BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau persegi yang ditulis di antara dua tanda kurung, yaitu atau Matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk: Matriks dimana: juga dapat dinyatakan sebagai: = elemen atau unsur matriks = 1,2,3, m, indeks baris = 1,2,3, n, indeks kolom

2 6 2 Jenis Jenis Matriks Terdapat beberapa jenis matriks, diantaranya yaitu: a Matriks kuadrat/persegi adalah matriks dimana jumlah baris sama dengan jumlah kolom Contoh : 1, b Matriks diagonal adalah matriks dimana semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan nol Contoh : 1, c Matriks satuan/identitas adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu 1 elemen di luar diagonal utama bernilai nol Contoh : 1 d Matriks skalar adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol Contoh : 1, e Matriks segitiga bawah adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah kiri diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol Contoh : 1,

3 7 f Matriks segitiga atas adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah kanan diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol Contoh : 1, g Matriks simetri adalah matriks persegi dimana elemen ke dengan ke atau Contoh : sama untuk semua i j, berlaku sifat h Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol Contoh : 1, i Matriks non singular adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol Contoh : 1, j Matriks Elementer adalah matriks persegi ukuran dari matriks identitas yang diperoleh dengan melakukan sekali operasi baris elementer Contoh: 1 1

4 8 k Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah 1 baris yang memuat elemen taknol 2 Pada setiap baris dari matriks yang mempunyai elemen taknol, elemen taknol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen taknol dari baris sebelumnya Matriks eselon sering disebut juga matriks eselon baris Elemen taknol pertama dari suatu baris disebut elemen pivot Contoh: l Matriks nol adalah matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai nol Contoh : 1 3 Transpose Matriks Jika A adalah matriks berukuran dinyatakan oleh,, atau, maka transpose dari A,, didefinisikan menjadi matriks berukuran yang merupakan hasil dari pertukaran baris kolom dari matriks A

5 9 Jika matriks A dinyatakan: maka transpose matriks A dinyatakan: dimana Contoh 21: Tentukan transpose dari matriks berikut! 1 Jawab: 4 Operasi Matriks a Penjumlahan Pengurangan Matriks Definisi 22 Misalkan berukuran sama merupakan dua matriks Jumlah matriks A B ditulis adalah

6 1 matriks berukuran dengan elemennya merupakan jumlah elemen yang seletak dari kedua matriks Berlaku pula pada pengurangan matriks Dalam hal ini ditulis Contoh 22: Tentukan jumlah selisih dari matriks matriks berikut ini! Jawab: b Perkalian Skalar dengan Matriks Definisi 23 Diketahui matriks A c merupakan bilangan Matriks ca adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks A dengan c Dalam hal ini ditulis

7 11 Contoh 23: Diketahui matriks 1 maka matriks 1 1 c Perkalian Matriks Definisi 24 Jika adalah matriks, maka hasil kali adalah matriks adalah matriks yang entri entrinya didefinisikan oleh: Contoh 24: Diketahui dua matriks Dalam hal ini adalah 1 1 Oleh karena itu, ukuran dari matriks Elemen dari matriks dapat dihitung sebagai berikut: Baris ke- ; kolom ke- : Baris ke- ; kolom ke- : Baris ke- ; kolom ke- : Baris ke- ; kolom ke- :

8 12 sama dengan Oleh karena itu, matriks 1 5 Determinan Misalkan: maka notasi determinan dari matriks A ditulis: atau atau Definisi 25 Misalkan menyatakan matriks adalah matriks misalkan yang diperoleh dari menghapus baris kolom yang mengandung dsebut minor dari Determinan dari Didefinisikan kofaktor dari Apabila terdapat matriks det dengan dengan 1, maka

9 13 Matriks terbentuk dari matriks dengan cara menghapus baris pertama kolom pertama, segkan terbentuk dari dengan cara menghapus baris pertama kolom kedua Definisi 26 Determinan dari suatu matriks berordo, dinyatakan sebagai, adalah sebagai skalar yang diasosiasikan dengan matriks didefinisikan sebagai: { dimana adalah kofaktor kofaktor yang diasosiasikan dengan entri entri dalam baris pertama dari a Menentukan Determinan suatu Matriks 1 Matriks ordo adalah matriks Jika, maka 2 Matriks ordo /

10 14 Contoh 25: / 3 Matriks ordo Untuk matriks ordo, determinan dapat ditentukan dengan cara berikut: +

11 15 Contoh 26: + / / / 4 Matriks ordo,

12 16 Contoh 27: Diketahui Matriks, Tentukan! Jawab: Akan dicari, terlebih dahulu

13 17

14 18 Kemudian diperoleh b Sifat Sifat Determinan 1 Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A dengan cara mengalikan semua baris dengan bilangan k maka

15 19 2 Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A dengan cara menukar dua baris atau kolom sebanyak satu kali, maka 3 Misalkan diketahui tiga matriks B yang mempunyai elemen yang sama kecuali pada baris ke-i, yaitu elemen baris ke-i dari matriks B merupakan jumlah dari elemen baris ke-i dari matriks Maka 4 Determinan matriks identitas adalah 1 satu 5 Misalkan maka 6 Jika adalah matriks yang ukurannya sama, maka 7 Jika dapat dibalik, maka 8 Misalkan diketahui maka

16 2 6 Invers Matriks Persegi Ada beberapa macam cara untuk menentukan suatu invers matriks yang berordo antara lain dengan aturan Cramer operasi baris elementer Definisi 27 Matriks persegi A berukuran matriks B sehingga mempunyai invers jika ada Matriks B disebut matriks invers dari A a Aturan Cramer Metode ini dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu matriks yang non singular dengan menggunakan determinan Misalkan adalah matriks disebut adjoint dari, definisikan sebuah matriks baru yang dengan:, Jadi untuk membentuk adjoint dari matriks, setiap elemen harus diganti dengan kofaktornya kemudian mentransposkan matriks yang terjadi

17 21 Lemma 21 Misalkan adalah matriks untuk Jika menyatakan kofaktor dari, maka: { Berdasarkan Lemma 21, mengakibatkan Jika adalah skalar taknol dapat non singular, maka dituliskan * Jadi Contoh 28: Misalkan + Hitunglah! Jawab:

18 b Operasi Baris Elementer Untuk menentukan invers matriks dengan operasi baris elementer adalah dengan membentuk matriks yang diperbesar dari matriks dengan matriks identitas kemudian melakukan operasi baris elementer dengan mereduksi matriks menjadi matriks identitas melakukan operasi yang sama pada matriks untuk memperoleh matriks B Contoh 29:

19 23 Cara mencari invers matriks dengan operasi baris elementer adalah dengan dikatakan operasi baris terlebih dahulu dengan cara: Sehingga Teorema 21 Ketunggalan Matriks Invers Matriks invers dari suatu matriks adalah tunggal Jika invers, matriks invers dari mempunyai ditulis Bukti Misalkan maka dua matriks yang memenuhi Harus dibuktikan bahwa, untuk itu

20 24 persamaan yang digunakan yang dipenuhi oleh Yaitu Kesamaan 2 memakai kenyataan bahwa, kesamaan 3 memakai sifat asosiatif dari perkalian matriks yaitu kesamaan 4 memakai Karena matriks invers adalah tunggal, maka matriks invers dari ditulis Teorema 22 Aljabar dari Matriks Invers Misalkan dua matriks berukuran sama yang masing masing mempunyai invers, maka: Jika ; merupakan bilangan bulat tak negatif maka invers mempunyai

21 25 Bukti 1 Karena merupakan matriks invers dari maka Dengan demikian 2 merupakan matriks invers dari Terdapat kesamaan berikut ` Dengan demikian matriks matriks 3 merupakan matriks invers dari Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa a Akan ditunjukkan bahwa bahwa b untuk bilangan bulat tak negatif untuk untuk Jelas Asumsikan bahwa untuk Akan ditunjukkan bahwa, yaitu, yaitu

22 26 Berdasarkan asumsi Maka terbukti Dengan ini dapat disimpulkan bahwa setiap benar bahwa untuk bilangan bulat tak negatif B Sistem Persamaan Linear Suatu persamaan linear dalam peubah variable adalah persamaan dengan bentuk dimana adalah bilangan bilangan real adalah peubah Dengan demikian maka suatu sistem linear dari dalam persamaan peubah adalah satu sistem berbentuk: 1 dimana semuanya adalah bilangan bilangan real Sistem bentuk 1 disebut sebagai sistem persamaan linear

23 27 Berikut adalah contoh contoh sistem persamaan linear: a b Sistem a adalah sistem persamaan, b adalah sistem persamaan Dalam penulisan matriks, sistem persamaan 1 dapat dinyatakan sebagai atau dimana, - adalah matriks koefisien,, - adalah matriks peubah,, - adalah matriks konstanta, Segkan matriks lengkapnya adalah, -

24 28 C Vektor 1 Ruang Vektor Misalkan merupakan jumlah dari kedua vektor tersebut ditulis dua vektor di adalah vektor Jadi penjumlahan dua vektor di dilakukan per komponen seperti pada Perkalian skalar vektor dari dengan bilangan real ditulis adalah vektor Operasi jumlah vektor perkalian skalar dari vektor di ataupun vektor di memenuhi definisi ruang vektor Hal yang sama berlaku pula untuk operasi vektor di secara umum ruang vektor didefinisikan sebagai berikut: Definisi 28 Misalkan V himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi jumlah perkalian skalar dengan bilangan real Artinya, diberikan dua elemen di V bilangan real, kemudian jumlah perkalian skalar didefinisikan terletak di V juga Kemudian V dengan kedua operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut memenuhi sifat:

25 29 Untuk setiap a b c Ada elemen di V sehingga d Ada elemen e f g h Sifat Komutatif Sifat Assosiatif sehingga Unsur Identitas Elemen Invers Distributif 2 Kombinasi Linear Jika dengan, maka dapat ditulis Dalam hal ini disebut bahwa vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor Secara umum, jika diketahui vektor, vektor maka kombinasi linear dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi 29 Vektor disebut kombinasi linear dari vektor vektor jika ada bilangan bilangan yang tidak semuanya nol sehingga

26 3 Contoh 21: Tuliskan vektor sebagai kombinasi linear dari vektor! Jawab : Mencari bilangan sehingga Dalam bentuk matriks atau { Matriks lengkap dari sistem persamaan ini adalah Dan matriks eselonnya Dengan demikian jawab dari sistem persamaan linear ini adalah

27 31 Jadi, dalam hal ini vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear, yaitu 3 Membangun / Merentang Jika untuk setiap vektor di kombinasi linear dari vektor dapat dinyatakan sebagai karena dapat ditulis seperti berikut atau Ini dikatakan bahwa vektor merentang di Definisi 21 Vektor disebut membangun atau merentang dari ruang vektor V jika setiap vektor dalam V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari 4 Kebebasan Linear Definisi 211 Himpunan vektor * + di ruang vektor V disebut bebas linear jika persamaan hanya dipenuhi oleh bilangan

28 32 Contoh 211: Selidiki sifat bebas linear dari vektor Jawab: Untuk menyelidiki sifat bebas linear dari ketiga vektor tersebut, harus dicari nilai yang memenuhi Sistem persamaan yang muncul adalah { Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi matriks eselon berikut Ini berarti bahwa Oleh karena itu, ketiga vektor bebas linear 5 Basis Semua vektor di ruang vektor dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari kumpulan vektor tertentu secara tunggal pula Dengan demikian sifat dari ruang vektor tersebut cukup dilihat pada kumpulan

29 33 tertentu Kumpulan vektor tersebut disebut basis dari ruang vektor yang dapat didefinisikan sebagai Definisi 212 Himpunan vektor S yang terdiri dari berhingga banyaknya vektor di ruang vektor V disebut basis jika setiap vektor di V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor di S secara tunggal Ini berarti jika * + merupakan basis di ruang vektor V, maka setiap vektor di V dapat ditulis sebagai kombinasi linear Secara tunggal Artinya, untuk vektor di atas tak ada koefisien lain selain tersebut ii dinamakan basis untuk jika i bebas linear; merentang 6 Rank Misalkan Dengan mereduksi + menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks +

30 34 Jelas bahwa Karena membentuk basis untuk ruang baris dari ekuivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama sehingga dapat dikatakan bahwa rank dari adalah 2 Rank dapat didefinisikan sebagai berikut Definisi 213 Rank adalah jumlah maksimum dari vektor baris kolom yang bebas linear Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris kolom pada matriks tersebut D Nilai Eigen Vektor Eigen 1 Pengertian Nilai Eigen Vektor Eigen Definisi 214 Misalkan Skalar disebut sebagai adalah suatu matriks suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari matriks Jika terdapat suatu vektor taknol sehingga Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari Contoh 212: Misalkan Maka / / / / / /

31 35 Dari persamaan ini terlihat bahwa adalah nilai eigen dari merupakan vektor eigen dari Sesungguhnya kelipatan taknol dari akan menjadi vektor eigen, karena Jadi, sebagai contoh, juga vektor eigen dari / / / / 2 Persamaan Karakteristik Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk Jadi suatu adalah nilai eigen dari matriks penyelesaian taktrivial 1 jika hanya jika 1 memiliki Persamaan 1 akan mempunyai singular, atau secara penyelesaian taktrivial jika hanya jika ekivalen, 2 Persamaan 2 disebut persamaan karakteristik Contoh 213: Persamaan karakteristik dari 1 adalah det 1

32 36 E Diagonalisasi Matriks Definisi 215 Suatu matriks terdapat matriks, disebut dapat didiagonalisasi jika berordo non singular suatu matriks diagonal sedemikian rupa sehingga Teorema 23 Suatu matriks jika mempunyai berordo, dapat didiagonalisasi jika hanya vektor eigen yang bebas linear Bukti Misalkan matriks mempunyai vektor eigen bebas linear Misalkan adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan untuk setiap Misalkan adalah untuk adalah matriks dimana vektor kolom ke- Selanjutnya terlihat bahwa vektor kolom ke- dari adalah Maka

33 37 Karena mempunyai vektor kolom yang bebas linear, maka adalah non singular karena itu Sebaliknya, misalkan dapat didiagonalisasi Selanjutnya terdapat suatu matriks non singular vektor vektor kolom dari Jika sehingga maka adalah nilai eigen dari untuk setiap Jadi untuk setiap vektor eigen yang dimiliki Karena vektor vektor kolom linear, maka mempunyai adalah adalah adalah bebas buah vektor eigen yang bebas linear Dari bukti ini didapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi matriks yang berukuran dapat didiagonalisasi Langkah 1 Tentukan nilai eigen dari matriks Langkah 2 Carilah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks Langkah 3 yang bebas linear, Bentuklah matriks dengan sebagai vektor vektor kolomnya Langkah 4 Matriks akan diagonal dengan sebagai entri entri diagonalnya yang berurutan, dimana adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan

34 38 Contoh 214: Carilah matriks yang mendiagonalisasi Jawab: adalah Persamaan karakteristik dari adalah nilai nilai eigen sehingga Jadi diperoleh dua nilai eigen dari yang bersesuaian dengan jika hanya jika adalah vektor eigen pemecahan non trivial dari adalah, yakni, dari Jika, maka Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan Jadi vektor vektor eigen yang bersesuaian dengan, adalah vektor vektor taknol yang berbentuk

35 39 Karena adalah vektor vektor bebas linear, maka vektor vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan Jika, maka Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan Jadi vektor vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor vektor taknol yang berbentuk Dengan ini vektor vektor eigen yang didapat adalah sehingga akan mendiagonalisasi

36 4 Tidak ada orde yang diistimewakan untuk kolom kolom entri diagonal ke- dari Karena adalah nilai eigen untuk vektor kolom ke- dari, maka dengan mengubah orde kolom kolom orde nilai nilai eigen pada diagonal hanyalah mengubah Jadi, seandainya dituliskan maka akan diperoleh Contoh 215: Persamaan karakteristik dari 1 adalah Jadi 1 adalah satu satunya nilai eigen ; vektor vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah pemecahan pemecahan dari yakni, dari Pemecahan sistem ini adalah ; maka ruang eigen tersebut terdiri dari semua vektor berbentuk 1 1

37 41 Karena ruang berdimensi 1, maka tidak mempunyai dua vektor eigen bebas linear, sehingga tidak dapat didiagonalisasi F Bentuk Normal Jor Matriks persegi ada yang dapat didiagonalisasi, ada pula yang tidak dapat didiagonalisasi Tetapi, untuk matriks yang tidak dapat didiagonalisasi selalu dapat dibuat similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut dengan Bentuk Normal Jor Misalkan diketahui matriks dengan dua nilai eigen yang sama Jika matriks tersebut mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, maka matriks tersebut similar dengan matriks diagonal Tetapi dalam hal matriks yang hanya mempunyai sebuah vektor eigen, maka matriks tersebut similar dengan bentuk normal Jor 1 Matriks tersebut hanya mempunyai satu vektor eigen sebab jika mempunyai dua vektor eigen maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi Ada dua kasus bentuk normal Jor untuk matriks berordo, yaitu matriks yang mempunyai dua nilai eigen berbeda atau hanya satu nilai eigen Untuk satu nilai, ada dua kasus yaitu tergantung dari banyaknya vektor eigen yang bebas linear Matriks berikut merupakan contoh matriks dengan satu nilai eigen yang masing masing mempunyai satu dua vektor eigen yang bebas linear

38 42 Segkan untuk dua nilai eigen, mempunyai bentuk normal Jor sebagai berikut Matriks di atas mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, atau satu vektor eigen bebas linear yang berkaitan dengan nilai eigen ganda Jadi jika matriks mempunyai tiga vektor eigen yang bebas linear, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi Definisi 216 Suatu blok Jor adalah matriks segitiga atas dengan bentuk Terdapat angka 1 pada superdiagonal diagonal utama Elemen yang lainnya nol, muncul kali pada, - Matriks Jor adalah jumlahan langsung dari blok Jor sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

39 43 dengan G Invers Moore Penrose Definisi 217 Invers Moore Penrose adalah invers dari matriks yang dinotasikan dengan dengan berukuran, jika memenuhi kondisi adalah transpose konjugat dari matriks A Sifat Sifat Dasar dari Invers Moore Penrose Teorema 24 Jika terdapat matriks jika, maka: skalar,,,, jika yang berukuran adalah matriks persegi non singular,,

40 ,, jika rank jika rank 9 1, jika kolom kolom dari matriks, orthogonal, yaitu