Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 2012 Tingkat SMP

Transkripsi

1 Pembahasan Soal Final Kompetisi Matematika Pasiad ( KMP ) VIII Tahun 01 Tingkat SMP Oleh Tutur Widodo I. Soal Pilihan Ganda (Cara Penilaian : Benar = 1 poin, Kosong = 0, Salah = 0.5 poin) 1. Terdapat berapa banyak solusikah untuk persamaan x x = 4? a. c. 1 b. d. 0 x x = 4 1 x x = 4 x+ 1 x = x + 1 x = x x + 1 = 0 (x 1) = 0 Oleh karena itu, hanya ada satu nilai x yang memenuhi yaitu x = 1.. Jika k adalah sebuah bilangan bulat ganjil, maka bentuk sederhana dari k 7 k ( ) k adalah... a. 14 k c. 7 k b. 7 k d. ( 7) k Jawaban : d k 7 k ( ) k k 7 k ( ) k k 7 k k 7 k = ( 7) k. Jika ( ) x =, 5 maka nilai dari x adalah... 7 a. 1 c. b. 1 d. 1 Jawaban : a ( ) x =, 5 7 ( ) x ( 7 = 7 ( ) x ( = 7 7 ) 1 ) 1 x = 1 1

2 4. Jika x dan y adalah bilangan bulat maka nilai dari xy adalah... a. 90 x 17 b. 56 y c. 7 d. 4 Dari dalil Phytagoras diperoleh, x y = 17 (x y)(x + y) = 17 Jadi, (x y) dan (x + y) adalah faktor positif dari 17. Oleh karena itu, x + y = 17 dan x y = 1. Sehingga didapat x = 9 dan y = 8, yang berarti xy = Jika diketahui a = 5 +, b = 6 + 1, c = +. Maka urutan yang benar dari a, b, dan c adalah... a. a < b < c c. b < a < c b. c < b < a d. a < c < b Perhatikan, a = , b = 7 + 6, dan c = = karena a, b, c > 0 dan b < a < c maka b < a < c 6. Bentuk sederhana dari ( 5) adalah... a. 5 c. 5 b. + 5 d. 4 5 Untuk setiap bilangan riil x berlaku, x = x. Oleh karena itu, 5 = 5, karena < 5. ( 5) = 7. Berapa banyak segitiga dalam gambar di A samping! D a. 5 E b. 154 F c. 7 d. 0 B G H I J K L C Jawaban : -

3 Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu, C 7 4 = 1 4 = 84 Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu, C 4 6 = 6 6 = 6 Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah = 10. Note : Apabila pada soal di atas terdapat garis AL, maka banyaknya segitiga adalah : Banyak segitiga yang memuat titik A yaitu, C 8 4 = 8 4 = 11 Banyak segitiga yang tidak memuat titik A yaitu, C 4 7 = 6 7 = 4 Jadi, banyaknya segitiga dari gambar adalah = Berapa jumlah digit dari ? a. 1 c. 48 b. 44 d. 58 Misal N = , diperoleh N = = (6 5 ) 5 = = = Jadi, banyak digit dari N adalah Seekor semut berjalan menyusuri rangka sebuah bangun seperti dalam gambar, dari titik A menuju B. Ada berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui oleh semut tersebut? (Jalur yang dipilih merupakan lintasan terpendek) B a. 48 b. 90 A c. 60 d. 180 Perhatikan, agar semut berjalan pada lintasan terpendek maka dia harus berjalan ke kanan, ke atas dan ke belakang tidak peduli bagaimanapun lintasan yang dia

4 pilih. Sedangkan panjang lintasannya adalah 6. Oleh karena itu, banyak lintasan yang bisa dipilih si semut ada sebanyak, 6!!!! = Jika diketahui x 4 + y + + (z + 1) = 0, maka nilai x + y + z adalah... a. c. 1 b. 1 d. Untuk setiap bilangan riil, x, y, z berlaku x 4 0, y + 0 dan (z + 1) 0. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika x 4 = 0, y + = 0 dan z + 1 = 0, sehingga x = 4, y = dan z = 1. Oleh karena itu, x + y + z = 4 + ( ) + ( 1) = m dan n adalah dua bilangan bulat positif sedemikian sehingga m + n + mn = 4. Berapakah nilai m + n? a. 7 c. 9 b. 8 d. 10 Perhatikan, m + n + mn = 4 (m + 1)(n + 1) = 5 sehingga (m + 1) dan (n + 1) adalah faktor positif dari 5. Sedangkan faktor positif dari 5 ialah 1, 5 dan 5. Akan tetapi m dan n bilangan bulat positif sehingga (m + 1) > 1, (n + 1) > 1. Oleh karena itu, m + 1 = n + 1 = 5 atau equivalen m = n = 4. Jadi, m + n = Sebuah angka 6 digit cdbcda dapat dibagi dengan 11. Jika a + b = 10, maka nilai ab adalah... a. 0 c. 15 b. 5 d. 10 Karena cdbcda dapat dibagi 11 maka c + b + d (d + c + a) = b a habis dibagi 11. Mengingat 0 a, b 9 dan b a habis dibagi 11, maka b a = 0 b = a. Jadi, a = b = 5, yang berarti ab = Ada berapa kemungkinan bilangan asli n, sehingga a. 4 c. b. d. 5 n + 1 n + adalah bilangan asli. Perhatikan, n + 1 n + = + 1 n + 4

5 Agar 1 n+ merupakan bilangan asli maka haruslah n + membagi 1. Dengan kata lain, n + adalah faktor dari 1. Karena n bilangan asli berakibat n + 4. Oleh karena itu kemungkinan nilai n + adalah 4, 6 dan 1 yang bersesuaian dengan nilai n sama dengan 1,, 9. Jadi, terdapat tiga nilai n yang memenuhi. 14. Misalkan a dan b adalah digit - digit pada bilangan ab dan ba, sehingga ab ba=7. Maka berapakah nilai dari a + b a. 5 c. 8 b. 7 d. 6 Perhatikan bahwa, 8 a 9 dan 1 b. Dari soal diperoleh, 10a + b (10b + a) = 7 9a 9a = 7 a b = 8 sehingga didapat a = 9 dan b = 1. Jadi, a + b = = 8. ( 15. Diberikan 0, 5 dan y = 0, 5 4. Maka nilai x + 1 ) ( x 1 ) =... y y a. 18 c. 108 b. 10 d. 64 Jawaban : a ( x + 1 ) ( x 1 ) ( ) = (x) y y y ( ) x = 4 y ( ) 0, 5 = 4 0, 5 ( 4 ) 0, 5 = 4 0, 5 ( ) 4 8 = 4 0, 5 = = Diketahui x x = 0, maka berapakah nilai dari x + 4 x? a. 6 c. 10 b. 8 d. 14 Dari persamaan x x = 0, jelas x 0. Oleh karena itu, dengan membagi persamaan tersebut dengan x diperoleh, x x = 0 x x = 5

6 kuadratkan kedua ruas sehingga didapat, x + 4 x 4 = 4 x + 4 x = Berapakah sisa pembagian dibagi 15. a. 9 c. 61 b. 0 d. 1 Jawaban : d Untuk k maka 5 k 0 ( mod 15). Oleh karena itu, ( mod 15) ( mod 15) 1 ( mod 15) 18. Apakah digit terakhir dari bilangan (1! +! +! !) 01. a. 1 c. 7 b. d. 9 Jawaban : a Misal, N = 1! +! +! ! Perhatikan untuk k 5, maka k! 0 ( mod 10), sehingga N = 1! +! +! ! 1! +! +! + 4! ( mod 10) ( mod 10) ( mod 10) ( mod 10) Oleh karena itu, digit terakhir dari N adalah. Perlu diketahui juga, 4k 1 ( mod 10) 4k+1 ( mod 10) 4k+ 9 ( mod 10) 4k+ 7 ( mod 10) untuk setiap bilangan bulat nonnegatif k. Sehingga N 01 = N ( mod 10). 19. Misalkan a, b, c dan d adalah anggota bilangan bulat positif. Jika a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7, b dibagi 6 menghasilkan c sisa, dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x. Berapakah nilai x? a. 1 c. 15 b. 14 d. 16 6

7 Jawaban : d a dibagi b menghasilkan 15 sisa 7 dapat ditulis, a = 15b + 7 (1) b dibagi 6 menghasilkan c sisa dapat ditulis, b = 6c + () dan a dibagi 18 menghasilkan d sisa x dapat ditulis, a = 18d + x () Dari pers.(1), () dan () diperoleh, 15b + 7 = 18d + x 15(6c + ) + 7 = 18d + x 90c + 5 = 18d + x 18d = 90c + 5 x Karena 18 habis membagi 90, maka haruslah 5 x juga habis dibagi 18. Dengan kata lain, 5 x = 18k x = 5 18k untuk suatu bilangan bulat k. Salah satu nilai x yang memenuhi adalah x = 16 untuk k =. 0. Sederhanakan 1 x x 1 untuk x < 0. a. x c. x b. x d. x Jawaban : a 1 x x 1 = 1 x (1 x) karena x < 0 = x = x 1. Ada berapa bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi atau 5? a. 70 c. 80 b. 69 d Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi yaitu = Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 5 yaitu = Banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi 15 yaitu = Jadi, banyaknya bilangan asli kurang dari 579 yang habis dibagi atau 5 adalah = 69.. Berapakah nilai maksimum dari a. 4 c. 8 x + x + 6? b. d. 1 7

8 Jawaban : d 8 Misalkan, f(x) = x + x + 6. Agar nilai maksimum maka nilai f(x) harus f(x) minimum. Perhatikan bahwa fungsi f dapat ditulis, x 4, x < 6 f(x) = 8, 6 x < x + 4, x sehingga nilai minimum dari fungsi f adalah 8. Oleh karena itu, nilai maksimum dari 8 adalah 1. f(x). Sederhanakan a + a + a, jika a < 0. a. a c. a b. a d. a a + a + a = a + ( a) + ( a) = a 4. Misalkan A = } 9999 {{... 9} dan A = , carilah nilai m. m a. 50 c. 51 b. 49 d. 40 Cukup jelas. 5. Misalkan a 1a b+41 = 0, dengan a, b Z. Berapakah nilai a untuk b yang paling minimum? a. 5 c. 7 b. 6 d. 4 Perhatikan, a 1a b + 41 = 0 (a 6) + 5 = b karena (a 6) 0 untuk a R, maka b akan bernilai minimum saat a 6 = 0 a = Berapakah nilai x + y, jika diketahui x + y 4x + 10y + 9 = 0? a. c. b. 1 d. 1 x + y 4x + 10y + 9 = 0 (x ) + (y + 5) = 0 Jadi, x = dan y = 5 sehingga x + y =. 8

9 7. Berapakah sisa pembagian bilangan dibagi dengan ? a. 99 c b. 101 d Jawaban : Perlu diketahui bahwa = Jadi, 01! habis dibagi oleh Oleh karena itu, 01! 1 jika dibagi akan bersisa Diketahui a dan b adalah digit - digit pada bilangan dua digit ab dan ba, sehingga (ab) (ba) = Berapakah nilai a + b? a. 11 c. 61 b. 5 d. 8 Dari soal kita peroleh, (10a + b) (10b + a) = 1089 (11a + 11b)(9a 9b) = 1089 = 11 sehingga (11a + 11b) dan (9a 9b) adalah faktor positif dari Karena (11a + 11b) dan (9a 9b) berturut - turut merupakan kelipatan 11 dan 9, maka diperoleh (11a + 11b) = 11 dan (9a 9b) = 9. Sehingga a+b = 11 dan a b = 1. Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, diperoleh a = 6 dan b = 5. Jadi, a + b = = Hitunglah ( ) ( )? a. 154 c. 15 b. 15 d. 154 Jawaban : d ( ) ( ) = = ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) + + ( 1) +07 }{{} sebanyak 15 = = Berapakah sisa pembagian }{{ 47} dibagi 9? 108 digit a. 0 c. b. 1 d. Jawaban : a Karena jumlah digit - digit dari } {{ 47} yaitu 54 (4 + 7) habis dibagi 9, maka 108 digit bersisa 0 jika dibagi }{{} 108 digit juga habis dibagi 9. Sehingga }{{} 108 digit 9

10 1. Diketahui a, b dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi 5 < a, 8 < b < 1 dan b a + c = 6. Berapakah nilai terkecil c yang mungkin? a. 7 c. 17 b. 1 d. 19 Karena c = 6 + a b, maka agar c minimum haruslah dipilih a terkecil dan b terbesar yang mungkin dengan juga memperhatikan bahwa a b adalah bilangan kelipatan. Oleh karena itu, pilih a = 4 dan b = 6 sehingga diperoleh c = 6 + ( 4) ( 7) = = 51 yang equivalen dengan c = 17.. Berapakah nilai (1 1 ) (1 1 ) (1 14 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )? 19 0 a. 1 0 c. 1 b. 1 d (1 1 ) (1 1 ) (1 14 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 19 0 ( = ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) 4 = ( ) ( ) 1 1 = 0 = 1 40 ( 0 19 ) ( ) ( 1 19 ) ( 0 ). Urutkan bilangan bulat positif a, b, dan c jika ( a. a > b > c c. c > a > b b. a > c > b d. b > a > c 0 ) ( ) 1 a + b > 1 b + c > 1 a + c. ) ( ) ( 1 1 ) Karena a + b > 1 b + c maka a + b < b + c a < c, dan 1 b + c > 1 a + c maka b + c < a + c b < a. Sehingga diperoleh b < a < c. 4. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang memenuhi x + y + 5z = 7. Berapakah nilai y terbesar yang mungkin? a. 9 c. 14 b. 14,5 d. 1 Jawaban : d Karena y genap, maka x + 5z harus ganjil. Selain itu, agar y terbesar maka x dan z harus nilai terkecil yang mungkin. Oleh karena itu, pilih x = dan z = 1 sehingga didapat + y = 7 y = 1. 10

11 5. Berapakah nilai dari a + b + c, jika a + b = c + 6 dan ab ac = bc 1? a. 40 c. 6 b. 8 d. 4 Perhatikan bahwa, ab ac = bc 1 ac + bc ab = 1, dan (a + b c) = 6 a + b + c + ab bc ac = 6 a + b + c (ac + bc ab) = 6 a + b + c 1 = 6 a + b + c = 8 6. Misalkan x = 0, , angka - angka di belakang koma pada bilangan desimal x tersusun dari bilangan bulat genap dari 0 hingga 104. Maka, berapakah angka ke-101 di belakang koma? a. 0 c. b. 1 d. 4 Dari 0,, 4, 6, 8 ada 5 digit. Dari 10, 1, 14,, 98 ada 5 x x 9 = 90 digit. Dari 100, 10, 104 ada 9 digit. Jadi, total ada ( = 104) digit angka di belakang koma. Mudah dilihat bahwa angka ke-101 adalah. 7. Manakah yang merupakan faktor dari x y 6x 8y 7? a. x + y + 1 c. x y 1 b. x y 5 d. x + y + 7 Jawaban : a x y 6x 8y 7 = x 6x + 9 (y + 8y + 16) = (x ) (y + 4) = (x + y + 4)(x (y + 4)) = (x + y + 1)(x y 7) 8. Berapakah angka terakhir pada bilangan 01 01? a. 8 c. 4 b. 6 d. 11

12 Perhatikan pola berikut, 4k 6 ( mod 10) 4k+1 ( mod 10) 4k+ 4 ( mod 10) 4k+ 8 ( mod 10) untuk setiap bilangan bulat positif k. Selanjutnya diperoleh, ( mod 10) 4 50 ( mod 10) 6 ( mod 10) 9. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat positif, dan m + n + mn = 4. Berapakah nilai dari m + n? a. 6 c. 10 b. 8 d. 4 m + n + mn = 4 (m + 1)(n + 1) = 5 Jadi, m + 1 dan n + 1 adalah faktor positif dari 5. Karena m dan n bilangan bulat positif maka m + 1 > 1 dan n + 1 > 1. Oleh karena itu, m + 1 = 5 m = 4 dan n + 1 = 7 n = 6. Sehingga m + n = Umur ayah sekarang adalah 60 tahun. Ketika umur ayah seumuran umurku, umurku setengah dari umurku sekarang. Berapakah umurku sekarang? a. 45 c. 5 b. 40 d. 0 Misalkan, umurku sekarang x, dan misalkan pula k tahun yang lalu umur ayahku seumuran umurku, kita peroleh 60 k = x dan x k = x k = x Oleh karena itu, 60 x = x x = Misalkan a, b dan c adalah angka - angka pada sebuah bilangan kuadrat tiga angka abc. Jika satuan dan puluhan pada bilangan tersebut dinaikkan berturut - turut 1 dan, juga akan menghasilkan bilangan kuadrat. Maka berapakah nilai a + b + c? 1

13 a. 9 c. 11 b. 10 d. 1 Jawaban : a Diketahui, dan 100a + 10b + c = m 100a + 10(b + ) + (c + 1) = n untuk suatu bilangan bulat m, n. Dari kedua persamaan di atas diperoleh, n m = (n + m)(n m) = 1 Oleh karena itu, n+m = 1 dan n m = 1. Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh m = 15, sehingga m = 5, yang berarti a + b + c = = Diberikan (a ) + (b + ) + 1, 5 = 4. Carilah nilai 4a b. a. 6 c. 1 b. 8 d. 16 (a ) + (b + ) + 1, 5 = 4 (a ) + (b + ) = 0 Sehingga a = 0 a = dan b + = 0 b =. Oleh karena itu, 4a b = 6 + = Diketahui persamaan x + (x + 1) = 1. Carilah x 5? a. + ( 4) c. + 4 b. 5 ( 4) ) d. 1 Jawaban : a x + (x + 1) = 1 x + x + x + 1 = 1 x + x = 0 x(x + ) = 0 sehingga diperoleh x = 0 atau x =. Ambil x = 0, sebab bilangan negatif bukan domain dari fungsi akar. Jadi, nilai x 5 = Sebuah mobil angkutan antar kota biasa menempuh perjalanan dari kota A ke kota B dengan kecepatan 70 km/jam. Namun pada suatu ketika mobil itu mengalami kerusakan sehingga harus menurunkan kecepatan 50 km/jam tepat di tengah perjalanan, sehingga sampai ke kota B terlambat jam dari waktu biasanya. Berapakah jarak dari kota A ke kota B? a. 55 km c. 850 km b. 775 km d km 1

14 Jawaban : d Misalkan jarak kota A ke kota B adalah s, maka diperoleh dan s s = 70t = 50(t + ) dengan t waktu yang dibutuhkan untuk menempuh setengah perjalanan dengan kecepatan 70 km/jam. Dari kedua persamaan di atas diperoleh, 70t = 50(t + ) 0t = 150 t = 7, 5 Jadi, s = 70 7, 5 s = 1050 km. 45. Misalkan A = , maka carilah nilai A + 5? a. 1 c. 9 b. 4 d. 16 A = = 6 ( )(11 57) = = 6 64 Jadi, A + 5 = ( 6 64) + 5 = = = 9. (1 + a) 1 + a 46. Sederhanakan a a 1 + 9a? a. 6 a c. 6 a 4 b. 6 a d. 6 a 9 (1 + a) 1 + a a a 1 + 9a = = ( (1 + a)(1 + a) 1 a ( (1 + a) 4 a ) 1 ( 1 a ) 1 ( 1 a (a + 1) 9(a + a + 1) ) 1 ) 1 = (1 + a) 1 a 1 a 1 (a + 1) = a a = 14

15 47. Diberikan sistem persamaan berikut : Carilah nilai x y? x + y = 6 x + y = a c. b d. Jawaban : a x + y = 6 (x + y) = 6 x + y + xy = xy = 6 xy = 4 1 (x y) = x + y xy = = sehingga, x y = ± = ± Perhatikan gambar di samping! Diketahui BE = CE = DE, ADB = 10, dan BAC = 50. Maka berapakah besar sudut ACE? B A a. 10 b. 15 E c. 0 d. 45 C Karena BEC dan CED sama kaki maka CBD = BCE dan DCE = CDE. Pada BCD berlaku, D CBD + BCE + DCE + CDE = 180 BCE + DCE = 180 BCE + DCE = 90 BCD = 90 karena BCD dan BAD siku - siku maka segiempat ABCD adalah segiempat tali busur. 15

16 B A E C D Oleh karena itu diperoleh, ACE = BCD BCA DCE = 90 ADB CDE = BAC = = Misalkan x 4 x x = 4, berapakah nilai ( x 1)? a. 9 c. 1 b. 4 d. 1 Jawaban : d Untuk x < 4, persamaan pada soal menjadi : x 4 x x = 4 x (4 x) x = 4 x 4 x = 4 4 x x = 4 4x = 0 x = 0 Untuk x 4, persamaan pada soal menjadi : x 4 x x = 4 x + 4 x x = 4 4 x = 4 x = 0 Oleh karena itu, satu - satunya nilai x yang memenuhi adalah x = 0. Jadi, ( x 1) = Diketahui 1 x + 4x + 1 x + 4x + 4 = Berapakah nilai x +? a. c. 1 4 b. 4 d

17 Misal, x + 4x = t maka persamaan pada soal menjadi, 1 t + 1 t + 4 = t t t + 4t = (t + 4) = 14(t + 4t) 90t = 14t + 56t 14t 4t 180 = 0 7t 17t 90 = 0 (7t + 18)(t 5) = 0 t = 18 atau t = 5 7 Jika t = 18 7 maka diperoleh persamaan : x +4x = x +8x+18 = 0 yang kedua akarnya irasional. Padahal dari pilihan jawaban yang ada, tidak ada yang irasional. Oleh karena itu, untuk kasus ini tidak perlu kita cek. Jika t = 5 maka diperoleh persamaan : x + 4x = 5 x + 4x 5 = 0 (x + 5)(x 1) = 0. (a) Jika x = 5 maka x + = ( 5) + = 8 (b) Jika x = 1 maka x + = 1 + = 4 17

18 II. Soal Uraian Carilah penyelesaian dari x+ 5 = 10 x+1 Jawaban : 5 4 atau 4 Misal, = t maka diperoleh, ( t = ) 5 = ( 5)( + 5) = = = 10 t = 10 1 sehingga diperoleh, = Oleh karena itu persamaan pada soal menjadi, sehingga didapat, 10 1 = 10 x+ x+1 1 = x + x = ( x + 1 1) 1 = x x = x + 1 = atau atau 1 x = 1 x + 1 = x + 1 = 9 4 atau x + 1 = 1 4 x = 5 4 atau x = 4 Keterangan : Soal uraian nilainya akan diperhitungkan hanya untuk peserta 5 besar nasional. Jika tidak ada perolehan nilai yang sama pada 5 besar nasional maka skor peserta hanya dilihat berdasarkan soal pilihan ganda. Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via ke tutur.w87@gmail.com Terima kasih. My blog : 18