ESTIMASI PARAMETER BOOTSTRAP PADA PROSES AR(1)

Transkripsi

1 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: ESTIMASI PARAMETER BOOTSTRAP PADA PROSES AR() Bambag Suprihai, Suryo Gurio, Sri Haryami ) Mahasiswa S3 Jurusa Maemaika MIPA UGM ) Saf Dose Jurusa Maemaika MIPA UGM Absrak Meuru reedma (985) da Bose (988), esimaor boosrap bersifa koverge dalam probabilias erhadap, yaki ˆ p. Dalam ulisa ii, adalah paremeer proses AR(). Hardle e.al. (003) juga meyimpulka bahwa esimaor boosrap memiliki igka keakurasia yag baik keika meode boosrap dierapka pada daa ruu waku. Dari simulasi Moe Carlo dega megguaka sampel boosrap B = 5, 50, 00, da 00 diperoleh esimasi sadar error dari yag semaki kecil seirig dega B yag semaki besar. Dega kaa lai, igka keakurasia esimaor boosrap baik. Gambar esimasi desias disribusi dari juga diberika. Dari Gambar erliha bahwa esimasi desias medekai fugsi desias ormal. Hasil simulasi ii sesuai dega hasil pada Bose (988), sup ( ) ( ) / d H x H x o a. s dega H ( x) N(0,). x BOOT. Kaa Kuci: Boosrap, Esimasi parameer, Probabilias cakupa, Simulasi Moe Carlo. Pedahulua Beberapa permasalaha yag serig mucul dalam esimasi parameer ak dikeahui melipui: () Esimaor ˆ apa yag aka diguaka/dipilih, () Seelah memilih esimaor ˆ ereu, bagaimaa keakurasia esimaor ersebu. Uuk mejawab permasalaha ii, perlu diselidiki sadar error da kosisesi dari esimaor ersebu. Sadar error meyaaka keakurasia esimaor yag meggambarka seberapa jauh esimaor ˆ meyimpag dari ilai parameer yag sebearya. 38

2 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: Sedagka kosisesi esimaor diperluka uuk mejami bahwa esimaor ˆ koverge ke parameer yag sebearya. Pembahasa eag kosisesi esimaor parameer secara deail dapa diliha pada Serflig (980), Shao da Tu (995), Lehma (999) da DasGupa (008). Kekovegea dari esimaor ˆ sediri ada dua macam, yaki koverge lemah (weakly coverge) apabila ˆ p (oasi p meyaaka koverge dalam probabilias), da koverge kua (srogly coverge) apabila ˆ a. s (oasi a. s meyaaka koverge hampir pasi aau almos surely coverge). Kekovergea dari esimaor boosrap dapa diliha pada Bickel da reedma (98), reedma (985) da Hall (99). Boosrap, merupaka meode yag berbasis pada kompuer-iesif, berkembag pesa sejak diperkealka oleh Bradley Efro pada ahu 979. Meode boosrap didesai uuk bisa mejawab beberapa permasalaha di aas dega igka akurasi yag iggi (Efro da Tibshirai, 986). Selai iu, meode boosrap dapa diguaka pada siuasi dimaa asumsi sadar idak dipeuhi, misal ukura sampel kecil da daa idak berdisribusi ormal [Daviso da Hikley (006)]. Sigh (98) meujukka bahwa disribusi dari mea sampel boosrap memiliki keakurasia yag lebih iggi dari aproksimasi limi disribusi ormal. Bickel da reedma (98) mempelajari aproksimasi disribusi boosrap dari saisik peig seperi mea da saisik- da meyimpulka bahwa kedua saisik adalah asimoik. Namu demikia, buka berari boosrap idak mempuyai kelemaha. Mereka juga megemukaka cooh kegagala meode boosrap. Efro da Tibshirai (993) memberika cooh kegagala meode boosrap paramerik keika sampel boosrap disamplig berasal dari disribusi seragam (uiform) pada 0,ˆ. Dalam makalah ii, meode boosrap dierapka pada proses AR() uuk esimasi parameer da sadar error versi boosrap. Pada bagia akhir dari makalah ii kami sajika simulasi Moe Carlo dega megguaka daa ruu waku megeai kurs (ilai ukar) maa uag dolar Amerika erhadap rupiah. Daa diuduh dari sius resmi milik Bak Idoesia, yaki 39

3 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: hp:// Dari daa yag diperoleh, dicocokka dega model yag sesuai. Dugaa awal, model yag epa adalah AR(). Uuk membukika kebeara dugaa awal, diselidiki dega megguaka iformasi AIC (Akaike s Iformaio Crierio) da korelogram PAC dari daa ruu waku ersebu. Selajuya diselidiki esimaor ˆ uuk parameer da esimaor versi boosrap. Semua perhiuga da Gambar ilusrasi dalam makalah ii dikerjaka dega megguaka peragka luak S-Plus.. Prisip Meode Boosrap Seperi yag elah dijelaska pada Subbab, ada beberapa alasa megapa meode boosrap diperluka, misalya karea ukura sampel kecil da asumsi ormalias idak dipeuhi. Misalka kia elah memiliki daa sampel =,,, yag diperoleh dega cara samplig acak dari disribusi ak dikeahui. Sampel boosrap =, diperoleh dega cara samplig,, acak berukura dega pegembalia, dari daa asal. Misalka ˆ adalah disribusi empirik uuk disribusi, yag didefiisika sebagai ˆ ( x) Ix i x, () i dega I{A} adalah fugsi idikaor dari himpua A. Selajuya kia igi megesimasi parameer saisik yag merupaka fugsioal, epaya,,, ; diguaka esimaor boosrap ˆ,,, ; ˆ Bagaimaa keakurasia esimaor boosrap diperluka esimaor variasi boosrap,. Dega megguaka prisip plug-i,, dega ˆ seperi pada ().? Uuk megukur keakurasia ersebu, v BOOT ( x) ( y) d i ˆ ( yi) d i ˆ ( x ) i 40

4 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: ,. var (,,, ),, var meyaaka variasi bersyara,,,. Akar Noasi,,, kuadra dari v BOOT merupaka esimasi sadar error versi boosrap. Esimasi boosrap dari se ˆ, sadar error dari saisik ˆ, adalah esimasi plug-i yag megguaka disribusi empirik ˆ uuk meggai disribusi ak dikeahui. Dega kaa lai, esimasi boosrap se ˆ didefiisika sebagai se ˆ ˆ, disebu esimasi boosrap oparamerik karea berasal dari disribusi empirik ˆ. Sadar error ii megukur keakurasia dari esimaor megesimasi ˆ. Efro da Tibshirai (993) meyaraka uuk se diguaka ukura sampel boosrap B aara 50 sampai 00, uuk meghasilka esimasi yag cukup baik. Semeara uuk megesimasi ierval kofidesi mereka meyaraka B lebih besar dari 00. Ierval kofidesi boosrap ii dibahas secara khusus pada Subbab 4. Hardle e.al. (003) juga meyimpulka bahwa esimaor boosrap memiliki igka keakurasia yag baik keika meode boosrap dierapka pada daa ruu waku (ime series). Limi dari se uuk adalah esimasi boosrap ideal dari lim se = B se ˆ = ˆ ˆ se. se ˆ, yaki Beriku adalah algorima boosrap uuk mecari esimasi sadar error: B. Kia pilih B sampel boosrap idepede B,,,, masig-masig berukura yag diambil secara acak apa pegembalia dari daa asal.. Dievaluasi replikasi boosrap berkaia dega masig-masig sampel, ˆ ( b) 3. Sadar error ˆ b, b,,, B. se diesimasi dega sadar deviasi B sampel replikasi 4

5 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: se = B b ˆ ( b) ˆ ( ) B B ˆ ( b) b dimaa ˆ ( ). B /, () 3. Esimasi Parameer Boosrap pada Proses AR() Misal {,,,, } adalah barisa daa ruu waku yag memeuhi proses auoregresif orde sau aau disigka AR (), yaki apabila {,,,, } memeuhi persamaa oise ~ iid N 0, adalah variasi sampel dega } adalah barisa variabel acak whie. Esimasi dari parameer, { adalah ˆ ˆ s,,. Asumsika {,,,, }, dega s adalah Gaussia sasioer. Syara kesasioera uuk proses AR() adalah. Pembahasa legkap eag ruu waku dapa berkosulasi pada buku Wei(990) da Brockwell da Davis (99). Misal diberika daa realisasi,,, yag memeuhi proses AR(). Uuk mecocokka model AR() dari daa yag dimiliki, diguaka krieria iformasi AIC, yag dirumuska sebagai AIC(k) = l ˆ k., k Order auoregresif p yag sesuai merupaka ilai (k - ) yag meyebabka AIC miimum. Dega kaa lai hubuga aara lag k da order proses auoregresif p adalah p = k - [Veables da Ripley (996)]. Selai iu, uuk meguaka pecocoka model diliha dari korelogram fugsi auokovariasi parsial (parial auocorrelaio fucio = PAC). Uuk proses AR(), PAC cu-off pada lag kedua da seerusya. 4

6 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: Pada proses AR(), esimasi Yule-Walker uuk adalah ˆ ˆ dega ˆ adalah esimasi auokorelasi lag perama yag dirumuska sebagai ˆ. (3) Meuru Wei (990) da Brockwell da Davis (99), esimasi sadar error dari parameer adalah se(θ) = ˆ. Semeara iu, esimaor versi boosrap dari parameer dikerjaka sebagai beriku [liha Efro da Tibshirai (986), Bose (988), da Shao da Tu (995)]:. Dari daa,,, yag diberika, dilakuka pemusaa, yaki gai i dega i.. Kia cocokka daa dega model AR() dega megguaka AIC da ideifikasi korelogram PAC. Seelah pecocokka modelya sesuai, diperoleh esimaor Yule- Walker ˆ dega megguaka (3.) 3. Medefiisika residu ˆ ˆ uuk,3,,. Sampel boosrap diperoleh dega cara samplig acak apa pegembalia dari residu,,,, 3,,. Teapka,,3,,. ˆ sebagai sampel iisial boosrap da 4. Dari sampel boosrap dilakuka pemusaa kembali, yaki,,, i digai dega boosrap ˆ dega sampel ˆ i dimaa,,,. Dari sii diperoleh esimaor dega megguaka prisip plug-i pada (3). Selajuya dihiug esimasi sadar error boosrap se θ dega megguaka () uuk meyaaka keakurasia esimaor. 43

7 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: ˆ reedma (985) da Bose (988) meyelidiki kekosisea disribusi dari ˆ. Seperi yag elah kia keahui, ˆ d N(0,). Dega megguaka ekspasi Edgeworh, Bose (988) meujukka bahwa merik Kolmogorov sup x H BOOT ( x) H ( x) o / a. s., ˆ dimaa H BOOT ˆ ( x) P x da H x) P lai, ( ˆ x. Dega kaa / a. s dega laju kovergesi orde perama o. Noasi P meyaaka. probabilias dibawah disribusi empirik boosrap. 4. Simulasi Moe Carlo Simulasi Moe Carlo beriku megguaka daa ruu waku megeai kurs (ilai ukar) maa uag dolar Amerika erhadap rupiah. Daa diuduh dari sius resmi milik Bak Idoesia, yaki hp:// Daa kurs diambil selama 0 bula, dari bula Jauari 008 sampai dega Agusus 009, sehigga diperoleh daa ruu waku berukura = 0. Pada seiap bulaya, daa kurs diambil pada awal bula. Daa legkapya disajika pada Tabel beriku. Tabel. Daa Kurs Dolar Amerika Terhadap Rupiah pada Bula Jauari 008 Sampai Agusus 009 Bula(Th) Ja(08) eb(08) Mar(08) Apr(08) Mei(08) Ju(08) Jul(08) Kurs Bula(Th) Agu(08) Sep(08) Ok(08) Nop(08) Des(08) Ja(09) eb(09) Kurs

8 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: Bula(Th) Mar(09) Apr(09) Mei(09) Ju(09) Jul(09) Agu(09) NA Kurs NA Program simulasi dikerjaka dega megguaka peragka luak S-Plus 007. Plo dari daa ruu pada Tabel seelah dilakuka pemusaa erhadap raa-raa disajika pada Gambar di bawah ii. Dari Gambar erliha bahwa seelah daa dipusaka pada raa-raaya, daa meyebar di sekiar garis medaar ol. Kurs-Raa Kurs Bula Ke Gambar. Plo Daa Ruu Waku Selajuya kia ideifikasi model yag sesuai dega daa ersebu. Uuk keperlua iu, kia cari da plo krieria iformasi Akaike (AIC). Nilai-ilai AIC adalah sebagai beriku: 9,96; 0,000;,479; 3,438; 4,440; 5,35; 7,89; 9,57;,06; 3,0; 4,804; 6,78; 8,693; 0,073. Semeara plo uuk ilai-ilai AIC ii disajika pada Gambar. Dari Gambar erliha bahwa ilai AIC miimum dicapai pada lag k =. Sehigga order auoregresif yag sesuai adalah. Hal ii diperkua juga dari plo PAC pada Gambar 3. Dari Gambar 3 ersebu erliha bahwa PAC cederug cu-off mulai lag kedua. 45

9 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: AIC lag Gambar. Plo Nilai-ilai AIC Parial AC Lag Gambar 3. Plo PAC Berdasarka faka-faka ersebu, model yag sesuai uuk daa pada Tabel adalah proses AR(). Jadi, jika kia misalka daa kurs sebagai,,, 0, maka berlaku hubuga,,3,,0, 46

10 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: dega ~ N 0,. Esimasi dari parameer adalah ˆ = , sehigga esimasi sadar errorya adalah = 969,8. Uuk daa pada Tabel, dega megguaka (3) diperoleh esimaor Yule-Walker ˆ uuk parameer, yaki sebesar -0,448 da sadar errorya adalah 0,999. Dega megguaka Lagkahlagkah pada Subbab 3, diperoleh esimaor versi boosrap dari ˆ. Dalam simulasi ii, diguaka sampel boosrap B sebayak 5, 50, 00, 00 da 500. Dari masig-masig ukura B ersebu, dega megguaka (.) kia hiug esimasi sadar error dari, dioasika dega se ˆ ˆ. Hasil-hasil dari se ˆ ˆ disajika dalam Tabel. Uuk B = 50, esimasi sadar error boosrap cukup baik medekai esimasi sadar error o boosrap. Ariya, uuk ijaua sadar error boosrap, idak perlu memakai ukura sampel boosrap B yag besar. Semeara mea dari esimaor versi boosrap adalah , aproksimasi yag cukup baik erhadap esimaor o boosrap (esimaor Yule-Walker). Tabel Esimasi Sadar Error dari B uuk Beberapa B se ˆ 0,003 0,97 0,957 0,908 0,839 ˆ Dari Tabel erliha bahwa semaki besar ukura sampel boosrap B, semaki kecil ilai esimasi sadar error versi boosrap dari esimaor ˆ. Hal ii meujukka bahwa esimaor boosrap memiliki akurasi yag semaki baik seirig dega meigkaya ukura sampel boosrap B yag diguaka. Semeara iu, hisogram desias dari ilai-ilai esimaor boosrap disajika pada Gambar 4. Dari Gambar 4 erliha bahwa hisogram yag dihasilka medekai gambar fugsi desias dari disribusi ormal. Hal ii medukug apa yag elah dihasilka dalam reedma (985) da Bose (988). 47

11 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: eha.boo Gambar 4. Hisogram da Esimasi Desias Nilai-ilai Esimaor Boosrap 5. Peuup Berdasarka hasil simulasi Moe Carlo uuk daa kurs dolar Amerika erhadap rupiah pada bula Jauari 008 sampai Agusus 009, diperoleh model yag sesuai adalah proses AR(). Esimaor Yule-Walker ˆ uuk parameer adalah -0,448 dega sadar error 0,999. Semeara iu, dega megguaka meode boosrap, diperoleh sadar error versi boosrap, seθ, sebesar 0,908 yag berari igka akurasiya lebih baik dibadig esimaor Yule-Walker. Hasil ii sesuai dega peeliia sebelumya, misal pada Efro da Tibshirai (986) da Hardle e al. (003). Dari ilusrasi esimasi desias dari erliha bahwa esimasi disribusi dari medekai disribusi ormal. Jelas hal ii sesuai dega Teorema Limi Pusa, yaki seˆ E d N(0,). Namu demikia, berkaia dega hasil-hasil ii perlu diadaka peeliia lebih laju uuk megkaji sifa kosisesi esimaor boosrap da disribusi asimoikya. Pada bayak kasus, jumlah sampel erbaas, jelas kia idak mugki bekerja dega. Haya jumlah sampel boosrap B yag bisa kia bua besar 48

12 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: ( B ) eapi idak mugki B disribusi asimoik dari esimaor boosrap uuk. Uuk iu, perlu dielii juga kosisesi da B. Dafar Pusaka Bickel, P. J. ad reedma, D. A. (98) Some asympoic heory for he boosrap, A. Sais., 9, Bose, A. (988) Edgeworh correcio by boosrap i auoregressios, A. Sais., 6, Brockwell, P. J. ad Davis, R. A. (99) Time Series: Theory ad Mehods, Spriger- Verlag, New York. DasGupa, A. (008) Asympoic Theory of Saisics ad Probabiliy, Spriger, New York. Daviso, A. C. ad Hikley, D. V. (006) Boosrap Mehods ad Their Applicaio, Cambridge Uiversiy Press, Cambridge. DiCiccio, T. J. ad Romao, J. P. (988) A review of boosrap cofidece iervals, J. R. Sais., 50, DiCiccio, T. J. ad Tibshirai, R. (987) Boosrap cofidece iervals ad boosrap approximaios, J. Amer. Sais. Ass., 8, Efro, B. ad Tibshirai, R. (986) Boosrap mehods for sadard errors, cofidece iervals, ad ohers measures of saisical accuracy, Saisical Sciece,, Efro, B. ad Tibshirai, R. (993) A Iroducio o he Boosrap, Chapma & Hall, New York. reedma, D. A. (985) O boosrappig wo-sage leas-squares esimaes i saioary liear models, A. Sais.,, Hall, P. (99) The Boosrap ad Edgeworh Expasio, Spriger-Verlag, New York. 49

13 UNIVERSITAS DIPONEGORO 0 ISBN: Hardle, W., Horowiz, J. ad Kreiss, J. P. (003) Boosrap mehods for ime series, Ieraioal Sais. Review, 7, Lehma, E. L. (999) Eleme of Large-Sample Theory, Spriger-Verlag, New York. Serflig, R. J. (980) Approximaio Theorems of Mahemaical Saisics, Joh Wiley & Sos, New York. Shao, J. ad Tu, D. (995) The Jackkife ad Boosrap, Spriger-Verlag, New York. Sigh, K. (98) O he asympoic accuracy of Efro s boosrap, A. Sais., 9, Veables, W. N. ad Ripley, B. D. (996) Moder Applied Saisics wih S-Plus, Spriger, New York. Wei, W. W. S. (990) Time Series Aalysis: Uivariae ad Mulivariae Mehods, Addiso Wesley, Califoria. 50