Penulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com

Transkripsi

1

2 Penulis : Rahmad AzHaris Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat Telp humas@pelatihan-osn.com ; tokobuku@pelatihan-osn.com Dilarang Keras Mengutip, menjiplak, memfotokopi sebagaian atau seluruh isi buku ini serta memperjual belikannya tanpa izin tertulis dari pelatihan-osn.com

3 prakata Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT yang karena berkat rahmat dan hidayatnya penulis bias merampungkan penyusunan buku Sukses Menuju Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA tepat pada waktunya. Meskipun berbagai halangan yang kami alami dalam proses penyusunannya tetapi akhirnya buku ini dapat diselesaikan dengan baik. Dalam penyusunan buku ini, penulis sudah berusaha untuk melakukan yang terbaik. Namun tentu banyak kekurangan dan kesalahan yang terjadi, sehingga kritik dan masukanakan sangat berguna bagi penulis sehingga dapat memperbaiki dan menjadi lebih baik di masa mendatang. Tidak lupa pula penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah membantu sehingga buku ini dapat dirampungkan. Tanpa bantuan mustahil buku ini dapat diselesaikan dengan baik tepat pada waktunya. Akhir kata, semoga buku ini dapat berguna bagi pembaca untuk Sukses Menuju Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA. Bandung, Februari 2013 Penulis

4 DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi Bab 1 Pendahuluan 1.1. Himpunan Definisi Himpunan Bagian Operasi Himpunan Beberapa Identitas Himpunan Sistem Bilangan Bilangan Asli Bilangan Cacah Bilangan Bulat Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Real Bilangan Kompleks Notasi Sigma dan Pi Notasi Sigma Notasi Pi 6 Bab 2 Aljabar 2.1. Polinomal Fungsi Fungsi Chauchy Fungsi Jensen Barisan, Deret, dan Rekursif Barisan dan Deret Prinsip Teleskopik Rekursif Ketaksamaan Konsep Dasar Ketaksamaan QM, AM, GM, HM Ketaksamaan Nesbitt Ketaksamaan Chauchy-Schwarz Sistem Persamaan 28

5 Dengan Eliminasi atau Subtitusi Dengan Menggunakan Ketaksamaan Dengan Menggunakan Karakteristik Fungsi Dengan Menggunakan Karakteristik Polinom 30 Soal-Soal Latihan 31 Bab 3 Teori Bilangan Keterbagian Uji Habis Dibagi Bilangan Genap dan Ganjil Algoritma Pembagian GCD LCM Bilangan Prima Algoritma Euclidian Algoritma Stein Identitas Bezout Persamaan Diophantine Linear Persamaan Diophantine Linear DuaVariabel Induksi Matematika Induksi Matematika Biasa Induksi Matematika Kuat Fungsi Tangga Fungsi Floor Fungsi Ceilling Fungsi Bulat Polignac Formula Modular Aritmatik Residu Lengkap Jumlah dan Banyaknya Pembagi Banyaknya Pembagi Positif Bilangan Asli Jumlah Pembagi Positif Fungsi Totient Euler Teorema Kecil Fermat dan Teorema Euler Himpunan Bilangan yang Relatif Prima Teorema Euler Fermat Little Theorem 74 Soal-Soal Latihan 77 Bab 4 Kombinatorik Kombinatorik Dasar Kaidah Penjumlahan 80

6 Kaidah Perkalian Permutasi Permutasi Boleh Berulang Permutasi Tidak Berulang Permutasi Siklik Kombinasi Kombinasi Tanpa Perulangan Kombinasi dengan Perulangan Binomial Newton Peluang Komplemen Suatu Kejadian Prinsip Inklusi-Eksklusi De Moivre Formula Objek Bilangan Asli Objek Bilangan Non negatif Derangements Paritas Multinomial Ekspansion Pigeon Hole Principle Bentuk Sederhana Bentuk Kuat Teori Graf Coloring Proofs 103 Soal-Soal Latihan 105 Bab 5 Geometri Geometri Analitik Titik dan Garis Jarak Antara DuaTitik Titik Tengah antara DuaTitik Persamaan Garis Jarak Titik ke Garis Lingkaran Geometri Vektor Perkalian dengan Skalar Penjumlahan Vektor Perbandingan Vektor Sifat-Sifat Dasar Vektor Perkalian Skalar Dua Buah Vektor Trigonometri Perbandingan Geometri Sifat-Sifat Perbandingan Trigonometri Identitas Trigonometri Dasar 114

7 Rumus Trigonometri Dasar Geometri Euclid Segitiga Luas Segitiga Hukum Sinus dan Kosinus Teorema Stewart Teorema Ceva Teorema Menelaos Garis Tinggi Garis Berat Garis Bagi Dalam Segitiga Garis Bagi Luar Segitiga Garis Sumbu Lingkaran Sudut Pusat dan Sudut Keliling Segiempat Tali busur Titik Kuasa Teorema Euler Teorema Brahmagupta Segiempat JajarGenjang Varignon Lingkaran Dalam Segiempat 127 Soal-Soal Latihan 130

8 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. HIMPUNAN Definisi Himpunan adalah kumpulan objek-objek dengan suatu sifat tertentu dan terdefinisi secara jelas. Contoh: Himpunan semua bilangan ganjil, yaitu ±1, ±3, ±5, ±7 Himpunan secara umum disimbolkan dengan huruf kapital A, B, C, Cara penyajian himpunan : Misal : A =himpunan huruf vokal. A = {a, i, u, e, o} A = x x adalah huruf vokal} x A : x merupakan anggota himpunan A. x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Banyaknya elemen di dalam himpunana dinotasikan dengan n A atau A. Himpunan yang tidak punya elemen disebut himpunan kosong. Dinotasikan dengan atau { } Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari himpunan B. Dinotasikan dengan A B. Beberapa sifat yaitu : A A A Dengan kata lain himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Jika A B dan B C maka A C Banyaknya himpunan bagian dari A jika ada n elemen adalah 2 n Contoh : Himpunan bagian dari A = {1,2,3,4} yaitu

9 1,2,3,4, 1,2,3, 1,2,4, 1,3,4, 2,3,4, 1,2, 1,3, 1,4, 2,3, 2,4, 3,4, 1, 2, 3, 4, {} Ada 2 4 = 16 himpunan bagian.

10 BAB 2 ALJABAR 2.1. POLINOMIAL Definisi : Polinomial atau suku banyak memiliki bentuk umum yaitu P x = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 Dengan x merupakan variabel, n merupakan bilangan bulat 0 dan a 0, a 1, a 2,, a n merupakan konstanta bilangan real. Contoh : Polinom derajat 5 : 1 2 x5 + 3x 4 + 2x + 2 Lebih lanjut n disebut dengan derajat dari polynomial P(x), yaitu pangkat tertinggi dari x. Dan a 1, a 2,, a n disebut koefisien. Suatu bilangan misal x 0 disebut akar dari polinom P x adalah jika disubtitusikan x = x 0 maka nilai P x 0 = 0. Contoh : (OSP 2008) Suatu polinom f(x) memenuhi persamaan f x 2 x 3 f x = 2(x 3 1) untuk setiap bilangan real x. Derajat dari f(x) adalah Jawab : Misal f(x) berderajat n maka f(x 2 ) berderajat 2n. Derajat dari x 3 f(x) adalah n + 3. Jika n > 3 Maka 2n > n + 3 sehingga f x 2 x 3 f x berderajat > 6 tidak mungkin kesamaan terjadi Jika n = 3 Maka f(x 2 ) dan x 3 f(x) sama-sama berderajat 6 jadi dimungkinkan akan saling menghilangkan dan menyisakan derajat 3. Contoh yang memenuhi f x = x 3 2 Jika n < 3

11 Maka 2n < n + 3, jadi ruas kiri berderajat n + 3, karena ruas kanan berderajat 3 maka n = 0 Maka f x = c untuk suatu c bilangan real. f x 2 x 3 f x = c x 3 c = 2x 3 2 Dipenuhi c = 2 Jadi derajat f x = 3 atau derajat f x = 0