BAB IV PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SECARA NUMERIK

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB IV PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SECARA NUMERIK"

Susanti Lanny Kusnadi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB IV PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SECARA NUMERIK 41 METODE EULER Pertimbangkan masalah menentukan nilai uang saat ini dan akan datang dengan menggunakan suku bunga misalkan pada saat $ didepositokan dengan tingkat suku bunga Kita ingin mengetahui berapa jumlah uang pada saat Bila % adalah jumlah uang pada saat tahun ke Maka tingkat perubahan % adalah % %% $ ( Q (t) (20 Q(20)) Kita ini mencari % yang menyelesaikan masalah nilai awal Q (t) 0 Gradient Solution curve Q(t) 20 t ) ) t Pada titik turunannya adalah % Karena kita tidak tahu % maka nilai eksak % belum bisa ditentukan Tetapi hal ini bisa didekati dengan nilai garis tangen bila persamaan garis tangen adalah % % 29

2 Dimana % % atau Maka Nilai pendekatan % Menggunakan Dua Langkah untuk memperbaiki perkiraan Hasil sebelumnya diperoleh berdasarkan nilai awal % $ Hasil tersebut dapat diperbaiki dengan pembagian menjadi 2 langkah yakni dengan membuat titik tengah Didapatkan hasil berikut: % % % % Selanjutnya menggunakan estimasi % untuk mendekati turunan pada dan rumus % % Hitung % % % % % % % ) t 30

3 Dari prosedur contoh sebelumnya ( Langkah Prosedur Euter Langkah 1 : bagi interval ( menjadi subinterval Langkah 2 : Cari pendekatan dari urutan berikut : Catatan : ada kesalahan (error) pada setiap langkah Actual solution curva 31

4 Penyelesaian Secara Analitis % %% ( Solusi umum : % Karena % maka % Pada % (secara analitis) Bandingkan dengan cara pendekatan % % % Hasil mendekati bila semakin kecil Tabel : Perbandingan Solusi Numerik dengan Nilai Aktual dq/dt007q Q(0)1000 t1 t Euler Q(t) Actual Q(t) Absolute Error t Euler Q(t) Actual Q(t) Absolute Error

5 42 PERBAIKAN METODE EULER dan METODE RUNGE-KATTA Theorema Nilai Rata-rata Bila suatu fungsi kontinyu pada interval tertutup dan dapat diturunkan pada interval terbuka maka paling tidak ada satu titik pada interval sedemikian sehingga B A Batasan Metoda Euler Pada kasus sebelumnya kita dapatkan nilai turunan pada titik adalah Kemudian diasumsikan turunan % konstant pada interval Perbaikan Metoda Euler dengan Satu Langkah Dari perhitungan sebelumnya kita peroleh % % % Kita dapat menggunakan nilai pendekatan dari atas untuk memperkirakan kemiringan (slope) pada yaitu 33

6 % % Ini berarti kita punya dua nilai kemiringan yaitu pada awal dan akhir interval Sehingga untuk pendekatan satu langkah % % % Bandingkan dengan % sebelumnya % % % % % Perbaikan Metoda Euler dengan Dua Langkah Bila kita kurangi % % % % % % Memperkirakan nilai % selanjutnya 34

7 % % % Hitung selanjutnya % % % % Pada % % % Bandingkan dengan hasil sebelumnya 3380 Perbaikan Metode Euler dengan n Langkah Langkah 1 : ;bagi ingtervel ( menjadi subintervals Langkah 2 : Cari hasil pendekatan dengan urutan : Dimana 35

8 t Improved Euler Q(t) t Improved Euler Q(t) Runge-Kutta Methods Metode ini memperkirakan turunan pada berbagai titik dalam interval dan kemudian menghitung turunan rata-rata terbobot (weighthed average derivative) Metode Runge-kutta diklasifikasikan oleh urutan urutan tersebut tergantung pada jumlah perkiraan kemiringan yang digunakan pada setiap langkah Asumsikan dan konstant yang memenuhi batasan Berikut dan Metoda yang paling popular untuk menyelesaikan adalah fourth-order Runge-Kutta Method dan adalah perkiraan tingkat kemiringan yang dihitung pada titik akhir interval dan adalah perkiraan tingkat kemiringan yang dihitung pada titik tengah interval 36

9 Fourth-Order Runge-Kutta Method Langkah 1 Bagi interval ( menjadi subinterval dengan menggunakan titiktitik yang dibagi secara sama Langkah 2 Untuk cari pendekatan urutan berikut Dimana : Interpretasi Geometrik Metoda Fourth-Order Runge-Kutta Method 1) Perkiraan Kenaikan Pertama 0 37

10 Bila titik kemiringan pada titik A adalah 2) Perkiraan Kenaikan Kedua B 0 Titik B adalah titik tengah segmen Koordinat pada titik B dan kemiringan pada titik B adalah 3) Perkiraan Kenaikan Ketiga C B 0 38

11 Titik tengah C memiliki koordinat adalah perkiraan kemiringan di C 4) Perkiraan Kenaikan Keempat D C B 0 Pada gambar sebelumnya koordinat D Perkiraan kemiringan dititik Perkiraan kenaikan terbobot Kenaikan Menghitung Nilai Variabel terikat 39

12 Final approximately line 0 43 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Kedua Secara Numerik Asumsikan persamaan diferensial orde kedua sebagai Konsisi awal dan Untuk menyelesaikan kita perkenalkan variabel baru Maka persamaan differensial orde kedua dapat ditulis sebagai pasangan PD orde 1 yaitu: Dengan batasan kondisi awal dan a EULER S Method Langkah 1 : bagi interval ( menjadi subinterval dengan pembagian yang sama 40

13 Langkah 2 : cari pendekatan berikut Contoh: Selesaikan PD orde kedua berikut dengan Metoda Euler interval Solusi: pilih ukuran langkah Tulis PD II pasangan PD I Substitusi 41

14 x Euler y(x) Actual y(x) Euler vy'(x) Actual y'(x) Bila tabel tersebut dibandingkan dengan nilai actual diperoleh hasil gambar berikut : 26 Actual Solution 0 10 b Improved Eulers Method Karena persamaan diatas ada dan ; maka pertama kali kita perkirakan nilai tersebut dengan Metoda Euler sbb : 42

15 Kemudian kita perbaiki nilai ini dengan rumusan berikut: C Fourth-Orde Runge Kutta Method Langkah 1 : bagi interval menjadi subinterval dengan pembagian yang sama Langkah 2 : masukkan hitung kemiringan berikut : Langkah 3 ; hitung 43

16 Langkah 4 Ulangi langkah 2 dan 3 untuk Contoh : Dengan menggunakan fourth order Runge-Kutta Method selesaikan masalah nilai awal PD II Sbb : Solusi : Langkah 1 Pilih ukuran langkah (interval) dan gunakan persamaan Langkah 2 Langkah 3 44

17 Langkah 4 Lanjutkan untuk ulangi step 2 Step 2 Step 3 Bila dilanjutkan dan dibandingkan dengan nilai actual diperoleh hasil sbb : Tabel perkiraan x Euler y(x) Actual y(x) Euler vy'(x) Actual y'(x)

dokumen-dokumen yang mirip

BAB I PENDAHULUAN. Akibatnya model matematika sistem dinamik mengandung derivative biasa

BAB I PENDAHULUAN. Akibatnya model matematika sistem dinamik mengandung derivative biasa 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Ilmu Pengetahuan memberikan landasan teori bagi perkembangan teknologi, salah satunya adalah matematika. Cabang matematika modern yang mempunyai cakupan wilayah penelitian