PENGERTIAN PHYTAGORAS

Transkripsi

1 Pythagoras adalah seorang ahli filsafat. Ia tidak hanya mempelajari matematika, tetapi juga music dan ilmu-ilmu lain. Ia lahir di Yunani, tetapi pergi belajar ke Mesir dan Babilonia. Ia terkenal karena teoremanya () yang menerangkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Segitiga siku-siku yang sisinya berbanding 3 : 4 : 5 yang dipakai oleh para perentang tali di Mesir ( orang yang mengukur tanah dengan menggunakan tali-tali bersimpul ) merupakan contoh penerapan teoremanya ( = 25 ). Kata orang, ia menemukan teorema itu ketika sedang mengamati ubinubin lantai rumah kawannya. Pada suatu hari ketika sedang berjalan melewati bengkel pandai besi, ia mendapat ide dari berbagai jenis suara yang dihasilkan dengan pukulan martil. Ia menemukan bahwa semakin pendek pegangan martil itu, semakin timggilah frekuensi nada yang dihasilkan. Dengan menggunakan ide ini, ia menciptakan jenis-jenis kecapi dan seruling yang baru. PENGERTIAN PHYTAGORAS Di lingkungan sekitarmu, kalian sering melihat berbagai jenis segitiga dan segitiga siku-siku dalam kehidupan sehari-hari. Sebagian besar penggunaan segitiga digunakan pada bangunan, misalnya atap rumah sebagian besar terbuat dari berbagai jenis segitiga. Pada gambar di samping, kalian bias melihat bahwa sebagian besar tembok 1 P a g e

2 dan atapnya terbuat dari berbagai bentuk bangun datar seperti persegi panjang, jajar genjang dan segitiga, khususnya segitiga siku-siku dan segitiga sama sisi. Kalian melihat bahwa puncak atap bangunan tersebut terbuat dari segitiga sama sisi. Jika ditarik garis tegak lurus dari puncak atapnya, maka terbentuk dua buah segitiga siku-siku, sehingga merupakan penerapan juga. Dengan demikian dapat dihitung ukuran-ukuran bangunan tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa sangat berperan dan tidak akan pernah lepas dari kehidupan kita sehari-hari. A. Konsep yang Berkaitan dengan Teorema Phytagoras 1. Konsep Dasar Aljabar a. Pangkat Dua Bilangan Bulat Positif Jika a adalah bilangan bulat positif maka pangkat dua dari a adalah sebagai berikut : a 2 = a x a. 1) 12 2 = 12 x 12 = 144 2) 14 2 = 14 x 14 = 196 3) 13 2 = 13 x 13 = 169 b. Teori Binomial ( a + b ) n = a n + n a n 1 b + Untuk n = 2, maka 1. ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. ( a b ) 2 = a 2 2ab + b 2 n ( n 1 ) 2 a n 2 b ( x + 3 ) 2 = x x = x 2 + 6x + 9 n n 1 ( n 2 ) 2. ( 2x 5 ) 2 = ( 2x) x = 4x 2 20x + 25 c. Menyederhanakan bentuk akar n 1. ab n 2. a mn b 3. n a b = n = a x n b = a m n b n n a ab n = n 1 b b 6 a n -3 b b n 2 P a g e

3 1. 48 = 16 x 3 = = x 3 2 = 5 x 2 2 x 3 2 = 5 x 4 x 3 2 = = 2 x 3 = 6 = d. Operasi pada bentuk akar 1) = = 5 3 2) = = Konsep Geometrid an Ukuran a. Luas Persegi 6 Jika panjang sisi persegi PQRS adalah s, maka luas daerah persegi ABCD atau luas persegi ABCD dirumuskan sebagai berikut L PQRS = s x s = s 2 Luas persegi disamping = s x s = 4 x 4 = 16 cm 2 b. Luas Segitiga Perhatikan gambar di samping. Gambar di samping adalah persegi ABCD dengan panjang p dan lebar l, maka: Luas daerah ABCD = Luas D ABC + Luas D ADC = 2 x Luas D ABC 3 P a g e

4 Atau luas D ABC = 1 2 x luas daerah ABCD = 1 2 x (p x l) = 1 2 X pl Luas segitiga dapat ditulis: L = 1 2 x alas x tinggi Luas segitiga siku-siku: L = 1 x hasil kali sisi siku-sikunya 2 B. Menemukan Teorema Phytagoras Pada kertas berpetak gambarlah segitiga PQR siku-siku di P dengan panjang PQ = 2 satuan mendatar dan panjang PR = 2 satuan tegak. Kemudian gambarlah suatu persegi pada sisi PQ, sisi PR dan sisi QR dan berilah nama persegi I dan persegi II, dan III. Kemudian pada persegi III, bagilah menjadi 5 bagian terdiri 4 buah segitiga siku-siku yang berukuran sama dengan segitiga PQR seperti nampak pada gambar di samping. Berdasarkan gambar tersebut, nampak bahwa: Luas daerah persegi I Luas daerah persegi II = 3 x 3 = 9 satuan luas = 2 x 2 = 4 satuan luas Luas daerah persegi III = 4 x Luas segitiga kuning + 1 buah persegi hitam = 4 x ( 1 2 x 2 x 3) + 1 = 13 satuan luas 4 P a g e

5 Berdasarkan gambar diperoleh: Luas daerah persegi III = Luas daerah persegi I + Luas daerah persegi II Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi pada dua sisi siku-sikunya. Pembuktian di atas juga dapat dilakukan dengan cara lain. Perhatikan gambar di samping! Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa sebuah persegi besar tersusun dari sebuah persegi kecil ditambah 4 buah segitiga sikusiku PQR. Persegi besar panjang sisinya = (a + b) satuan panjang. Persegi kecil panjang sisinya = c satuan panjang. Segitiga siku-siku PQR panjang sisi siku-sikunya masing-masing a satuan dan b satuan. Dengan demikian: Luas persegi besar = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Luas persegi kecil = c x c = c 2 Luas 4 buah D PQR = 4 x Luas D PQR = 4 x 1 2 x a x b = 2ab 5 P a g e

6 Berdasarkan gambar di atas, maka: Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 x Luas daerah PQR a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab a 2 + 2ab + b 2 2ab = c 2 + 2ab 2ab a 2 + b 2 = c 2 Dengan demikian dapat disimpulkan: Jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku sama dengan luas daerah persegi pada sisi miring segitiga siku-siku tersebut. Pernyataan tersebut dinamakan, karena ditemukan oleh seorang ahli matematika bangsa Yunani yang bernama Pythagoras. Terorema Pythagoras dapat dinyatakan dengan gambar berikut: C. Teorema Phytagoras Perhatikan ABC siku-siku C pada gambar disamping BC = b = sisi siku-siku AC =a = sisi siku-siku AB = c = sisi miring (hipotenusa) Teorema Phytagoras dalam ABC siku-siku di C ditulis : AB 2 = BC 2 + AC 2 c 2 = b 2 + a 2 6 P a g e

7 D. Teorema Phytagoras Untuk Sisi-sisi Segitiga Dalam ABC siku-siku C, 1) Jika sisi a dan b diketahui, maka sisi c dihitung dengan rumus : C 2 = b 2 + a 2 2) Jika sisi b dan c diketahui, maka sisi a dihiutng sebagai berikut : A 2 = c 2 b 2 3) Jika sisi a dan b diketahui, maka sisi b dihitung sebagai berikut: B 2 = c 2 a 2 E. Menggunakan Teorema Phytagoras 1. Menghitung Panjang Sisi Segitiga Siku-siku jika sisi lain diketahui dapt digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi dari segitiga siku-siku, jika panjang dua sisi lainnya diketahui. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah panjang BC! Jawab: BC 2 = AC 2 + AB 2 BC 2 = BC 2 = BC 2 = 25 BC = 5 cm Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x. Jawab: AC 2 = AB 2 + BC = (4x) 2 + (3x) 2 7 P a g e

8 400 = 16x 2 + 9x = 25x 2 16 = x 2 4 = x 2. Kebalikan Teorema Phytagoras dan Tripel Pythagoras i. Kebalikan Dalil Pythagoras Segitiga Siku-siku Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut C siku-siku maka berlaku c 2 = a 2 + b 2. Dalam ABC, apabila c adalah sisi dihadapan sudut C, b adalah sisi dihadapan sudut B, a adalah sisi sihadapan sudut A, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu: Jika a 2 = b 2 + c 2 maka ABC siku-siku di A. Jika b 2 = a 2 +c 2 maka ABC siku-siku di B. Jika c 2 = a 2 + b 2 maka ABC siku-siku di C. Pada ABC ditentukan panjang sisi AB = 15 cm, AC = 9 cm, dan BC = 12 cm. Buktikan bahwa ABC siku-siku! Jawab: AB 2 = 15 2 = 225 AC 2 + BC 2 = = = 225 Dengan demikian AB 2 = AC 2 + BC 2, sehingga ABC siku-siku di titik C. Segitiga tumpul Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi terpanjang. Jika terdapat hubungan c 2 > b 2 + a 2, maka ABC tersebut adalah segitiga tumpul. Pada PQR, sisi PQ = 6 cm, QR = 8 cm, dan PR = 4 cm. Selidiki bahwa PQR segitiga tumpul! 8 P a g e

9 Jawab: Sisi terpanjang adalah QR, yaitu 8 cm, berarti QR 2 = 8 x 8 = 64. Sisi yang lain adalah PQ dan PR, berarti PQ 2 + PR 2 = = = 52. QR 2 > PQ 2 + PR 2 berarti kuadrat sisi terpanjang > jumlah kuadrat sisisisi yang lain. Jadi, PQR adalah segitiga tumpul. Segitiga lancip Suatu ABC dengan sisi-sisinya a, b, dan c. Sisi c merupakan sisi terpanjang. Jika terdapat hubungan c 2 < b 2 + a 2, maka ΔABC tersebut adalah segitiga lancip. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 7 cm, dan 8 cm. Tunjukkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga lancip! Jawab: Sisi terpanjang adalah c = 8 cm, maka c 2 = 8 2 = 64 A 2 + b 2 = = = 85 Karena c 2 < b 2 + a 2, maka segitiga tersebut segitiga lancip. Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul. Jika a 2 = b 2 + c 2 maka Jika a 2 > b 2 + c 2 maka Jika a 2 < b 2 + c 2 maka ABC adalah segitiga siku-siku. ABC adalah segitiga tumpul. ABC adalah segitiga lancip. ii. Triple Pythagoras Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain. 1. 3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 9 P a g e

10 5 2 = = , 3, dan 5 adalah bukan triple Pythagoras sebab, 5 2 = = 13 Karena , maka 2, 3 dan 5 bukan merupakan Tripel Pythagoras. 3. Perbandingan sisi-sisi Segitiga Siku-siku Khusus Perbandingan sisi-sisi segitiga khusus sudut 60 0 dan 30 0 pada segitiga siku-siku Bagaimanakah panjang sisi siku terpanjangnya? Perhatikan gambar dibawah ini, ABC siku-siku di C dengan C = 60 0, AC = 2a cm, dan BC = a. berapakah panjang sisi AB? Menurut : AB 2 = AC 2 BC 2 = ( 2a ) 2 a 2 = 4a 2 a 2 = 3a 2 AB = 3a 2 AB = a 3 TEOREMA : Jika suatu segitiga sisi-sisinya berbanding 2a : a 3 : a atau 2 : 3 : 1, maka segitiga siku-siku dengan sudut 90 0 menghadap sisi terpanjang (hipotenusa) 2a, sudut 30 0 menghadap sisi siku-siku terpanjang a 3, dan sudut 60 0 menghadap sisi siku-siku terpendek a. Dari gambar di samping, diperoleh: BC : AB : AC = a : a 3 : 2a = 1 : 3 : 2 10 P a g e

11 Pada PQR diketahui Q = 60 o dan R = 30 o. Jika panjang QR = 12 cm, maka tentukan panjang PR dan PQ! Jawab : PR : QR = 3 : 1 PR : 12 = 3 : 1 PR = 12 3 cm PQ : QR = 2 : 1 PQ : 12 = 2 : 1 PQ = 24 cm Jadi, panjang PR = 12 3 cm dan panjang PQ = 24 cm. Perbandingan sisi-sisi segitiga khusus sudut 45 0 pada segitiga siku-siku Segitiga siku-siku dengan salah satu sudut 45o Segitiga di di samping adalah segitiga siku-siku sama kaki, sehingga: AB = AC, ABC = ACB = 45 O. Jika AB = 1 satuan, maka: BC 2 = AB 2 + AC 2 = = 2 BC = 2 Dari hasil di atas, dapat dibuat perbandingan sebagai berikut: Perbandingan sisi di hadapan sudut 90o dan sisi di hadapan 45 0 adalah 2 : 1 atau BC : AB : AC = 2 : 1 : 1 Diketahui KLM siku-siku M. Jika panjang KL = 8 KM! 2, hitunglah panjang Jawab : KM : KL = 1 : 2 KM : 8 2 = 1 : 2 11 P a g e

12 2 KM = 8 2 KM = = 8 Jadi panjang KM adalah 8 cm. F. Penerapan Phytagoras dalam Kehidupan sehari-hari Penerapan dalam menyelesaikan soal Banyak soal baik dalam matematika dan fisika yang untuk menyelesaikannya perlu menggunakan rumus Pythagoras. Contoh soal Pythagoras. Tentukan diagonal ruang dari balok dengan panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Untuk menentukan panjang diagonal ruang balok tersebut mau tidak mau kita harus menggunakan Pythagoras. Diagonal bidang = ( ) = 25 = 5 cm Diagonal ruang = ( ) = 250 = 5 10 cm Penerapan dalam praktek nyata Penerapan teorema Pythagoras dilakukan di banyak bidang terutama bidang arsitektur. Arsitek menggunakannya untuk mengukur kemiringan bangunan, misalnya kemiringan sebuah tanggul agar mampu menahan tekanan air. Ini juga sangat membantu dalam menentukan biaya pembuatan bangunan. Seorang tukang kayu pun untuk membuat segitiga penguat pilar kayu menggunakan teorema Pythagoras 1. Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 250 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 70 meter. Hitunglah ketinggian layanglayang tersebut. Penyelesaian: Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini. 12 P a g e

13 Di mana AB merupakan jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang dan AC merupakan panjang benang. Tinggi langyang-layang dapat dicari dengan teorema Pythagoras yakni: BC = (AC2 AB2) BC = ( ) BC = ( ) BC = BC = 240 m Jadi, ketinggian layang-layang tersebut adalah 240 m 13 P a g e

14 LATIHAN SOAL : 1. Segi tiga ABC siku-siku di titik A,diketahui panjang AB = 3 cm dan AC = 4 cm. Hitunglah panjang BC. 2. Segi tiga ABC siku-siku di titik A, diketahui panjang sisi miring BC = 10 cm, dan AB = 6 cm. Hitunglah panjang sisi AC. 3. Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisinya : 8cm, 7cm dan 12 cm 4. Apakah tripel bilangan berikut ini merupakan tripel Pythagoras? a. 12, 5, dan 13 b. 4, 4 3, dan 8 5. Persegi panjang ABCD mempunyai panjang sama dengan tiga kali lebarnya. Jika luas ABCD adalah 120cm 2. Hitunglah panjang diagonal persegi panjang itu! 6. Diberikan jajargenjang ABCD dengan AB = 21cm, AD = 13cm, dan BD = 20CM. Hitunglah luas jajargenjang itu! 14 P a g e