PENERAPAN AKAR KUADRAT PADA ENSEMBLE KALMAN FILTER (EnKF) ABSTRAK

Transkripsi

1 PENERAPAN AKAR KUADRA PADA ENSEMBLE KALMAN FILER (EnKF) Jasmir 1, Erna Apriliani 2, Didi Khusnul Arif 3 ijas_1745@yahoo.co.id ABSRAK Ensemble Kalman Filter (EnKF) merupaan salah satu metode untu mengestimasi suatu masalah hususnya pada model dinami talinear dengan menggunaan algoritma yang telah dimodifiasi dari algoritma Kalman Filter. Aar Kuadrat merupaan suatu sema yang dapat diterapan dalam EnKF untu mengestimasi suatu model dinami talinear. Pada paper ini dilauan analisis pada sema Aar Kuadrat terhadap algoritma EnKF sehingga membentu suatu algoritma baru yang dinamaan dengan Aar Kuadrat-Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF). Algortima ini diimplementasian pada model sistem pengeboran minya dengan mengestimasi permeabilitas dan botton-hole presurenya. Hasilnya, nilai estimasi yang diperoleh mempunyai tingat aurasi yang lebih bai daripada menggunaan metode EnKF standar, serta watu omputasi yang digunaan oleh AK-EnKF lebih sediit dari EnKF standar. Kata Kunci: Ensemble Kalman Filter (EnKF), Aar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF), Model Sistem Pengeboran Minya, Permeabilitas, Botton-Hole Presure. 1. Pendahuluan Dalam menyelesaian suatu masalah, teradang membutuhan suatu data atau informasi sebelumnya yang berhubungan dengan masalah tersebut. Oleh arena itu, langah awal yang harus dilauan adalah mengumpulan informasi tentang masalah tersebut sebanya mungin. Salah satu contoh penyelesaian masalah yang membutuhan informasi sebelumnya adalah mengestimasi atau pendugaan terhadap informasi tersebut untu langah selanjutnya. Ini berarti dalam mengestimasi suatu masalah diperluan suatu alat atau metode yang tepat sehingga mendapatan suatu hasil yang aurat atau mendeati yang sesungguhnya. Filter Kalman merupaan salah satu metode untu mengestimasi suatu masalah berdasaran informasi sebelumnya. Dalam metode estimasi hususnya untu Filter Kalman dienal adanya suatu sistem eadaan dan model penguuran. Beberapa contoh penggunaan metode tersebut adalah dalam mengetimasi posisi dan ecepatan apal laut (Lewis, 1986), serta distribusi panas pada batang logam (Apriliani, 23). Filter Kalman pertama ali diperenalan oleh Rudolph E. Kalman pada tahun 196, melalui papernya yang terenal tentang suatu penyelesaian reursif pada 1 SMIK Kharisma Maassar, sedang studi S2 Matematia IS Surabaya 2, 3 Jurusan Matematia IS Surabaya Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/152

2 masalah filtering data-disrit yang linear. Selama beberapa tahun Filter Kalman dianggap sebagai metode estimasi yang paling sederhana dan optimal dalam menasir dan menduga suatu masalah (Welch, 21). Algortima yang diembangan dalam Filter Kalman dapat diimplementasian pada model dinami linear saja, emudian diembangan suatu algoritma yang memodifiasi filter alman sehingga dapat diimplementasian pada model dinami talinear. Salah satu algoritma yang telah diembangan adalah Extended Kalman Filter (EKF) dan Ensemble Kalman Filter (EnKF). Extended Kalman Filter digunaan dengan melauan linearisasi pada model dinami talinear sebelum menggunaan algoritma Filter Kalman, sedangan Ensemble Kalman Filter digunaan dengan membangitan sejumlah ensemble sebagai inisialisasi untu menghitung nilai mean dan ovarian error variabel sistem eadaannya yang digunaan dalam algoritma filter Kalman, hal ini pertama ali diperenalan oleh Evensen (1994). Dalam menggunaan EnKF terdapat suatu sema yang dapat diimplementasian pada metode tersebut. Analisis aar uadrat merupaan salah satu sema yang dapat diimplementasian dalam EnKF. Sema ini dapat mempengaruhi pada hasil estimasi, bai dalam hal tingat aurasi maupun watu omputasi yang digunaan. Dalam paper ini telah dilauan suatu ajian mengenai sema aar uadrat pada EnKF yang selanjutnya diterapan untu mengetimasi variabel eadaan sistem dengan model penguuran talinear. 2. Filter Kalman 2.1 Proses Estimasi Filter Kalman pertama ali diperenalan oleh Rudolph E. Kalman pada tahun 196 lewat papernya yang terenal tentang suatu penyelesaian reursif pada masalah filtering data-disrit yang linear. Filter Kalman merupaan suatu metode estimasi variabel eadaan dari system dinami stoasti linear yang meminimuman ovarian esalahan estimasi. Lewis (1986) memberian suatu sistem dinami linear, secara umum berbentu sebagai beriut: x 1 A x B u G w z H x v (2.1) x ~ x, P x ; w ~, Q ; v ~, R dengan ovarian awal P x, w gangguan (noise) pada sistem yang mempunyai mean z x variabel eadaan sistem pada watu yang nilai estimasi awalnya x dan n m x, u variabel input deterministi pada watu, u. w dan ovarian Q, p z, v gangguan (noise) pada penguuran dengan variabel penguuran, mean v dan ovarian R. A, B, G, H adalah matris-matri dengan uuran yang bersesuaian. Untu proses estimasinya diberian dengan dua tahap, yaitu tahap predisi yang dienal dengan time update, dan tahap oresi yang dienal dengan measurement update. ahap predisi dipengaruhi oleh dinamia sistem, sedangan tahap oresi dipengaruhi oleh informasi dari penguuran. Kedua tahap ini aan berulang terus-menerus sampai berhenti pada watu yang ditentuan. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/153

3 2.2 Algoritma Filter Kalman ahap predisi didefinisian suatu estimasi eadaan xˆ n 1 R pada watu +1 yang sering disebut variabel priori state estimate, emudian dihubungan dengan ovarian error P 1 (priori error covariance). ahap oresi memberian suatu correction berdasaran pada penguuran z 1 pada watu +1 untu menghasilan n suatu estimasi xˆ 1 R dan ovarian error P 1, yang masing-masing disebut posteriori state estimate dan posteriori error covariance. (Lewis, 1986). Nilai estimasi pada tahap oresi bergantung pada residual z zh xˆ (2.2) Koefisien pembobotan dari residual tersebut biasanya disebut Kalman Gain. 1 K P H R (2.3) Lewis (1986) juga telah memberian suatu bentu alternatif dari tahap oresi yang melibatan Kalman Gain tersebut, hal ini dapat dilihat pada abel 2.1. abel 2.1: Algoritma Filter Kalman adalah sebagai beriut: Inisialisasi P Px, ˆx x ahap predisi (time update) Kovarian error : Pˆ A P A G Q G 1 xˆ 1 Estimasi : A xˆ B u ahap oresi (measurement update) 1 Kovarian error : ˆ P P 1 xˆ 1 H 1 R 1 1 H 1 1 H 1 Estimasi : xˆ P H R z x ˆ 1 K 1P 1H 1 H 1P 1H1 R 1 Jia menggunaan Kalman Gain; 1 Kovarian error : P I K H P Estimasi : xˆ 1 xˆ 1 K 1 z 1 H 1xˆ 1 3. Ensemble Kalman filter erdapat suatu sistem dinami talinear yang jia dilauan linearisasi pada metode EKF menyebaban ovarian errornya membesar menuju ta berhingga sehingga untu mengatasi masalah tersebut Evensen (1994) memperenalan suatu ide penggunaan sejumlah ensemble untu mengestimasi ovarian error pada tahap forecast (predisi). Metode ini dienal dengan Ensemble Kalman Filter (EnKF) yang merupaan suatu alternatif dari metode Extended Kalman Filter (EKF) sebelumnya. Burgers, et (1998), memberian suatu sema analisis pada EnKF tentang implementasi dan interpretasinya, dimana observasinya diperlauan sebagai variabel random pada tahap analisis (oresi), yaitu menambahan gangguan (noise) secara random pada observasi dan membangitan suatu ensemble pada observasi yang selanjutnya digunaan pada updating model state. Apliasi sebelumnya, langah ini belum dilauan pada EnKF, dan Burger memperoleh hasil pada ensemble update dengan variansi yang sangat rendah. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/154

4 Evensen (23) merumusan embali tentang implementasi dari metode EnKF itu, dimana dalam menambahan gangguan (noise) secara random pada observasi diperluan suatu strategi penyampelan dalam hal mengenerate sejumlah ensemble. Lebih lanjut Evensen menambahan bahwa untu mendapatan hasil estimasi yang bagus dari EnKF, ada tiga yang perlu diperhatian yaitu: ensemble awal, model noise, dan gangguan penguuran. Selain itu terdapat suatu sema aar uadrat yang tida melibatan gangguan (noise) penguuran pada tahap analisis (oresi) dapat dibandingan dengan strategi penyampelan tersebut (Evensen, 24). Selanjutnya, Almendral-Vasquez (26) menambahan bahwa Extended Kalman Filter (EKF) tida coco digunaan untu setiap model yang besar dan tida mendapatan hasil yang masimal jia sistemnya bersifat strongly nonlinear. EnKF merupaan pengembangan dari EKF yang dapat digunaan untu mengatasi masalah tersebut dan merupaan suatu pendeatan yang sangat memberi harapan. 3.1 Proses Estimasi Bentu umum sistem dinami talinear yang digunaan pada EnKF, yaitu x 1 f (, x ) w z Hx v x ~ x, P x ; w ~, Q ; v ~, R dengan x inisial dari sistem, w dan v dan penguuran, variabel penguuran. z merupaan gangguan (noise) pada sistem Proses estimasi pada EnKF diawali dengan membangitan sejumlah Ne ensemble dengan mean dan ovariannya sama dengan 1. Misalan: [ x x x... x ],1,2,3 N, e Untu tahap predisi dan oresi, ensemble yang diperoleh ditentuan mean xˆ terlebih dahulu sebelum masu e tahap predisi, yang selengapnya dapat dilihat pada algoritma Ensemble Kalman Filter. 3.2 Algoritma Ensemble Kalman Filter erdapat beberapa peneliti yang telah memberian suatu algoritma EnKF secara terstrutur yang secara umum terbagi atas tiga tahap yaitu tahap inisialisasi, tahap predisi, dan tahap oresi. Peneliti tersebut diantaranya: Purnomo(28) memberian algoritma EnKF dengan sistem dinami talinear dan penguuran yang linear, yaitu: abel 2.3: Algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) Inisialisasi: Bangitan N e ensemble sesuai dengan tebaan awal x x x x... x ] [,1,2,3, Ne N e * 1 entuan nilai awal : xˆ x ˆ x, i N e i 1 ahap predisi ( time update): ˆ f ( xˆ, u w dengan w ~ N (, Q ) x, i 1 1 ), i, i Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/155

5 N Estimasi : xˆ 1 e x N e i 1 ˆ, i N 1 e Kovariansi error : P ( xˆ i x ˆ)( xˆ i x ˆ, N e 1 i 1 ahap oresi ( measurement update): z v dengan v ~ N (, R ) z, i, i Kalman gain : K P H, ), i ( HP H R Estimasi : x x ˆ K ( z H xˆ ) Kovariansi error : ˆ, i, i, i, i 1 xˆ N N e e i1 x ˆ, i P [ I K H] P Selanjutnya Almendral-Vasquez (26) memberian suatu algoritma EnKF sebagai beriut: a. Inisialisasi: Mendefinisian suatu ensemble awal X N, b. ahap Predisi: Memproyesi edepan dalam watu tertentu, ensemble X f menggunaan persamaan: X f X W dengan matris noise W w i w terbentu dari bilangan random w N, i i. Langah ini diulang sampai mencapai watu observasi tertentu. c. ahap Analisis: Membangitan observasi Z dengan perturbasi observasi real z. f ahap oresi ensemble X menggunaan persamaan: a f 1 f X X PHHPH R Z HX ) 1 e e e emudian embali e langah tahap predisi. Algoritma diatas dijadian sebagai landasan untu membentu suatu algoritma EnKF baru yang melibatan sema aar uadrat, sema ini diaji lebih lanjut pada point 5, yang menggunaan beberapa aturan tertentu diantaranya aturan matris aar uadrat dan Singuler Value Decomposition. 4. Matris Aar Kuadrat dan Singuler Value Decomposition (SVD) 4.1 Matris Aar Kuadrat Misalan matris AR definitif positif dengan omposisi spetralnya adalah A i ei e dan i U e1, e2,..., e i1 dan vetor eigen dari matris A. Maa A e e U U 1 1 i1 i i i dimana UU U U I dan merupaan matris diagonal dimana dan e merupaan nilai eigen (4.1) Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/156

6 UU U U U U UU UU I. Jadi arena dengan i. (4.2) 1. (4.3) 1 1 A U U ee i i i1 i 1/ 2 Selanjutnya diberian 1/ 2 i. Matris ee i i i U U i1 1/ 2 dengan A. Aar uadrat dari matris positif A, 1/ 2 1/ 2 A i ee i i U U i 1 mempunyai beberapa sifat sebagai beriut: (1.) A A 1/ 2 1/ 2 (3.) 1 (sebab 1/ 2 A 1/ 2 1/ 2 (2.) A A A. A 1 ee U U 1/ 2 1/ 2 i i i1 i matris diagonal dengan element diagonalnya disebut Aar Kuadrat dari A dan dinotasian merupaan matris simetri), dimana 1/ 2 diagonal dengan element diagonal e-i adalah 1/ 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 (4.) A A A A I, dan A A A 1/ 2 1/ 2 1 merupaan suatu matris. i, dimana 1/ 2 1/ 2 A A 1 (4.4) 4.2 Singular Value Decomposition (SVD) Golub H. G. (1993) memberian suatu definisi tentang Singular Value Decomposition (SVD) pada suatu matris. Jia suatu matris m A R, terdapat matris ortogonal m m U u1,, um R dan V v1,, v R, sehingga A U V (4.5) m dengan matris R yang entri diagonalnya p p min m, dan entri yang lain nol. Nilai i, i 1, 2,..., p disebut nilai singular dari A. Definisi matris aar uadrat dan SVD ini yang aan digunaan pada analisis aar uadrat pada Ensemble Kalman Filter dalam mengestimasi suatu masalah dinami taliner., 5. Aar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) Sema aar uadrat pada ensemble Kalman filter digunaan pada tahap oresi, yang dimulai dari persamaan ovariansi errornya dan pada ahirnya aan diperoleh persamaan ensemble error yang baru. 5.1 Algoritma Aar Kuadrat pada EnKF Algoritma yang baru digunaan untu mengupdate ensemble error dan diturunan mulai dari persamaan ovariansi error pada Ensemble Filter Kalman bagian tahap oresi. Persamaan tersebut adalah Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/157

7 P I K H ] P [, dengan 1 1 K PH HPH R P P P H HP H R HP (5.1) dengan mensubtitusian dan C S S E E x i x, i, E, E R N 1 mm P N 1, maa persamaan (4.17) menjadi: mm, S Hx, i 1, i, i i, i, i, i, i, i, i, i, x x x x x x H Hx x H E E Hx x x x x x x S S S E E S x, i, i i, i, i, i, x x x x x S C S x, i, i i, i, i, i,, i, i, i i, mn x x x I S C S x (5.2) dengan x = Ensemble error pada tahap predisi, i x, i = Ensemble error pada tahap oresi Matris C dapat dihitung omposisi nilai eigennya yaitu C U U dan 1 1 berdasaran persamaan (4.4), maa C U U dengan semua matris berdimensi m m, U merupaan matris omposisi vetor eigen dari matris C dan merupaan matris diagonal yang setiap elemen diagonalnya merupaan nilai eigen dari matris C. Selanjutnya (5.2) diturunan untu menperoleh solusi dari ensemble error. 1 1 x, i I S U U S x, i x x x I S C S x, i, i i, i, sehingga x, i I M M x, i x x x I S U U S x 1/ 2 1/ 2, i, i, i, i 1/ 2 dengan M U S (5.3) mn. Selanjutnya menghitung singular value decomposition (SVD) dari M, yaitu mm N N M Y V, dengan dan merupaan matris ortogonal, Y V mn merupaan matris yang entri diagonalnya p p min m, N dan entri yang lain nol, maa (5.3) menjadi x x x I M M x, i, i i, i,, i, i x I Y V Y V x x V I V x, i i,, (5.4) Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/158

8 arena mn merupaan matris yang entri diagonalnya... 1 p entri yang lain nol, hal ini berarti berdimensi N N, sehingga x, iv I x i, V I x x x V I V x, i, i i, i, ini berarti 1 2 x x V I x x V I, i, i dan merupaan matris diagonal juga yang. Jadi, error ensemblenya adalah 1 2, i, i (5.5) ahapan metode aar uadrat pada EnKF bagian oresi secara sederhana dapat disusun dalam beberapa langah beriut: 1. Menentuan deomposisi nilai eigen dari C U U 2. Menghitung mean ensemble predisi dari persamaan 1 x x x S C z Hx, i, i i, i, i, x x S U U z Hx 1, i, i, i, i 1/ 2 3. Menghitung matris M U S 4. Menentuan SVD dari M Y V 5. Kemudian mengevaluasi error ensemble dari 1 2 x x V I menambahan rata-rata ensemble pada error ensemble x, i. 6. Studi Kasus dan, i, i ahapan metode Aar Kuadrat pada EnKF yang diperoleh, aan diterapan pada model eadaan pengeboran minya yang telah digunaan oleh Almendral- Vasquez (26) dengan menggunaan algoritma EnKF standar. Selanjutnya penulis aan mengestimasi model tersebut menggunaan algoritma aar uadrat pada EnKF. Model eadaan yang digunaan terdiri dari dua variabel, yaitu variabel statis permeabilitas dan variabel dinamis botton-hole presure pb. Sistemnya sebagai beriut: x pb vetor eadaan (6.1) z pbobs observasi diasumsian bahwa dibangitan secara random berdistribusi normal dengan mean nol dan ovarian satu. Beriut ini dimodelan sebagai (6.2) 1 dengan menyataan permeabilitas pada watu t t. Catatan bahwa dianggap tida ada noise untu permeabilitas. Untu botton-hole presure,, simulator teanan memberian suatu model yaitu: pb 1 p r w, t, w (6.3) Model penguurannya dapat ditulisan sebagai beriut z Hx, (6.4) Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/159

9 dengan H proyesi dari model eadaan, yaitu [1 ; 1]. Noise pada model penguuran diabaian. Mengenai masalah nilai parameternya, penulis meruju pada nilai parameter yang telah diberian oleh Almendral-Vasquez (26), yaitu r w =.1 ft, = 1.5 cp, Q = 3 SB/hari, B = 1.25 bbl/sb, = 15 %, p i = 4 psi, h = 15 ft, c = 12e - 6 psi -1. Parameter ini digunaan dalam simulasi program. Dalam algoritma AK-EnKF diberian model sistem dan model penguuran, yaitu x z 1 f ( x, u ) Hx. w Pada sistem pengeboran minya yang merupaan fungsi f ( x, u ) adalah f ( x, u ) p r, t, w (6.5) h t adalah teanan pada permuaan sumur (botton-hole presure) yang Q B 948 cr pr, t p E dan pb merupaan model sistemnya, yaitu pb 1 x 1. Sehingga model sistemnya untu pengeboran minya dengan noise w, dapat ditulisan sebagai beriut: pb p r t w 1 w,, 2 w1 (6. 6) 7.61Q B 948 cr p E w 2 h t Kemudian untu model penguurannya, sama dengan model penguuran pada algoritma yaitu z Hx, dengan x pb. Jadi, z Hpb (6.7) Kemudian nilai awal dari (6.6) adalah berdistribusi normal dan p r, pi. 7. Hasil Simulasi Pengambilan matris H = [1 ; 1] menunjuan bahwa data penguuran yang dimilii adalah data pertama dan data edua yaitu permeabilitas dan botton-hole presure. Jumlah ensemble yang diambil pada simulasi ini sebanya N = 2 dengan jumlah iterasi = 5. Perbandingan hasil estimasi permeabilitas dan nilai realnya dengan menggunaan edua metode tersebut yaitu EnKF standar dan AK-EnKF dapat dilihat pada abel 7.1 dan Gambar 7.1. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/16

10 abel 7.1 Perbandingan Hasil Estimasi Permeabilitas antara EnKF Standar dengan AK EnKF Simulasi e- Real (1 3 ) EnKF Standar (1 3 ) AK-EnKF (1 3 ) 1 -,4 -,5 -, ,25 -,2 -,25 4 -,4 -,6 -, 5,8,3,6 6 -,14 -,12 -,15 7 -,9 -,6 -,4 8,4,2,4 9,7,9,9 1,11 -,4,6 Hasil estimasi yang ditunjuan pada Gambar 7.1 menegasan bahwa nilai estimasi permeabilitas dari edua metode tersebut mendeati nilai realnya. Aan tetapi untu metode AK-EnKF nilai estimasinya lebih bai dibandingan dengan nilai estimasi dari EnKF standar. Pada abel 7.1 juga terlihat bahwa dari 1 ali simulai nilai estimasi permebilitas untu EnKF standar dengan AK-EnKF jia dibandingan dengan nilai realnya maa AK-EnKF lebih bai daripada EnKF standar walaupun selisihnya tida begitu besar perbedaannya. Gambar 7.1. Estimasi Permeabilitas menggunaan EnKF Standar dan AK-EnKF Gambar 7.2 menampilan masing-masing nilai ovariansi error dari nilai estimasi permeabilitas menggunaan EnKF standar dan ovariansi error dari permeabilitas menggunaan AK-EnKF. Grafi tersebut merupaan salah satu hasil simulasi dari 1 ali percobaan. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/161

11 abel 7.2 Perbandingan Kovariansi Error Permeabilitas antara EnKF Standar dengan AK-EnKF Simulasi e- EnKF Standar AK-EnKF 1,3948,35 2,423,34 3,4262,43 4,387,16 5,383,28 6,4171,1 7,382,5 8,43,31 9,447,29 1,4199,3 Nilai ovariansi error (ov) dari permeabilitas juga cuup ecil (.28 ov.34 ) sehingga tingat epercayaan dari estimasi permeabilitas cuup bagus. Aan tetapi untu ovariansi error dari permeabilitas yang menggunaan metode AK-EnKF jauh lebih ecil yaitu berada pada interval,11 3 dan 4, 1 3. Ini berarti hasil estimasi permeabilitas mempunyai tingat epercayaan yang lebih bagus dibandingan dengan EnKF standar. Perbandingan ovariansi error dari edua metode tersebut juga terlihat jelas pada abel 7.2 yang menyajian nilai ovariansi error terahir tiap simulasi dari 1 simulasi yang dilauan. Gambar 7.2. Kovariansi Error Permeabilitas untu EnKF dan AK-EnKF Selanjutnya untu perbandingan hasil estimasi botton-hole presure dapat dilihat pada Gambar 7.3 dan abel 7.3. Gambar 7.3 menunjuan bahwa hasil estimasi botton-hole presure untu metode AK-EnKF lebih mendeati terhadap realnya dibandingan dengan metode EnKF standar. abel 7.3 menampilan data perbandingan hasil estimasi Botton-Hole Presure dari 1 ali simulasi. Pada tabel tersebut terlihat perbedaan yang signifian antara data estimasi yang menggunaan metode EnKF standar dengan metode AK-EnKF. Hal ini berarti metode AK-EnKF lebih bai daripada EnKF standar dalam mengestimasi Botton-Hole Presure ini yang hanya mempunyai selisih lebih ecil, serta watu omputasi yang digunaan lebih cepat dibandingan dengan EnKF standar sebagaimana telah ditunjuan pada abel 8.1. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/162

12 Perbandingan ovariansi error antara EnKF standar dengan AK-EnKF dapat dilihat pada abel 7.4. Pada abel tersebut jelas bahwa ovariansi error untu AK- EnKF lebih ecil daripada EnKF standar. Artinya bahwa tingat epercayaan dari nilai estimasi AK-EnKF lebih tinggi terhadap nilai realnya. abel 7.3 Perbandingan Hasil estimasi Botton-Hole Presure antara EnKF Standar dengan AK EnKF Simulasi e- Real (1 3 ) EnKF Standar (1 3 ) AK-EnKF (1 3 ) 1 4,349 4,36 4, ,132 4,135 4, ,13 4,11 4,11 4 5,4494 5,5184 5, ,483 4,55 4, ,31 4,37 4,32 7 4,9828 5,38 4, ,583 4,618 4, ,43 4,46 4,43 1 4,578 4,5959 4,5751 Gambar 7.3. Estimasi Botton-Hole Presure menggunaan EnKF Standar dan AK- EnKF abel 7.4 Perbandingan Kovariansi Error Botton-Hole Presure antara EnKF Standar dengan AK-EnKF Simulasi e- EnKF Standar AK-EnKF 1,446,5 2,4337, 3,3992,7 4,49,25 5,3888,2 6,3955,27 Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/163

13 Simulasi e- EnKF Standar AK-EnKF 7,42,29 8,3771,12 9,4288,32 1,4138,8 Gambar 7.4. Kovariansi Error Botton-Hole Presure untu EnKF dan AK-EnKF Gambar 7.4 menunjuan secara grafi perbandingan nilai ovariansi error dari edua metode tersebut untu Botton-Hole Presure yaitu pada EnKF standar nilai ovariansi errornya rata-rata berada pada interval.15 dan.18. Untu AK-EnKF sebagian besar berada pada interval,2 1 5 dan 1, Nilai dari interval ini cuup ecil dan menyataan bahwa tingat epercayaan dari nilai estimasi AK-EnKF Botton-Hole Presure sangat bagus daripada EnKF standar. 8. Watu Komputasi Watu omputasi yang diperoleh pada abel 8.1 disimpulan bahwa jumlah ensemble (N) dan jumlah iterasi sangat mempengaruhi watu omputasi. Jumlah ensemble sangat berpengaruh terhadap watu omputasi untu edua algoritma tersebut, EnKF standar dan AK-EnKF. Semain tinggi jumlah ensemble yang digunaan maa semain banya watu omputasi yang dipaai. Kemudian, abel 8.1 juga menampilan perbandingan watu omputasi yang digunaan dari edua algoritma tersebut. AK-EnKF membutuhan watu yang lebih sediit daripada EnKF standar untu jumlah ensemble N 5. Sedangan EnKF standar membutuhan watu yang lebih sediit jia jumlah ensemblenya N 5. Hal ini disebaban arena pada algoritma AK-EnKF bagian oresi terdapat suatu sema aar uadrat yang menggunaan formulasi deomposisi nilai singuler (singuler value decomposition) sehingga membutuhan watu yang cuup besar, apalagi jia uuran matrisnya cuup besar dalam hal ini jumlah ensemblenya N cuup besar. Selanjutnya, jia watu omputasi dipandang dari sisi jumlah iterasi, maa jumlah iterasi berpengaruh positif terhadap watu omputasi untu setiap jumlah ensemble yang dietahui. Hal ini berlau untu edua algoritma itu. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/164

14 abel 8.1 Watu Komputasi EnKF Standar dan AK-EnKF Jumlah Watu Komputasi (deti) Ensemble N K=5 K=1 K=15 EnKF AK-EnKF EnKF AK-EnKF EnKF AK-EnKF 5,8272,4997 1,5244,9149 2,2429 1, ,5257,9774 2,963 1,7648 4,3551 2, ,2855 2,3615 5,7858 4,1174 8,799 6, ,724 8,782 15,5 17, , , Kesimpulan Hasil simulasi yang diperoleh dibagi menjadi empat bagian, yaitu hasil estimasi model sistem, perbandingan ovariansi error antara EnKF standar dan AK- EnKF, dan perbandingan watu omputasi yang digunaan dari edua algoritma tersebut. Untu hasil estimasi model sistem, selisih nilai estiimasi, dan ovariansi error yang diperoleh, AK-EnKF jauh lebih bai dan aurat daripada EnKF standar. Sedangan untu watu omputasi yang digunaan, EnKF standar membutuhan watu yang lebih sediit jia jumlah ensemblenya N 5. Dan jia jumlah ensemble N 5 AK-EnKF membutuhan watu yang lebih sediit daripada EnKF standar. 1. Daftar Pustaa Apriliani, E. (23), he Application of Implicit Kalman Filtering On A One Dimensional Shallow Water. Procedings of he SEAMS-GMU Conference, pp Almendral-Vazquez, A. dan Anne, R.S. (26), he Ensemble Kalman Filter-theory ang applications in oil industry. Norwegian Computing Center, NR. Burgers, G. P. J. van Leeuwen. dan G. Evensen. (1998). Analisysscheme in the ensemble Kalman Filter. Mon. Weather Rev., Vol 126, hal Evensen, G. (1994), Sequential Data Assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistic. J. Geophys, Vol 99, hal Evensen, G. (23), he Ensemble Kalman Filter: heoretical formulation and practical implementation. Ocean Dynamics, Vol 53, hal Evensen, G. (24), Sampling Strategies and square root analysis schemes for the Ensemble Kalman Filter (EnKF), Hydro Research Centre. Golub, H. G. dan Loan, V. F. Charles. (1993), Matrix Computations (second edition), he John Hopins University Press, Baltimore and London. Johnson, A. R dan Wichern, W. D. (22), Applied Multivariate Statistical Analysis (fifth edition), University of Winconsin Prentice Hall, Inc., New Yor. Lewis, L Fran. (1986), Optimal Estimation, with an introduction to stochastic control theory, John Wiley and Sons, New Yor. Purnomo, D. K. (28), Apliasi Metode Ensemble Kalman Filter Pada Model Populasi Flanton, esis Magister., Institut enologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Welch, G and Bishop, G. (21), An Introduction to the Kalman Filter. Departement of Computer Science, University of North Calorina at Chapel Hill. Seminar Nasional-Pendidian Sains FMIPA Unesa 28/165