SIMULASI STOKASTIK MENGGUNAKAN ALGORITMA GIBBS SAMPLING ABSTRACT

Transkripsi

1 JURNAL GAUSSIAN, Volume, Nomor, Tahun 0, Halaman -30 Online di: htt://eournal-s.undi.ac.id/inde.h/gaussian SIMULASI STOKASTIK MENGGUNAKAN ALGORITMA GIBBS SAMPLING Ania, Moch. Abdul Mukid, Agus Rusgiyono 3 Mahasiswa Jurusan Statistika FSM Universitas Dionegoro,3 Sta Pengaar Jurusan Statistika FSM UNDIP ABSTRACT One way to get a random samle is using simulation. Simulation can be done directly or indirectly. Markov Chain Monte Carlo (MCMC) is an indirectly simulation method. MCMC method has some algorithms. In this thesis only discussed about Gibbs Samling algorithm. Gibbs Samling is introduced by Geman and Geman at 984. This algorithm can be used i the conditional distribution o the target distribution is known. It has alied on two casses, these are generation o bivariate normal random data and arameters estimation using Bayesian method. The data used in this research are the death o ulmonary tuberculosis in ASEAN in 007. The results obtained are ˆ 6, 4 and ˆ 9, 4 with standard error or ˆ 0,78 and ˆ 0, 3. Keywords: Simulation, indirect simulation, Monte Carlo, MCMC, Gibbs Samling generation o random data, Markov Chain. PENDAHULUAN Dalam berbagai bidang, enentuan suatu keutusan akan menadi bagian terenting. Inilah salah satu eran yang harus dialankan oleh seorang statistisi yaitu daat mengambil keutusan terbaik ada berbagai situasi dan kondisi. Selain memertimbangkan aktor-aktor yang berkaitan, dalam menentukan keutusan uga enting untuk memertimbangkan hasil erhitungan statistik yang ada. Dalam ehitungan tersebut akan membutuhkan suatu data yang meruakan inormasi dari masalah tersebut. Data yang digunakan daat berua data rimer, data sekunder, mauun data simulasi (data yang dibangkitkan). Oleh karena itu dierlukan suatu simulasi untuk membangkitkan samel random. Menguti tulisan I Made Tirta dalam buku Pengantar Metode Simulasi Statistika dalam Alikasi R dan S +, simulasi adalah teknik untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu roses atau situasi dalam rangka menduga secara karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengannya dengan menggunakan model yang diaukan. Jadi, dibutuhkan media komuter sebagai alat untuk melakukan simulasi embangkitan samel random tersebut. Kasus-kasus dengan distribusi eluang yang memiliki bentuk umum dan dikenal seerti distribusi normal, beta, gamma, dan daat diselesaikan dengan cara simulasi langsung. Namun, untuk kasus yang memiliki bentuk distribusi eluang yang belum dikenal, enyelesaiannya dilakukan dengan cara simulasi tidak langsung. Samai dengan sekarang, metode simulasi tak langsung yang sering digunakan adalah metode Markov Chain Monte Carlo atau disingkat MCMC. Nama Monte Carlo diambil dari nama sebuah kota di Monaco yang terkenal sebagai usat kasino. Secara sistematik metode Monte Carlo mulai berkembang tahun 944. Namun, sebelumnya ada tahun 93 Kolmogorov menunukkan hubungan antara roses stokastik Markov dengan ersamaan dierensial. Tahun 908 seorang mahasiswa,w.s. Gosset menggunakan ercobaan untuk membantunya menemukan distribusi koeisien korelasi. Pada tahun yang bersamaan ada mahasiswa menggunakan metode samling untuk memantakan keyakinannya ada distribusi yang disebutnya distribusi t.

2 Metode MCMC itu sendiri memiliki algoritma yang telah ouler yaitu algoritma Metroolis-Hastings dan algoritma Gibbs Samling. Kedua algoritma tersebut memiliki syarat enggunaan masing-masing. Dalam tulisan ini akan dielaskan mengenai enggunaan algoritma Gibbs Samling dalam membangkitkan samel random dari distribusi target tertentu. Dalam contoh eneraan dikai ula eggunaan Gibbs Samling untuk estimasi arameter dengan metode Bayes.. TINJAUAN PUSTAKA Tinauan ustaka yang digunakan dalam tulisan ini adalah sebagai berikut:.. Distribusi Bersama Variabel Random Kontinu Fungsi densitas robabilitas bersama dari suatu variabel random kontinu X X, X,..., X ) berdimensi-k dideinisikan sebagai: ( k,,..., k P X, X,..., X untuk setia nilai yang mungkin. Bila suatu variabel random kontinu X bersama, maka d marginal untuk X,dan X adalah: k k, X memiliki d Fungsi distribusi kumulati bersama dari suatu variabel random kontinu X X, X,..., X ) berdimensi- k dideinisikan sebagai: F,..., P X, X,..., X F, k k (,,..., k )... t... tk dt... dtk k k ( k, untuk setia =. (Bain dan Engelhardt, 99).. Distribusi Bersyarat Distribusi bersyarat sering uga disebut sebagai distribusi kondisional yaitu suatu distribusi dari sebuah keadian, misalkan A, dengan syarat bahwa suatu keadian lain, misalkan B, telah teradi. Suatu variabel random X, X dengan d bersama, memiliki d bersyarat dari X dengan syarat X dideinisikan:, () Sedangkan d bersyarat dari X dengan syarat X dideinisikan:, () (Bain dan Engelhardt, 99).3. Fungsi Likelihood Fungsi likelihood adalah ungsi densitas bersama dari n variabel random X, X,..., X n dan dinyatakan dalam bentuk,,..., n. Jika,,..., n teta, maka ungsi likelihood adalah ungsi dari arameter dan dinotasikan dengan L. Jika,...,, maka:, n menyatakan suatu samel random dari n n i L... i (3) (Bain dan Engelhardt, 99) JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman

3 .4. Distribusi Prior Di dalam analisis Bayesian, ketika suatu oulasi mengikuti distribusi tertentu dengan suatu arameter didalamnya, misal θ, maka dimungkinkan bahwa arameter θ itu sendiri uga mengikuti suatu distribusi robabilitas tertentu, yang disebut sebagai distribusi rior. Distribusi rior seringkali dituliskan dengan notasi, sehingga daat dituliskan ~. Terkadang ditemui masalah dalam memilih ungsi densitas dari rior dan dalam beberaa kasus daat diasumsikan sebagai suatu variabel random, baik variabel random diskrit atauun variabel random kontinu. (Bain dan Engelhardt, 99).5. Distribusi Posterior Distribusi osterior adalah ungsi densitas bersyarat θ ika nilai observasi diketahui dan daat dituliskan sebagai berikut:, i i (4) i Aabila kontinu, distribusi rior dan osterior daat disaikan dengan ungsi keadatan. Fungsi keadatan bersyarat satu variabel random ika diketahui nilai variabel random kedua hanyalah ungsi keadatan bersama dua variabel random itu dibagi dengan ungsi keadatan marginal variabel random kedua. Tetai ungsi keadatan bersama dan ungsi keadatan margial ada umumnya tidak diketahui, hanya distribusi rior dan ungsi likelihood yang biasanya dinyatakan. Fungsi keadatan bersama dan marginal yang dierlukan daat ditulis dalam bentuk distribusi rior dan ungsi likelihood,, i i dimana meruakan ungsi likelihood dan meruakan distribusi rior. Selanutnya diketahui bahwa Sehingga ungsi keadatan osterior untuk variabel random kontinu daat ditulis sebagai: i i (5) d i (Soeoeti dan Soebanar, 988).6. Metode Bayesian Pada metode Bayesian, inerensi didasarkan ada distribusi osterior, yang daat uga dituliskan sebagai ). Dari ersamaan (5) maka:,..., n,..., n ( ),..., ( ) d,..., n JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 3 n,..., n ( ) m,..., n Faktor enyebut, yaitu m( meruakan ungsi likelihood marginal dari data, sehingga daat dirumuskan bahwa: m( Dalam metode Bayesian dikenal suatu aktor kesebandingan untuk menentukan distribusi osterior,..., n, yaitu:,..., n,..., n Lambang menyatakan siat roorsional atau sebanding. Pada ersekti Bayesian ungsi likelihood meruakan ungsi dari ada data sehingga mengakibatkan elemen

4 elemen likelihood yang tidak mengandung ungsi menadi bagian dari kesebandingan. Dengan kata lain melalui siat kesebandingan dieroleh bahwa densitas osterior hanya mengandung ungsi yang memuat. Penduga Bayes untuk dieroleh melalui nilai haraan dari,,..., n, daat ditulis: ˆ E,,...,. n (Congdon, 003).7. Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Dewasa ini metode Markov Chain Monte Carlo(MCMC) telah banyak dialikasikan di berbagai bidang untuk menyelesaikan bermacam macam ermasalahan, khususnya yang terkait dengan inerensi Bayesian. yang berkaitan dengan ersoalan mendaatkan suatu distribusi osterior dan uga distribusi rior ada beberaa studi kasus. Metode MCMC daat digunakan baik untuk kasus univariat mauun multivariat. Metode ini memiliki algoritma yang sering digunakan yaitu algoritma Metroolis-Hastings dan algoritma Gibbs Samling. Pada tulisan ini hanya akan membahas mengenai algoritma Gibbs Samling. (Walsh, 004).7. Algoritma Gibbs Samling Gibbs Samling dierkenalkan oleh Geman dan Geman (984). Algoritma ini meruakan kasus khusus dari komonen tunggal algoritma Metroolis-Hastings yang menggunakan densitas roosal, yaitu distribusi target bersyarat enuh, dimana Distribusi roosal seerti ini menghasilkan eluang enerimaan, dan oleh karena itu erindahan yang diusulkan diterima untuk semua iterasi. Meskiun Gibbs Samling meruakan kasus khusus dari algoritma Metroolis- Hasting, biasanya disebut uga sebagai teknik simulasi yang terisah karena keouleran dan kemudahannya. Salah satu keuntungan dari Gibbs samling tersebut yaitu, ada setia langkah, nilai random harus dibangkitkan dari distribusi dimensi tunggal yang mana alat-alat komutasi yang tersedia beragam enisnya. Seringkali, distribusi bersyarat ini memiliki bentuk yang diketahui, sehingga seumlah nilai random daat disimulasi dengan mudah menggunakan ungsi standar ada sotware statistik dan komutasi. Gibbs samling selalu bergerak ke nilai-nilai baru dan yang aling enting adalah tidak memerlukan sesiikasi dari distribusi-distribusi roosal. Pada sisi lain, ini daat tidak berguna ketika ruang arameter rumit atau arameter-arameter sangat berkorelasi. Algoritma Gibbs Samling daat diringkas dengan langkah-langkah sebagai berikut: Misalkan,,..., ) (. Menentukan nilai awal. Untuk ulangi langkah-langkah berikut a. Menentukan b. Untuk erbaharui dari. Proses lengkanya sebagai berikut: dari,,..., dari, 3,..., 3 dari 3,, (t) dari,,...,, JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 4

5 (t) dari,,... (6) c. Membentuk dan menyimannya sebagai himunan nilai-nilai yang dibangkitkan ada iterasi ke-( dari algoritma t t t t Membangkitkan nilai nilai dari \,...,,,..., relati mudah karena meruakan distribusi univariat dimana semua variabel-variabel kecuali diertahankan teta ada nilai-nilai yang diberikannya. (Ntzouras, 009).7. Konvergensi Algoritma Dibawah ini akan dielaskan 3 metode yang sering digunakan dalam monitoring konvergensi.. Trace Plot Salah satu cara endugaan burn-in eriode adalah memeriksa trace lot nilai simulasi dari komonen atau beberaa ungsi lainnya dari terhada umlah iterasi. Trace lot meruakan gambaran sebuah lot dari iterasi versus nilai yang telah dibangkitkan. Trace lot terutama sekali enting ketika algoritma MCMC dimulai dengan nilai-nilai arameter yang auh dari usat distribusi target. Pada kasus seerti itu, nilai-nilai simulasi dari ada awal iterasi algoritma akan menyimang dari daerah ruang arameter dimana distribusi target diusatkan. Sebuah trend naik atau turun ada nilai arameter ada trace lot menunukkan bahwa burn-in eriod belum tercaai. Jika tren-tren seerti ini muncul, maka enting untuk menghilangkan bagian awal dari rantai, karena nilai-nilai awal ini tidak menunukkan erkiraan samel yang benar dari distribusi target. Dengan kata lain, ika semua nilai-nilai berada dalam sebuah daerah tana keeriodikan yang kuat cenderung daat diasumsikan konvergen.. Autokorelasi Untuk kedua algoritma MH dan Gibbs samling, nilai simulasi ada iterasi ke-( ) bergantung ada nilai simulasi ada iterasi ke-. Jika ada rantai terdaat korelasi yang kuat diantara nilai-nilai yang berurutan, maka kedua nilai berurutan tersebut memberikan inormasi hanya secara marginal mengenai distribusi target dan bukan nilai dari sebuah simulasi tunggal. Korelasi yang kuat diantara iterasi yang berurutan menunukkan bahwa algoritma masih berada ada daerah tertentu dari ruang arameter dan mungkin membutuhkan waktu yang lama untuk enyamelan dari keseluruhan daerah distribusi. Statistik yang umum digunakan untuk mengukur tingkat ketergantungan diantara engambilan berurutan ada rantai adalah autokorelasi. Autokorelasi mengukur korelasi diantara kumulan nilai-nilai simulasi dan, dimana meruakan umlah lag dari iterasi terisah ada dua kumulan nilai-nilai. Untuk komonen tertentu, ungsi autokorelasi daat dihitung sebagai ungsi nilai-nilai yang berbeda dari lag,. Untuk komonen, autokorelasi lag daat diduga dengan r L T T L T L L T dimana merukan rata-rata dari nilai-nilai simulasi. Nilai autokorelasi untuk lag akan hamir selalu menadi ositi untuk algoritma MH dan Gibbs samling. 3. Ergodic Mean Plot Ergodic mean adalah istilah yang menunukkan nilai mean samai dengan current iteration. Plot antara iterasi dengan nilai mean disebut dengan ergodic mean lot. Jika setelah beberaa iterasi ergodic mean stabil, maka ini meruakan sebuah indikasi konvergensi dari algoritma telah tercaai. (Ntzouras, 009) JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 5

6 .7.3 Pendugaan Parameter Pendugaan arameter dengan menggunakan metode MCMC biasanya digunakan untuk kasus-kasus inerensi Bayesian. Dengan menalankan sebuah algoritma MCMC, nilai-nilai simulasi masing-masing terdistribusi secara kira-kira ke distribusi osterior i. Penduga dari arameter dieroleh dari nilai rata-rata dari nilai-nilai samel yang tersimulasi, yaitu: T ' ˆ t T ' (7) Setelah didaatkan dugaan arameter, erhitungan enting lainnya ada analisis outut adalah mengenai standard error. Untuk menghitung standard error dari estimasi ini daat dilakukan dengan metode batch means. Metode batch means meruakan salah satu metode yang sederhana dan mudah diterakan. Metode ini dilakukan dengan membagi lagi urutan () ( T ') nilai-nilai simulasi,..., menadi kelomok dengan setia kelomoknya berukuran, sehingga. Untuk setia kelomok dihitung rata-rata samel, misal rata-rata b kelomok samel adalah ˆ,..., ˆ. Misalkan bahwa, ukuran kelomok yang telah diilih cuku besar sehingga autokorelasi (lag ) ada rangkaian batch means kecil, katakan dibawah, maka estimasi standard error ˆ daat diduga dengan standard deviasi dari batch means, yaitu: b l B l S ˆ (8) b b Standard error ini sangat berguna untuk menentukan ketelitian dari rata-rata osterior yang dihitung dalam simulasi yang dialankan. Pada keadian tersebut, ika standard error terlalu besar, maka algoritma MCMC sebaiknya dialankan kembali menggunakan umlah iterasi yang lebih besar. (Johnson dan Albert, 999) 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada tulisan ini diberikan dua contoh kasus, yaitu embangkitan samel random dari distribusi normal bivariat dan endugaan arameter dengan metode Bayes. 3. Peneraan Gibbs Samling untuk Pembangkitan Samel Random ada Distribusi Normal Bivariat Akan dibangkitkan samel random dari distribusi normal bivariat yang ungsi densitasnya adalah sebagai berikut:, e ~ X ~ dengan X, ~, dan X 5 4 Dengan meruuk Johnson dan Wichern (007) didaatkan distribusi bersyaratnya adalah JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 6

7 X (9) X ~ N, X (0) X ~ N, Dari distribusi bersyarat yang telah ditemukan yaitu ada ersamaan (9) dan ersamaan (0) maka embangkitan samel random yang akan dialankan dengan sotware R.0.0. Pada kasus ini digunakan nilai awal X = 8 dengan dilakukan iterasi sebanyak kali dan lag samling = 0. Berikut outut yang dihasilkan: Gambar (a) Trace lot dari nilai yang dibangkitkan, (b) Trace lot dari nilai yang dibangkitkan, (c) Plot autokorelasi nilai yang dibangkitkan, (d) Plot autokorelasi nilai yang dibangkitkan, (d) Ergodic mean lot nilai yang dibangkitkan, () Ergodic mean lot nilai yang dibangkitkan Dari outut ada Gambar terlihat bahwa trace lot untuk nilai dan sudah tidak membentuk ola sehingga menunukkan bahwa roses burn-in telah selesai. Pada gambar lot autokorelasi terlihat bahwa nilai-nilai autokorelasi ada lag ertama mendekati satu dan selanutnya nila-nilainya terus berkurang menuu 0 sehingga daat dikatakan bahwa ada rantai terdaat korelasi yang lemah. Korelasi yang lemah menunukkan bahwa algoritma sudah berada di dalam daerah distribusi target. Gambar yang terakhir meruakan gambar ergodic mean lot, ada gambar tersebut keduanya sudah menunukkan bahwa ergodic mean sudah stabil. Proses Burn-in untuk nilai selesai ada iterasi ke-0000 sedangkan untuk nilai burn-in selesai ada iterasi ke-5000, sehingga untuk kedua nilai tersebut diambil nilai burn-in eriod ada iterasi ke Dari ketiga metode yang digunakan telah membuktikan bahwa data yang dibangkitkan telah konvergen, yaitu data berasal dari distribusi targetnya. Setelah konvergensi tercaai, data yang dibangkitkan diui dengan ui Kolmogorov- Smirnov dan menghasilkan nilai -value sebesar sehingga daat dikatakan bahwa data yang dibangkitkan berasal dari distribusi normal bivariat. 3. Peneraan Gibbs Samling untuk Pendugaan Parameter ada Kasus Bayesian Pada contoh ini akan dilakukan endugaan arameter dari oulasi banyaknya kematian yang berhubungan dengan tuberkulosis aru er enduduk di negara-negara ASEAN tahun 007. Pendugaan arameter dilakukan dengan menggunakan metode Bayes dan algoritma Gibbs samling. Berdasarkan ui Kolmogorov-Smirnov dihasilkan bahwa samel yang dieroleh berdistribusi normal atau y i ~ N(, ). Distribusi rior yang digunakan adalah rior non konugat, yaitu ~ N(, 0 0 ) dan IG( a, b ) dengan arameter 0 0, 0 00, a 0,00 0, dan b 0, Ini ~ 0 0 JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 7

8 meruakan distribusi rior dengan inormasi yang rendah. Ukuran samel dan rata-ratanya adalah n 8, y 8, 06. Dengan meruuk Ntzouras (009) diketahui bahwa distribusi bersyaratnya adalah 0 ~ N wy w / 0, w n, dimana w / n 0 n n dan ~ IGa0, b0 y i i Dari ungsi bersyarat yang telah ditemukan maka embangkitan samel random dialankan menggunakan sotware R.0.0. Pada kasus ini dialankan dengan iterasi sebanyak 0000 kali dengan lag samling = 0. Berikut outut yang dihasilkan: Gambar (a) Trace lot dari nilai μ yang dibangkitkan, (b) Trace lot dari nilai σ yang dibangkitkan, (c) Plot autokorelasi nilai μ yang dibangkitkan, (d) Plot autokorelasi nilai σ yang dibangkitkan, (d) Ergodic mean lot nilai μ yang dibangkitkan, () Ergodic mean lot nilai σ yang dibangkitkan Dari outut ada Gambar 3 terlihat bahwa trace lot untuk nilai μ dan σ sudah tidak membentuk ola sehingga menunukkan bahwa roses burn-in telah selesai. Pada gambar lot autokorelasi terlihat bahwa nilai-nilai autokorelasi ada lag ertama mendekati satu dan selanutnya nila-nilai terus berkurang menuu 0 sehingga daat dikatakan bahwa ada rantai terdaat korelasi yang lemah. Korelasi yang lemah menunukkan bahwa algoritma sudah berada di dalam daerah distribusi target. Gambar yang terakhir meruakan gambar ergodic mean lot, ada gambar tersebut keduanya sudah menunukkan bahwa ergodic mean sudah stabil. Pada gambar (e) yaitu ergodic mean lot dari nilai rata-rata yang dibangkitkan terlihat stabil setelah iterasi ke Sedangkan untuk gambar () yaitu ergodic mean lot dari nilai simangan baku yang dibangkitkan, terlihat stabil ada iterasi ke Keduanya sudah tidak membentuk ola, baik itu trend naik mauun turun. Sehingga daat dikatakan bahwa ergodic mean sudah stabil. Batas iterasi ke itu meruakan nilai burn-in eriod. Jadi, hal ini telah mengindikasikan konvergensi algoritma dari samel yang dibangkitkan. Dari ketiga metode yang digunakan telah membuktikan bahwa data yang dibangkitkan sudah konvergen, yaitu data berasal dari distribusi targetnya. Secara manual, endugaan arameter daat dilakukan dengan menggunakan rumus yang telah dielaskan sebelumnya, yaitu ada ersamaan (7). Hasil endugaan yang didaatkan adalah ˆ 6, 4 dan ˆ 9, 4. Perhitungan standard error untuk enduga arameter uga dilakukan secara manual yaitu dengan rumus ada ersamaan (8). Hasil yang B B didaatkan adalah S ˆ 0, 78dan S ˆ 0, 3. Nilai standard error yang kecil mengindikasikan bahwa nilai yang yang dibangkitan memiliki tingkat kesalahan yang kecil, sehingga tidak erlu melakukan iterasi dalam umlah yang lebih besar lagi. JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 8

9 4. KESIMPULAN Salah satu metode simulasi tidak langsung yang sudah dikembangkan adalah metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Metode ini memiliki berbagai macam algoritma yang salah satunya adalah algoritma Gibbs Samling. Algoritma Gibbs Samling daat digunakan ika distribusi bersyarat tia-tia variabel dari distribusi target diketahui. Pada Gibbs Samling semua simulasi adalah univariat dan akan menerima semua samel hasil simulasi. Pada embahasan diberikan dua contoh eneraan metode Gibbs Samling yaitu untuk embangkitan samel random ada distribusi normal bivariat dan endugaan arameter ada kasus bayesian. Pada contoh ertama, dilakukan iterasi sebanyak kali dengan burn-in eriod ada iterasi ke Setelah konvergensi tercaai, data yang dibangkitkan diui dengan ui Kolmogorov-Smirnov dan menghasilkan nilai -value sebesar sehingga daat dikatakan bahwa data yang dibangkitkan berasal dari distribusi normal bivariat. Sedangkan ada contoh kedua, dilakukan iterasi sebanyak 0000 kali dengan burnin eriod ada iterasi ke Hasil endugaan arameter untuk ˆ 6, 4 dan ˆ 9, 4 dengan standard error ˆ 0, 78 dan ˆ 0, 3. DAFTAR PUSTAKA Bain, L. J. dan Engelhardt, M. 99. Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition. Caliornia: Dubury Press. Congdon, P Bayesian Statistical Modelling. John Wiley: Chichester, UK. Geman, S. dan Geman, D Stochastic Relaation, Gibbs Distribution, and the Bayesian Restoration o Images. IEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence. Johnson, R. A. dan Wichern, D. W Alied Multivariate Statistical Analysis. Sith edition. Prentice Hall International Inc: New Jersey. Johnson, V. E. dan Albert, J. H Ordinal Data Modeling. New York: Sringer-Verlag Inc. Ntzouras, I Bayesian Modeling Using WinBUGS. Greece: John Wiley. Soeoeti, Z. dan Soebanar.988. Inerensi Bayesian. Jakarta: Karunika Universitas Terbuka. Tirta, I M Pengantar Metode Simulasi Statistika dengan Alikasi R dan S +. Jember: FMIPA Universitas Jember. Walsh, B Markov Chain Monte Carlo and Gibbs Samling. Lecture Notes or EEB 58,version 6 Aril 004. JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 9

10 JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahun 0 Halaman 30