Untai Elektrik I. Untai Orde Tinggi & Frekuensi Kompleks. Dr. Iwan Setyawan. Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana. Untai 1. I.

Transkripsi

1 Untai Elektrik I Untai Orde Tinggi & Frekuensi Kompleks Dr. Iwan Setyawan Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana

2 Pada bagian sebelumnya, dibahas untai RC dan RL dengan hanya satu elemen penyimpan energi. Untai seperti ini diselesaikan dengan persamaan diferensial orde 1. Jika terdapat 2 elemen penyimpan energi, persamaan diferensial yang dihasilkan adalah persamaan orde 2. Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh untai orde 2.

3 Untai (1) Suatu persamaan diferensial orde 2 memiliki solusi yang dapat memiliki 3 bentuk, masing-masing bergantung pada elemen-elemen untai. Perilaku ini dapat dianalogikan dengan perilaku sistem mekanik berikut:

4 Untai (2) Sistem diatas terdiri atas sebuah pegas dengan konstanta k, sebuah damper dengan konstanta D dan sebuah massa M. Jika massa dipindahkan dari posisi diamnya pada t = 0, terdapat 3 kemungkinan gerakan yang terjadi: overdamped, critically damped atau underdamped (oscillatory). Perilaku diatas bergantung pada M, k dan D.

5 Untai (3) Bentuk gerakan yang mungkin terjadi ditunjukkan pada gambar berikut:

6 Untai (4) Untai RLC pada gambar berikut tidak memiliki sumber tegangan. KVL untuk untai ini setelah switch ditutup adalah: v R + v L + v C = 0 Ri + L di dt + 1 idt = 0 C

7 Untai (5) Dengan menurunkan persamaan terakhir, dan membagi dengan L, kita peroleh d 2 i dt 2 + R di L dt + 1 LC i = 0 Solusi persamaan ini memiliki bentuk i = A 1 e s 1t + A 2 e s 2t. Dengan memasukkan bentuk ini ke persamaan diferensial, kita peroleh: ( A 1 e s 1t s1 2 + R L s ) ( +A 2 e s 2t s2 2 + R LC L s ) = 0 LC

8 Untai (6) Dengan kata lain, jika s 1 dan s 2 merupakan akar-akar persamaan s 2 + (R/L)s + (1/LC) = 0, maka ( s 1 = R ) R 2 2L + 1 2L LC α + β ( s 2 = R ) R 2 2L 1 2L LC α β Pada persamaan diatas, α R/2L, β ω 0 1/ LC. α 2 ω 2 0 dan

9 Untai (7) Jika α > ω 0, sistem disebut overdamped. Dalam kasus ini, α dan β keduanya merupakan bilangan real positif. Dengan kata lain diperoleh i = A 1 e ( α+β)t + A 2 e ( α β)t = e αt (A 1 e βt + A 2 e βt )

10 Untai (8) Contoh soal 1: Sebuah untai dengan R = 200 Ω, L = 0.10 H dan C = µf, memiliki muatan kapasitor awal sebesar Q 0 = C. Sebuah switch ditutup pada t = 0 sehingga kapasitor dapat mengosongkan diri. Carilah arus transien.

11 Untai (9) Jawab: Pada untai ini diperoleh α = R 2L = 103 s 1 ω 2 0 = 1 LC = s 2 β = α 2 ω 2 = 500 s 1 Jadi i = e 1000t ( A 1 e 500t + A 2 e 500t)

12 Untai (10) Jawab (cont.): Nilai A 1 dan A 2 ditentukan kondisi awal untai. Elemen induktor mengharuskan i(0 ) = i(0 + ). Muatan dan tegangan kapasitor pada t = 0 + harus sama dengan pada t = 0 dan v C (0 ) = Q 0 /C = 200 V. Dari sini diperoleh 0 = A 1 + A 2 ± 2000 = 500A A 2 sehingga A 1 = ±2 dan A 2 = 2. Jika diambil A 1 positif, diperoleh i = 2e 500t 2e 1500t

13 Untai (11) Jawab (cont.): Plot arus transien ditunjukkan gambar berikut: Tanda A 1 dan A 2 ditentukan oleh asumsi polaritas muatan kapasitor dan arah arus.

14 Untai (12) Jika α = ω 0, sistem disebut critically damped. Dalam kasus ini, bentuk persamaan diferensial berubah, dan solusi yang sudah diturunkan diatas tidak berlaku. Persamaan diferensial menjadi berbentuk d 2 i dt + 2α di dt + α2 i = 0 Solusi persamaan ini berbentuk i = e αt (A 1 + A 2 t).

15 Untai (13) Contoh soal 2: Ulangi Contoh soal 1 dengan C = 10 µf, yang akan menghasilkan α = ω 0.

16 Untai (14) Jawab: Sama seperti sebelumnya, kita gunakan kondisi awal untuk mencari A 1 dan A 2. Karena i(0 ) = i(0 + ) maka 0 = A 1 + (A 2 0) dan A 1 = 0. Jadi di dt = d ( A2 te αt) ( = A 2 αte αt + e αt) dt dari sini dapat diperoleh A 2 = (di/dt) t=0 + = ±2000 sehingga i = ±2000te 103t.

17 Untai (15) Jawab (cont.): Sama seperti sebelumnya, polaritas ditentukan asumsi arah arus yang disebabkan polaritas tegangan awal kapasitor. Plot arus transien ditunjukkan pada gambar berikut.

18 Untai (16) Jika α < ω 0, sistem disebut oscillatory atau underdamped. Dalam kasus ini, s 1 dan s 2 adalah pasangan kompleks konjugat, atau s 1 = α + jβ dan s 2 = α jβ. Dalam kasus ini, β ω0 2 α2 Solusi persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk i = e αt ( A 1 e jβt + A 2 e jβt) atau i = e αt (A 3 cos βt + A 4 sin βt)

19 Untai (17) Contoh soal 3: Ulangi Contoh soal 1 dengan C = 1 µf, yang akan menghasilkan α < ω 0.

20 Untai (18) Jawab: Pada untai ini diperoleh α = R 2L = 103 s 1 ω 2 0 = 1 LC = 107 s 2 β = = 3000 rad/s 1 Jadi i = e 1000t (A 3 cos 3000t + A 4 sin 3000t)

21 Untai (19) Jawab (cont.): Nilai A 3 dan A 4 diperoleh dengan memperhatikan syarat awal i(0 + ) = 0 dan v C (0 + ) = 0. Dari sini diperoleh A 3 = 0 dan A 4 = ± Sama seperti sebelumnya, polaritas ditentukan asumsi arah arus yang disebabkan polaritas tegangan awal kapasitor.

22 Untai (20) Jawab (cont.): Plot arus transien ditunjukkan pada gambar berikut.

23 Untai (1) Misalkan sebuah untai sebagai berikut: Respon untai ini akan mirip dengan respon untai, yaitu berupa persamaan diferensial orde 2.

24 Untai (2) Menggunakan metode tegangan node diperoleh: v R + 1 t vdt + C dv L 0 dt = 0 (1) Dengan menurunkan persamaan diatas dan membagi dengan C, akan diperoleh d 2 v dt dv RC dt + v LC = 0 Solusi persamaan ini akan memiliki bentuk: v = A 1 e s 1t + A 2 e s 2t (2)

25 Untai (3) Pada Persamaan (2), ( s 1 = 1 1 2RC + 2RC ) 2 1 α LC = α + 2 ω0 2 s 2 = 1 2RC ( 1 2RC ) 2 1 LC = α α 2 ω 2 0 dengan α = 1/2RC dan ω 0 = 1/ LC. Perhatikan bahwa α disini berbeda dari α pada rangkaian.

26 Untai (4) Jika α 2 > ω0 2 maka untai memiliki respon overdamped. Dalam kasus ini, solusi seperti pada Persamaan (2) berlaku.

27 Untai (5) Contoh soal 4: Misalkan sebuah untai dengan R = 1000 Ω, C = µf dan L = 1.0 H, memiliki tegangan awal pada kapasitor sebesar V 0 = 50 V. Carilah v(t) jika switch ditutup pada waktu t = 0.

28 Untai (6) Jawab: Dalam kasus ini kita peroleh α = 1 2RC = 2994 α2 = ω 2 0 = 1 LC Untai ini overdamped. Dari Persamaan (2) kita peroleh s 1 = α + α 2 ω0 2 = 1271 s 2 = α α 2 ω0 2 = 4717 =

29 Untai (7) Jawab (cont.): Pada waktu t = 0, V 0 = A 1 + A 2 dan dv dt = s 1 A 1 + s 2 A 2 t=0 Dari Persamaan (1), pada saat t = 0 dan tidak ada arus awal pada induktor, kita peroleh: V 0 R + C dv dt = 0 atau dv dt = V 0 t=0 RC

30 Untai (8) Jawab (cont.): Dari sini dapat diperoleh A 1 = V 0(s 2 + 1/RC) s 2 s 1 = dan A 2 = V 0 A 1 = = Dengan memasukkan hasil ini ke Persamaan (2) kita peroleh v = 155.3e 1271t 105.3e 4717t V

31 Untai (9) Jawab (cont.): Plot tegangan ditunjukkan pada gambar berikut:

32 Untai (10) Jika ω 2 0 > α2, untai disebut underdamped atau oscillatory. Keadaan ini menghasilkan persamaan yang sama dengan kondisi underdamped pada untai, atau v = e αt (A 1 cos ω d t + A 2 sin ω d t) (3) dengan α = 1/2RC dan ω d = ω0 2 α2. Frekuensi ω d sering disebut dengan damped (radian) frequency.

33 Untai (11) Contoh soal 5: Sebuah untai memiliki R = 200 Ω, L = 0.28 H dan C = 3.57 µf. Kapasitor memiliki tegangan awal V 0 = 50 V. Carilah fungsi tegangan jika switch ditutup pada t = 0.

34 Untai (12) Jawab: Untuk untai ini, diperoleh: α = 1 RC = 1 = α 2 = ω0 2 = 1 LC = 1 = Karena ω0 2 > α2, untai akan menunjukkan respon underdamped. Kita peroleh juga ω d = ω0 2 α2 = 10 6 ( ) = 714

35 Untai (13) Jawab (cont.): Pada t = 0, V 0 = 50. Oleh karena itu, pada Persamaan (3) diperoleh A 1 = V 0 = 50. Dari persamaan tegangan node diperoleh: V 0 R + 1 t L 0 vdt + C dv dt = 0 dv dt = V 0 t=0 RC

36 Untai (14) Jawab (cont.): Dengan menurunkan Persamaan (3) dan membuat t = 0 kita peroleh: dv dt = ω d A 2 αa 1 = V 0 t=0 RC Karena A 1 = 50, maka A 2 = (V 0/RC) + V 0 α ω d = 49 sehingga v = e 700t (50 cos 714t 49 sin 714t) V

37 Untai (15) Kasus critically damped tidak akan dibahas disini, karena tidak banyak berguna dalam desain untai. Hal ini disebabkan karena respon untai dalam kasus ini, meskipun teredam, mendekati respon yang berosilasi.

38 Contoh soal tambahan (1) Contoh soal 6: Sebuah untai dengan R = 3 kω, L = 10 Hdan C = 200 µf. Sebuah sumber tegangan konstan sebesar 50 V dipasang pada saat t = 0. a. Carilah arus transien, jika kapasitor tidak memiliki muatan awal. b. Cari nilai maksimum arus dan waktu t saat nilai ini dicapai.

39 Contoh soal tambahan (2) Jawab (a.): Untuk untai ini kita peroleh: α = R 2L = 150 s 1 ω0 2 = 1 = 500 s 1 LC β = α 2 ω 2 = s 1 Karena α > ω 0, untai ini termasuk jenis over-damped. Jadi, s 1 = α + β = 1.7 s 1 s 2 = α β = s 1 dan i = A 1 e 1.7t + A 2 e 298.3t

40 Contoh soal tambahan (3) Jawab (a., cont.): Untai mengandung induktor, sehingga i(0 ) = i(0 + ) = 0. Juga, karena Q(0 ) = Q(0 + ) = 0, maka pada waktu t = 0 + kita peroleh L di dt = V 0 + di dt = V 0 + L = 5 A/s

41 Contoh soal tambahan (4) Jawab (a., cont.): Dengan memasukkan syarat-syarat ini ke persamaan i, diperoleh: 0 = A 1 (1) + A 2 (1) 5 = 1.7A 1 (1) 298.3A 2 (1) Sehingga diperoleh A 1 = A 2 = 16.9 ma. Jadi persamaan fungsi transien adalah i = 16.9 ( e 1.7t e 298.3t) ma

42 Contoh soal tambahan (5) Contoh soal 7: Sebuah untai dengan R = 50 Ω, L = 0.1 Hdan C = 50 µf. Suatu tegangan konstan V = 100 V dipasang pada t = 0. Carilah arus transien, jika: a. Diasumsikan kapasitor awalnya kosong. b. Diasumsikan kapasitor memiliki muatan awal Q 0 = 2500 µc.

43 Contoh soal tambahan (6) Jawab (a.): Pada untai ini kita peroleh α = R 2L = 250 s 1 ω0 2 = 1 LC = s 2 β = α 2 ω0 2 = j370.8 rad/s Untai ini underdamped, sehingga diperoleh i = e 250t (A 1 cos 370.8t + A 2 sin 370.8t)

44 Contoh soal tambahan (7) Jawab (a., cont.): Dengan analisis yang sama seperti soal sebelumnya, kita peroleh kondisi awal i(0 + di ) = 0 dt = 1000 A/s 0 + Dari sini dapat ditentukan nilai A 1 = 0 dan A 2 = 2.7 A. Jadi kita peroleh: i = e 250t (2.7 sin 370.8t) A

45 Contoh soal tambahan (8) Jawab (b.): Jika kapasitor memiliki muatan awal, syarat awal kedua menjadi 0 + L di dt + Q C = V di 100 (2500/50) = dt = 500 A/s Karena nilai ini setengah dari nilai pada soal (a), maka dengan menggunakan prinsip linearitas kita peroleh: i = e 250t (1.35 sin 370.8t) A

46 Contoh soal tambahan (9) Contoh soal 8: Suatu untai memiliki R = 50 Ω, C = 200 µf dan L = 55.6 mh. Kapasitor memiliki muatan awal Q 0 = 5 mc. Carilah tegangan pada untai tersebut.

47 Contoh soal tambahan (10) Jawab: Untuk untai ini diperoleh α = 1 2RC = 50 s 1 ω 2 0 = 1 LC = s 2 Untai ini underdamped, dengan frekuensi osilasi ω d = ω0 2 α2 = 296 rad/s. Fungsi tegangan berbentuk v = e 50t (A 1 cos 296t + A 2 sin 296t)

48 Contoh soal tambahan (11) Jawab (cont.): Karena Q 0 = C, diperoleh V 0 = 25 V. Jadi pada saat t = 0, v = 25 V. Dari sini dapat diperoleh A 1 = 25. Kita peroleh juga dv dt = d ( e αt (A 1 cos ω d t + A 2 sin ω d t) ) dt = αe αt (A 1 cos ω d t + A 2 sin ω d t) + e αt ( ω d A 1 sin ω d t + ω d A 2 cos ω d t)

49 Contoh soal tambahan (12) Jawab (cont.): Pada saat t = 0, dv/dt = V 0 /RC. Jadi untuk t = 0 diperoleh V 0 RC = ω da 2 αa 1 Dengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, dapat diperoleh A 2 = Jadi fungsi tegangan adalah v = e 50t (25 cos 296t 4.22 sin 296t) V