Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
|
|
|
- Sonny Sutedja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
2 Outline 1 Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
3 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
4 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
5 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
6 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
7 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
8 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
9 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
10 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
11 Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
12 Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2 ( ) e π 2 3 0, , , (4) Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
13 Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2 ( ) e π 2 3 0, , , (4) Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 2, 2 1, 3 3, dan 1 1. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
14 Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2 ( ) e π 2 3 0, , , (4) Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 2, 2 1, 3 3, dan 1 1. Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan huruf kecil. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
15 Definisi Matriks Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis a ij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
16 Definisi Matriks Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis a ij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
17 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
18 Penjumlahan dan Pengurangan Definisi Jika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahan A + B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Pengurangan matriks A B adalah matriks yang didapat dari mengurangkan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriks yang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Tentukan A + B dan A B dari A = B = Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
19 Perkalian Skalar Definisi Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar. Perkalian ca adalah matriks yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c. Matriks ca disebut perkalian skalar dari matriks A. Jika c = 1 dan A = tentukan ca Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
20 Perkalian Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m r dan B adalah matriks berukuran r n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuran m n. Entri ke a ij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikan entri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolom ke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya. Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya baris pada matriks A banyaknya kolom pada matriks B. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
21 Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( ), B = Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
22 Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( ), B = Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 3 dan B berukuran 3 4 jadi AB berukuran 2 4. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
23 Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( ), B = Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 3 dan B berukuran 3 4 jadi AB berukuran 2 4. Misalkan ( ) a11 a AB = 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 untuk menentukan nilai a ij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a 12 = ( 1) = 4. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
24 Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A = ( ), B = Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 3 dan B berukuran 3 4 jadi AB berukuran 2 4. Misalkan ( ) a11 a AB = 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 untuk menentukan nilai a ij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a 12 = ( 1) = 4. Tentukan semua entri matriks AB? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
25 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
26 Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m n. Transpos dari matriks A ditulis A t adalah matriks berukuran n m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama A t adalah kolom pertama A kemudian baris kedua A t adalah kolom kedua A dan seterusnya. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
27 Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m n. Transpos dari matriks A ditulis A t adalah matriks berukuran n m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama A t adalah kolom pertama A kemudian baris kedua A t adalah kolom kedua A dan seterusnya. Jika A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 maka A t = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
28 Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m n. Transpos dari matriks A ditulis A t adalah matriks berukuran n m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama A t adalah kolom pertama A kemudian baris kedua A t adalah kolom kedua A dan seterusnya. a 11 a 12 a 13 a 11 a 21 a 31 Jika A = a 21 a 22 a 23 maka A t = a 12 a 22 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 23 a 33 Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut A = , B = ( ) e π 2, C = , Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
29 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
30 Pengertian Inverse Matriks Definisi Misalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. Jika AB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan B adalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi maka A dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse. Inverse dari matriks A ditulis A 1. I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulis sebagai I n. Berikut ini adalah contoh matriks identitas ( ) I 2 =, I = , I n Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
31 Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 = 1 det (A) (Adj(A)) Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
32 Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
33 Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a Misalkan A adalah matriks invertible dan A 1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A 1 b. ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
34 Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a Misalkan A adalah matriks invertible dan A 1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A 1 b. Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 0. ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
35 Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A 1 1 = det (A) (Adj(A)) ( ) ( a b Contoh: Misalkan A = maka A c d 1 = 1 d b ad bc c a Misalkan A adalah matriks invertible dan A 1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A 1 b. Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 0. Bandingkan solusi dari SPL x + 2y = 5 2x + y = 1 dengan metode substitusi dan inverse. ). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
36 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
37 Pengertian Determinan Definition Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan A n n ke bilangan x R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak didefinisikan. Determinan dari matriks A ditulis det(a) atau A. ( ) a b Determinan dari matriks A = c d ( a b det (A) = det c d ) = ad bc. Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 3? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
38 Skema Sarus Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis ( ) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 3 yang dinamakan skema Sarrus. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
39 Skema Sarus Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis ( ) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 3 yang dinamakan skema Sarrus. Misalkan A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
40 Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
41 Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det (A) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
42 Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det (A) = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a Tentukan determinan dari A = Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
43 Determinan Matriks Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n n untuk n > 3? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
44 Determinan Matriks Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n n untuk n > 3? Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n n untuk n > 3? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
45 Determinan Matriks Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n n untuk n > 3? Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n n untuk n > 3? Definisi Misalkan A adalah matriks persegi. Minor entri a ij dinotasikan dengan M ij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan ( 1) i+j M ij yang dinotasikan dengan C ij disebut entri kofaktor dari a ij. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
46 Contoh Misalkan Minor entri a 11 adalah M 11 = A = = = keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
47 Contoh Misalkan Minor entri a 11 adalah M 11 = A = = = keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a 11 adalah C 11 = ( 1) 1+1 M 11 = 16 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
48 Contoh Misalkan Minor entri a 11 adalah M 11 = A = = = keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a 11 adalah C 11 = ( 1) 1+1 M 11 = 16 Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya? Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
49 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
50 Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat a 11 a 12 a 13 menuliskan determinan dari matriks A = a 21 a 22 a 23 yang a 31 a 32 a 33 berukuran 3 3 yaitu det (A) = a 11 M 11 + a 12 M 12 + a 12 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
51 Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat a 11 a 12 a 13 menuliskan determinan dari matriks A = a 21 a 22 a 23 yang a 31 a 32 a 33 berukuran 3 3 yaitu det (A) = a 11 M 11 + a 12 M 12 + a 12 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Coba bandingkan dengan skema Sarus. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
52 Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat a 11 a 12 a 13 menuliskan determinan dari matriks A = a 21 a 22 a 23 yang a 31 a 32 a 33 berukuran 3 3 yaitu det (A) = a 11 M 11 + a 12 M 12 + a 12 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Coba bandingkan dengan skema Sarus. Secara umum determinan dari matriks M berukuran n n adalah det (M) = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
53 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
54 Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran n n dan C ij adalah kofaktor dari a ij. Matriks C 11 C C 1n C 21 C C 2n C n1 C n2... C nn disebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A). Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
55 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
56 Aturan Cramer Teorema Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaan dan n variabel sedemikian sehingga det (A) 0. Sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal yaitu x 1 = det (A 1 det (A), x 2 = det (A 2) det (A),..., x det (An) n = det (A) dimana A j adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entri pada kolom ke j pada matriks A dengan matriks b 1 b 2 b =. b n Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
57 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
58 Problems 1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut ( ) ( ) a b b + c 8 1 = 3d + c 2a 4d Misalkan A = Tentukan a. Baris pertama dari AB. b. Kolom ketiga dari AB. c. Baris ketiga dari AA. d. Kolom ketiga dari AA. dan B = Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
59 Problems 3. Misalkan A adalah matriks berukuran m n dan 0 adalah matriks barukuran m n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika ka = 0 maka k = 0 atau A = Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehingga perkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu baris yang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol. 5. Misalkan Tentukan A 1. A = Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
60 Problems 6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut a. 7x 1 2x 2 = 3 3x 1 + x 2 = 5. x 1 3x 2 + x 3 = 4 b. 2x 1 x 2 = 2 4x 1 x 3 = 0. x 1 4x 2 + 2x 3 + x 4 = 32 c. 2x 1 x 2 + 7x 3 + 9x 4 = 14 x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 = 11 x 1 x 2 + x 3 4x 4 = Buktikan aturan Cramer. Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
61 Outline 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Transpos Matriks 4 Inverse Matriks 5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
62 Referensi H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8 th Edition,John Wiley and Sons, New York Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, / 33
Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Matriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Determinan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Part II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
MATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
BAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Matriks. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar
Bab 1 Matriks Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2.1 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat
MATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS (WAJIB)
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS (WAJIB) Nama Siswa Kelas : : Kompetensi Dasar (Kurikulum 2013): 3.1 Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam menentukan invers
8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Trihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
MATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Matematika Teknik DETERMINAN
DETERMINN da satu cara lagi dalam menentukan solusi SPL dengan bekerja pada matriks koefisiennya. Cara berikut hanya akan berlaku untuk matriks koefiien berupa matriks bujursangkar atau SPL mempunyai banyak
MATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 279 284. KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Adrianus Sumitro, Nilamsari Kusumastuti, Shantika Martha
6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
DIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
TE 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
TE 67 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti gustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI ONTOH SIMPULN
Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2
Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
MATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
MATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
MODIFIKASI KONDENSASI CHIO PIVOT FLEKSIBEL PADA ATURAN CRAMER UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
MODIFIKASI KONDENSASI CHIO PIVOT FLEKSIBEL PADA ATURAN CRAMER UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagai Syarat Guna Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan dalam Ilmu
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
MATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Matriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers
Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
MATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DETERMINAN Definisi Setiap matriks kuadrat/persegi mempunyai suatu nilai khusus yang diseut determinan. determinan adalah jumlah hasil kali elementer
dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Hak Cipta 015 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi
SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Matematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304 Deskripsi: Perkuliahan ini bertujuan mengembangkan kemampuan mahasiswa memahami konsep-konsep dasar Aljabar Matriks sebagai bekal untuk mengajar matematika
MATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Hak Cipta 05 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Statistika Multivariat Analisis statistika multivariat adalah teknik-teknik analisis statistik yang memperlakukan sekelompok variabel terikat yang saling berkorelasi sebagai
II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
S I L A B U S. : Memecahkan Masalah Berkaitan dengan Konsep Matrik. Alokasi Waktu. Kompetensi Dasar. Materi Pembelajaran. Sumber Belajar.
S I L A B U S Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Semester Standar Kompetensi : SMKN NEGERI II Surabaya : MATEMATIKA : X / II : Memecahkan Masalah Berkaitan dengan Konsep Matrik : 36 x 45 menit Kompetensi
INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN
Saintia Matematika ISSN: 2337-997 Vol 02, No 0 (204), pp 85 94 INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN Bakti Siregar, Tulus, Sawaluddin Abstrak: Pencarian invers matriks adalah suatu hal
E-learning matematika, GRATIS
A. Pengertian Matriks Editor Penusun : Sulistowati, S.Pd. ; Sumani, S.Pd. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Matriks ang
BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
BAB 3 : INVERS MATRIKS
BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan
MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
MATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan