TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan

Transkripsi

1 TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah khususnya SMA, sudah dikenalkan tentang polinomial atau lebih sering disebut dengan istilah suku banyak. Polinomial P (x) berderajat n berbentuk, (.) P (x) = a n x n + a n x n + a n 2 x n a x + a 0 dengan a n 6= 0. a i disebut koo sien dari x i sedangkan a 0 biasa disebut konstanta. Akar atau pembuat nol dari suatu polinomial f(x) ialah suatu nilai, katakanlah t, sedemikian sehingga f(t) = 0. Berdasarkan Fundamental Theorem of Algebra (FTA), setiap polinomial setidaknya memiliki satu akar. Lebih jauh, andaikan t adalah akar dari P (x) maka dapat ditulis, P (x) = (x t )P (x) dimana P (x) ialah polinomial berderajat n. Jika kita gunakan FTA sekali lagi pada P (x) maka diperoleh, P (x) = (x t )(x t 2 )P 2 (x) dimana P 2 (x) ialah polinomial berderajat n pada akhirnya kita dapatkan bentuk berikut, 2. Seterusnya apabila FTA diterapkan terus, (.2) P (x) = a n (x t )(x t 2 )(x t 3 ) (x t n ) Bentuk (.2) biasa disebut pemfaktoran dari P (x) dan t ; t 2 ; ; t n adalah akar- akar dari P (x). 2. Teorema Vieta Kita de nisikan, jumlah simetris ke-k, k, dari suatu himpunan sebagai jumlah dari perkalian k elemen dari elemen - elemen yang ada pada himpunan tersebut. Sebagai contoh dari himpunan yang beranggotakan a; b; c; d kita peroleh, = a + b + c + d 2 = ab + ac + ad + bc + bd + cd 3 = abc + abd + acd + bcd 4 = abcd

2 2 TUTUR WIDODO Teorema Vieta. Jika ft ; t 2 ; ; t n g adalah akar- akar dari polinomial P (x) = a n x n +a n x n + a n 2 x n a x + a 0 maka berlaku, (2.) k = ( ) k a n k a n untuk k n Untuk membuktikan teorema Vieta di atas salah satu caranya bisa dengan induksi pada n. Untuk n =, diperoleh f(x) = a x+a 0. Dimana satu- satunya akar adalah t = a 0 a. Sehingga = t = a 0 a = ( ) a a. Selanjutnya assumsikan teorema benar untuk n = m. Perhatikan, untuk n = m+ kita punya f(x) = a m+ x m+ +a m x m + +a x+a 0. Berdasarkan FTA, fungsi f dapat ditulis, (2.2) f(x) = (x t m+ )(f m (x)) dengan t m+ adalah salah satu akar dari f dan f m adalah polinomial berderajat m. Berdasarkan assumsi, kita juga ketahui bahwa, (2.3) f m (x) = a m+ x m (t + t t m )x m + + t t 2 t 3 t m Dari (2.2) dan (2.3) didapat, f(x) = (x t m+ )(f m (x)) = (x t m+ )a m+ x m (t + t t m )x m + + t t 2 t 3 t m = a m+ x m+ (t + t t m + t m+ )x m + t t 2 t 3 t m t m+! seperti yang diharapkan untuk me- yang berarti pada fungsi f berlaku, k = ( ) k a (m+) k a m+ lengkapi bukti teorema di atas. 3. Jumlah Newton Sering kita menemui kasus seperti ini. Jika akar-akar dari x 3 + 2x 2 + 3x + 4 = 0 adalah a; b; c maka carilah nilai dari a 2 + b 2 + c 2. Untuk menyelesaikan kasus ini relatif mudah. Bisa dengan bantuan teorema Vieta yang telah dipelajari sebelumnya. Kita punya, (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) sehingga a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 2(ab + ac + bc) = 4 6 = 2 Dari kasus di atas kalau pangkatnya hanya dua tidak masalah. Tetapi jika yang ditanya adalah a 0 + b 0 + c 0 atau a 7 + b 7 + c 7 pasti akan sangat lama menghitungnya. Oleh karena itu untuk mengatasinya, diperkenalkan Jumlah Newton. Jumlah Newton. Bila diketahui polinomial P (x) = a n x n +a n x n +a n 2 x n 2 + +a x+a 0 yang akar-akarnya adalah t ; t 2 ; ; t n. Dide nisikan pula, s d = t d + t d t d n, maka berlaku (3.) a n s d + a n s d + a n 2 s d a n d+ s + da n d = 0

3 TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON 3 Untuk memberi gambaran, perhatikan beberapa bentuk khusus dibawah ini (untuk beberapa pilihan nilai d), a n s + a n = 0 a n s 2 + a n s + 2a n 2 = 0 a n s 3 + a n s 2 + a n 2 s + 3a n 3 = 0 :::::::::::::::dst 4. Contoh Setelah mempelajari teorema Vieta dan Jumlah Newton, kini saatnya kita lihat soal- soal yang bisa diselesaikan dengan kedua teorema tersebut. Pada bagian ini akan saya berikan beberapa contoh bahwa kedua tool yang baru saja kita pelajari cukup ampuh bukan hanya untuk menyelesaikan soal- soal yang berkaitan dengan polinomial tetapi juga sistem persamaan. Contoh. Tentukan semua pasangan terurut (x; y; z) yang memenuhi : x + y + z = 7 xy + yz + zx = 94 xyz = 68 Solusi. Misalkan P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c adalah polinomial yang akar- akarnya ialah (x; y; z). Maka diperoleh a = 7; b = 94 dan c = 68. Oleh karena itu, P (x) = x 3 7x x 68 yang bisa difaktorkan menjadi P (x) = (x 4)(x 6)(x 7). Sehingga nilai dari triple (x; y; z) yaitu (4; 6; 7) dan semua permutasinya. Contoh 2. Diketahui akar- akar dari P (x) = x 4 x 3 x 2 adalah a; b; c; d. Carilah nilai dari f(a) + f(b) + f(c) + f(d) jika f(x) = x 6 x 5 x 3 x 2 x Solusi. f(a) + f(b) + f(c) + f(d) = a 6 a 5 a 3 a 2 a + b 6 b 5 b 3 b 2 b + c 6 c 5 c 3 c 2 c + d 6 d 5 d 3 d 2 d = (a 6 + b 6 + c 6 + d 6 ) (a 5 + b 5 + c 5 + d 5 ) (a 3 + b 3 + c 3 + d 3 ) (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (a + b + c + d) = s 6 s 5 s 3 s 2 s Dengan memanfaatkan jumlah Newton, kita dapatkan, s = 0 s =

4 4 TUTUR WIDODO s 2 + s :( ) + 2:( ) = 0 s 2 2 = 0 s 2 = 3 s 3 + s 2 :( ) + s :( ) + 3:0 = 0 s 3 3 = 0 s 3 = 4 s 4 + s 3 :( ) + s 2 :( ) + s :0 + 4:( ) = 0 s = 0 s 4 = s 5 + s 4 :( ) + s 3 :( ) + s 2 :0 + s :( ) + 5:0 = 0 s 5 4 = 0 s 5 = 6 s 6 + s 5 :( ) + s 4 :( ) + s 3 :0 + s 2 :( ) + s :0 + 6:0 = 0 s = 0 s 6 = 30 Jadi, f(a) + f(b) + f(c) + f(d) = s 6 s 5 s 3 s 2 s = = 6 Contoh 3. Misalkan a; b; c adalah bilangan real positif sedemikian sehingga (ab + bc + ca) 3 = abc(a + b + c) 3 Buktikan bahwa a; b; c adalah suku- suku dari barisan geometri. Solusi. Andaikan a; b; c adalah akar- akar dari polinomial P (x) = x 3 +rx 2 +sx+t. Berdasarkan teorema Vieta diperoleh, a + b + c = r ab + bc + ca = s abc = t berdasarkan apa yang diketahui di soal didapat hubungan s 3 = tr 3 apabila r 6= 0 bentuk ini equivalen dengan t = s3. Apabila hasil terakhir disubstitusikan ke polinomial P (x), kita peroleh r3 P (x) = x 3 + sx 2 + rx + s3. Selanjutnya diperoleh, akar- akar dari P (x) adalah penyelesaian r 3

5 TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON 5 dari persamaan cubic, r 3 x 3 + r 4 x 2 + sr 3 x + s 3 = 0 r 4 x 2 + sr 3 x + (rx) 3 + s 3 = 0 r 3 x(rx + s) + (rx + s)(r 2 x 2 rsx + s 2 ) = 0 (rx + s)(r 2 x 2 + (r 3 rs)x + s 2 ) = 0 Jadi salah satu akar dari P (x), tanpa mengurangi keumuman, adalah a = s dan dua akar r yang lain yaitu b dan c juga merupakan akar- akar dari r 2 x 2 + (r 3 rs)x + s 2 sehingga bc = s 2 r = (r 2 s )2 = a 2. Jadi terbukti bahwa a; b; c adalah suku- suku barisan geometri. Sedangkan jika r = 0 berakibat s = 0 sehingga polinom P (x) berbentuk P (x) = x 3 + t yang hanya memiliki satu akar real. Hal ini kontradiksi dengan soal sebab diketahui a; b; c bilangan real positif. Contoh 4. Jika a; b adalah akar- akar dari polinomial P (x) = x 4 + x 3 adalah akar dari polinomial S(x) = x 6 + x 4 + x 3 x 2. Buktikan bahwa ab Solusi. Misalkan c; d adalah akar- akar lain dari P (x) = x 4 + x 3 diperoleh,. Dengan teorema Vieta (4.) (4.2) (4.3) (4.4) a + b + c + d = ab + bc + cd + ad + bd + ac = 0 abc + abd + acd + bcd = 0 abcd = Misalkan p = ab; p 0 = cd dan s = a + b; s 0 = c + d sehingga persamaan diatas equivalen dengan, (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) s + s 0 = p + p 0 + ss 0 = 0 ps 0 + p 0 s = 0 pp 0 = Dari pers. (4.5) diperoleh s = s 0 sedangkan dari pers. (4.8) didapat p = p 0. Apabila hasil ini disubstitusikan ke pers. (4.6) dan (4.7) diperoleh, (4.9) (4.0) Dari pers. (4.0) kita punya s = p ps 2 ps = 0 s + + s = 0. Jika disubstitusikan ke pers. (4.9) diperoleh, + 2 p + + = 0 dengan sedikit komputasi diperoleh, p 6 + p 4 + p 3 = 0

6 6 TUTUR WIDODO Sehingga terbukti p = ab adalah akar dari polinom S(x) = x 6 + x 4 + x 3 x Latihan Latihan. Selesaikanlah sistem persamaan berikut, x + y + z = 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 3 + y 3 + z 3 = 34 Latihan 2. Carilah penyelesaian real dari sistem persamaan berikut, x + y + z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 8 x 7 + y 7 + z 7 = 2058 Latihan 3. Carilah penyelesaian real dari sistem persamaan berikut, a + b = 8 ab + c + d = 23 ad + bc = 28 cd = 2 Latihan 4. Carilah semua triple (x; y; z) memenuhi sistem persamaan di bawah ini, x + y z = 0 yx + zx xy = 27 xyz = 54 Latihan 5. Diketahui a; b; c adalah bilangan real taknol sedemikian sehingga a + b + c 6= 0 dan a + b + c = a + b + c Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat ganjil n berlaku, a + n b + n c = n a n + b n + c n Latihan 6. Buktikan bahwa dua akar dari polinomial P (x) = x 4 + 2x hasilnya adalah 2. 5 bila dijumlahkan Latihan 7. Carilah nilai n dan kemudian selesaikan persamaan berikut, x 4 5x x 2 20x + n = 0 Jika diketahui akar- akarnya membentuk barisan geometri. Latihan 8. Carilah jumlah semua akar, baik real maupun nonreal, dari persamaan, x x 200 = 0

7 TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON 7 jika diketahui tidak ada akar kembar. Latihan 9. Jika dua akar dari persamaan x 4 8x 3 + kx x 984 = 0 hasil kalinya adalah 32. Tentukan nilai k. Latihan 0. Jika akar- akar dari polinomial P (x) = x 8 4x 7 +7x 6 +a 5 x 5 +a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 + a x + a o semuanya adalah bilangan real positif. Tentukan semua nilai dari a o yang mungkin. References [] Adeel Khan A Few Elementary Properties of Polynomials address: tutur.math@gmail.com URL: