ANALISIS BAYES UNTUK REGRESI SPLINE TERPENALTI STUDI KASUS: ANALISIS HUBUNGAN JUMLAH UANG BEREDAR DENGAN INFLASI DI INDONESIA

Transkripsi

1 IndoMS Journal on Statistics Vol. 2, No. 2 (2014), Page ANALISIS BAYES UNTUK REGRESI SPLINE TERPENALTI STUDI KASUS: ANALISIS HUBUNGAN JUMLAH UANG BEREDAR DENGAN INFLASI DI INDONESIA Rika Fitriani, Gunardi Deartemen Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Abstract In this aer, Bayesian analysis for enalized sline regression is discussed. Penalized sline regression arameters can be estimated by Gibbs samling aroach. Bayesian analysis for enalized sline regression will be alied to analyze the relationshi between the money suly and inflation in Indonesia. The estimation result of Bayesian analysis for enalized sline regression is comared to enalized sline regression using least square method and simle linear regression. The estimation result of Bayesian analysis for enalized sline regression has the smallest SSE and the largest R 2. Keywords: enalized sline regression, Gibbs samling Abstrak Pada enelitian ini dibahas mengenai analisis Bayes untuk regresi sline terenalti. Parameter ada model regresi sline terenalti daat diestimasi menggunakan endekatan Gibbs samling. Analisis Bayes untuk regresi sline terenalti error yang heteroskedastis dialikasikan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar inflasi di Indonesia. Hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi sline terenalti dibandingkan hasil analisis regresi sline terenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Dieroleh kesimulan bahwa hasil analisis Bayes untuk regresi sline terenalti menghasilkan nilai SSE terkecil dan R 2 terbesar. Kata kunci: regresi sline terenalti, Gibbs samling 1. Pendahuluan Analisis regresi meruakan analisis statistik yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel deenden variabel indeenden. Metode dalam analisis regresi terdiri dari regresi arametrik, regresi nonarametrik, dan regresi semiarametrik. Regresi semiarametrik adalah gabungan dari regresi arametrik dan regresi nonarametrik. Regresi arametrik mengasumsikan bentuk kurva regresi sudah ditentukan. Aabila tidak ada informasi mengenai bentuk kurva regresi, maka metode yang daat digunakan adalah 2010 Mathematics Subject Classification: 62F15, 62G08, 62J05 63

2 64 Rika Fitriani, Gunardi regresi nonarametrik. Regresi nonarametrik memunyai fleksibilitas tinggi karena tidak tergantung ada asumsi bentuk kurva tertentu [6]. Beberaa metode enghalus dalam regresi nonarametrik antara lain metode enghalusan sline (smoothing sline), regresi sline (regression sline), dan regresi sline terenalti (enalized sline regression). Sline adalah olinomial yang memiliki sifat tersegmen. Pertemuan titik-titik segmen disebut simul (knot). Metode yang dibahas dalam tulisan ini adalah regresi sline terenalti. Regresi sline terenalti daat diestimasi menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Bayes. Metode Bayes adalah suatu metode analisis yang berdasarkan ada informasi yang berasal dari samel (samle information) dan informasi rior (rior information). Informasi rior meruakan informasi terdahulu/sebelumnya mengenai distribusi arameter yang tidak diketahui. Informasi rior ini bersifat subjektif, tergantung endaat ahli mengenai arameter tersebut. Keuntungan enggunaan analisis Bayes dalam estimasi yaitu analisis Bayes meruakan analisis yang berlandaskan ada data hasil observasi sehingga memberikan imlikasi yang baik dalam analisis, analisis Bayes noninformative rior memberikan kemudahan dalam analisis, dan analisis Bayes tidak memerlukan asymtotic inference sehingga daat digunakan untuk semua ukuran samel [4]. Regresi Sline Terenalti 2. Metode Hubungan antara variabel indeenden, x variabel deenden, y ditulis dalam bentuk: y = s(x) + ε, ε~n(0, σ 2 ε I n ) (2.1) y : variabel deenden s(x) : bentuk hubungan fungsional antara variabel deenden variabel indeenden ε : kesalahan random. Fungsi enghalus untuk s(x) ada ersamaan (2.1) daat dimodelkan menggunakan fungsi sline. Sline adalah olinomial yang memiliki sifat tersegmen. Pertemuan titik-titik segmen disebut simul (knot). Fungsi sline berorder titik-titik simul τ 1, τ 2,, τ K didefinisikan dalam bentuk +1 s(x) = β j x j 1 + K j=1 k=1 β +1+k (x τ k ) + (2.2) β j dan β +1+k adalah arameter fungsi sline, j = 1,, ( + 1) dan k = 1,2,, K τ k adalah titik-titik simul, k = 1,2,, K (x τ k ) + = { (x τ k), x τ k 0 0, x τ k < 0. Menurut Ruert [8], jumlah simul, K daat ditentukan rumus K = min ( 1 number of unique x, 35) (2.3) 4 dan lokasi simul daat ditentukan rumus τ k = kuantil ke { k } dari x, 1 k K. (2.4) K+1

3 Analisis Bayes untuk Regresi Sline Terenalti 65 Tingkat kehalusan kurva diukur menggunakan enalti kekasaran. Menurut Crainiceanu et al. [5], enalti kekasaran didefinisikan sebagai β Dβ (2.5) β : arameter fungsi sline, β = [β 1 β +1 β +1+1 β +1+K ] 0 (+1) K D : matriks enalti, D = [ 0 (+1) (+1) ]. 0 K (+1) I K K Jika diambil y 1 y 2 y = [ ] y n 1 x 1 1 x X = 2 [ 1 x n ε 1 x 1 x 2 x n (x 1 τ 1 ) + (x 2 τ 1 ) + (x n τ 1 ) + (x 1 τ K ) + (x 2 τ K ) + (x n τ K ) + ] ε ε = [ 2 ], ε n maka ersamaan (2.1) daat ditulis sebagai berikut y = Xβ + ε, ε~n(0, σ 2 ε I n ). (2.6) Pada regresi sline terenalti, ersamaan (2.6) diestimasi cara meminimumkan [y Xβ] [y Xβ] + 1 λ β Dβ (2.7) λ arameter enghalus. Estimasi β ada ersamaan (2.6) diselesaikan regresi sline terenalti ada ersamaan (2.7) menggunakan metode kuadrat terkecil sehingga dieroleh estimator untuk β sebagai berikut. Jika diambil: 1 x 1 x 1 β = (X X + 1 λ D) 1 X y. (2.8) (x 1 τ 1 ) + (x 2 τ 1 ) + [(x n τ 1 ) + (x 1 τ K ) + X = 1 x 2 x 2, Z = [ 1 x n x n] β 1 β +1+1 β = [ ], u = [ ], β +1 β +1+K maka ersamaan (2.7) daat ditulis sebagai berikut [y X β Zu] [y X β Zu] + 1 λ u I K K u. (2.9) (x 2 τ K ) + (x n τ K ) + ] Jika ersamaan (2.9) dibagi σ ε 2, maka dieroleh: 1 σ ε 2 [y X β Zu] [y X β Zu] + 1 λσ ε 2 u I K K u. (2.10) Jika didefinisikan σ u 2 = λσ ε 2 dan (x τ K ) + ada Z dierlakukan sebagai efek random, maka ersamaan (2.10) meruakan estimasi metode kuadrat terkecil dari model linear camuran,

4 66 Rika Fitriani, Gunardi β sebagai arameter efek teta dan u sebagai arameter efek random. Jadi, model regresi sline terenalti daat diformulasikan dalam bentuk model linear camuran model y = X β + Zu + ε, ε~n(0, σ ε 2 I n ), u~n(0, σ u 2 I K ). (2.11) Analisis Bayes untuk Regresi Sline Terenalti Estimasi arameter ada ersamaan (2.11) menggunakan metode Bayes memerlukan informasi rior. Informasi rior berua distribusi rior untuk setia arameter. Distribusi rior yang digunakan dalam regresi sline terenalti adalah sebagai berikut. β j ~N(0, σ 2 β0 ) iid u k σ 2 u ~N(0, σ 2 u ) iid ε i σ 2 ε ~N(0, σ 2 ε ) iid σ 2 u, σ 2 ε ~Invers Gamma(δ 0, θ 0 ). Estimasi arameter ditentukan menggunakan distribusi osterior. Distribusi osterior yang erlu dicari yaitu distribusi osterior bersama π(β, u, σ 2 ε, σ 2 u y). Dengan menggunakan Box-Tiao, π(β, u, σ 2 ε, σ 2 u y) daat ditulis sebagai berikut π(β, u, σ 2 ε, σ 2 u y) π(β )π(σ 2 ε )π(σ 2 u )π(u σ 2 u )f(y β, u, σ 2 ε ). (2.12) Distibusi osterior bersama ada ersamaan (2.12) sulit diturunkan secara langsung karena memiliki bentuk yang komleks. Oleh karena itu dilakukan endekatan Gibbs samling untuk menentukan distribusi osterior bersama tersebut. Menurut Hoff [7], dalam Gibbs samling dierlukan distribusi bersyarat lengka dari setia arameter sehingga erlu dicari distribusi bersyarat lengka dari (β u, σ 2 ε, σ 2 u, y), (u β, σ 2 ε, σ 2 u, y), (σ 2 ε β, u, σ 2 u, y) dan (σ 2 u β, u, σ 2 ε, y). Distribusi bersyarat lengka dari (β u, σ 2 ε, σ 2 u, y) adalah β u, σ 2 ε, σ 2 u, y ~ N ([(σ 2 β0 I +1 ) 1 + (X ) (σ 2 ε I n ) 1 X ] 1 [(X ) (σ ε 2 I n ) 1 y (X ) (σ 2 ε I n ) 1 Zu], [(σ 2 β I +1 ) 1 + (X ) (σ 2 ε I n ) 1 X ] 1 ). Distribusi bersyarat lengka dari (u β, σ ε 2, σ u 2, y) adalah (u β, σ ε 2, σ u 2, y) ~ N([(σ u 2 I K ) 1 + Z (σ ε 2 I n ) 1 Z] 1 [Z (σ ε 2 I n ) 1 y Z (σ ε 2 I n ) 1 X β ], [(σ u 2 I K ) 1 + Z (σ ε 2 I n ) 1 Z] 1 ). Distribusi bersyarat lengka dari (σ ε 2 β, u, σ u 2, y) adalah (σ ε 2 β, u, σ u 2, y) ~ Invers Gamma ([δ 0 + n 2 ], [θ (y (X β + Zu)) (y (X β + Zu))]). Distribusi bersyarat lengka dari (σ u 2 β, u, σ ε 2, y) adalah (σ u 2 β, u, σ ε 2, y) ~ Invers Gamma ([δ 0 + K 2 ], [θ u u]). Proses Gibbs samling untuk menentukan distribusi osterior bersama π(β, u, σ ε 2, σ u 2 y) dituliskan dalam algoritma berikut. 1) Ambil nilai inisialisasi untuk β, u, σ ε 2 dan σ u 2. Misalkan nilai inisialisasi untuk β, u, σ ε 2, σ u 2 berturut-turut adalah β (0), u (0), σ ε 2(0), σu 2(0).

5 Analisis Bayes untuk Regresi Sline Terenalti 67 2) Gunakan nilai inisialisasi di atas untuk membangkitkan samel β (1), β (1) ~ π(β u (0) 2(0), σ ε, 2(0) σu, y). 3) Bangkitkan samel u (1), u (1) ~ π(u β (1) 2(0), σ ε, 2(0) σu, y). 4) 2(1) Bangkitkan samel σ ε, 2(1) σε ~ 2 π(σε β (1), u (1) 2(0), σ u, y). 5) 2(1) 2(1) Bangkitkan samel σ u, σu ~ 2 π(σu β (1), u (1) 2(1), σ ε, y). 6) Ulangi langkah 2) samai 5) sebanyak jumlah iterasi. 3. Hasil dan Pembahasan Analisis Bayes untuk regresi sline terenalti dialikasikan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar inflasi di Indonesia. Variabel yang digunakan yaitu variabel jumlah uang beredar (JUB) sebagai variabel indeenden, x dan variabel inflasi sebagai variabel deenden, y. Data yang digunakan meruakan data sekunder yang dieroleh dari website Bank Indonesia (data daat dilihat ada [1], [2], [3]). Data tersebut meruakan data bulanan eriode Jumlah uang beredar dinyatakan dalam satuan miliar ruiah dan inflasi dinyatakan dalam satuan ersen. Analisis data menggunakan rogram WinBUGS dan R. Berbagai rior dicoba untuk menghasilkan estimasi terbaik. Tingkat keakuratan diukur SSE dan R 2. Model yang memiliki nilai SSE terkecil dan R 2 terbesar adalah model terbaik. Selanjutnya hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi sline terenalti dibandingkan hasil analisis regresi sline terenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Tabel 1. Perbandingan nilai SSE dan R 2 Metode SSE R 2 (%) regresi sline terenalti metode Bayes 251, ,66632 regresi sline terenalti metode estimasi kuadrat terkecil 520, ,21275 regresi linear sederhana 989, ,8200 Pada Tabel 1 daat dilihat bahwa nilai SSE terkecil yaitu sebesar 251,7910 dan R 2 terbesar yaitu sebesar 83,66632% yang meruakan nilai SSE dan R 2 dari model hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi sline terenalti. Jadi daat disimulkan bahwa hasil estimasi model regresi sline terenalti menggunakan metode Bayes lebih baik digunakan untuk memodelkan hubungan antara jumlah uang beredar inflasi di Indonesia. Nilai R 2 sebesar 83,66632% menunjukkan bahwa besarnya variasi dari inflasi yang daat dijelaskan oleh jumlah uang beredar menggunakan model hasil analisis Bayes untuk regresi sline terenalti yaitu sebesar 83,66632%. Perbandingan tingkat kecocokan model hasil analisis Bayes untuk regresi sline terenalti, hasil analisis regresi sline terenalti menggunakan metode kuadrat terkecil, dan hasil analisis regresi linear sederhana juga daat dilihat dari lot hasil estimasi inflasi. Dari Gambar 1 daat dilihat bahwa hasil estimasi inflasi menggunakan analisis Bayes untuk regresi sline terenalti menghasilkan estimasi yang tidak jauh berbeda nilainya data aslinya. Hal ini

6 Inflasi (%) 68 Rika Fitriani, Gunardi menunjukkan bahwa analisis Bayes untuk regresi sline terenalti lebih baik digunakan dalam memodelkan hubungan antara jumlah uang beredar inflasi. Perbandingan Hasil Prediksi Inflasi 20,00 18,00 Inflasi (%) 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 Jumlah Uang Beredar (Miliar Ruiah) rediksi inflasi bayesian -sline rediksi inflasi -sline rediksi inflasi regresi linear Gambar 1. Plot hasil estimasi inflasi metode yang berbeda Sebagai ilustrasi, misalkan terdaat jumlah uang beredar sebesar miliar ruiah maka menggunakan estimasi regresi sline terenalti metode Bayes, tingkat inflasi dierkirakan sebesar 4,44919%. Sedangkan aabila menggunakan estimasi regresi linear sederhana, tingkat inflasi dierkirakan sebesar 3,429%. Hal ini menunjukkan erbedaan hasil estimasi yang cuku jauh, sehingga hal ini juga akan berdamak ada engambilan kebijakan yang akan dilakukan oleh Bank Indonesia. Dengan demikian, metode yang teat dierlukan untuk menganalisis hubungan antara jumlah uang beredar inflasi sehingga Bank Indonesia daat mengambil kebijakan yang teat ula. 4. Kesimulan Berdasarkan embahasan sebelumnya, dieroleh kesimulan bahwa estimasi arameter ada model regresi sline terenalti daat dilakukan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode Bayes. Estimasi distribusi osterior ada metode Bayes

7 Analisis Bayes untuk Regresi Sline Terenalti 69 daat dilakukan menggunakan endekatan Gibbs samling. Hasil analisis data menggunakan analisis Bayes untuk regresi sline terenalti dibandingkan hasil analisis regresi sline terenalti menggunakan metode kuadrat terkecil dan hasil analisis regresi linear sederhana. Dieroleh kesimulan bahwa hasil analisis Bayes untuk regresi sline terenalti menghasilkan nilai SSE terkecil dan R 2 terbesar. Daftar Pustaka [1] Bank Indonesia, Laoran Inflasi (Indeks Harga Konsumen), htt:// shed&nrnodeguid={a ae8-b333-0c91e746f1e3} &NRORIGINALURL=%2fweb%2fid%2fMoneter%2fInflafI%2fData%2bInflasi%2f&NR CACHEHINT=Guest, diakses 1 Maret [2] Bank Indonesia, Metadata: Uang Beredar dan Faktor-Faktor yang Memengaruhinya, htt:// C371/28173/3UangBeredardanFaktorfaktoryangMemengaruhiUan.df, diakses 1 Maret [3] Bank Indonesia, Statistik Ekonomi dan Keuangan Indonesia (SEKI): Uang Beredar dan Faktor-Faktor yang Memengaruhinya, htt:// +HTML/Sektor+Moneter/, diakses 1 Maret [4] Berger, J.O., 1985, Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, edisi 2, Sringer- Verlag, New York. [5] Crainiceanu, C.M., Ruert, D., dan Wand, M.P., 2004, Bayesian Analysis for Penalized Sline Regression Using WinBUGS, htt://eole.orie.cornell.edu/davidr/aers/nonarametricbayes2.df. [6] Hardle, W., 1994, Alied Nonarametric Regression, Humboldt-Universitat zu Berlin, Berlin. [7] Hoff, P.D., 2009, A First Course in Bayesian Statistical Methods, Sringer, New York. [8] Ruert, D., 2002, Selecting the Number of Knots for Penalized Slines, Journal of Comutational and Grahical Statistics, nomor 4, volume 11, htt://