PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI

Transkripsi

1 PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n MENGGUNAKAN TEOREMA TONELLI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S-1 Oleh : NURWIYATI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2013

2 lft--'i="i ',,::l IIALAI\{AN PERSETUJUAII PDNYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI.,, MENGGT,NAKAN TEOREMA TOI\IELLI SKRIPSI Oleh I{URWTYATI Telah diporikse dan disetujui oleh: Pembimbing I Pombimbing II 4k+ Setveninsih- M.Si Erni Yldivestutt M.Si NrK.21601tD ntii( l : -i

3 Skripsi Berjudul PEI\TYELESAIAII INTEGRAL DIMENSI-r MENGGtiNAKAft TEOREMA TOI\TELLI Dipersiapkan dan disusun oleh: 1YTTRWIYATI Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 16 Agustus 2013 dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Pembimbing 1. Eka Setyaninesih. S.Si.. M.Si NIK Erni Widivastuti. S.Si.. M.Si NtK qz Penguji l. Dr. H. Akhmad m Jazuli" M.Si NIK "{!::::::::::_:: 2. Chumaedi Sueihandadji. S.Si.. M.Si NIK Purwokerto, 16 Agustus 2013 Universitas Muhammadiyah Purwokerto Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Dekan, ffi ffir Drs. Ahmad. M.Pd I 002

4 ST]RAT PERNYATAAI\I Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama Nurwiyati NIM Program Studi P*fidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Menyusun skripsi denganjudul : PEI\IYELESAIAI\I INTEGRAL I}IMENSI-z MENGGUNAKAI\I TEOREMA TONELLI Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalah hasil karya tulis saya sendiri dan bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya orang lain. Bila pernyataan ini tidak benar, maka saya bersedia menerima saoksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaan yaug sudah saya peroleh. Purwokerto, 16 Agustus 2013 Yang menyatakan TURWTYATI ( ) lv

5 PERSEMBAHAN Mengucap puji syukur padamu ya Alloh atas semua berkah dan rahmat yang telah Engkau berikan. Dengan tulus skripsi ini ku persembahkan untuk: Bapak dan Mama yang selalu memberi dukungan kepadaku. Terima kasih banyak atas do a yang senantiasa mengalir untukku. Buat Mama, semoga sakit yang sudah sekian lama diderita bisa cepat sembuh dan bisa sehat kembali. v

6 MOTTO Sesungguhnya sesudah kesulitan akan datang kemudahan, maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh - sungguh (urusan) yang lain. ( Q. S. Al insyirah : 6-7). Barang siapa yang menempuh jalan di dunia ini untuk mencari ilmu di dalamnya, maka Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga ( H. R Muslim). My Quality Must Be Better Than My Performance vi

7 ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan penyelesaian integral dimensi-n menggunakan Teorema Tonelli. Metode penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi literatur dengan langkah - langkah sebagai berikut: 1) Menyelidiki apakah permasalahan integral dimensi-n dapat diselesaikan secara langsung dengan urutan pengintegralan yang diberikan. 2) Menyelidiki keterintegralan dari fungsi pada permasalahan integral dimensi-n yang diberikan. 3) Menyelidiki keterukuran fungsi pada permasalahan integral dimensi-n. Jika fungsi terukur dan non-negatif, Teorema Fubini sulit diterapkan pada permasalahan ini, maka dalam hal ini diterapkan Teorema Tonelli. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan sebagai berikut: jika terdapat fungsi f : A B R merupakan fungsi yang terukur dan nonnegatif pada interval A B A n B R dan x y AB x, ydy dy f x ydx. Tetapi jika x y dx f, B A AB f, dxdy, maka f, dxdy dapat diartikan integral dari nilai absolut fungsi tidak terbatas, maka dapat disimpulkan nilai x y dxdy dx f x, y dy dy f x, y dx, sehingga AB f, tidak terdefinisi dan Teorema Tonelli tidak berlaku pada permasalahan ini. A B B A Kata Kunci : Integral Dimensi-n, Teorema Tonelli vii

8 KATA PENGANTAR Alhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada hambanya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahannyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi yang berjudul Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli. Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabatnya. Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya bahwa masih banyak banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa, maupun teknik dan kelengkapan penyajian. Pada kesempatan ini peneliti menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih peneliti ucapkan kepada: 1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto. viii

9 3. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si, Kaprodi Pendidikan Matematika dan Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini. 4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si, Pembimbing I yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini. 5. Semua pihak yang tidak mungkin peneliti sebutkan satu persatu yang secara langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat dalam penyusunan skripsi ini. Teriring do a dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Peneliti berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua. Purwokerto, 16 Agustus 2013 Peneliti ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii SURAT PERNYATAAN... iv PERSEMBAHAN... v MOTTO... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... ix DAFTAR LAMBANG... xiv DAFTAR GAMBAR... xvii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan... 3 D. Manfaat Penelitian... 4 BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real... 5 B. Himpunan... 8 x

11 1. Himpunan Terbatas Himpunan Bilangan Real Himpunan Terbuka dan Tertutup C. Fungsi Fungsi Komposisi Fungsi Aljabar Fungsi Transenden Fungsi Terbatas D. Limit Limit Fungsi di R Limit Fungsi di 3. Limit Fungsi di 2 R n R E. Kekontinuan Kekontinuan di R Kekontinuan di 3. Kekontinuan di F. Turunan 2 R n R Turunan di R a. Aturan Pencarian Turunan b. Turunan Fungsi Trigonometri c. Turunan Fungsi Invers d. Turunan Fungsi Komposisi xi

12 e. Turunan Fungsi Logaritma f. Turunan Fungsi Eksponensial g. Turunan Tingkat Tinggi Turunan di n R G. Integral Integral Tak Tentu Integral Tentu a. Integral lipat dua atas persegi panjang b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang c. Perhitungan integral lipat dua atas daerah persegi panjang.. 47 d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub H. Integral Kurzweil-Henstock I. Himpunan Terukur Ukuran Luar Ukuran Dalam Himpunan Terukur J. Fungsi Terukur K. Teorema Tonelli BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN A. Integral Dimensi-n B. Sifat Sifat Integral Dimensi-n xii

13 C. Teorema Tonelli D. Penyelesaian Integral Dimensi-n Menggunakan Teorema Tonelli BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA xiii

14 DAFTAR LAMBANG R Untuk setiap Elemen/anggota Bukan anggota Himpunan bagian sejati Himpunan bagian Sistem bilangan real n R Ruang dimensi-n 0 R Himpunan semua bilangan real kecuali 0 x Harga mutlak x x y x lebih besar dari y x y x lebih kecil dari y x y x lebih besar atau sama dengan y x y x lebih kecil atau sama dengan y x y Jika x maka y x y x jika dan hanya jika y Sup A Inf A Bukti selesai Tidak sama dengan Batas atas terkecil himpunan A Batas bawah terbesar himpunan A xiv

15 Gabungan Irisan Himpunan kosong D f Daerah asal fungsi f R f Daerah hasil fungsi f g f Komposisi fungsi f dilanjutkan fungsi g D Daerah asal komposisi fungsi g f g f R Daerah hasil komposisi fungsi g f g f f 1 x Invers fungsi f x lim f x Limit dari fungsi x xc lim f x Limit kanan fungsi x xc f dengan x mendekati c f di titik c lim _ xc f x Limit kiri fungsi f x di titik c f ' x Turunan pertama dari fungsi f x J Volume atau ukuran (measure) interval J A B P Panjang maksimum selang bagian pada partisi P E * Ukuran luar himpunan E * E Ukuran dalam himpunan E E Ukuran himpunan E f : A B Fungsi atau pemetaan dengan domain A dan range B xv

16 b a J AB A f xdx Integral dari fungsi f x pada a, b f xdx Integral dari fungsi x f x, ydxdy Integral dari fungsi x y dx f x, ydy Integral dari fungsi x y B f pada interval J f, pada interval A B f, yang diintegralkan pertama pada interval B kemudian dilanjutkan pada interval A... f x1, x2,..., xn dx dx2... dx 1 n Integral fungsi f x, x2,..., x n J n J R 1 pada interval xvi

17 DAFTAR GAMBAR GAMBAR Halaman II.1 Anggota Himpunan A II.2 Diagram Panah Fungsi II.3 Diagram Panah Fungsi x y f g f II.4 Himpunan S II.5 Fungsi f II.6 Jumlah Riemann II.7 Daerah R x y II.8 Permukaan z f x, y, : a x b, c y d II.9 Kurva S Tertutup II.10 Kurva S dikelilingi Persegi Panjang R II.11 Kurva S: z f x, y II.12 Kurva Sederhana-y II.13 Kurva Sederhana-x II.14 Kurva S Sebagai Persegi Panjang II.15 Kurva S Bukan Sederhana x atau Sederhana y II.16 Gabungan Dua Himpunan Sederhana-y S 1 dan S II.17 Persegi Panjang Kutub II.18 z f x, y Fr, xvii

18 II.19 Partisi R dalam Persegi Panjang Kutub IV.1 Irisan Oleh Bidang y = konstan IV.2 Irisan Oleh Bidang x = konstan IV.3 Irisan Oleh Bidang y = konstan IV.4 Fungsi 2 2 x y z e xviii