PERSAMAAN DIOPHANTINE

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIOPHANTINE A. Pendahuluan Persamaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine Linier dan persamaan Diophantine non-linier.persamaan ini pertama kali ditulis oleh Diophantus (50 M) didalam bukunya yang berjudul Aritmathica dan buku ini dikenal sebagai buku aljabar yang pertama kali. B. Persamaan Diophantine Linier Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah memuat dua variable,pada umumnya dinyatakan dengan ax + by = c Dengan a,b,c z Dalil.7.1 Ditentukan a,b,c Z dan d = ( a,b) a. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian. b. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c mempunyai penyelesaian bulat yang tak hingga banyaknya,yaitu pasangan ( x,y) dengan : x = x o + (b/d )n dan y = y o ( a/d)n Dengan n Z dan (x o,y o ) adalah suatu penyelesaian bulat Contoh soal 7.1 Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine berikut : a. 4x +5y = 10 b. 9x +1y =1 c. 4x + 6y = 7 1

2 Jawab : a. (4,5 ) = 1 10,persamaan mempunyai penyelesaian. Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (4,5 ) = 1 maka tentu ada x 1,y 1 Z sehingga 4 x 1,+ 5 y 1 = 1 Karena 5 = atau 4 (-1) + 5 ( 1) = 1, maka x 1 = -1,y 1 = -1 4 (-1) + 5 ( 1) = 1 10 [ 4 (-1) + 5 ( 1)] = (-10) + 5 ( 10) = 10 ( ingat 4x +5y = 10 ) Jadi : x o = -10 dan,y o = 10 Penyelesaian Persamaan adalah x = k dan y = 10-4k dengan k Z b. ( 9,1 ) = 3 10,persamaan mempunyai penyelesaian. Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (9,1 ) = 3 maka tentu ada x 1,y 1 Z sehingga 9 x 1,+ 1 y 1 = 3 Karena 1 = atau 9 (-1) + 1 ( 1) = 3, maka x 1 = -1,y 1 = -1 9 (-1) + 1 ( 1) = 3 7 [ 9 (-1) + 1 ( 1)] = (-7) + 1 ( 7) = 1 ( ingat 9x +1y = 1 ) Jadi : x o = -7 dan,y o = 7 Penyelesaian Persamaan adalah x = x o + (b/d )t = -7 + ( 1 /3 ) t = t, dengan t Z y = y o ( a/d)t = 7 (9 / 3)t = 7-3t, dengan t Z c. ( 4,6 ) =, 7,persamaan tak mempunyai penyelesaian.

3 1. CARA REDUKSI Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine Linier adalah mereduksikoefisien ( bukan variabel ) melalui pembagian berulang ( serupa dengan pembagian Algoritma ) sehingga diperoleh bentuk tanpa pecahan. Contoh soal 7. a. selesaikan 4x + 5y = 10 dengan cara reduksi. jawab : 4x + 5y = 10 4x = 10-5y 10 5y x 4 8 4y y x = 4 x = 8 4y y 4 4 y ambil t = 4 y x = ( y) 4 atau -y = 4t atau y = -4t dari y = - 4t diperoleh : y x = ( y) 4 = - ( -4t) + = 4t + t = 5t ( 4t) 4 Penyelesaian persamaan adalah : x = 0 +5t y = - 4t 3

4 jika dibandingkan dengan penyelesaian pada contoh didepan maka hasil yang diperoleh nampak berbeda,sebetulnya dua jawaban itu sama x = k = 5 (- + k ) = 5t dengan t = - + k atau k = t + y = 10-4k = 10-4 ( t + ) =10 4t 8 = 4t Contoh soal 7.3 Selesaikan 3x + 8y = 11 dengan cara reduksi Jawab : 3x + 8y = 11 3x = 11-8y 11 8y x 3 9 6y y x = 3 x = 9 6y y 3 3 x = y (3 y) 3 y ambil t = 3 atau -y = 3t atau y 3t y t t dari t y (1 t) t u u t = u y = ( 1- u) 4 = 1-3u 4

5 x = 3-y + t = 3- ( 1-3u ) + u =1+8u Penyelesaian persamaan adalah : x = 1+8u dan y = 1-3u Contoh 7.4 selesaikan x + y + 3 z = 1 dengan cara reduksi jawab : x + y + 3z = 1 y = - x 3z + 1 y = x 3z 1 y = x z 1 z x z 1 t = t = - x z + 1 Z = -x t + 1 u = x t + 1 x = - u + t +1 z = x t + 1 z = u y = - z + t y = -u + t penyelesaian perrsamaan adalah : x = - u + t +1 y = -u + t z = u 5

6 sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x + y + 3z ) sebagai berikut : u t x y 3z x + y + 3z Dari tabel nilai diatas dapat diketahui bahwa beberapa triple ( x,y,z) yang memenuhi persamaan adalah ( -,0,3), (-3,-,6),(-7,,6).CARA KONGRUENSI Contoh soal : Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine linier berikut dengan cara kongruensi a. x + 5y = 11 b. x + 3y + 7z = 15 c. 6x + 15y = 8 d. 35x + 14y = 91 Jawaban a) x +5y = 11 5y = 11- x 5y 11 (mod ) y 1 (mod ) y 1 (mod ) y = 1 + t x +5y = 11 x = 11 5y x = 11 5 ( 1 + t ) x = t x = 3 5t 6

7 Penyelesaian kongruensi adalah x = 3 5t dan y = 1 + t sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai (x + 5y) sebagai berikut : t x y x 5y x + 5y Jawaban b) x +3y + 7z = 15 3y + 7z = 15- x 3y + 7z 15 (mod ) y + z 1 (mod ) y (1- z) (mod ) Ambil z = t,maka y (1- z) + u = (1- t) + u y = u t + 1 x +3y + 7z = 15 x = 15-3y 7z = 15-6u + 3t -3 7t =-6u -4t + 1 x = 3u -t + 6 Penyelesaian kongruensi adalah x = 3u -t + 6 dan y = u t

8 Jawaban c) 6x + 15y = 8 6x = 8 15y 6x 8 ( mod 15 ) Karena ( 6,8 ) = 15 maka kongruensi ini tidak nenpunyai penyelesaian, berarti pula persamaan 6x + 15y = 8 tidak nenpunyai penyelesain Jawaban d) 35x + 14y = 91 14y = 91 35x 14y 91 ( mod 35 ) 14y 1 ( mod 35 ) Karena ( 14,1 ) 7 35, maka kongruensi mempuyai penyelesaian. 14y 1 ( mod 35 ) y 3 ( mod 7 ) y = 4 + 5t 35x + 14y = 91 35x + 14( 4 + 5t ) = 91 35x t = x = t x = 1- t Penyelesaian persamaan adalah x = 1- t dan y = 4 + 5t 8

9 C. Persamaan Diophantine Non Linier 1. Triple Phytagoras Dalil phytagoras menyatakan bahwa didalam sembarang segitiga siku siku,kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi sisi yang lain. Jika suatu segitiga siku-siku mempunyai sisi miring C maka sisi-sisi yang lain adalah a dan b maka hubungan antara a,b dan c menurut dalil Phytagoras adalah : c = a + b. Tiga bilangan bulat positif x, y dan z yang memenuhi hungan dalil Phytagoras disebut Triple Phytagoras Beberapa Triple Phytagoras 3,4,5 sebab 5 = ,1,13 sebab 13 = Definisi 7.4 Suatu tripel Pythagoras x,y,z disebut primitive Pythagoras jika ( x,y,z) =1 Contoh triple Pythagoras 3,4,5 adalah primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) =1 dan 5 = triple Pythagoras 7,4,5 adalah primitive Pythagoras sebab ( 7,4,5) =1 dan 5 = triple Pythagoras 6,8,10 adalah bukan primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) = 1 Misalkan x o,y o, z o adalah suatu primitive Pythagoras maka 9

10 z o = x o +y o jika masing- masing dikalikan k maka diperoleh triple kx o,ky o, kz o perhatikan : z o = x o +y o k z o = k x o + k y o (kz o ) = (kx o ) + (ky o ) Triple Pythagoras Misalkan x,y,z adalah suatu triple Pythagoras dan ( x,y,z) = d maka d x, d y, d z d x x = d x o d y y= d y o d z z = d z o x z d y z d z z d x / d z y / d z z / d z x + y = z x + y / d = 1 z d x y z + d d d x d y d x 0 + y 0 = z 0 z d x y x 0,y 0, z 0 merupakan suatu triple pythagoras,karena, 1 d d y x x y z dan, 1 maka jelaslah bahwa,, 1,berarti x 0,y 0, z 0 d d d d d merupakan suatu primitive Pythagoras. Dalil.7.1 Jika x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras maka ( x, y) = (x,z ) = (y,z ) =1 Dalil. 7. Jika x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras maka x adalah suatu bilangan genap dengan y adalah suatu bilangan ganjil atau x adalah suatu bilangan ganjil dan y adalah suatu bilangan genap 10

11 Dalil. 7.3 Jika x,y, z z maka penyelesaian primitif : x + y = z adalah x = m - n y = mn dan z = m +n yang mana m > n > 0, ( m,n ) = 1 Contoh 7.10 Carilah semua triple Pythagoras primitif yang mana selisihnya antara bilangan terbesar dengan satu dari bilangan yang lain berselisis (berbeda ) k Jawab Nilai nilai k yang mungkin adalah k merupakan suatu bilangan ganjil atau k merupakan suatu bilangan genap. 1.k adalah suatu bilangan gnajil Jika x + y = z,y adalah suatu bilangan genap dan z adalah suatu bilangan genap. Maka untuk nilai k yang ganjil diperoleh dari selisih bilangan terbesar dengan bilangan yang genap. m + n - k = mn m + n mn = k (m n ) = k Jika t = m n,maka t = k atau k = t dan m = n + t x = m n = ( n + t ) n = n + t + t n = nt + t = t ( n + t) y = mn = (n + t )n = n ( n + t ) z = m + n = ( n + t ) + n = n + nt + t + n = n + nt + t Sebagai contoh nyata untuk k= 9 dan t = 3 dari persamaan x = t ( n + t ) y = n ( n + t ) z = n + nt + t 11

12 Dapat ditentukan bentuk umum triple Pythagoras yang dicari yaitu : x = 3 ( n + 3 ) y = n ( n + 3 ) z = n + 6n + 3 Beberapa unsure dalam barisan triple Pythagoras yang memenuhi adalah : ( 15,8,17 ),( 1,0,9 ),(7,36,45),.. ) k adalah suatu bilangan genap. Jika x + y = z, y adalah suatu bilangan ganjil dan z adalah suatu bilangan ganjil Maka x dan z tentu keduanya merupakan bilangan bilangan ganjil sehingga k merupakan selisih ( beda ) antara z dan x Z = x + k m + n = m - n + k n = k Ambil k = t,maka n = nt sehingga n = t dengan m adalah sebarang bilangan lebih dari t dan mempunyai paritas yang berbneda dengan t Dengan demikian dapat ditentukan bahwa X = m - n X = m - t Y = mn Y = mt Z = m + n Z = m + t Sebagai peragaan untuk k = 8 bentuk umum triple Pythagoras yang dicari untuk n = t = adalah : X = m 4 Y = 4m Z = m + 4 Beberapa unsure dalam barisan triple Pythagoras yang meemnuhi adalah ( 5,1,13 ),( 1,0,9 ),(45,8,53) Contoh

13 Carilah semua tiple Pythagoras yang membentuk suatu barisan aritmatika Jawab Misalkan x, y, z adalah triple Pythagoras yang membentuk barisan aritmatika maka tentu ada bilangan bulat yang positif sehingga: (y t) + y = (y + t) t : beda barisan y yt + t + y = y + yt + t y = 4yt y 4yt = 0 y ( y-4t) = 0 y = 0 atau y = 4t karena y = 0 tidak menghasilkan triple Pythagoras,maka y = 4t sehingga x = y t = 4t t = 3t z = y + t = 4t + t = 5t y = 4t jadi bentuk umum triple Pythagoras yang dicari adalah ( 3t, 4t,5t ) sehingga barisan yang dicari adalah : ( 3,4,5), ( 6,8,10), (1,16,0) Contoh 7.1 Selesaikan persamaan x + y = z 4 dalam bentuk triple Pythagoras Jawab : x + y = z 4 x + y = (z ) ini berarti bahwa ada m,n z, m> n sehingga : z = m + n, x = m n dan y = mn dengan m = r s, n = rs,dan z = r + s berikutnya dapat dicari nilai nilai x,y dan z : x = m n = (r s) (rs) = r rs + s 4rs x = r 4 4 6r s s y = mn = ( r s )rs = (r -s ) rs y = 4rs (r s ) 13

14 z = r + s Bebrapa unsur dari barisan penyelesaian diperoleh dengan mengambil ( r,s) = 1 r > s > 0 dan r mempunyai paritas yang berbeda dengan s r s x = r 4 4 6r s s y = 4rs (r s ) z = r + s Beebrapa unsur barisan penyelesaianya adalah : ( 7,4,5), ( 119,10,169), (161,40,89), ( 57, 336,65 ) Dalil 7.4 Jika x,y,z N dan ( x,y,z) = 1 maka persamaan x + y = z mempunyai penyelesaian : X = r s Y = rs Z = r s Dalil 7.5 Jika x,y,z N dan ( x,y,z) = 1 maka persamaan x + y = z mempunyai penyelesaian : X = r s + rs 14

15 Y = r s rs Z = r + s Dalil.7.6 Jika y dan z adalah bilangan bilangan genap maka penyelesaian persamaan : x + y + z = t, adalah : x y = p p q r r z = q t p q r r Dengan p, q N, r < ( p + q ) dan r ( p q ) 15

16 SOAL SOAL PERSAMAAN DIOPHANTINE. selesaikan persamaan persamaan linier Diophantine : a. 3x + y + 7z = 15 b. 3x + y -z = 5 c. 4x +y +3z = 5 d. 5x + y z = 1 e. x - 3y + z = 7 f. 3x +-3y + 9z = 10 3.selesaikan persamaan persamaan linier Diophantine : a. 7x + 5y + 6z = 173 3x + 17y + 4z = 173 b. 5x +y + 3z = 34-4x + 6y + 14 = 190 c. x + y + z = 100 6x + 1y + z = 11 d. x + y + z = 4 9y + 5z + 6y =

17 JAWABAN.) Jawaban a) t = 3x + y + 7z = 15 y = 15 3x 7z y = x x 6z z y = ( 7 x 3 z ) + 1 x z t = 1 x z z = 1- x t 1 x z u = 1-x -t x = 1- t u z = 1- x t z = u y = ( 7 x 3 z ) + t y = ( 7 (1- t u ) 3 u) + t y = ( 7 1+ t + u 3 u + t y = 6 + 3t u Penyelesaian persamaan adalah x = 1- t u y = 6 + 3t u z = u 17

18 sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 3x + y + 7z ) sebagai berikut : u t x y z 3x + y + 7z Jawaban b) 3x + y -z = 5 3x = 5 y +z x = 3 + y + z 3 x = 1 + y z 3 t = y z 3 3t = y + z z = 3t + y u = 3t + y y = u 3t + z = 3t + y z = u x = 1 + y z 3 x = 1+ t Penyelesaian persamaan adalah x = 1+ t y = u 3t + z = u sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai (3x + y -z ) sebagai berikut : u t x y z 3x + y - z

19 Jawaban c) 4x +y + 3z = 5 3y + 7z = 5- x 4x + 3z 5 (mod ) x + z 1 (mod ) z (1- x) + u Ambil x = t,maka z (1- x) + u z = 1-t + u substitusi nilai x dan z ke persamaan 4x +y + 3z = 5 4t +y + 3(1-t + u) = 5 4t + y + 3 6t +6u = 5 y = 5 + 6u 3 y = + t 6u y = 1 + t 3u Penyelesaian kongruensi adalah x = t y = 1 + t 3u z = 1-t + u sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 4x + y - 3z ) sebagai berikut : u t x y z 4x + y -3z

20 Jawaban d) t = z x 5x + y -z = 1 y = 1 5x + z y = 1 4x x + z Y = ( 6 x ) + t = z x z =t + x z x u = t + x x = u - t z = t + x z = u y = ( 6 x ) + t y = 6 ( u t ) + t y = 6 u + 4t +t y = 6 u + 5t Penyelesaian persamaan adalah x = u - t y = 6 u + 5t z = u sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 5x + y z ) sebagai berikut : 0

21 u t x y z 5x + y -z Jawaban e) x -3y +z = 7 z = 7 x + 3y z = 6 +1 x + y +y z = ( 3 +y ) + 1 x y 1 x y t = t = 1- x + y y = t + x - 1 u = t + x - 1 x = u t + 1 y = t + x 1 y = u z = ( 3 +y ) + z = ( 3 +y ) + t 1 x y z = (3 +u ) + t z = 3 + u + t Penyelesaian persamaan adalah x = u t + 1 y = u z = 3 + u + t 1

22 sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x - 3y + z ) sebagai berikut : u t x y z x -3y + z Jawaban f) x - 3y +9z = 10 x = y -9z x = 10 +y + y -8-z x = ( 5 + y 4z ) + t = y z y z t = y - z z = y t u = y t y = u + t z = y t z = u x = ( 5 + y 4z ) + x = ( 5 + y 4z ) + t y z x = ( 5 + u + t x = 5 + 3t 3u 4u ) + t Penyelesaian persamaan adalah x = 5 + 3t 3u y = u + t z = u

23 sekedar pengecekan,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x - 3y + 9z ) sebagai berikut : u t x y z x -3 y + 9z ) jawaban : a) 7x + 5y + 6z = 173 7x + 6z = 173-5y x + z 3 (mod 5) z (3- x) + 5u Ambil x = t,maka z (3- x) + 5u z = 3-t + 5u substitusi nilai x dan z ke persamaan 7x +5y + 6z = 173 7t + 5y + 6(3-t + 5u) = 173 7t + 5y t +30u = 173 5y = t 30 u y = 31 + t x + 17y + 4z = 510 3t + 17 (31 + t - 64 ) + 4 (3-t + 5u) = 510 3t t 10u + 1 8t + 04 = 510 1t 8u = 510 1t 8u = u 9 + 1t 8u 9 ( mod 1 ) 10u r 3

24 10u 5 ( mod 1 ) 1r -5 ( mod 1 ) r 5 ( mod 10 ) 10r 5 (mod ) tidak dapat diselesaikan sehingga persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan jawaban : b) 5x +y + 3z = 34 5x + 3z 34 ( mod ) x + z 0 ( mod ) x 0 z ( mod ) x z + u ambil z 1 = t x 1 = -t + u y = 34-5x -3z y = 34-5( -t +t ) -3z y = 34-5t -3t 10u y = 34 +t -10u y 1 = 16 +t -5u -4x + 6y + 14 = 190 6y + 14z 190 ( mod 4 ) y + z ( mod 4 ) y z ( mod 4) y 1-z + u ambil z = t y = 1- t + u 4x = 6y + 14 z

25 4x = 6(1- t + u ) + 14t 190 4x = 6-6t + 1u + 14t 190 4x = 8t + 1u 184 x = t + 3u 46 dari persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan x1 = x -t + u = t + 3u 46-3t u = -46.(1) z1 = z = t y1 = y 16 +t -5u = 1- t + u -t + 7u = 161 () eliminasi persamaan 1 dan -3t u = -46 x 7 -t + 7u = 161 x 1-1t 7u = -3 -t + 7u = t = -161 t = 7 Substitusi t ke persamaan ( 1) -3t u = u = -46 u = 5 Substitusi nilai u dan t kepersamaan x, y dan z Maka akan didapat : 5

26 x = -t + u = -7 + ( 5) = 43 y = 1-t + u = ( 5) = 44 z = 7 Jadi himpunan penyelesaiannya dalah : Hp = { ( 43,44,7)} jawaban : c) x + y + z = 100 x + y = 100- z x + y 100 (mod 1) x (0- x) + u Ambil y = t,maka x (0- y) + u x = -t + u substitusi nilai x dan z ke persamaan x +y + z = 100 z = 100 x y z = t u t z = 100 u 6x + 1y + z = 11 6(- t + u ) + 1t + (100-u) = 11-6t + 6u + 1t +100 u = 11 15t + 5u = t + 5u = 1 15t = 1 ( mod 5 ) tidak dapat diselesaikan sehingga persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan 6

27 jawaban : d ) 9y + 5z + 6w = 18 9y + 6w 18 ( mod 5 ) 4y + w 3 ( mod 5 ) w 3 4y ( mod 5) w 3-4y +5 u ambil y 1 = t w 1 = 3-4t +5 u 5z = 18-9y 6w 5z = 18-9t 6(3-4t +5 u) 5z = 18-9t 18 +4t -30 u) 5z = 15t 30u z 1 = 3t 6u x + y + z + w = 4 x + y + w 4 ( mod 1 ) x + y + w 0+u x +w = u-y x = u-y -w x = u t t 5u x = -4u + 3t

28 ambil y = t x = -4u + 3t -3 w = 3-4t +5 u z = 4 x y w z = 4 + 4u -3t + 3 t t -5u z = 4-u dari persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan z1 = z 3t 6u= 4-u 3t 5u = 4.(1) y1 = y = t w1 = w 3-4t +5 u -4t +5 u = -3 () eliminasi persamaan 1 dan 3t 5u = 4 --4t +5 u = t = 1 t = -1 Substitusi t ke persamaan ( 1) 3t 5u = 4 8

29 3(1) 5u = 4-3 5u = 4-5u = 7 u = 7 5 Substitusi nilai u dan t kepersamaan x, y dan z Maka akan didapat : x = -4u + 3t -3 x = -4( -7/5) + 3(-1) -3 = 5 y = t y = -1 z = 4-u z = 4-(-7/5) z = 7 5 w = 3-4t +5 u w = 3-4(-1) +5 (-7/5) = = 0 Jadi himpunan penyelesaiannya dalah : 9

30 7 Hp = { (,-1,,0 )}