Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Transkripsi

1 oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu estra hati-hati dega deret. Misala S = : Maa S = = = + S: Dega demiia, S = : Kemudia utu deret lai, misala L = : Maa L = = ( ) = L sehigga L = L da aibatya L =, yaitu =!!! Apa yag salah? Kesalaha pertama adalah sudah megasumsia bahwa merupaa bilaga real sehigga bisa mejadi obje operasi peralia da operasi pejumlaha. Kesalaha edua adalah memperlaua pejumlaha ta higga bilaga seperti pejumlaha biasa (pejumlaha berhigga suu atau bilaga). Pada deret, ita melihat bahwa ita mejumlaha ta berhigga suu yag seperti dilihat diatas, sehigga perlu ditagai secara husus. Persoala medasar adalah memperoleh jumlaha ta berhigga suu. Pedeata yag diguaa adalah dega megguaa hampira. Apa yag diguaa utu meghampiri jumlaha? Bagaimaa meghampiriya? Diberia deret a + a + a 3 + a 4 + : Misala s = a s = a + a s 3 = a + a + a 3. s = a + a + a 3 + a a. Tiap s disebut jumlah parsial dari suu pertama. Terbetu barisa jumlah parsial (s ) : Jia barisa (s ) overge e bilaga real S; maa dari pegertia limit barisa dietahui bahwa jumlah parsial s dapat dibuat sebarag deat e jia cuup besar. Dega demiia, sagat mudah utu meerima S sebagai jumlah semua a i : De itio Misala (s ) adalah barisa jumlah parsial deret a + a + a 3 + a 4 + Jia barisa (s ) overge e bilaga real S; lim! s = S; maa deret diataa overge da S disebut jumlah dari deret. Notasi: S = a + a + a 3 + a 4 + : atau S = Jia barisa (s ) diverge, maa deret juga disebut diverge. Remar Jumlah sebuah deret adalah limit barisa jumlah parsialya. X i= a i

2 Dega demiia, dari Atura Limit, diperoleh Theorem 3 Misala X a i = A da i= X b i = B; da da l bilaga real. Maa i= X (a i + lb i ) = A + lb i= Beberapa deret tereal X i= i = = X i = diverge (Deret Harmoi) i= X i= X i= X i= ( ) i+ i = + 3 ( ) i+ i = i! = +! + 3! + = e 4 + = l 7 + = 4 (a) (b) (c) (d) (e) (f) X i= X i= X i= X i= X i = = i = = i = = 945 i 8 = = 8 i = i= X i= i = = = X i= i 3 = =??? ope problem (Basel problem).

3 Sariga Sierpisi atau juga disebut Karpet Sierpisi Misala luas arpet semula adalah satua luas, A 0 =. Maa. luas arpet hasil iterasi pertama adalah A = 8 9 ;. luas arpet hasil iterasi edua adalah A = : : : 3. luas arpet hasil iterasi etiga adalah A 3 = : : : : 4. Secara umum, luas arpet hasil iterasi e- adalah A = : : : 5. Hituglah lim! A : Laua hal yag sama utu busa Meger (Meger spoge): Hituglah luas ta berhigga segitiga beriut. Deret Positif Deret positif adalah deret a + a + a 3 + dega a i > 0 utu tiap i N; yag dapat divisualisasia sebagai 3

4 Masalah utama dalam deret adalah meguji eovergea da meetua jumlahya, jia deret tersebut overge. Disii ita aa mempelajari berbagai uji eovergea da uji edivergea. Salah satu deret yag dietahui jumlahya adalah deret geometri, dega r disebut rasio deret. Perhatia bahwa a + ar + ar + ar 3 + ( x) + x + x + + x = + x + x + + x x + x + + x + = x + Maa, jumlah parsial deret geometri ii adalah s = a + ar + ar + ar ar = a r r+ ; r = Theorem 4 (Deret Geometri) Deret geometri a+ar+ar +ar 3 + overge bila jrj < da jumlahya adalah a r : X ar = a + ar + ar + ar 3 + = a ; jia jrj < : r =0 Jia jrj ; maa deret diverge. Theorem 5 (Deret-p) Deret-p. overge jia p >. diverge jia p : Theorem (Uji Suu e-) X p =0. Jia lim! a = 0, maa deret. Jia deret X a overge, maa lim! a = 0: = X a diverge. = Remar 7 Kesalaha umum: jia lim! a = 0, maa deret Cotoh peyagal: deret harmoi Deret X (+) = disebut deret telesopis atau deret olaps area jumlah parsialya sejumlah suusuuya salig maghapusa. X = X a overge. = diverge sealipu lim! = 0: Maa s = ( + ) = = : X ( + ) = lim s = lim! =! + + = : + 4

5 Exercise 8. Diberia deret X (+) = s = : Perlihata bahwa, utu > 4; Kemudia tetua apaah deret overge da jumlahya, jia overge.. Diberia deret X (+3) = : Perlihata bahwa, utu > ; s = Kemudia tetua apaah deret overge da jumlahya, jia overge. 3. Misala b = ; b = ; da b + = b + b + ; utu = ; ; 3; : : : : (a) Perlihata bahwa b b + = b b + X (b) Hituglah b b + : = b +b + : Ada dua uji utama utu eovergea deret positif, yaitu uji itegral da uji badig (biasa da limit) serta uji rasio Theorem 9 (Atura Itegral) Jia f (x) otiu, positif, da mooto turu pada [; ) da a = f () X utu tiap N: Maa, deret a overge jia da haya jia R f (x) dx overge. Sedaga Theorem 0 (Uji Badig Biasa) Misala 0 a b utu tiap N:. Jia. Jia X X b overge, maa a juga overge X X a diverge, maa b juga diverge. Theorem (Uji Badig Limit) Misala a 0; b > 0, da. Jia 0 < L < ; maa. Jia L = 0 da X a da X b overge, maa a lim = L:! b X b eduaya overge atau eduaya diverge. X a overge. Theorem (Uji Rasio) Misala X a deret positif da a + lim = L:! a. Jia L < ; maa deret overge. 5

6 a. Jia L > atau lim +! a = ; maa deret diverge. 3. Jia L = ; maa uji ii tida memberi esimpula.. Tiap uji memilii euggula, euraga, da tataga tersediri.. Atura Itegral: relatif mudah area begitu diperoleh fugsi f (x) yag memeuhi, maa masalah diredusi e masalah eovergea R f (x) dx: Potesi esulita terdapat pada R f (x) dx: (a) Yag harus dilaua: i. Tetua fugsi otiu f (x) sehigga f () = a ; tiap N: ii. Perisa bahwa f (x) mooto turu. iii. Perisa eovergea R f (x) dx: (b) Kesimpula: R X f (x) dx overge jia da haya jia a overge. (c) Jia f (x) mooto ai, guaa Uji Suu e-:. Uji Badig Biasa: tataga terleta pada meetua barisa pembadig. Jia overge, maa perlu dicari deret X a diduga diverge, perlu dibagu deret jia sulit meduga apaah (a) Yag harus dilaua: X b yag domia (a b ) da overge. X a overge atau diverge. X a diduga Sebaliya jia X b sehigga b a da diverge. Kesulita timbul i. Membuat periraa/dugaa apaah deret overge atau diverge.: X X ii. Mecari deret pembadig: Jia a diperiraa overge, cari b overge dega a b : Jia X a diperiraa diverge, cari X b diverge dega b a : (b) Disaraa diguaa utu deret yag meorip deret eometri atau deret-p: X (c) Keuraga uji ii: harus membuat dugaa apaah a overge atau tida da harus mecari deret pembadig yag tepat. 3. Uji Badig Limit: relatif lebih mudah. Bila a memuat betu c f() atau a merupaa betu rasioal dalam ; maa disaraa megguaa uji badig limit. Guaa deret-p sebagai pembadig. (a) Yag harus dilaua: i. Membuat periraa/dugaa apaah deret overge atau diverge.: X X ii. Mecari deret pembadig: Jia a diperiraa overge, cari b overge dega a b : Jia X a diperiraa diverge, cari X b diverge dega b a : (b) Disaraa diguaa utu deret rasioal, deret yag mirip deret geometri atau deret-p:

7 X (c) Keuraga uji ii: harus membuat dugaa apaah a overge atau tida da harus mecari deret pembadig yag tepat. 4. Uji Rasio: Relatif mudah area tida perlu mecari deret lai utu membadiga. Kelemaha: tida ada esimpula jia lim! a + a = : a (a) Yag harus dilaua: meghitug lim +! a : dega a > 0 tiap : (b) Disaraa diguaa utu deret yag memuat factorial. X (c) Keuraga uji ii: harus membuat dugaa apaah a overge atau tida da harus mecari Example 3 deret pembadig yag tepat. X p : p p = (+) (+) (+)(+) + : Karea X = + = adalah juga deret harmoi, maa deret ii diverge. Maa, dega megguaa Uji Badig Biasa, dapat disimpula diverge. Cara lai: Laua Ujji Badig Limit dega deret harmoi lim! p (+) = lim! p + = lim! X : = q = lim +! q + = p + 0 = : X = p (+) Karea limit L = > 0; maa eduaya overge atau eduaya diverge. Deret harmoi diverge, maa X deret p juga diverge. (+) = Example 4 Rasio. Maa, X = 7 Example 5 X 7! : Misala a = 7! : Karea memuat suu fatorial, maa dicoba megguaa Uji =! overge. X a + lim = lim! a! 7 + (+)! 7! 7 = lim! + = 0: 3+cos : Karea cos ; maa 3 + cos 4 da aibatya 3+cos 4 = lim! a = 0 da oleh area itu Example X = X 3+cos = diverge, meurut Uji Suu e-. : Jadi, barisa 3 : Karea 3 = 3 = ; deret merupaa selisih dari dua deret geometri dega rasio masig-masig da ; eduaya overge. Maa X da X = 3 = X = X = = = 4 5 : = 3 overge 7

8 Apaah perbedaa jawab di atas dega jawab beriut? X = Example 7 Apaah deret Maa Karea = 3 = lim! X = X 3 = X = X = X = 3 = = X = = overge? Badiga dega deret harmoi X = = ++3 = lim! = lim! X diverge, maa meurut Uji Rasio deret X Cara lai: Karea = ( + ) Sedaga ++3 = ( + ) ; maa ( + ) : = : juga diverge. (megapa?). Z Z xdx b Z (x + ) = lim xdx b Z u=x+ (u ) du b du b! (x + ) = lim b! u = lim b! u Z b du lim b! u R b du Suu pertama lim b! u = lim b! l b l = : Maa R xdx diverge sehigga meurut uji (x+) X X itegral diverge. Dega demiia, meurut Uji Badig Biasa, juga diverge. (+) = ++3 = Pegayaa: Aurasi Estimasi X Misala a adalah deret positif da terdapat fugsi f (x) yag memeuhi hipotesa Uji Itegral: otiu, = mooto turu, f () = a. Maa s = Z + X a s + : Misala R = S s = a + + a + + : = f (x) dx a + + a + + Z f (x) dx Jadi, Z f (x) dx R + Oleh area itu, retag ilai S adalah s + Z + Z f (x) dx S s + f (x) dx: Z f (x) dx 8

9 Example 8 Tetua hampira jumlah deret Z Z b dx dx = lim x3 b! x 3 = lim b! X = 3 dega esalaha tida lebih dari 0:0: x b = lim b! b b = : Agar esalaha R 0:000 = 0 4 ; diperlua agar R f (x) dx = 0 atau 0 : Pilih = 8; r 0 = 5p 7:07: X 3 s 8 = = :95044: = Example 9 Kita dapat megguaa retag ilai utu memperoleh estimasi yag lebih bai. X Retag ilai S = adalah 3 = : s 8+ 9 = s 8+ atau secara umeri Z 9 f (x) dx S s 8 + Z : S : Maa ita memilih megguaa titi tegah dari selag sebagai hampira dari S; yaitu X : : = S = : = 8 f (x) dx = s : Pemiliha titi tegah memberia esalaha yag terjadi tetu taa lebih dari setegah pajag retag yaitu ta lebih dari s s = 8 9 = 8: !!! Jadi, estimasi X 3 = bai dibadiga estimasi oleh s 8 : :095 mempuyai esalaha ta lebih dari 8: ; : jauh lebih 9