Persamaan Diferensial Orde 2. Matematika Teknik 2 S1-Teknik Elektro

Transkripsi

1 Persamaan Diferensial Orde Matematika Teknik S-Teknik Elektr

2 Persamaan Diferensial Orde Dua Bentuk umum persamaan rde dua adalah: y + p(x)y + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kntinu. Jika r(x)=0, p(x) dan q(x) knstan disebut persamaan hmgen Jika r(x)0, disebut persamaan nnhmgen. Bentuk umum rangkaian rde dua: dengan y( x( d y( k dy( k y( x( fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian fungsi yang menyatakan sinyal input

3 Persamaan Diferensial Orde Dua Persamaan rde dua dengan bentuk d y( k dy( y( merupakan persamaan nnhmgen. Bentuk persamaan hmgennya adalah d y( k k Persamaan diferensial hmgen inilah yang memberi karakteristik pada slusi persamaannya. Bentuk umum slusi persamaan ini akan mengikuti bentuk ekspnensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya. dy( k y( x( 0

4 Persamaan Diferensial Orde Dua Hmgen Misalkan slusi persamaan diferensial adalah y( st Ae Persamaan diferensial hmgen menjadi d Ae st k dae st k Ae st 0 st s sk k Ae 0 s k s k 0 Akar persamaan s, k k 4k

5 Persamaan Diferensial Orde Dua Hmgen Akar persamaan diferensial hmgen telah s, k k 4k Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar s dua nilai riil berbeda saat k 4k 0 s dua nilai riil sama saat 4k s dua nilai kmpleks yang saling knyugasi saat k 0 k 4k 0

6 Persamaan Diferensial Orde Dua Hmgen Saat s dua nilai riil berbeda s dan s, slusi umum disebut verdamped: s t st y( Ae Be Saat s dua nilai kmpleks saling knyugasi s, j, slusi umum disebut underdamped: Saat s dua nilai riil yang sama disebut critically damped: t y( e Acs t Bsin t y( At B e Ada dua knstanta A dan B yang harus ditentukan sehingga diperlukan juga dua syarat batas (bundary cnditin) s st s s, slusi umum

7 Persamaan Diferensial Orde Dua Hmgen Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif. Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas. y(0) dy (0) Syarat batas dikenakan pada slusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda st st y ( Ae Be y(0) A B dy( d st st st st Ae Be s Ae sbe sehingga sehingga dy(0) s A s B

8 Persamaan Diferensial Orde Dua Hmgen Saat dua akar riil sama st y( At B e sehingga dy( d Saat dua akar kmpleks y(0) B At Be st A sa Be st t y( e Acs dy(0) sehingga sa B t Bsin t sehingga y(0) A dy( d e t t Acs t Bsin t e A B cs t B A sin t sehingga dy(0) A B

9 Cnth Carilah slusi untuk persamaan diferensial hmgen berikut d y( dy( 4 5 bila diketahui y(0)=3 dan y (0)= y( 0 Jawab: Persamaan diferensial: d y( dy( 4 5 y( 0 Bila y( st Ae maka y t = Ase st dan y " t = As e st Sehingga persamaan menjadi dan diperleh dua akar riil: 4s +5s+=0 s = dan s = 4

10 Cnth (lanj) Dengan adanya akar riil - dan -/4 maka slusi umumnya berbentuk: y t = Ae t +Be 4 t Diketahui y(0)=3 maka y 0 = A + B = 3 () Diketahui juga y (0)= maka y ( = Ae t 4 Be 4 t sehingga y 0 = A 4 B = () Dari pers. () dan () didapatkan: A = 7 3 dan A = 6 3 Slusi persamaan diferensial: y t = 7 3 e t e 4 t

11 Cnth Carilah slusi untuk persamaan diferensial hmgen berikut d v( dv( 4 v( 0 bila diketahui v(0)= dan v (0)=5 Slusi: v t = e t + 6te t Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama

12 Cnth 3 Carilah slusi untuk persamaan diferensial hmgen berikut d i( di( 4 i( 6 bila diketahui i(0)=3 dan i (0)=3 Slusi: 0 i t = 3e 3 t cs( 6 +6 e 3 t sin( 6 Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kmpleks

13 Slusi Persamaan Nn Hmgen Bila y ( adalah slusi untuk persamaan diferensial hmgen dan y ( adalah slusi tertentu untuk persamaan diferensial nnhmgen maka kmbinasiy( y( y( juga merupakan slusi persamaan diferensial nnhmgen Persamaan Nnhmgen d y( dy( k ky( x( atau y'' k y' ky x gunakan y( y( y( maka y '' k y' ky y'' k y' ky x =0 y slusi persamaan hmgen y '' k y ky ' x

14 Slusi Persamaan Nn Hmgen Untuk menentukan y ( slusi persamaan diferensial nnhmgen tertentu gunakan persamaan yang menyerupai x( dengan knstanta bentuk umum. Misalnya untuk x( 5t pilih y( At B Masukkan bentuk slusi ke persamaan diferensial dan selesaikan untuk knstantanya

15 Cnth 4 Carilah slusi untuk persamaan diferensial hmgen berikut bila diketahui i(0)=3 dan i (0)=3 Jawab: d i( 6 di( 4 i( t Persamaan diferensial hmgennya adalah d i( di( 6 4 i( 0 Slusi persamaan diferensial hmgen ini sudah diperleh pada Cnth 3 yaitu: i t = 3e 3 t cs( 6 +6 e 3 t sin( 6

16 Cnth 4 (lanj) Mencari slusi tertentu persamaan diferensial nnhmgen Pilih i( d d i( At B 6 ( At 6 di( 4 i( t dan masukkan ke persamaan di atas B) d( At B) 4 0 4A At B t At + 4A + B = t ( At B) t sehingga didapat A = dan 4A + B = 0 dan diperleh A =, B = 8 dan i t = t + 8

17 Cnth 4 Slusi persamaan diferensial hmgen i t = 3e 3 t cs( 6 +6 e 3 t sin( 6 Slusi tertentu persamaan diferensial nnhmgen i t = t + 8 Dengan demikian slusi persamaan diferensial nnhmgen adalah i t = i t + i t i t = 3e 3 t cs 6 t + 6 e 3 t sin 6 t + t + 8

18 TABEL SOLUSI PARTIKULAR PD rde : y + p(x)y + q(x)y = r(x) Slusi: y=y h +y p y h = slusi hmgen y p = slusi partikular

19 LATIHAN