3. Integral (3) (Integral Tentu)

Transkripsi

1 Darublic Itegral () (Itegral Tetu).. Luas Sebagai Suatu Itegral. Itegral Tetu Itegral tetu meruaa itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar dari itegral tertetu adalah luas bidag ag diadag sebagai suatu limit. Kita aa meghitug luas bidag ag dibatasi oleh suatu urva f(), sumbu-, garis vertial, da, aitu luas bagia ag diarsir ada Gb...a. Sebutlah luas bidag ii. Bidag ii ita bagi dalam segme da ita aa meghitug luas setia segme da emudia mejumlahaa utu memeroleh. Jia ejumlaha luas segme ita laua dega meghitug luas segme seerti tergambar ada Gb...b, ita aa memeroleh luas ag lebih ecil dari dari luas ag ita haraa; sebutlah jumlah luas segme ii b (jumlah luas segme bawah). Jia ejumlaha luas segme ita laua dega meghitug luas segme seerti tergambar ada Gb...c, ita aa memeroleh luas ag lebih besar dari dari luas ag ita haraa; sebutlah jumlah luas segme ii a (jumlah luas segme atas). Kedua macam erhituga tersebut di atas aa megaibata terjadia galat (error). tara merea ada selisih seerti digambara ada Gb...d. Jia adalah suatu ilai di atara edua batas segme e-, aitu atara da ( + ), maa berlau f ( ) f ( ) f ( + ) (.) Jia ertidasamaa (.) dialia dega ag ag cuu ecil da berilai ositif, maa f ( ) f ( ) f ( + ) (.) f() f() (a) + f() (b) + f() (c) (d) Gb... Meghitug luas bidag di bawah urva. + + Sudarato Sudirham, Itegral () /7

2 Darublic Searag luas segme di ruas iri, tegah, da aa dari (.) ita jumlaha dari samai (aitu sebaa jumlah segme ag ita buat), ita aa memeroleh f ) f ( ) f ( + ) ( (.) Ruas alig iri adalah jumlah luas segme bawah, b ; ruas alig aa adalah jumlah luas segme atas, a ; ruas ag di tegah adalah jumlah luas segme ertegaha, ita amaa. Jelaslah bahwa b (.4) Nilai daat diaai sebagai edeata ada luas bidag ag ita cari. Galat (error) ag terjadi sagat tergatug dari jumlah segme,. Jia ita erbesar meuju ta higga, seraa mejaga agar semua meuju ol, maa luas bidag ag ita cari adalah b a lim lim lim (.5) Jadi aabila ita meghitug limita, ita aa memeroleh ilai limit ag sama, aaah ita megguaa ejumlaha segme bawah, atau atas, atau ertegahaa. Limit ag sama ii disebut itegral tertetu, ditulisa Itegral tertetu (.6) ii terait dega itegral ta tetu (9.) a f ( ) d (.6) f ( ) d F( ) ] F( ) F( ) (.7) Jadi utu memeroleh limit bersama dari ejumlaha segme bawah, ejumlaha segme atas, mauu ejumlaha segme ertegaha dari fugsi f() dalam retag, ita cuu melaua: a. itegrasi utu memeroleh F ( ) f ( ) d ; b. masua batas atas utu medaat F(); c. masua batas bawah utu medaat F(); d. uraga eroleha batas bawah dari batas atas, F() F(). Walauu dalam embahasa di atas ita megambil cotoh fugsi ag berilai ositif dalam retag, amu embahasa itu berlau ula utu fugsi ag dalam retag semat berilai egatif. Kita haa erlu medefiisia embali aa ag disebut dega dalam embahasa sebeluma. Pedefiisia ag baru ii aa berlau umum, aitu adalah luas bidag ag dibatasi oleh f () da sumbu- dari samai, ag meruaa jumlah luas bagia ag berada di atas sumbu- diuragi dega luas bagia ag di bawah sumbu-. gar lebih jelas ita megambil cotoh ada Gb.. Sudarato Sudirham, Itegral () /7

3 Darublic Gb... Kurva Kita aa meghitug luas atara dierlihata ada Gb.. da sumbu- dari samai +. Betu urva Di sii terlihat bahwa dari samai urva berada di atas sumbu- da atara samai + urva ada di bawah sumbu-. Utu bagia ag di atas sumbu- ita memuai luas a ( 4 ) d 6 4 Utu urva ag di bawah sumbu- ita daata b 4 ( ) d 6 4 (,5 54),75,5 54 (),75 Luas ag ita cari adalah luas bagia ag berada di atas sumbu- diuragi dega luas bagia ag di bawah sumbu- a b,75 (,755) 67,5 Cotoh ii meujua bahwa dega egertia ag baru megeai, formulasi ( )) f ( ) d F( ) F teta berlau utu urva ag memilii bagia bai di atas mauu di bawah sumbu-. Dega demiia maa utu betu urva seerti ada Gb... ita daata ag ita eroleh dari ( )) f ( ) d F( ) F f() 4 Gb... Kurva memotog sumbu- di beberaa titi. Sudarato Sudirham, Itegral () /7

4 Darublic Luas Bidag Di tara Dua Kurva Kita aa meghitug luas bidag di atara urva f ( ) da f ( ) ada batas atara da. Kurva ag ita hadai sudah barag tetu harus otiu dalam retag. Kita tetaa bahwa urva f ( ) berada di atas f ( ) mesiu mugi merea memilii bagia-bagia ag berada di bawah sumbu-. Perhatia Gb..4. Retag ita bagi dalam segme, ag salah satua dierlihata ada Gb..4. dega batas iri da batas aa (+ ), dimaa ( ) /. + Luas segme daat dideati dega Gb..4. Meghitug luas bidag atara dua urva. { f ( ) f( } (.8) segme ) ag jia ita jumlaha seluruh segme aa ita eroleh { f ( ) f( } ) segme Dega membuat meuju ta higga sehigga meuju ol ita samai ada suatu limit Kita aa melihat beberaa cotoh { f ( ) f ( } lim segme ) d (.9) (.) Cotoh : Jia 4 da beraaah luas bidag atara da dari samai { 4 ( ) } d 6] 8 ( ) ( Hasil ii dega mudah dijaia megguaa laimetri. Luas ag dicari adalah luas ersegi ajag dega lebar 6 da ajag 5. Cotoh : Jia da 4 beraah luas bidag ag dibatasi oleh da. Terlebih dulu ita cari batas-batas itegrasi aitu ilai ada erotoga atara da., 4 Perhatia bahwa adalah fugsi agat dua dega titi uca miimum ag berada ada osisi [,]. Oleh area itu bagia urva ag membatasi bidag ag aa ita cari luasa, berada di di bawah 4. Sudarato Sudirham, Itegral () 4/7

5 Darublic (4 ) 4 d Jia ita terbali dalam memadag osisi terhada ita aa melaua esalaha: + * ( 4) 4 d Cotoh : Jia da beraaah luas bidag ag dibatasi oleh da. Terlebih dulu ita erhatia arater fugsi-fugsi ii. Fugsi adalah fugsi uadrat dega titi uca masimum ag memotog sumbu- di. Fugsi adalah garis lurus melalui titi asal [,] dega emiriga egatif, ag berarti ia meuru ada arah ositif. Dega demiia maa bagia urva ag membatasi bidag ag aa ita cari luasa berada di atas. Batas itegrasi adalah ilai ada erotoga edua urva ; atau Peeraa Itegral ( ) + + d ,5 Pembahasa di atas terfous ada eghituga luas bidag di bawah suatu urva. Demiia juga di bab sebeluma. Hal tersebut dilaua utu memudaha visualisasi. Dalam rate ita tida selalu meghitug luas melaia meghitug berbagai besara fisis ag berubah terhada watu misala. Perubaha besara fisis ii daat ula divisualisasi dega membuat absis dega satua watu da ordiat dega satua besara fisis ag dimasud. Dega demiia seolah-olah ita meghitug luas bidag di bawah urva. Beriut ii dua cotoh dalam elistria. Cotoh : Sebuah irati meera daa W ada tegaga osta V. Beraaah eergi ag disera oleh irati ii selama 8 jam? Daa adalah laju erubaha eergi. Jia daa diberi simbol da eergi diberi simbol w, maa dw ag memberia w dt dt Perhatia bahwa eubah bebas di sii adalah watu, t. Kalau batas bawah dari watu ita buat, maa batas atasa adalah 8, dega satua jam. Dega demiia maa eergi ag disera selama 8 jam adalah 8 w dt dt t 8 8 Sudarato Sudirham, Itegral () 5/7 8 Watt.hour [Wh],8 ilo Watt hour [Wh]

6 Darublic Cotoh : rus ag melalui suatu irati berubah terhada watu sebagai i(t),5 t amere. Beraaah jumlah muata ag diidaha melalui irati ii atara t samai t 5 deti? rus i adalah laju erubaha trasfer muata,. d i sehigga dt idt Jumlah muata ag diidaha dalam 5 deti adalah 5 5 5,5,5 idt,5,65 tdt t coulomb.4. Pedeata Numeri Dalam embahasa megeai itegral tetu, ita fahami bahwa lagah-lagah dalam meghitug suatu itegral adalah:. Membagi retag f() e dalam segme; agar roses erhituga mejadi sederhaa buat segme ag sama lebar,.. Itegral dalam retag dari f() dihitug sebagai f ( ) d lim f ( ) dega f( ) adalah ilai f() dalam iterval ag besara aa sama dega ilai teredah da tertiggi dalam segme jia meuju ol. Dalam aliasi ratis, ita tetu bisa meetaa suatu ilai sedemiia rua sehigga jia ita megambil f( ) sama dega ilai teredah atauu tertiggi dalam, hasil erhituga aa lebih redah atauu lebih tiggi dari ilai ag diharaa. Namu error ag terjadi masih berada dalam batas-batas tolerasi ag daat ita terima. Dega cara ii ita medeati secara umeri erhituga suatu itegral, da ita daat meghitug dega batua omuter. Sebagai ilustrasi ita aa meghitug embali luas bidag ag dibatasi oleh urva dega sumbu- atara da +. Lauas ii telah dihitug da meghasila 67, 5. Kali ii ita melaua erhituga edeata secara umeri dega batua omuter. ( ) d Karea ag aa ita hitug adalah luas atara urva da sumbu-, maa bagia urva ag berada di bawah sumbu- harus dihitug sebagai ositif. Jia ita megambil ilai,5 maa retag aa terbagi dalam 4 segme. Perhituga meghasila Error ag terjadi adalah seitar,5%. 4 ( ) 67, ,4 Jia ita megambil,5 maa retag aa terbagi dalam segme. Perhituga meghasila Error ag terjadi adalah seitar,%. ( ) 67, ,5 Sudarato Sudirham, Itegral () 6/7

7 Darublic Jia ita masih mau meerima hasil erhituga dega error,%, maa hasil edeata umeri sebesar 67,4 cuu memadai. Perhituga umeri di atas dilaua dega meghitug luas setia segme sebagai hasilali ilai miimum atauu ilai masimum masig-masig segme dega. Satu alteratif lai utu meghitug luas segme adalah dega melihata sebagai sebuah traesium. Luas setia segme mejadi segme ( f ( mi ) + f ( )) / (.) Perhituga edeata umeri ii ita laua dega batua omuter. Kita bisa memafaata rogram aliasi ag ada, atauu megguaa sread sheet jia fugsi ag ita hadai cuu sederhaa. mas Sudarato Sudirham, Itegral () 7/7