SIFAT-SIFAT SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS DALAM BENTUK HIMPUNAN WORD

Transkripsi

1 Prosiding Semirata FMIP Universitas Lung 213 SIFT-SIFT SEMIGRUP BEBS DN MONOID BEBS DLM BENTUK HIMPUNN WORD Rolan Pane 1 Sri Gemawati 1 Novia Yumitha sarie 2 Firdaus 1 Deartment of mathematis FMIP Universitas Riau rolanane@gmailom bstrat We disussthe harateristis of free semigrou and free monoid related to word set The disussionbegin withsome homomorhismtheorems and a riterion for freeness of semigrou and monoid ll harateristis of free semigrou and free monoid are exressed on theorems Keywords:Homomorhism Theorem Criterion For Freeness Word Set PENDHULUN Teori dasar dari himunan emetaan oerasi biner relasi biner sangat dierlukan untuk memelajari struktur aljabarsuatu struktur aljabar struture of algebraadalah himunan tak kosong dimana terdaat sedikitnya satu relasi ekivalen satu atau lebih oerasi biner daat didefinisikan di dalnya Salah satu kasus struktur aljabar adalahsemigru Semigru adalah suatu struktur aljabar dengan oerasi biner yang bersifat asosiatif Oerasi biner ada semigru S sering dinotasikan dengan yang memetakan tia asangan berurutan x y S S ke suatu elemen x y S Suatu semigru yang memunyai identitas disebut monoid Semigru Semigru Bebas Konse-konse yang akan dibahas dal karya tulis ini meruakan materimateri endukung yang dibil dari beberaa referensi yaitu [3] [5] [6] Definisi 21 Semigru Misalkan S suatu himunan : S S S adalah oerasi biner yang memetakan tia asangan x y S S ke suatu elemen x y S Himunan S adalah suatu semigru dengan oerasi didefinisikan di dalnya biasanya dinotasikan dengan S atau dengan S saja jika oerasi memenuhi sifat asosiatif yakni untuk setia x y z S berlaku : x y z x y z Definisi 22 SubsemigruUntuk suatu subhimunan S dengan Ø didefinisikan S x x 1 2 xn n 1 xi Maka S adalah subsemigru dari S dikatakan sebagai subsemigru yang dibangun oleh Definisi 23 Semigru Bebas Misalkan diketahui S sebarang semigru Himunan bagian S membangun S seara bebas jika terdaat emetaan : P dengan P sembarang semigru yang daat dierluas menjadi suatu homomorfisma : S P sehingga Maka S dikatakan suatu semigru bebas emetaan dikatakan sebagai erluasan homomorfisma dari emetaan Definisi 24 HimunanWord Misalkan adalah suatu himunan alfabet yang anggotanya disebut letter/huruf Sembarang barisan hingga dari letter disebut word dari Himunan semua word dari sedikitnya satu letter dinotasikan dengan Tia elemen dari memunyai anjang sedikitnya satu letter sebanyakbanyaknya adalah tak hingga Semirata 213 FMIP Unila 449

2 Rolan Pane Dkk: Sifat-Sifat Semigru Bebas Dan Monoid Bebas Dal Bentuk Himunan Word Contoh Misalkan diketahui himunan alfabet { a b} maka himunan word dari adalah : { a b ab ba aa bb aaa aab} Dal [5] teorema homomorfisma teorema kernel teorema monomorfisma teorema fundental homomorfisma diberikan sebagai berikut Misalkan S P sembarang semigru Untuk suatu homomorfisma : S P didefinisikan relasi kernelnya sebagai berikut: ker { x y x y} dengan x y S Teorema 21 Misalkan S P sembarang semigru terdaatsuatu homomorfisma : S P Terdaat suatu monomorfisma tunggal : S ker P sehingga diagr berikut berlaku : Gbar 1 Diagr komutatif Bukti Misalkan R ker : S S R adalah suatu homomorfisma Definisikan : S R P dengan xr x untuk setia x S terdefinisi dengan baik yakni untuk setia x y S ilih xr yr dengan x y ker Maka x y ker x y xr yr Tia xr memunyai nilai tertentu di P yang seara indeenden mereresentasikan kelas kongruensi xr Kemudian xr yr x y R x y x y xr yr Maka meruakan suatu homomorfisma Selanjutnya untuk setia x y ker berlaku : x y xr yr Tia emetaan xr memasangkan seara tunggal x dengan x S Maka xr meruakan emetaan injektif Misalkan terdaat : S R P sembarang monomorfisma yang lainnya maka x xr untuk setia x S Nun ini berarti bahwa Jadi emetaannya adalah tunggal Teorema 22Teorema Fundental Homomorfisma Misalkan S P sembarang semigru terdaatsuatu homomorfisma : S P dengan ker kongruen di S Maka S ker isomorfik dengan P Bukti Dari Teorema 25 terdaat suatu monomorfisma tunggal : S ker P kan ditunjukkan bahwa emetaan juga surjektif sehingga meruakan suatu isomorfisma Dari Teorema 24 emetaan : S S R meruakan suatu eimorfisma mbil sembarang y P dengan x y Diagr komutatif ada Gbar 1 berlaku maka : x x x y u y Untuk setia y P terdaat u S R sedemikian hingga u y Jadi emetaan surjektif Karena meruakan suatu monomorfisma juga bersifat surjektif maka meruakan suatu isomorfisma Semigru Word Bebas Pada himunan didefinisikan oerasi biner sebagai suatu rangkaian berurutan atenation dari elemen- 45 Semirata 213 FMIP Unila

3 Prosiding Semirata FMIP Universitas Lung 213 elemen Oerasi rangkaian ada diilustrasikan sebagai berikut : Untuk setia a b terdaat elemen i j w 1 w 2 dengan w 1 a1a a m w 2 b m n 1 n yang memenuhi: w1 a1a a1a w1 Karena oerasi biner ada meruakan suatu rangkaian berurutan atenation dari elemen-elemennya maka sifat asosiatif berlaku yakni untuk setia w w dengan w w k 1 k dieroleh : w1 w3 a1a 1 a1a 1 a1a 1 a a a b b b 1 2 m 1 2 n 1 2 1a 12 w1 w3 a Maka meruakan suatu semigru Misalkan terdaat sembarang semigru S sembarang emetaan : S Karena membangun maka daat didefinisikan suatu homomorfisma : S dengan : w a a a m a1 a2 Karena restriksi terenuhi maka dari Definisi 212 himunan meruakan suatu semigru bebas Teorema 31 Misalkan semigru bebas ada himunan alfabet dengan R sembarang relasi ada R kongruen di yang dibangun oleh R : R suatu homomorfisma Misalkan ula S sembarang semigru : S suatu homomorfisma dengan u v untuk setia u v R Maka terdaat suatu homomorfisma : R S sehingga berlaku BuktiDari hiotesis teorema emetaan : S adalah suatu homomorfisma dengan u v untuk setia u v R Maka R 1 Karena R adalah kongruen terkeil di yang memuat R 1 adalah kongruen maka 1 R sehingga untuk setia w1 R dieroleh w1 Kemudian definisikan emetaan : R S dengan w w untuk setia w terdefinisi dengan baik yakni untuk setia w 1 w 2 dengan w1 R ilih w1 maka w1 w1 Domain adalah semua elemen di R karena setia elemen di R memunyai bentuk wr dengan w Maka terenuhi Kemudian akan ditunjukkan bahwa suatu homomorfisma Untuk sembarang elemen w 1 w 2 dieroleh w1 w1 R w 1 w1 w1 Maka adalah suatu homomorfisma Teorema 32 Untuk setia semigru S terdaat suatu himunan alfabet suatu eimorfisma : S BuktiMisalkan sembarang himunan yang membangun S ilih S suatu himunan alfabet dengan misalkan emetaan : adalah suatu emetaan bijektif Semirata 213 FMIP Unila 451

4 Rolan Pane Dkk: Sifat-Sifat Semigru Bebas Dan Monoid Bebas Dal Bentuk Himunan Word Dari Definisi 212 memunyai suatu erluasan homomorfisma : S Karena S S S maka emetaan surjektif adalah suatu homomorfisma surjektif sehingga meruakan suatu eimorfisma Teorema 33Setia semigru isomorfik dengan suatu semigru word kuosienyakni untuk suatu eimorfisma : S maka S isomorfik dengan ker Bukti Dari Teorema 25 dal bentuk himunan word daat dibuat diagr komutatifnya sebagai berikut : Gbar 2 Diagr komutatif Terdaat suatu monomorfisma tunggal : ker S Dari Teorema 24 emetaan : R meruakan suatu eimorfisma dari Teorema 32 emetaan : S juga meruakan suatu eimorfisma mbil sembarang y S dengan x y Diagr komutatif ada Gbar 2 berlaku maka : x x x y u y Untuk setia y S terdaat u S R sedemikian hingga u y Maka emetaan surjektif Karena meruakan suatu monomorfisma juga bersifat surjektif maka meruakan suatu isomorfisma Monoid Word Bebas Dari Definisi 27 Monoid adalahs emigru yang memunyai elemen identitas Seara umum dal [4] monoid S ' didefinisikan sebagai berikut : S jika S suatu monoid S { e} jika S bukan monoid dengan e adalah elemen identitasnya Definisi 41 Suatu monoid S ' dikatakan monoid bebas jika dibangun seara bebas oleh suatu subhimunan dengan Jika { himunan generator untuk S ' terdaat emetaan : P dengan P sembarang monoid yang daat dierluas ke suatu homomorfisma : P sehingga es ' e P Maka S ' bebas emetaan dikatakan sebagai erluasan homomorfisma dari emetaan Himunan barisan hingga dari letterletter memuat identitasnya dinotasikan dengan Sa halnya dengan himunan ada himunan oerasi biner didefinisikan sebagai suatu rangkaian berurutan atenation dari elemen-elemennya Elemen identitasnya dinotasikan dengan e Sehingga meruakan suatu monoid Jika maka { e } e meruakan himunan generator untuk Misalkan terdaat sembarang monoid sembarang emetaan : ' S Untuk sembarang w a a dengan a i daat didefinisikan suatu homomorfisma : dengan w a a a m a1 a2 Restriksi terenuhi e e maka himunan S ' meruakan suatu monoid bebas Dal [2] [4] teorema-teorema yang berkaitan dengan monoid bebas diberikan sebagai berikut 452 Semirata 213 FMIP Unila

5 Prosiding Semirata FMIP Universitas Lung 213 Teorema 41 Jika S semigru bebas maka S ' adalah monoid bebas Bukti Dengan menggunakan Definisi 212 Definisi 41 maka embuktian Teorema 41 un terenuhi Teorema 42 Suatu monoid S ' adalah monoid bebas jika hanya jika \{ suatu semigru bebas Bukti Misalkan S ' suatu monoid bebas yang dibangun seara bebas oleh dengan Maka \{ subsemigru dari S ' dimana e x1x2 xn dengan x i Misalkan ula terdaat emetaan : yang daat dierluas menjadi suatu homomorfisma S '\{ e } S sedemikian hingga : ' Dari Definisi 212 \{ suatu semigru bebas Selanjutnya misalkan \{ suatu semigru bebas Terdaat sembarang semigru emetaan : yang daat dierluas menjadi suatu homomorfisma S '\{ e } S sedemikian hingga : ' Kemudian elemen identitas e } daat ditulis sebagai { S ' e x1x2 xn dengan x i dimana e x x x 1 2 n x1 x2 xn yang juga memenuhi sifat homomorfisma Oleh karena itu emetaan : dimana adalah suatu monoid daat dierluas menjadi suatu homomorfisma : sedemikian hingga dengan e e Maka S ' meruakan S ' suatu monoid bebas Teorema 43 Suatu monoid S ' bebas jika hanya jika S ' isomorfis ke monoid word bebas untuk suatu alfabet Bukti Dengan menggunakan Definisi 41 embuktian Teorema 34 maka embuktian Teorema 43 un terenuhi Kesimulan 1 Suatu semigru daat diidentifikasi aakah semigru tersebut dibangun seara bebas atau tidak berdasarkan sifat-sifat bebasnya 2 Hubungan antara suatu semigru word bebas dengan sembarang semigru daat diidentifikasi berdasarkan jenis emetaan yang berlaku di antara kedua semigru tersebut 3 Dari suatu semigru word bebas daat dibangun suatu monoid word bebas dengan menbahkan elemen identitas ada semigru word bebas tersebut Hal ini juga berlaku untuk semigru bebas biasa DFTR PUSTK Clifford H & G B Preston 1961 The lgebrai Theory of Semigrous Vol I merian Mathematial Soiety US Clifford H G B Preston 1967 The lgebrai Theory of Semigrous Vol II merian Mathematial Soiety US Gilbert Jimmie &Linda Gilbert 1992 Element of Modern lgebra Third Edition PWS-KENT US Harju Tero 1996 Leture Notes on Semigrous University of Turku Finland Judson Thomas W 1997 bstrat lgebra Theory and liations Stehen F ustin State University Setiawan di 211 ljabar bstrak Teori Gru Teori Ring FMIP Universitas Kristen Satya Waana Salatiga Semirata 213 FMIP Unila 453