N ). Hal ii B sama dega. Oleh area itu utu setiap subhimpua X bersifat terbua juga tertutup. Juga X complete.

212 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. (c) Jia X R tertutup, ruag metric (K(X), d H ) legap (complete). Defiisi 4. Suatu fugsi f dari ruag metric (X, ) ito ruag metric (X, ) adalah otiu jia utu setiap 0 X da 0, terdapat suatu > 0, sehigga f ( ), f ( )) ( 0 pada, ). ( 0 Catata: Perhatia bahwa defiisi ii bersifat lebih umum. Jia X= V R adalah ruag orm (Euclide) utu f: V R dega V R, maa defiisi f otiu sebagai beriut: utu setiap, ) da 0 terdapat suatu >0 0 ( 0 0 sehigga f ( ), f ( )) f ( ) f ( ) dega ( 0 0 (,. 0 ) 0 ( 0) ( 0) Bagi pemula, maa defiisi-defiisi beriut ii aga membosaa. Keperlua defiisi-defiisi beriut lebih meajama sifat fugsi otiu f pada atara ruag metric. 5.3 Homomorfisma (Homomorphism) Kata homomorphism dari ata Gree (omo) meyerupai da (morphosis), artiya membetu. Utu memahami homorfisma maa ita embali pada beberapa defiisi pada fugsi (oto, ito). ANALISA REAL 03

213 Suatu fugsi f dari A e B diataa oto jia utu semua aggota b dalam B terdapat suatu a dalam A sehigga berlau f(a)=b. Semua eleme dalam B diguaa. Ketia ita beerja pada bidag oordiat, maa himpua A da B eduaya dapat merupaa himpua bilaga real, atau ditulis f : R R. ONTO Tida ONTO Gambar. Cotoh pemetaa oto da tida oto Cotoh 5. Misala y = 6 dapat merupaa fugsi dalam yag ditulis dalam betu y f ( ) 6 7/ 4 Fugsi f pada cotoh 5 merupaa oto f. : R R, baha setiap ilai meetua dega tuggal ilai y. Hal ii diataa f juga pemetaa - (ijective) 04 Aalisa Real dega MATLAB

214 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Gambar. Fugsi y f ( ) 6 7/ 4 Cotoh 6. Apaah g ( ) 4 merupaa oto dega g : R R? Gambar 3. Ilustrasi g ( ) 4 Fugsi ii tida oto. Tida semua ilai pada y yag diguaa. Selai itu parabola ii mempuyai ilai-ilai y ANALISA REAL 05

215 yag berpasaga dega lebih dari ilai. Misala (3,5) da (-3,5). Oleh area itu fugsi ii juga tida -. Cotoh 7. Aa tetapi g ( ) 4 merupaa pemetaa oto dimaa g : R [ 4, ) area semua ilai y diguaa. Suatu fugsi f dari A e B diataa - jia bilamaa f(a)=f(b) maa a=b. Tida ada aggota B yag merupaa hasil pemetaa lebih dari aggota A. - ONTO, tida - Gambar 4. Pemetaa - da tida - Pada fugsi -, diberia sebarag ilai y maa terdapat haya satu ilai yag dapat dipasaga dega y yag diberia. Fugsi demiia diataa ijective 06 Aalisa Real dega MATLAB

216 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Gambar 5. Fugsi g ( ) Cotoh 8. g ( ) tida - pada g : R R area ada ilai y utu macam yag berbeda. Misala (0,) da (4,). Fugsi dapat memeuhi - da oto. Fugsi yag demiia diataa bijective. Pemetaa - f dari X oto Y diamaa homoemorphism atara X da Y jia f otiu da pemetaa ivers f juga otiu. Ruag X da Y diataa homeophorphic jia terdapat suatu homeomorphism ada diatara eduaya. Studi topologi pada esesiya merupaa studi tetag sifat-sifat ii yag tida berubah area ada homeomorphism sehigga diataa sifat topologi. ANALISA REAL 07

217 Tida semua sifat dari ruag metric terjami oleh homeomorphism, tetapi dapat berubah. Cotohya adalah jara atara titi yag biasaya berubah oleh suatu homeomorphism. Jia ada homeomorphism yag meyebaba jara tida berubah, yaitu jia h ), h( ) (, ) (*) ( utu semua da di X diataa suatu isometric diatara X da Y. Ruag X da Y diataa isometric jia terdapat isometric diatara eduaya. Defiisi ii serigali diterjemaha dalam euivalesi atara metri. Dua metri diataa euvale jia terdapat pemetaa homeomorphism diatara ( X, ) da ( X, ). Masih baya pejelasa yag beraita dega hal ii, tetapi saya haya membatasi higga di sii. 08 Aalisa Real dega MATLAB

218 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. Latiha soal 5.3 (Royde, page 45). Tujua bahwa fugsi h pada [0,) diberia oleh h()=/(-) adalah homeophorphism atara [0,) da [0, ).. Misala E suatu himpua da suatu titi pada ruag metric. Didefiisia (, E) if (, y). ye (a) Tujua bahwa utu suatu E yag ditetapa fugsi f yag diberia oleh f ( ) (, E) adalah otiu. (b) Tujua bahwa (, E) 0 E :. 3. (a). Butia bahwa metric pada suatu himpua X euivale jia da haya jia diberia X da 0 terdapat suatu 0 sehigga utu semua y X da (, y) (, y) (, y) (, y). (b). Tujua bahwa himpua metric beriut yag merupaa himpua yag terdiri dari bilaga real adalah euivale: ANALISA REAL 09

219 y / y (, y)..., y) y... * ( y * (, y) ma y,..., y. Daftar Pustaa Davidso, K.R da Dosig, A. P, 00. Real Aalysis ad Applicatios, Theory ad Practice, Spriger Sciece + Busiess Media, LLC 00, Chapter 9. Royde, H.L.,987. Real Aalysis, Third Editio, Pretice Hall, Eglewood Cliffs, Chapter 7. 0 Aalisa Real dega MATLAB

220 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. BAB VI Cotoh SOAL JAWAB OLIMPIADE MAHASISWA Bidag ANALISA REAL BIDANG ANALISIS Bidag Aalisis. Tujua bahwa deret beriut overge seragam da absolute pada iterval yag diberia a. b. utu 0 si 3 / utu semua. c. e pada iterval terbatas 0 C Jawaba : Shaarchi, R., 998. Problems ad Solutios for Udergraduate Aalysis, Spriger, Ic, hal. 50. (a). Karea da deret ruas aa adalah deretp dega p= yag overge Oleh area itu dega test badig deret overge seragam utu 0. ANALISA REAL

221 (b). Karea si 3/ 3/ / / da dietahui / 3/ (deret p dega p >). Jadi deret yag ditayaa overge absolute utu semua. (c). Utu semua 0, berlau / e / e. Pagata dega ruas iri da aa diperoleh: ( / e ) (/ e). Aalisa Real dega MATLAB

222 Parhusip,H.A,03. Aalisa Real, ,Tisara Grafia Salatiga, ISBN ,4 hlm. SOAL OLIMPIADE MAHASISWA SEJAWA-BALI BIDANG ANALISIS REAL 5 MEI 007 Bagia Pertama Soal Diberia barisa ( y ) dega y, 3 y y y.tetua lim( y ). 4 Jawab : Kita dapat meyusu ilai y utu beberapa, Utu lebih mudah, maa ditulis dega program MATLAB da hasil ilustrasi utu =,..., ditujua pada Gambar. Karea tida ada pertayaa utu mem-butia, dega membuat daftar tersebut, aa diperoleh lim( y ) =-. Program MATLAB y()=; =; m=0; for =:m y(+)=0.5*(y()^3 +y()^)- ed v=[:m+] figure() plot(v,y,'*') Gambar. Ilustrasi perilau barisa ANALISA REAL 3

223 Bagia Kedua. Soal Diberia barisa ( ) dega = da utu =,,3,... Didefiisia barisa da hasil ali y. Jumlah S y P y utu suu pertama dari ( y ). Tetua S + P utu =,,3,... Jawab : Kita aa meyelidii pada prisipya seperti pada o.. Utu mempermudah, pada tulisa diberia program ecil dalam MATLAB utu medaftar barisa ( ) da ( y ). Soal haya memita utu medaftar bilaga S + P. Jadi beriut ii haya diberia beberapa ilaiya utu beberapa. S = P = (selajutya 0) 4 Aalisa Real dega MATLAB