Lingkaran. Lingkaran merupakan kumpulan titik yang berjarak sama terhadap titik pusat (x,y) Rumus dasar lingkaran: (X-Xc) 2 +(Y-Yc) 2 =r 2

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Lingkaran. Lingkaran merupakan kumpulan titik yang berjarak sama terhadap titik pusat (x,y) Rumus dasar lingkaran: (X-Xc) 2 +(Y-Yc) 2 =r 2"

Suparman Jayadi
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Bentuk Geometri

2 Lingkaran Lingkaran merupakan kumpulan titik yang berjarak sama terhadap titik pusat (x,y) Rumus dasar lingkaran: (X-Xc) 2 +(Y-Yc) 2 =r 2

3 Lingkaran Dari rumus lingkaran dapat dibentuk persamaan untuk menghitung titik yg melalui jalur lingkaran Kekurangannya: - Komputasi cukup rumit - jarak antara titik tidak sama Setengah lingkaran yang dibentuk oleh persamaan diatas dengan (Xc,Yc)=0,0

4 Algoritma pembentuk lingkaran A. Algoritma titik simetris: Algoritma ini didasarkan pada sifat lingkaran yang simetris (Y,-X) (-X, Y) (X, Y) (Y, X) (X = Xc + r cos θ) (Y= Yc + r sin θ )

5 Algoritma Pembentuk Lingkaran B. Algoritma Lingkaran Midpoint Algoritma Lingkaran Midpoint disebut juga Algoritma lingkaran bresenham algoritma ini membentuk semua titik berdasarkan titik pusat dengan penambahan semua jalur sekeliling lingkaran. algoritma ini hanya memperhatikan bagian 45 derajat dari suatu lingkaran yaitu oktan kedua dari lingkaran mulai dari x=0 sampai x=r/ 2 Midpoint antara 2 kandidat pixel pada posisi xk+1 di jalur lingkaran

6 Algoritma Pembentuk Lingkaran Langkah langkah untuk membentuk lingkaran algoritma Circle Midpoint: 1.Tentukan radius r dengan titik pusat lingkaran(xc,yc) kemudian diperoleh (x0,y0)=(0,r) 2.Hitung nilai dari parameter P0=5/4 - r 3.Tentukan nilai awal k=0, untuk setiap posisi xk berlaku sebagai berikut: Bila P k < 0, maka titik selanjutnya adalah (x k+1, y k )dan Pk+1=Pk+2 xk+1 +1 Bila tidak, maka selanjutnya adalah(x k+1, y k-1 ), dan Pk+1= Pk+2 xk yk-1 Dimana 2x k+1= 2x k +2 dan 2y k+1 =2 yk Tentukan titik simetris pada ketujuh oktan yang lain 5. Gerakkan setiap posisi pixel(x,y) pada garis melingkar dari lingkaran dengan titik pusat (Xc,Yc) dan tentukan nilai koordinat x=x+xc, y=y+yc 6. Ulangi langkah 3 sampai 5, sehingga x=y

7 Algoritma pembentuk lingkaran Sebuah lingkaran ber jari-jari r=10 digambar dengan algoritma midpoint dengan menentukan posisi pixel pada octan pertama di quadran pertama dari x=0 sampai x=y Tentukan nilai awal: P0= 1-r = -9 Bila lingkaran digambar dari titik pusat (0,0) maka (x0,y0)=(0,10) 2x 0 =0, 2y 0 =20 k pk (Xk+1,yk-1) 2xk+1 2yk (1,10) (2,10) (3,10) (4,9) (5,9) (6,8) (7,7) 14 14

9 Algoritma Pembentuk Ellips Ellips merupakan bentuk modifikasi dari lingkaran, dengan penambahan pada mayor axis dan minor axis. Ellips merupakan kumpulan titik-titik yang jumlah jaraknya sama antara 2 titik konstan (fosi) ke setiap titik pada bidang ellips Jika jarak ke kedua fosi dari sembarang titik p(x,y) pada ellips dilambangkan dengan d1 dan d2,maka persamaan umum ellips: d1+d2=konstan ( x x1) 2 + ( y y1) 2 + ( x x2) 2 + ( y y2) 2 = constant

10 Algoritma Pembentuk Ellips Algoritma Midpoint Menggunakan pendekatan yang mirip dengan pembentukan lingkaran dengan midpoint Untuk ellips standar digunakan parameter yaitu rx,ry dan (xc,yc) Metode midpoint diajalankan pada kuadran pertama dalam dua bagian yaitu dari posisi (0,ry) dan step searah jarum jam sepanjang jalur ellips pada kuadran pertama, bila kemiringan <1 penambahan pada sumbu x dan bila kemiringan >1 penambahan pada sumbu y Bagian kedua dari posisi (rx,0) dan step berlawanan arah jarum jam, pergeseran unit step y ke x bila kemiringan lebih besar dari -1 Ellips dengan titik pusat xc,yc Dengan semimajor axis rx dan semiminor axis ry

11 Langkah langkah algoritma ellips midpoint; 1.Tentukan rx,ry dan pusat elips (xc,yc) kemudian diperoleh (xo,yo)=(0,ry) 2.Hitung nilai parameter P1 0 =r y2 r x2 r y +1/4 r x2 3.Tentukan nilai awal k=0, untuk setiap posisi x k berlaku sebagai berikut : Bila p1k< 0 maka titik selanjutnya adalah (xk+1, yk) p1 k+1 =p1 k +2r y2 x k+1 +r y2 Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah (x k +!,y k 1) dan p1 k+1= p1 k +2r y2 x k+1 2r x y k+1 r y2 dengan 2r y2 x k+1 =2r y2 x k +2r y2 Dan 2r x y k+1 2r x2 y k +2r x2 Teruskan sampai 2r y2 x >= 2r x2 y 4.Tentukan nilai parameter pada bagian kedua menggunakan titik terakhir (x0,y0) yang telah di hitung pada bagian pertama, sebagai berikut P 2k+1= 2r y2 (x o +1/2) 2 +2r x2 (y o 1) 2 r x2 r y2

12 5.Setiap posisi y k pada bagian kedua, dimulai dengan k=0 Bila p2k> 0 maka titik selanjutnya adalah (xk, yk1) p2 k+1 =p2 k +2r x2 y k+1 +r x2 Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah (x k +1,y k 1) dan p2 k+1 =pk+2r y2 x k+1 2r x y k+1 +r y2 6.Tentukan titik simetris pada ketiga kuadran lainnya 7.Gerakkan setiap posisi(x,y) pada garis melingkar dari elisp dengan titik pusat(xc,yc) dan tentukan nila i koordinat x=x+xc y=y+yc 8.Ulangi langkah untuk bagian pertama di atas, sehingga 2r y2 x >= 2r x2 y

13 Untuk menggambar ellips dengan titik pusat (0,0) dan mayor axis rx=8 serta minor axis ry=6, perhitungan berdasarkan pada kuadran pertama Nilai awal parameter dan increment dapat ditentukan 2r y2 x=0 (increment 2r 2 y =72) 2r y2 x=2r x2 r y (increment -2r x2 = -128) Untuk region 1: Titik awal dari ellips adalah pada (x0,y0)= (0,6) dan parameter awal adalah: p1 o = r y2 - r x2 r y + 1/4 r x2= -332 k p1k (xk+1),(yk-1) 2r y2 x k+1 2 rx2 yk (1,6) (2,6) (3,6) (4,5) (5,5) (6,4) (7,3)

Setelah k=6 titik telah keluar dari region 1, karena 2r y2 x k+1 > 2 rx2 yk+1 Untuk region 2, titik awal (x0,y0)=(7,3) dan parameter awal adalah P 2 0=f(7+1/2, 2) =151 k p2k

14 Setelah k=6 titik telah keluar dari region 1, karena 2r y2 x k+1 > 2 rx2 yk+1 Untuk region 2, titik awal (x0,y0)=(7,3) dan parameter awal adalah P 2 0=f(7+1/2, 2) =151 k p2k (xk+1),(yk+1) 2r y2 x k+1 2 rx2 yk (8,2) (8,1) (8,0) - - Posisi pixel disepanjang rute elips dengan rx=8 dan ry=6 dengan midpoint algorithm pada quadran pertama

15 Fungsi Geometri OpenGL

dokumen-dokumen yang mirip

BAB-4 LINGKARAN dan ELIPS

BAB-4 LINGKARAN dan ELIPS Algoritma Bresenham dapat diterapkan untuk menggamba lingkaran. Dalam menggambar lingkaran cukup mencari nilai dari oktan pertama saja. By: I Gusti Ngurah Suryantara, S.Kom.,