TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA
|
|
- Suhendra Hermanto
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA Eddy Djauhari Departemen Matematika Fmipa Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung-Sumedang km. 21, tlp./fax. : , Jatinangor, eddy.djauhari@unpad.ac.id ABSTRAK Dalam makalah ini akan dibahas tentang Teorema Cayley dan pembuktiannya dengan menggunakan dua metode, yaitu melalui korespondensi 1-1 antara pohon berlabel dengan barisan dan melalui Teori Kombinatorial. Teorema Cayley ini dikemukakan oleh seorang matematikawan Inggris yang bernama Arthur Cayley. Dalam Teorema Cayley ini dikatakan bahwa bila n merupakan bilangan bulat lebih besar dari satu, maka jumlah pohon yang memiliki n simpul berlabel adalah n n 2. Sampai saat ini sudah banyak yang menemukan metode pembuktian Teorema Cayley ini, namun dalam makalah ini hanya dibahas dua metode pembuktian saja. Kata kunci : Teori Graf, Teori Kombinatorial, Teorema Cayley, Korespondensi 1-1, dan Pohon Berlabel. 1. PENDAHULUAN Dalam waktu sekarang-sekarang ini, teori graf telah menguatkan dirinya sebagai alat (tool)matematika yang sangat penting dan bermanfaat. Hal yang utama adalah berhubungan dengan struktur diskrit yang ada pada sistem. Banyak sekali ilmu yang menggunakan Teori Graf (Graph Theory), mulai dari riset operasi, proses komputasi, rangkaian listrik, ilmu komputer, kimia dan biologi (terutama tentang genetika). Teori graf bahkan telah menjadi ilmu tersendiri seperti halnya cabang Ilmu Matematika yaitu Aljabar dan Analisis. Bahkan dengan berkembangnnya Ilmu Komputer dan Teknik Informatika, maka Teori Graf telah banyak memberikan dukungan dalam ilmu yang baru yakni Algoritma Graf (Graph Algorithm). Graf secara sederhana terdiri dari dua himpunan berhingga, yaitu himpunan titik yang disebut dengan himpunan vertex (V=vertex = titik) dan himpunan garis atau himpunan sisi (E = Edge) = sisi). Graf dengan himpunan vertex dan himpunan sisi disimbolkan dengan G (V,E). Dalam makalah ini akan dibicarakan tentang graf yang bersifat khusus, yaitu pohon (tree), karena Teorema Cayley berhubungan dengan pohon berlabel. 2. KAJIAN LITERATUR 2.1 Pohon Untuk para Matematikawan dan Ilmuwan yang lain, pohon merupakan bentuk graf yang sederhana dan banyak memiliki sifat-sifat yang mentakjubkan / mengagumkan. Contohnya isomer isomer kimia karbon divisualisasikan berbentuk pohon. Penyajian jaringan komputer pun merupakan bentuk pohon. Dalam kehidupan sehari-hari, orang telah lama menggunakan pohon untuk silsilah keluarga. Pohon sudah lama digunakan sejak tahun 1857, ketika Matematikawan Inggris bernama Arthur Cayley menggunakan pohon untuk menghitung jumlah senyawa kimia. Akhir akhir ini pohon digunakan juga pada pemodelan jaringan komputer yang memuat berbagai macam elemen seperti komputer-komputer dan kabel komunikasi. Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan teori pohon. Definisi 2.1 : Pohon (tree) adalah graf tak berarah terhubungkan yang tidak memiliki rangkaian sederhana. Definisi 2.2 : Pohon perentang (spanning tree) dari graf G adalah graf bagian G yang berupa pohon dan memuat semua vertex dari G.
2 Definisi 2.3 : Derajat (degree) sebuah vertex (simpul) atau titik v disimbolkan dengan deg(v) adalah banyaknya sisi/garis/rusuk yang berhubungan dengan titik v, dan sisi suatu loop dihitung dua kali. Definisi 2.4 : Jembatan (bridge) adalah sisi dalam suatu graf yang penghapusannya akan membuat graf terpecah menjadi dua komponen. Definisi 2.5 : Pohon berlabel atau pohon bernilai adalah pohon yang di setiap simpulnya mempunyai keterangan/nilai yang digunakan untuk mengindikasikan bahwa diagram tersebut digunakan untuk tujuan tertentu. Di bawah ini diberikan contoh pohon dan bukan pohon. T 1 : v 1 v 2 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 T 2 : v 7 v 1 v 4 v 8 v 2 v 5 Gambar 1. T 1 pohon dan T 2 bukan pohon v 6 Teorema teorema di bawah ini dan buktinya merupakan hasil dan sifat-sifat yang dimiliki pohon. Teorema 2.1 : Jika T adalah pohon dengan n titik maka T mempunyai (n 1) sisi atau rusuk. Untuk n = 1 maka jelas T merupakan sebuah titik saja yaitu graf tanpa sisi (n 1) = 0 sisi. Untuk n > 1, maka T mempunyai (n 1) sisi. Jika sebuah sisi sembarang e di T dihapus, maka akan didapat 2 graf bagian yang masingmasing merupakan pohon, katakanlah T 1 dan T 2 dengan masing-masing titik sebanyak n 1 dan n 2 dan masing-masing sisi sebanyak k 1 dan k 2. Dari sini diperoleh hubungan sebagai berikut : n 1 + n 2 = n, k 1 + k 2 = (n 1 1) + (n 2 1) = n 1 + n 2 2 = n 2 (sebab sebuah sisi sembarang e telah dihapus dari T). Jadi k 1 = n 1 1 dan k 2 = n 2 1. Teorema 2.2 : Jika T tidak memiliki rangkaian sederhana dan mempunyai (n 1) sisi, maka T terhubung Misalkan T tak terhubung dan mempunyai (n 1) sisi maka T tidak memiliki rangkaian sederhana dan jumlah titiknya lebih satu daripada jumlah sisinya. Oleh sebab itu jumlah total titik di T melebihi sisinya dengan paling sedikit 2, yang kontradiksi dengan kenyataan bahwa T memiliki (n 1) sisi. Teorema 2.3 : Jika T adalah graf terhubung dan mempunyai (n 1) sisi mata T terhubung dan setiap sisinya adalah jembatan. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan T terhubung dan ada sisinya yang bukan jembatan, maka dengan menghilangkan sebuah sisi tertentu, akan didapat graf dengan n titik dan (n 2) sisi. Graf ini pastilah tidak terhubung, sehingga diperoleh kontradiksi. Teorema 2.4 : Jika T adalah graf terhubung dan setiap sisinya merupakan jembatan, maka dua titik sembarang di T dihubungkan dengan tepat satu lintasan. Akan dibuktikan dengan kontradikasi : Jika dua titik sembarang di T dihubungkan dengan lebih dari satu lintasan (katakanlah dua lintasan), maka dua titik tersebut membentuk rangkaian. Dengan adanya rangkaian maka setiap sisi pada rangkaian tersebut bukan jembatan, dengan kata lain ada sisi yang bukan merupakan jembatan di T. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa setiap sisi di T adalah jembatan. Teorema - teorema di atas merupakan teorema penting yang berkaitan dengan pohon. Teorema Cayley berhubungan dengan jumlah total (non isomorfis) pohon berlabel.
3 Teorema 2.5 (Teorema Cayley) : [3] Ada sebanyak n n-2 pohon berlabel dengan n titik yang berbeda. 3. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang penulis lakukan adalah membahas tentang kontruksi pembuktian Teorema Cayley dengan dua pendekatan. Pendekatan itu adalah dengan melakukan korespondensi 1-1 antara pohon berlabel dengan barisan bilangan bulat positif dan yang kedua dengan melakukan perhitungan melalui teori kombinatorial. Dalam hal ini pohon berlabel adalah pohon yang titiknya dilabelkan dengan bilangan bulat positif. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Korespondensi 1-1 antara pohon berlabel dengan barisan. [4] Inti pembuktian Teorema Cayley dengan korespondensi adalah melakukan korespondensi 1-1 antara pohon berlabel dengan barisan ( a 1, a 2, a 3,, a n 2 ). Pembuktian ini telah dilakukan oleh Pruefer. Gambar 2. Konstruksi dasar pembuktian dengan korespondensi 1-1 Pros. 1 (Proses 1) : konstruksi dari pohon berlabel menjadi barisan. Pros. 2 (Proses 2) : konstruksi dari barisan menjadi pohon berlabel. Langkah langkah pada proses 1 (diketahuinya pohon berlabel ): a. Cari titik dengan derajat satu dan pilih dengan label indeks terkecil. b. Cari titik yang langsung berhubungan dengan titik yang telah dipilih dan tempatkanlah indeks itu pada posisi pertama barisan. c. Hilangkan titik yang dipilih pada langkah a. dan sisi yang berhubungan dengannya, sehingga diperoleh pohon yang lebih kecil jumlah titiknya. d. Ulangi langkah a. sampai dengan c, sehingga diperoleh hanya dua titik yang tinggal. Ilustrasi : T : v 7 v 1 v 2 No : Pilih : v 4 v 2 v 1 v 6 Berhub. : v 2 v 2 v 1 v 5 v 5 Indeks : Hilang : v 4 v 2 v 1 v 6 Gambar 3. Pohon berlabel T dan barisan (2, 2, 1, 5, 5 ) sebagai pasangannya Langkah-langkah pada proses 2 (diketahuinya barisan (a 1, a 2, a 3,, a n 2 ) ) : a. Gambarlah n titik, labelkan mereka dari v 1, v 2,, v n dan buatlah daftar bilangan dari 1 sampai dengan n. b. Tentukan bilangan terkecil yang ada di dalam daftar tersebut, tapi tidak berada di barisan dan juga tentukan bilangan pertama dalam barisan; kemudian tambahkan sisi yang menggabungkan titik-titik tersebut dalam gambar. c. Hilangkan bilangan pada langkah b. dari daftar bilangan dan bilangan pertama dari barisan, sehingga didapat daftar bilangan dan barisan bilangan yang lebih sedikit. d. Ulangi langkah b. dan c. untuk daftar bilangan dan barisan bilangan sisanya, sampai hanya ada dua label yang tinggal dalam daftar. Kemudian gabungkan titiktitik pada gambar sesuai dengan dua label sisanya. Ilustrasi : diketahui barisan (2, 2, 1, 5, 5), akan dicari pohon berlabel yang bersesuaian dengannya. Sediakan lebih dahulu daftar {1, 2, 3,4, 5, 6, 7 }, sebab 7 2 = 5.
4 1. Barisan : ( 2, 2, 1, 5, 5 ) Daftar : {1, 2, 3,4, 5, 6, 7 } 5.Barisan : ( 5) Daftar : { 5, 6, 7 } v 7 v 1 v 2 v 7 v 1 v 2 2. Barisan : ( 2, 1, 5, 5 ) Daftar : {1, 2, 4, 5, 6, 7 } 6.Barisan : ( - ) Daftar : { 5,7 } v 7 v 1 v 2 v 7 v 1 v 2 3. Barisan : ( 1, 5, 5 ) Daftar : {1, 2, 5, 6, 7 } v 7 v 1 v 2 4.Barisan :( 5,5) Daftar : {1, 5,6, 7 } v 1 v 2 v 7 Gambar 4. Langkah-langkah proses 2 Dengan adanya konstruksi korespondensi 1-1 tersebut, langsung dapat dilihat bahwa, bila dimiliki pohon berlabel maka dapat dibentuk barisannya. Jika dimiliki barisan (a 1, a 2, a 3,, a n 2 ) maka dapatlah dibentuk pohon berlabelnya. Buktinya langsung diperoleh dari barisan. Barisan (a 1, a 2, a 3,, a n 2 ) memuat (n-2) suku dan tiap-tiap suku mempunyai kemungkinan untuk mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5,..., n. Sehingga jumlah total kemungkinan pohon berlabelnya ada n n 2 buah. Selesailah bukti dengan metode pertama. Akibat : Jumlah pohon perentang untuk graf k n ada n n 2 buah. K n adalah graf yang terdiri dari n titik dimana setiap pasang titiknya dihubungkan dengan tepat satu sisi. Buktinya dengan menggunakan korespondensi 1-1 seperti di atas. Korespondensi itu dilakukan antara semua pohon perentangan K n yang terdiri titik - titik { v 1, v 2,, v n } dengan himpunan barisan (a 1, a 2, a 3,, a n 2 ), dimana a i adalah bilangan bulat yang memenuhi 1 a i n. Jumlah semua kemungkinan yang didapat dari korespondensi itu adalah n n 2, karena ada n cara untuk memilih setiap a i.
5 Akibat : Jumlah pohon perentang dari graf K n e adalah (n-2)n n-3. K n e adalah graf K n yang sembarang sisi e dihapus. Misalkan sisi e tersebut adalah { v n 1, v n }, maka dapat dibentuk korespondensi 1-1 seperti pada pembuktian Teorema Cayley. Korespondensi itu antara titik { v 1, v 2,, v n } di K n e dengan himpunan barisan ((a 1, a 2, a 3,, a n 2 )). Tiap a i adalah bilangan bulat 1 a i n untuk i = 1, 2, 3,, (n-3) dan 1 a n 2 n-2. Sehingga ada n cara untuk memilih setiap a i, i = 1, 2, 3,, (n -3) dan ada (n 2) cara untuk memilih a n 2. Dengan kata lain ada (n-2)n n-3 pohon perentang Teorema Kombinatorial Proses pembuktian dengan Teori Kombinatorial merupakan bukti langsung. Dengan teori ini, diadakan penghitungan langsung dengan melakukan pemecahan dan penggabungan pohon. Teorema - teorema penting yang digunakan dalam pembuktian akan diberikan di bawah ini. Teorema (Binomial) : [1] Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka n (x + y) n = ( n k ) xn k y k k=0 = ( n 0 ) xn + ( n 1 ) xn 1 y + ( n 2 ) xn 2 y ( n n 1 ) xyn 1 + ( n n ) yn Teorema binomial akan dibuktikan dengan induksi matematika. Basis induksi : Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = 1, yaitu bahwa 1 (x + y) 1 = ( 1 k ) x1 k. y k k=0 Langkah induksi : misalkan teorema benar untuk n = k. Jadi, (x + y) k = ( k 0 ) xk + ( k 1 ) xk 1 y + ( k 2 ) xk 2 y ( k k 1 ) xyk 1 + ( k k ) yk Akan dibuktikan bahwa teorema juga benar untuk n = k + 1, yaitu bahwa : (x + y) k+1 = ( k ) xk+1 + ( k ) xk y + ( k ) xk 1 y ( k + 1 k ) xyk + ( k + 1 k + 1 ) yk+1 (x + y) k+1 = (x + y) k (x + y) Dengan menggunakan kebenaran hipotesis (x + y) k, maka didapat (x + y) k+1 = {( k 0 ) xk + ( k 1 ) xk 1 y + + ( k k ) yk } (x + y) = {( k 0 ) xk + ( k 1 ) xk 1 y + + ( k k ) yk } x + {( k 0 ) xk + ( k 1 ) xk 1 y + + ( k k ) yk } y (x + y) k+1 = {( k 0 ) xk+1 + ( k 1 ) xk y + + ( k k ) xyk } + {( k 0 ) xk y + ( k 1 ) xk 1 y ( k k ) yk+1 } (x + y) k+1 = ( k 0 ) xk+1 + {( k 1 ) + (k 0 )} xk y + {( k 2 ) + (k 1 )} xk 1 y {( k k ) + ( k )} xyk k 1 + ( k k ) yk+1 = ( 1 0 ) x1 0. y 0 + ( 1 1 ) x1 1. y 1 = x + y
6 Menurut identitas Pascal, ( k r ) + ( k r 1 ) = (k + 1 ) sehingga r (x + y) k+1 = ( k 0 ) xk+1 + ( k ) xk y + ( k ) xk 1 y ( k + 1 k ) xyk + ( k k ) yk+1 Akan tetapi ( k 0 ) = 1 = (k ) dan (k k ) sehingga = 1 = ( k + 1 k + 1 ) (x + y) k+1 = ( k ) xk+1 + ( k ) xk + ( k ) xk 1 y ( k + 1 ) x yk k + ( k + 1 k + 1 ) yk+1 adalah pohon berlabel dengan deg(v) = k 1. Penghapusan sembarang sisi e = wz dari A yang tidak berhubungan dengan titik v akan menghasilkan dua pohon-bagian, salah satu darinya akan memuat v dan yang lain akan memuat v dan w atau z (katakanlah w) dan yang lainnya akan memuat titik z. Jika titik v dan z digabungkan dengan menambahkan satu sisi, maka diperoleh pohon berlabel B dengan deg(v) = k. Pasangan pohon berlabel (A,B) disebut link, jika B dapat diperoleh dari A dengan konstruksi seperti di atas (konstruksi : penghapusan dan penggabungan). ilustrasi : Terbukti bahwa teorema juga benar untuk n = k+1 sehingga terbukti bahwa n (x + y) n = ( n k ) xn k y k = ( n 0 ) xn k=0 + ( n 1 ) xn 1 y + ( n 2 ) xn 2 y ( n n 1 ) x yn 1 + ( n n ) yn Benar untuk semua bilangan bulat positif n. Teorema : [2] n (1 + x) n = ( n k ) k=0 x n k Benar untuk semua bilangan bulat positif n. Ambil y = 1 pada Teorema di atas, jelas teorema terbukti benar. Konstruksi pembuktian metode kedua adalah sebagai berikut: pertama dibentuk T(n, k) yaitu menunjukkan banyak pohon berlabel dengan n titik dimana suatu titik tertentu ( sebut v ) memiliki derajat k. Dari T(n, k) ini akan dijumlahkan dari k = 1 sampai dengan k = (n 1) sehingga didapat Tn, yaitu banyak pohon berlabel dengan n titik. Misalkan A Gambar 5. Link(A,B) dengan deg(v) = 3 pada A dan deg(v) = 4 pada B Graf A dapat dipilih dengan salah satu T(n, k- 1) cara dan B secara tunggal didapat dari sisi wz (yang dapat dipilih dengan (n 1) (k 1) = n k cara ). Terlihat bahwa link (A,B) mempunyai jumlah total (n k)t(n, k 1). Demikian pula proses dari pohon berlabel B menjadi pohon berlabel A.
7 T(n, k) {(n 1 n 1 ) + (n 1 n 2 ) + (n 1 n 3 ) + + (n 1 n k )} = T(n, k){kn k n i } k i=1 = {kn k n + 1}T(n, k) = (n 1)(k 1) T(n, k), Karena k n i = n 1 i=1 Sehingga akhirnya diperoleh persamaan (n k)t(n, k -1) = (n-1) (k-1)t(n, k), ambil T(n, 1) = 1 dan lakukan proses iterasi, maka diperoleh T(n, 2) = (n 2) (n 1)(1) T(n, 1) = (n 2) (n 1)(1) Gambar 6. Link(A,B) dengan deg(v) = 4 pada B dan deg(v) = 3 pada A B adalah pohon berlabel dengan deg(v) = k. Dan tentu saja T 1, T 2, T 3, T 4, T k adalah pohon-bagian yang didapat dari B dengan menghilangkan titik v beserta dengan k sisi yang berhubungan dengannya. Misalkan dihilangkan satu sisi (sebut vw 4) dan menghubungkan pohon-bagian T 4 dengan salah satu dari k pohon - bagian (sebut T 1 ) sehingga ditemukan link (A,B). B dapat dipilih dengan T(n, k) cara dan banyaknya cara untuk menghubungkan w 4 ke titik lain di pohon-bagian yang lain adalah (n 1) n i {n i adalah jumlah titik T i, dalam hal gambar di atas adalah n 4 }. Oleh karena itu link (A,B) adalah : T(n, 3) = T(n, 4) = (n 3) (n 1)(2) (n 4) (n 1)(3)...dst... T(n, k) = T(n, 2) = (n 3)(n 2) T(n, 3) = (n 4)(n 3)(n 2) (n k) (n 4)(n 3)(n 2) (n 1)(k 1) (n 1)(3)(n 1)(2)(n 1)(1) (n 1)(2)(n 1)(1) (n 1)(3)(n 1)(2)(n 1)(1) ada sebanyak (n k 1) untuk bentuk (n - 1), sehingga : T(n, k) = (n 2)(n 3)(n 4) (n k) (k 1)(k 2)(k 3) (3)(2)(1) (n 1)(n k 1) (n 2)(n 3)(n 4) (n k). (n k 1)! T(n, k) = (k 1)(k 2)(k 3) (3)(2)(1). (n k 1)!. T(n, k) =. (n 1) (n k 1) (n 2)! (k 1)!(n k 1)! (n 1)(n k 1) = ( n 2 ) (n 1)(n k 1) k 1
8 Dalam mencari semua pohon berlabel dengan n titik maka k harus dijumlahkan dari 1 sampai dengan (n-1), prosesnya sebagai berikut : n 1 n 1 T n = T(n, k) = ( n 2 ) (n 1)n k 1 k 1 k=1 n-1 k=1 T n = ( n-2 k-1 ) (n-1)n-k-1 = ( n-2 k-1 ) (n-1)(n-2)-(k-1) k=1 n-2 = ( n-2 ) (n-1) j (n-2)-j j=0 n-2 k-1=0 Persamaan di atas diperoleh dengan substitusi k 1 = j. Akhirnya dengan menerapkan Teorema substitusi r = j dan x = (n 1) maka diperoleh bentuk : T n = {1 + (n 1)} n 2 = n n 2 seperti yang diminta. Akhirnya didapat hasil yang sama seperti pada metode korespondensi 1-1 antara pohon berlabel dan barisan. Selesailah bukti dengan metode kedua. 5. KESIMPULAN Kadang - kadang ada orang yang bertanya metodologi apakah yang digunakan dalam matematika. Makalah ini memperlihatkan sedikit metode yang digunakan oleh para Matematikawan. Dari kontruksi pembuktian di atas dapat dilihat bahwa kedua pendekatan tersebut menghasilkan bentuk akhir yang sama. Sehingga metode yang satu dapat membenarkan dan menguatkan hasil yang sudah ada. Untuk metode korespondensi 1 1 dibutuhkan kontruksi aturan aturan yang dapat diterima untuk memetakan dari 1 sistem ke sistem yang lain dan sebaliknya tanpa menghilangkan struktur baku sistem tersebut. Metode seperi ini juga digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial secara tidak langsung, yaitu melalui Transformasi Laplace. Sedangkan pada metode dengan menggunakan Teori Kombinatorial dibutuhkan penghitungan dan pencaharian secara rekursif iteratif, dan setelah itu dikembalikan pada bentuk Teorema Binomial untuk penyelesaian akhirnya. Ide dasar dari kedua pembuktian di atas, biarlah dapat memberikan gagasan dan ilham dan untuk bidang penelitian masalah matematika yang lain. DAFTAR REFERENSI [1] Siang, Yek Jong. (2006) Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Komputer. [2] Rosen, Kenneth H. (1999). Discrete Mathematics and Its Application. McGraw Hill, Inc. [3] Michaels, John G.(2012) Applications of Discrete Matemathics, McGraw-Hill,Inc [4] Wilson R.J (2014) Graphs An Intoductory Approach, John Wiley & Sons, Inc.
Teorema Cayley pada Pohon Berlabel dan Pembuktiannya
Teorema Cayley pada Pohon Berlabel dan Pembuktiannya Fakhri NIM : 13506102 Program Studi Teknik Informatik ITB, Bandung, e-mail : if16102@students.if.itb.ac.id Abstrak Makalah ini membahas tentang teorema
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciAplikasi Teorema Polya Pada Enumerasi Graf Sederhana
Aplikasi Teorema Polya Pada Enumerasi Graf Sederhana Muhammad Amrimirza 13506003 Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung 4013, email: if16003@students.if.itb.ac.id Abstract Metode untuk menghitung kelas-kelas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciPenggunaan Algoritma Backtracking Untuk Menentukan Keisomorfikan Graf
Abstrak Penggunaan Algoritma Backtracking Untuk Menentukan Keisomorfikan Graf Neni Adiningsih, Dewi Pramudi Ismi, Ratih Laboratorium Ilmu dan Rekayasa Komputasi Departemen Teknik Informatika, Institut
Lebih terperinciPENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL. (Skripsi) Oleh Eni Zuliana
PENENTUAN BANYAKNYA GRAF TERHUBUNG BERLABEL BERORDE LIMA TANPA GARIS PARALEL (Skripsi) Oleh Eni Zuliana FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016 ABSTRAK PENENTUAN
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan
4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan
Lebih terperinciAplikasi Teorema Polya Pada Enumerasi Graf Sederhana
Aplikasi Teorema Polya Pada Enumerasi Graf Sederhana M. Faisal Baehaki Jurusan Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung, Bandung 40135 e-mail: faisal.baihaki@comlabs.itb.ac.id Intisari Metode untuk
Lebih terperinciMenghitung Jumlah Graf Sederhana dengan Teorema Polya
Menghitung Jumlah Graf Sederhana dengan Teorema Polya Hafni Syaeful Sulun NIM : 13505058 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha
Lebih terperinciPohon. Modul 4 PENDAHULUAN. alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4
Modul 4 Pohon Dr. Nanang Priatna, M.Pd. D PENDAHULUAN alam modul-modul sebelumnya Anda telah mempelajari graph terhubung tanpa sikel, misalnya model graph untuk molekul C 4 H 10, hierarki administrasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciPENGGUNAAN TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GRAF SEDERHANA YANG TIDAK SALING ISOMORFIS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 39-44. PENGGUNAAN TEOREMA POLYA DALAM MENENTUKAN BANYAKNYA GRAF SEDERHANA YANG TIDAK SALING ISOMORFIS Vivy Tri Rosalianti,
Lebih terperinciPengantar Matematika Diskrit
Materi Kuliah Matematika Diskrit Pengantar Matematika Diskrit Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Program Studi Informatika UIGM 1 Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika Diskrit: cabang matematika yang
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. DASAR TEORI. Penggunaan Teori Graf banyak memberikan solusi untuk menyelesaikan permasalahan yang terjadi di dalam masyarakat.
Aplikasi Pohon Merentang (Spanning Tree) Dalam Pengoptimalan Jaringan Listrik Aidil Syaputra (13510105) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciPengantar Matematika. Diskrit. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diksrit RINALDI MUNIR INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Sekolah Teknik Elrektro dan Informatika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG Pengantar Matematika Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diksrit Diskrit RINALDI MUNIR Lab Ilmu dan Rekayasa
Lebih terperinciSILABUS MATEMATIKA DISKRIT. Oleh: Tia Purniati, S.Pd., M.Pd.
SILABUS MATEMATIKA DISKRIT Oleh: Tia Purniati, S.Pd., M.Pd. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009 SILABUS A. Identitas
Lebih terperinciPenyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik
Penyelesaian Traveling Salesman Problem dengan Algoritma Heuristik Filman Ferdian - 13507091 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha
Lebih terperinciPengantar Matematika. Diskrit. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diksrit RINALDI MUNIR INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Sekolah Teknik Elrektro dan Informatika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG Pengantar Matematika Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diksrit Diskrit RINALDI MUNIR Lab Ilmu dan Rekayasa
Lebih terperinciRasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan. Tak kenal maka tak sayang, tak sayang maka tak cinta
Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan Tak kenal maka tak sayang, tak sayang maka tak cinta Perjalanan satu mil dimulai dari satu langkah 1 Dahulu namanya.. Matematika Diskrit 2 Mengapa
Lebih terperinciTEKNIK MENENTUKAN BILANGAN RAMSEY R(M, N) DENGAN M DAN N ADALAH 1, 2, DAN 3 SKRIPSI OLEH AGUS FAJARMAN ZALUKHU BP
TEKNIK MENENTUKAN BILANGAN RAMSEY R(M, N) DENGAN M DAN N ADALAH 1, 2, DAN 3 SKRIPSI OLEH AGUS FAJARMAN ZALUKHU BP. 07134064 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciPengantar Matematika. Diskrit. Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diksrit RINALDI MUNIR INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Sekolah Teknik Elrektro dan Informatika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG Pengantar Matematika Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diksrit Diskrit RINALDI MUNIR Lab Ilmu dan Rekayasa
Lebih terperinciEKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF TANGGA Andri Royani, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 06, No. 3(2017), hal 203 210. EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF TANGGA Andri Royani, Mariatul Kiftiah, Yudhi INTISARI Misalkan G adalah graf dengan
Lebih terperinciMatematika Komputasi. Rekyan RMP
Matematika Komputasi Rekyan RMP Sekilas Matakuliah : Matematika Komputasi Prasyarat : - Sifat Bobot : Wajib : 4 sks Deskripsi Mata kuliah ini membahas topik yang menjadi dasarmatematika bagi mahasiswa
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciFUNGSI PEMBANGKIT. Ismail Sunni
FUNGSI PEMBANGKIT Ismail Sunni 3508064 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 0, Bandung If8064@students.if.itb.ac.id ismailsunni@yahoo.co.id ABSTRAK Fungsi Pembangkit
Lebih terperinciENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 ENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK Mulyono Jurusan Matematika FMIPA UNNES Email:
Lebih terperinciTEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB
TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB STEVIE GIOVANNI NIM : 13506054 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jln, Ganesha 10, Bandung
Lebih terperinciINTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE 2
INTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE Operasi-Operasi Pada Graph Union Misal G dan H adalah dua graph yang saling asing. Union G H adalah graph dengan V(G H)=V(G) V(H) dan E(G H)=E(G) E(H). Join Join dari
Lebih terperinciKEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRONIKA
KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRONIKA RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER No.RPS/PTI/PTI6217 Revisi/Tgl
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN
PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN Eric Cahya Lesmana - 13508097 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika merupakan ilmu yang tidak dapat dipisahkan dari kehidupan manusia. Matematika juga merupakan media untuk melatih kemampuan berfikir kritis, kreatif dan dapat
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciAPLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 13 18 (2013) APLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network ABRAHAM ZACARIA WATTIMENA 1, SANDRO
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas
Penerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas Achmad Baihaqi, NIM: 13508030 Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa 10 Bandung e-mail: baihaqi@students.itb.ac.id
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL DAN PELABELAN RHO TOPI PADA GRAF 8-BINTANG DENGAN UNTUK GENAP
PELABELAN GRACEFUL DAN PELABELAN RHO TOPI PADA GRAF 8-BINTANG DENGAN UNTUK GENAP Zulfi Amri 1, Tua Halomoan Harahap 2 1,2) Universitas of Muhammadiyah Sumatera Utara Jl. Kapten Muktar Basri No. 3 Medan
Lebih terperinciAplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya
1 Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya Ario Yudo Husodo 13507017 Jurusan Teknik Informatika STEI-ITB, Bandung, email: if17017@students.if.itb.ac.id Abstrak Teori Graf merupakan
Lebih terperinciInduksi Matematika. Nur Hasanah, M.Cs
Induksi Matematika Nur Hasanah, M.Cs Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Induksi matematik dapat mengurangi langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk
Lebih terperinciOperator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant Hamiltonian graf
Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant graf Perti susanti, Wamiliana, dan Fitriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Email : perti_s@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT ILHAM SAIFUDIN Selasa, 04 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Apa Kalian tau? Jawabannya
Lebih terperinciTermilogi Pada Pohon Berakar 10 Pohon Berakar Terurut
KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata?ala, karena berkat rahmat-nya kami bisa menyelesaikan makalah yang berjudul Catatan Seorang Kuli Panggul. Makalah ini diajukan
Lebih terperinciMatematika Diskrit. Rudi Susanto
Matematika Diskrit Rudi Susanto Rasa ingin tahu adalah ibu dari semua ilmu pengetahuan Tak kenal maka tak sayang, tak sayang maka tak cinta Perjalanan satu mil dimulai dari satu langkah Kuliah kita.. Matematika
Lebih terperinciPenerapan Graf Transisi dalam Mendefinisikan Bahasa Formal
Penerapan Graf Transisi dalam Mendefinisikan Bahasa Formal Abdurrahman Dihya R./13509060 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF TERHADAP PENJADWALAN PENITIPAN ANAK SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA FILLY CANDRA NORE
PEWARNAAN GRAF TERHADAP PENJADWALAN PENITIPAN ANAK SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA FILLY CANDRA NORE 07134050 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinci7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK.
7. Counting Trees Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Menghitung Labelled Tree 2. Menghitung Binary Tree 3. Menghitung Chemical Tree Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciMenyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph
Menyelesaikan Topological Sort Menggunakan Directed Acyclic Graph Muhammad Afif Al-hawari (13510020) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciPENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL
PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL Swaditya Rizki Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 90 96 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP AFIFAH DWI PUTRI, NARWEN Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Ridwan Ardiyansah dan Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Salah satu materi dalam graf adalah pohon (tree). Pohon didefinisikan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Salah satu materi dalam graf adalah pohon (tree). Pohon didefinisikan sebagai graf terhubung yang tidak memuat sikel (Chartrand dan Lesniak, 1996:57). Teori
Lebih terperinciPERBANDINGAN ALGORTIMA PRIM DAN KRUSKAL DALAM MENENTUKAN POHON RENTANG MINIMUM
PERBANDINGAN ALGORTIMA PRIM DAN KRUSKAL DALAM MENENTUKAN POHON RENTANG MINIMUM Kodirun 1 1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo, Kendari e-mail: kodirun_zuhry@yahoo.com Abstrak Masalah yang sering
Lebih terperinciRANCANG BANGUN APLIKASI MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL
RANCANG BANGUN APLIKASI MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL Naskah Publikasi diajukan oleh: Trisni jatiningsih 06.11.1016 kepada JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN
Lebih terperinciGembong Edhi Setyawan
Gembong Edhi Setyawan Matakuliah : Matematika Komputasi Prasyarat : - Sifat : Wajib Bobot : 4 sks Mata kuliah ini membahas topik yang menjadi dasar matematika bagi mahasiswa informatika-ilmu komputer.
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG
BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG CHROMATIC NUMBER OF AMALGAMATION OF TWO CONNECTED GRAPHS Ridwan Ardiyansah (1209 100 057) Pembimbing: Dr. Darmaji, S.Si, MT. Jurusan Matematika
Lebih terperinciBILANGAN RADIO PADA GRAF GEAR. Ambar Puspasari 1, Bambang Irawanto 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
BILANGAN RADIO PADA GRAF GEAR Ambar Puspasari 1, Bambang Irawanto 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstract. Let d(u,v)
Lebih terperinciG r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.
G r a f Oleh: Panca Mudjirahardjo Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. 1 Pendahuluan Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah
Lebih terperinciOPERASI LOGIKA PADA GENERAL TREE MENGGUNAKAN FUNGSI REKURSIF
OPERASI LOGIKA PADA GENERAL TREE MENGGUNAKAN FUNGSI REKURSIF Lutfi Hakim (1), Eko Mulyanto Yuniarno (2) Mahasiswa Jurusan Teknik Elektro (1), Dosen Pembimbing (2) Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciSTUDI OPTIMALISASI JUMLAH PELABUHAN TERBUKA DALAM RANGKA EFISIENSI PEREKONOMIAN NASIONAL
BAB III METODOLOGI 3.1 POLA PIKIR Proses analisis diawali dari identifikasi pelabuhan yang terbuka bagi perdagangan luar negeri, meliputi aspek legalitas, penerapan ISPS Code dan manajemen pengelolaan
Lebih terperinciAlgoritma Brute-Force dan Greedy dalam Pemrosesan Graf
Algoritma Brute-Force dan Greedy dalam Pemrosesan Graf Marvin Jerremy Budiman / 13515076 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH K DENGAN N GENAP
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH K DENGAN N GENAP Novi Irawati, Robertus Heri Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang ABSTRACT Let G be a graph with vertex set and edge
Lebih terperinciPENGEMBANGAN SHORTEST PATH ALGORITHM (SPA) DALAM RANGKA PENCARIAN LINTASAN TERPENDEK PADA GRAF BERSAMBUNG BERARAH BERUNTAI
PENGEMBANGAN SHORTEST PATH ALGORITHM (SPA) DALAM RANGKA PENCARIAN LINTASAN TERPENDEK PADA GRAF BERSAMBUNG BERARAH BERUNTAI Oliver Samuel Simanjuntak Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta Jl.
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciPemodelan CNF Parser dengan Memanfaatkan Pohon Biner
Pemodelan CNF Parser dengan Memanfaatkan Pohon Biner Jansen 13510611 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan dasar bagi berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi,
Lebih terperinciEKSENTRIK DIGRAF DARI GRAF-GRAF KHUSUS
EKSENTRIK DIGRAF DARI GRAF-GRAF KHUSUS Sulistyo Unggul Wicaksono NIM : 13503058 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail: if13058@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN Reni Tri Damayanti Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Email: si_cerdazzz@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu topik yang menarik untuk
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 85 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG DINA IRAWATI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciAplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi
Aplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi Jonathan - 13512031 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinci12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex
12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Pewarnaan Vertex 2. Algoritma Pewarnaan Vertex 3. Vertex Dekomposisi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting karena dapat diterapkan pada berbagai bidang ilmu; seperti fisika, kimia, biologi, ilmu komunikasi,
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciSolusi Rekursif pada Persoalan Menara Hanoi
Solusi Rekursif pada Persoalan Menara Hanoi Choirunnisa Fatima 1351084 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 4013, Indonesia
Lebih terperinciPATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY. Lusia Dini Ekawati 1, Lucia Ratnasari 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY Lusia Dini Ekawati, Lucia Ratnasari, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, S H, Tembalang, Semarang Abstract Fuzzy graph is a graph
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 34 40 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN
Lebih terperinciPenggunaan Algoritma Greedy dalam Membangun Pohon Merentang Minimum
Penggunaan Algoritma Greedy dalam Membangun Pohon Merentang Minimum Gerard Edwin Theodorus - 13507079 Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung, email: if17079@students.if.itb.ac.id Abstract Makalah ini
Lebih terperinciRussel Paradox dan The Barber Puzzle
Russel Paradox dan The Barber Puzzle Lucky Cahyadi Kurniawan / 13513061 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciPenggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku
Penggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku Mahdan Ahmad Fauzi Al-Hasan - 13510104 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciDwiprima Elvanny Myori
PENGOPTIMALAN JARINGAN LISTRIK DENGAN MINIMUM SPANNING TREE Dwiprima Elvanny Myori Abstract One of mathematics branch that have many application in daily life is graph theory. Graph theory is used to link
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciLIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF
LIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF Septian Adhi Pratama 1, Lucia Ratnasari 2, Widowati 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H.
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Backtracking pada Pewarnaan Graf
Penerapan Algoritma Backtracking pada Pewarnaan Graf Deasy Ramadiyan Sari 1, Wulan Widyasari 2, Eunice Sherta Ria 3 Laboratorium Ilmu Rekayasa dan Komputasi Departemen Teknik Informatika, Fakultas Teknologi
Lebih terperinciEdisi Agustus 2014 Volume VIII No. 2 ISSN NILAI TOTAL KETAKTERATURAN TOTAL DARI DUA COPY GRAF BINTANG. Rismawati Ramdani
NILAI TOTAL KETAKTERATURAN TOTAL DARI DUA COPY GRAF BINTANG Rismawati Ramdani Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Gunung Djati Bandung rismawatiramdani@gmail.com, Abstrak Misalkan
Lebih terperinciPELABELAN PRIME CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF YANG TERKAIT DENGAN GRAF SIKEL
PELABELAN PRIME CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF YANG TERKAIT DENGAN GRAF SIKEL Nindita Yuda Hapsari, R.Heri Soelistyo U, Luciana Ratnasari,, Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H.
Lebih terperinciPELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL
PELABELAN PRODUCT CORDIAL PADA TENSOR PRODUCT PATH DAN SIKEL Setia Endrayana 1, Bayu Surarso 2, Siti Khabibah 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH Tembalang
Lebih terperinciRepresentasi Graf dalam Menjelaskan Teori Lokasi Industri Weber
Representasi Graf dalam Menjelaskan Teori Lokasi Industri Weber Bimo Aryo Tyasono 13513075 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciAplikasi Teori Graf dalam Permainan Instant Insanity
Aplikasi Teori Graf dalam Permainan Instant Insanity Aurelia 13512099 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciAplikasi Matriks Circulant Untuk Menentukan Nilai Eigen Dari Graf Sikel (Cn)
Aplikasi Matriks Circulant Untuk Menentukan Nilai Eigen Dari Graf Sikel (Cn) T 24 Siti Rahmah Nurshiami dan Triyani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal soedirman, Purwokerto
Lebih terperinciAplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf
Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf Nur Fajriah Rachmah - 0609 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan
Lebih terperinciALGORITMA RUTE FUZZY TERPENDEK UNTUK KONEKSI SALURAN TELEPON
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 93 97 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ALGORITMA RUTE FUZZY TERPENDEK UNTUK KONEKSI SALURAN TELEPON NELSA ANDRIANA, NARWEN, BUDI RUDIANTO Program
Lebih terperinci