Penggunaan Penyelesaian Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya

Transkripsi

1 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) Penggunaan Penyelesaian Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya Dita Marsa Yuanita, Soleha Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam, nstitut Teknologi Sepuluh Nopember (TS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya seha_7@matematika.its.ac.id Abstrak Permasalahan kendali optimal linier kuadratik adalah mendapatkan aturan kendali optimal u(t) yang didapat mendapatkan penyelesaian Persamaan Riccati Waktu Diskrit (PRAWD) P(t) yang definit positif dan matriks gain umpan balik K(t). Untuk proses kendali berhingga, matriksmatriks P t dan K(t) adalah varian waktu. Akan tetapi, jika proses tersebut tidak berhingga maka matriks tersebut menjadi matriks konstan P dan K. Untuk mendapatkan penyelesaian kendali optimal steady state, diperlukan suatu penyelesaian PRAWD steady state. Penyelesaian PRAWD steady state didapat membalik waktu dari PRAWD non steady state. Pendiskritan juga diperlukan untuk menyelesaikan kendali optimal waktu diskrit apabila diberikan sistem waktu kontinu indeks performansi kontinu, contoh kasus adalah sistem servo plant pendulum terbalik. Analisis pada PRAWD menunjukkan sifat invariant dari PRAWD jika matriks pemberat indeks performansi diganti. Perlu diketahui juga bahwa PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang unik. Kata Kunci Kendali optimal linier kuadratik, Pendulum terbalik, Persamaan Riccati aljabar waktu diskrit, Penyelesaian persamaan Riccati aljabar waktu diskrit, Sistem servo S. PENDAHULUAN ejak awal tahun 6-an, Kalman telah menjelaskan dalam jurnal-jurnal terdahulunya bahwa persamaan Riccati aljabar memiliki peran krusial dalam penyelesaian masalah kendali optimal linier kuadratik, pemfilteran serta estimasi. Bahkan, pada 5 tahun terakhir persamaan Riccati ditemukan muncul dalam permasalahan linear dinamis kriteria indeks performansi kuadratik, masalah faktorisasi spektral, teori perturbasi singular, teori stokastik realisasi dan identifikasi, masalah nilai batas untuk persamaan differensial biasa, teori embedding dan scattering invariant. Untuk alasan tersebut, persamaan Riccati secara universal dianggap sebagai landasan dari teori kendali modern. Pada masalah kendali optimal, persamaan Riccati aljabar muncul pada beberapa permasalahan yaitu masalah optimal kuadratik, Kalman Filter, H 2 dan H. Penelitian sebelumnya [1], memberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang memunculkan persamaan Riccati aljabar yaitu masalah optimal kuadratik pada sistem yang berupa persamaan differensial yang memenuhi sifat kelinieran, atau disebut sistem linier invariant waktu kontinu. Permasalahan tersebut diselesaikan mengoptimalkan indeks performansi menggunakan penyelesaian persamaan Riccati aljabar waktu kontinu. Penyelesaian dapat diperoleh apabila sistem dalam keadaan terkontrol dan stabil. Dengan cara sama, penyelesaian persamaan Riccati aljabar waktu diskrit (PRAWD) berbentuk P = Q + F PF F PG R + G PG 1 G XF (1.1) P matriks definit positif, digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari permasalahan kendali optimal linier kuadratik waktu diskrit. Sistem waktu diskrit berbentuk persamaan beda + 1 = F + Gu t, x = c (1.2) Dan asumsikan sistem terkontrol. Permasalahan kendali optimal kuadratik waktu diskrit adalah mendapatkan vektor u(t) sedemikian hingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan menggunakan aturan umpan balik u t = K (1.3) K adalah matriks invarian waktu apabila proses kendali optimal tak berhingga. Misal diberikan salah satu contoh indeks performansi kuadratik J = k= x t Q + u t Ru t (1.4) Matriks Q dan R secara terurut, adalah matriks Hermit (real simetris) definit positif. Matriks tersebut merupakan pemberat dari vektor keadaan, dan vektor kendali u k. Diasumsikan bahwa vektor kendali u(t) tidak memiliki kendala. Pada tugas akhir ini, diberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang memunculkan persamaan Riccati aljabar yakni masalah optimal kuadratik dari sistem (1.2) yaitu kendali optimal kuadratik waktu diskrit, kemudian kendali optimal kuadratik waktu diskrit pada keadaan steady state, contoh kasus pada sistem pendulum terbalik kemudian diberikan sifat-sifat mengenai penyelesaian PRAWD dari jurnal [2]. A. nversi Matriks. TNJAUAN PUSTAKA Berikut ini akan diberikan suatu sifat mengenai invers matriks yang akan berguna pada bahasan berikutnya.

2 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) Sifat 2.1. (Sifat nversi Matriks) [3] Jika matriks A M n n, B M n m, C M m n, D M m m, dan matriks (A + BDC) mempunyai invers maka berlaku A + BDC 1 = A 1 A 1 B D 1 + CA 1 B 1 CA 1 B. Sistem Proses-proses kimiawi, mekanik, elektronik dan lain-lain dapat dimodelkan suatu sistem yang dapat direpresentasikan sebagai berikut + 1 = F + Gu t, x = x (2.1) y t = C + Du t (2.2) Persamaan ini disebut sistem linier invariant waktu diskrit. Persamaan (2.1) disebut persamaan keadaan. Persamaan (2.2) disebut persamaan output. Vektor adalah vektor keadaan pada waktu t. Vektor u(t) adalah vektor input bebas linier dari sistem. Vektor y(t) adalah output dari sistem. Matriks F M n n, G M n r, C M r n dan D M r m adalah matriks yang mengandung parameter dari keseluruhan sistem. Sistem di atas memiliki sifat linier dan invariant waktu. Linier artinya untuk suatu operator T berlaku jika input u 1 (t) memiliki output y 1 (t) dan u 2 (t) memiliki output y 2 (t), maka T αu 1 t + βu 2 t = α y 1 t + β y 2 t = α T u 1 t + β T u 2 t Sedangkan invariant waktu berarti jika input u(t) menghasilkan output y(t), maka u(t τ) menghasilkan output y(t τ) untuk setiap τ Z. [4] C. Sistem Pendulum Terbalik Dalam tugas akhir ini, akan diberikan salah satu contoh sistem yang dapat diselesaikan persamaan Riccati, yakni pendulum terbalik. Gambar 1. Pendulum terbalik Pendulum terbalik adalah pendulum yang porosnya ditempelkan pada kereta yang dapat bergerak arah horizontal. Kereta digerakkan oleh suatu motor kecil yang pada saat t, bekerja suatu gaya u(t) pada kereta. Gaya tersebut adalah variabel input pada sistem. Massa kereta dinotasikan M, sedangkan m adalah massa pendulum. Jarak antara titik poros pendulum ke pusat gravitasi massa adalah l. Sudut yang dibentuk oleh pendulum sumbu vertikal adalah θ. Sudut tersebut selalu diasumsikan bernilai kecil untuk menjaga pendulum terbalik tetap vertikal. (x G, z G ) menyatakan koordinat (x, z) dari pusat gravitasi. Maka, x G = x + l sin θ z G = l cos θ Dengan menggunakan hukum kedua Newton, persamaan gerak pendulum pada arah sumbu x sebagai berikut M d2 x dt 2 + m d2 x G dt 2 = u, (M + m) d2 x + l sin θ = u, (2.3) dt2 Persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut M + m x ml sin θ θ 2 + ml cos θ θ = u (2.4) Kemudian, persamaan gerak massa m pada arah z didapat menggunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar sehingga m d2 x G dt 2 l cos θ m d2 z G dt 2 l sin θ = mgl sin θ, mx cos θ + mlθ = mg sin θ (2.5) Dengan melakukan pendekatan untuk sin θ = θ, cos θ = 1, dan θθ =, persamaan (2.4) dan (2.5) dapat dilinierisasi menjadi M + m x + mlθ = u (2.6) mx + mlθ = mgθ (2.7) Linierisasi tersebut berlaku selama θ dan θ bernilai kecil. Persamaan (2.6) dan (2.7) mendefinisikan suatu model matematika dari sistem pendulum terbalik. Didefinisikan variabel keadaan sebagai berikut = θ = θ = x = x x adalah lokasi dari kereta, sehingga x merupakan output dari sistem, dapat ditulis y = x = Dari persamaan (2.6) dan (2.7) didapat bentuk persamaan matriks-vektornya = 1 M + m g Ml 1 m M g y = Ml 1 M u (2.8) (2.9) Persamaan (2.8) dan (2.9) memberikan salah satu representasi ruang keadaan dari sistem pendulum terbalik. D. Desain Sistem Servo Pada bagian ini, akan dijelaskan mengenai masalah pendekatan penempatan pole pada desain dari sistem servo. Gambar 2. Denah Sistem Servo G F

3 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) Gambar 2 menunjukkan konfigurasi antara suatu sistem servo keadaan umpan balik dan kontroler integral. Dari gambar tersebut didapat + 1 = F + Gu t (2.1) y t = C (2.11) Persamaan keadaan integratornya adalah v t = v t 1 + r t y t Vektor kendali u(k) diberikan oleh u t = K 2 + K 1 v t (2.12) Desain sistem servo adalah menentukan matriks K 1 dan K 2 sedemikian hingga sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Perhatikan bahwa u t adalah kombinasi linier dari vektor keadaan x(t) dan v(t), definisikan suatu vektor keadaan baru yang mengandung x(t) dan u(t). Kemudian didapat dari (2.1) dan (2.12) persamaan berikut + 1 u t + 1 = F G K 2 K 2 F K 1 CF K 2 G K 1 CG u t + K 1 r t + 1 (2.13) Persamaan output, (2.11), dapat ditulis sebagai berikut y t = C u t Untuk persamaan berikutnya, didefinisikan vektor r(t) adalah vektor konstan r. Dan didefinisikan vektor error sebagai berikut x E t = x() u E t = u t u() Perhatikan bahwa, untuk input, u t, dan v(t) mencapai nilai konstan pada x, u, dan v(). Jadi, dari persamaan (2.13), didapatkan persamaan representasi errornya berupa x E t u E t = F G x E t K 2 K 2 F K 1 CF K 2 G K 1 CG u E t (2.14) Persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai x E k + 1 u E k + 1 = F G x E k u E k + w t (2.15) jika didefinisikan w t = K 2 K 2 F K 1 CF K 2 G K 1 CG x E t u E t Kemudian definisikan juga ξ t = x E t F G, F = u E t, G = K = K 2 K 2 F K 1 CF K 2 G K 1 CG : Sehingga persamaan (2.15) menjadi ξ t + 1 = Fξ t + Gw t w t = Kξ t Perhatikan bahwa K 2 K F G 1 = K + (2.16) CF CG Matriks K 1 dan K 2 yang diinginkan dapat diperoleh dari persamaan (2.16). E. Kendali Optimal Linier Kuadratik Pada bagian ini dianalisis mengenai hubungan kendali optimal linier kuadratik penyelesaian PRAWD. Sebelumnya, pandang suatu sistem terkontrol + 1 = F + Gu t, x = c t =,1,2,, N 1. Akan ditentukan vektor u t sehingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan. Misal diberikan indeks performansi kuadratik untuk waktu terbatas adalah J = x N Sx N + x t Q + u t Ru t S M n n, Q M n n, dan R M r r adalah matriks simetris (Hermit) definit (semidefinit positif). Permasalahan kendali optimal pada bagian ini diselesaikan menggunakan pengali Lagrange λ 1, λ 2,, λ(n). Kemudian dapat didefinisikan ndeks Performansi: L = x N Sx N + x t Q + u t Ru t λ t + 1 F + Gu t F Gu t + 1 λ t + 1 Untuk meminimalkan fungsi L, L didiferensialkan terhadap, u(t) dan λ (t) hasil sama. δ = ; λ t = Q + F λ t + 1 (2.17) = ; Sx N = λ N (2.18) δx N δu t = ; u t = R 1 G λ t + 1 (2.19) = ; + 1 = F + Gu t (2.2) δλ t Vektor u(t) dapat ditemukan dari persamaan u t = K t x(t) matriks K(t) adalah matriks anggota M r n. Asumsikan λ(t) sebagai fungsi dari vektor keadaan dalam bentuk berikut: λ t = P t P(t) adalah matriks Hermit (real simetris) anggota M n n Dengan menyelesaikan persamaan (2.17) sampai (2.2) secara simultan didapat P t = Q + F P t + 1 F F P t + 1 G R + G P t + 1 G 1 GP(t + 1)F (2.21) Persamaan (2.21) disebut juga persamaan Riccati X N = S. Persamaan (2.21) bisa diselesaikan secara mundur dari t = N ke t = sampai didapat nilai yang konstan. Dari persamaan (2.21), vektor kendali optimal menjadi: u t = R + G P t + 1 G 1 G P t + 1 F K t = R + G P t + 1 G 1 G P t + 1 F (2.22) matriks K(t) dinamakan matriks umpan balik. Kemudian, dicari nilai minimum dari indeks performansi min J = min x N Sx N + x t Q + u t Ru t mensubtitusikan persamaan yang telah didapatkan pada bagian sebelumnya. x t Q + u t Ru t = x t P t x t + 1 P t (2.23) Dengan mensubtitusikan persamaan (2.23) ke persamaan indeks performansi J, diperoleh

4 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) J min = x N Sx N + x t P t x t + 1 P t = x N Sx N + x P x x N P(N) ngat bahwa X N = S, sehingga nilai minimum dari indeks performansi J adalah J min = x P x (2.24) F. Penyelesaian PRAWD Setelah mengetahui bentuk dari penyelesaian persamaan Riccati Aljabar, berikut ini diberikan teorema mengenai keberadaan dan keunikan penyelesaian Riccati Aljabar. Terlebih dahulu, definisikan persamaan Riccati Aljabar waktu diskrit sebagai fungsi berikut D P = P F PF + S + G PF R + G PG 1 S + G PF Q = (2.25) matriks F C n n, S C m n, G C n m, R = R C m m, Q = Q C m m. Suatu matriks P C n n disebut penyelesaian dari D P apabila P merupakan matriks Hermit, det R + G PG dan D P =. Sehingga didapat vektor kendali optimal u opt t = F G R + G P opt G 1 S + G P opt F yang akan meminimumkan indeks performansi J x, u = x (t) u (t) Q S S R u(t) J semidefinit positif. ndeks performansi optimal diberikan oleh J opt = x P opt x P opt adalah penyelesaian semidefinit terkecil dari persamaan Riccati aljabar waktu diskrit dan x = x. Serta definisikan suatu matriks loop tertutup terkait penyelesaian P dari (2.25) F P = F G R + G PG 1 (S + G PF) dan σ(f P ) adalah himpunan seluruh nilai eigen yang berbeda dari F P. Maka keadaan optimal memenuhi + 1 = F Popt x(t) Suatu penyelesaian P dikatakan sebagai penstabil jika λ < 1 untuk seluruh nilai eigen λ dari F P. Misal D = z; z < 1 adalah unit disk terbuka dan δd = {z; z = 1} adalah unit circle.. HASL DAN PEMBAHASAN A. Kendali Optimal Kuadratik Steady State Pada bagian ini diberikan kasus ketika proses kendali tidak berhingga atau N =, sehingga matiks gain varian waktu K(t) menjadi suatu matriks konstan K. Serta matriks penyelesaian PRAWD P(t) menjadi P. Pandang persamaan (1.2) F =.5 1, G = 1, nilai awal x = 2 2, serta indeks performansi yang akan diminimumkan J = x t u t u t (3.4) Bentuk x N Sx(N) tidak ada di persamaan (3.4) dikarenakan jika sistem stabil maka x() bernilai nol sehingga x Sx =. Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Riccati untuk kendali optimal steady state adalah membalik waktu dari persamaan Riccati non steady state pada persamaan (1.1) menjadi P t + 1 = Q + F P t F F P t G R + G P t G 1 GP t F dan iterasi persamaan tersebut MATLAB mulai dari P = hingga P mencapai nilai konstan syarat batas P = dan menghasilkan nilai yang tetap yaitu P = Kemudian, matriks gain steady state K dapat ditentukan dari persamaan (2.22) dapat diperoleh nilai K = ndeks performansi J yang bersesuaian aturan kendali optimal steady state didapat dari persamaan (2.24) mensubtitusikan P untuk P() J min = = B. Kendali Optimal Kuadratik dari Sistem Servo Diinginkan untuk mendapatkan model ruang keadaan kontinu kemudian mendiskritkan model tersebut sehingga didapat model diskrit. Misalkan diketahui M = 2.5kg, m =.25kg, l = 2m Pada bab 2 didapat representasi ruang keadaan dari pendulum terbalik pada persamaan (2.8) dan (2.9). Subtitusikan nilai dari M, m, l dan g = 9.81 didapat persamaan keadaan dan output dari pendulum terbalik adalah = y = 1 Untuk mendisain sistem kendali, diperlukan suatu model terdiskritisasi. Persamaan sistem terdiskritisasi adalah x k + 1 = e A x k + B A ea 1 u k Pendiskritan juga dapat dilakukan menggunakan command pada MATLAB. Perintah ini digunakan untuk mendiskritkan suatu sistem linier invariant waktu kontinu, dimisalkan periode sampel adalah T =.1 detik F, G = c2d A, B, T Sehingga, model ruang keadaan terdiskritisasi adalah + 1 = F + Gu(t) y t = C + Du(t) u

5 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) F = , G = C = 1, dan D = Berikutnya adalah mendisain sistem servo dari sistem pendulum terbalik. Disain sistem servo adalah menentukan matriks K dan konstanta K 1 sedemikian hingga sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Persamaan integrator ditunjukkan oleh persamaan (2.1) sehingga diperoleh + 1 v(t + 1) = F v(t) + G CG u t + r(t + 1) 1 CF 1 Misalkan r adalah fungsi tangga dan definisikan x E t = x v E t = v t v() Dapat diperoleh persamaan error seperti berbentuk x e (t + 1) v e (t + 1) = F CF 1 u e t = Kx E t + K 1 v E t = K x E t v E (t) + G CG u e(t) K 1 x E t v E (t) Sehingga dapat didefinisikan F = F G, G = CF 1 CG, K = K E t K 1 w t = u E t, ξ t = x e(t) v e (t) E t = E t E t v E (t) Maka representasi ruang keadaan dari sistem dapat ditulis ξ t + 1 = Fξ t + Gw(t) w t = Kξ(t) F = , G = Perhatikan bahwa representasi awal sistem pendulum terbalik berada pada waktu kontinu, maka harus dipertimbangkan suatu indeks performansi waktu kontinu. ndeks performansi waktu kontinu berbentuk J = ξ t Qξ t + w t Rw t ndeks performansi tersebut didiskritkan menjadi Ambil J = Q = ξ t Qξ t + w t Rw(t) dt, R = 1 1 Dapat diperoleh matriks gain umpan balik K dan konstanta gain integral K 1 sebagai berikut K = , K 1 =.6623, Dari matriks gain K yang diketahui dapat diperoleh respon tangga satuan cara sebagai berikut. Karena u t = K + K 1 v(t) maka + 1 = FF + GGr (3.11) v(t + 1) v(t) y t = C (3.12) v(t) r = 1. Definisikan F GK GK FF = 1 CF + CGK CGK 1 + 1, GG = 1 CC = C = 1 Untuk mendapatkan response (t), notasikan (t) = 1 v t mendefinisikan HH = 1 Konversikan persamaan ruang keadaan (3.11) dan (3.12) ke fungsi transfer X 1(z) R(z) num1, den1 = ss2tf FF, GG, HH, Kemudian gunakan perintah filter untuk mendapatkan respon tangga = filter num1, den1, r Dengan cara sama, untuk mendapatkan t, t = y t, t, dan x 5 t = v(t), kalikan basis liniernya v(t) X 2 t mendefinisikan basis linier tersebut sebagai JJ = 1 CC = 1 LL = 1 MM = 1 Selanjutnya dilakukan hal yang sama untuk Y t,, X 4 z V z, dan. R t R t R z R z Plot respon tangga satuan versus t ditunjukkan pada gambar berikut Gambar 3. Grafik Respon Tangga Satuan (t) versus t Gambar 4. Grafik Respon Tangga Satuan (t) versus t

6 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) Gambar 5. Grafik Respon Tangga Satuan (t) versus t Gambar 6. Grafik Respon Tangga Satuan (t) versus t Gambar 7. Grafik Respon Tangga Satuan x 5 (t) versus t Jika dimisalkan periode sampel adalah.1 detik, maka dari gambar di atas didapat bahwa keadaan steady state tercapai saat 7 detik. C. Sifat-Sifat Penyelesaian PRAWD Setelah mengetahui bentuk dari persamaan Riccati Aljabar waktu diskrit dan hubungannya masalah kendali optimal linier kuadratik, berikut ini diberikan sifat-sifat penyelesaian Riccati Aljabar. Di bawah ini diberikan sifat invariant dari D P, Φ P, F, R, S, dan Ψ z apabila diberikan matriks R, S, dan Q yang baru. Pertama-tama, definisikan Φ P, F, R, S = F G R + G PG 1 (S + G PF) dan Ψ z = G z 1 F 1 Q S S R z F 1 G Sifat 3.1. [2] Misal X matriks Hermit dan R = R + G XG, S = S + G XF, Q = Q + F XF X (3.13) maka D P; F, G, R, S, Q = D P X; F, G, R, S, Q dan Ψ z; F, G, R, S, Q = Ψ z; F, G, R, S, Q (3.14) dan Φ P, F, R, S = Φ P X, F, G, R, S Bukti Dalam jurnal ini dibuktikan (3.14) saja. Pertama, didefinisikan Ψ z; F, G, R, S, Q = G z 1 F 1 Q S z F 1 G S R Maka Ψ z; F, G, R, S, Q = G z 1 F 1 Q S z F 1 G Q S S R + G z 1 F 1 F XF X F XG = G z 1 F 1 Dimisalkan G XF S R z F 1 G G XG z F 1 G (3.15) T z = G z 1 F 1 F XF X F XG z F 1 G G XF G XG Sehingga persamaan (3.15) menjadi Ψ z; F, G, R, S, Q = Ψ z; F, G, R, S, Q + T(z) Persamaan terakhir menyatakan agar Ψ z; F, G, R, S, Q = Ψ z; F, G, R, S, Q maka harus ditunjukkan T z = T z = G z 1 F 1 F XF X F XG G XF G XG = G z 1 F 1 F X F z F 1 + G +G X F z F 1 + G G z 1 F 1 X z F 1 G Sederhanakan F z F 1 menjadi F z F 1 + = F + z F z F 1 G z F 1 = z z F 1 Maka T z = G z 1 F 1 F X z z F 1 G + G X z z F 1 G G z 1 F 1 X z F 1 G = G z + z 1 F 1 F z X z F 1 G = G F z + F z X z F 1 G = Jadi, terbukti bahwa fungsi Ψ z, mampu mempertahankan sifat invariant jika (R, S, Q) digantikan oleh (R, S, Q). Misalkan terdapat penyelesaian Hermit dari PRAWD P. Sekarang, misalkan P 2 adalah penyelesaian unik PRAWD terkait persamaan (2.23). Ditunjukkan bahwa P 2 adalah penyelesaian minimum dari (2.23) P = Δ + P 2 sebagai berikut. Sifat 3.2. [2] Misal P 2 adalah penyelesaian dari D P = dan P adalah suatu penyelesaian dari D P = F P2 = F G R + G P 2 G 1 S + G P 2 F R = R + G P 2 G Maka = P P 2 adalah penyelesaian persamaan H Y = Y F P YF P 2 + F P 2 YG R + G YG 1 G YF P2 = Bukti Dari sifat 3.1, untuk setiap P 2 penyelesaian Hermit dapat dimisalkan R = R + G P 2 G, S = S + G P 2 F, U = R 1 S Berlaku juga untuk P penyelesaian Hermit R = R + G PG, S = S + G PF, U = R 1 S Kemudian didapat persamaan berikut ini R R = G P 2 G, S S = F P 2 G

7 JURNAL SANS DAN SEN POMTS Vol. 2, No.1, (213) R R = G PG, S S = F PG R R = G G, S S = G F Serta F P2 = F GU (3.16) Akan dibuktikan bahwa H = F P2 F P 2 + F P 2 G R + G G 1 G F P2 = Dengan kata lain F P2 F P 2 = F P 2 G R + G G 1 G F P2 Dari persamaan (3.16) F P2 F P2 = F GU F GU = F F + U G F + F GU U G GU = P P 2 F P P 2 F + U G P P 2 F + F P P 2 GU UG P P 2 GU (3.17) Karena P dan P 2 merupakan penyelesaian D P = maka P 2 F P 2 F = S R 1 S Dan P F PF = S R 1 S Sehingga F F = P F PF P 2 F P 2 F = S R 1 S S R 1 S (3.18) Dan F GU = S S U = S S R 1 S (3.19) U G F adalah transpose konjugat dari F GU. Selanjutnya U G GU = S R 1 G P P 2 GR 1 S (3.2) Subtitusikan persamaan 3.18, (3.19) dan (3.2) ke persamaan (3.17) didapat F P2 F P2 = F F + U G F + F GU U G GU = S R 1 S S R 1 S + S R 1 S S + S S R 1 S S R 1 G P P 2 GR 1 S = S R 1 S + S R 1 S + S R 1 S S R 1 S S R 1 G P P 2 GR 1 S = S R 1 R + G P P 2 G R 1 S S R 1 S + S R 1 S + S R 1 S Karena R = R + G G maka F P2 F P2 = S R 1 RR 1 S S R 1 S + S R 1 S + S R 1 S = S S R 1 R R 1 S RR 1 S Perhatikan bahwa RR 1 = R + G PG R 1 = RR 1 + G PGR 1 = R G P 2 G R 1 + G PGR 1 = + G GR 1 Sehingga S RR 1 S = S + G GR 1 S = S S G GR 1 S = G F G GR 1 S = G F GU = G F P2 Kemudian didapat F P2 F P2 = G F P2 R 1 G F P2 = F P2 G R + G PG 1 G F P2 Jelas bahwa adalah penyelesaian dari H Y = A. Kesimpulan V. KESMPULAN/RNGKASAN 1. Persamaan keadaan dan output dari sistem pendulum terbalik berbentuk persamaan kontinu indeks performansi kontinu, pendiskritan dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari sistem. 2. Desain servo diselesaikan mendapatkan penyelesaian PRAWD P, matriks K dan konstanta integral K 1 dari persamaan ruang keadaan ξ t + 1 = Fξ t + Gw(t) w t = Kξ(t) 3. Dari matriks K dan K 1 dapat diperoleh respon tangga satuan t, t, t = y t, t, dan x 5 t = y(t). Kemudian dapat diberikan grafiknya versus t menggunakan software MATLAB. 4. Fungsi D P, Ψ z, dan Φ(P) mampu mempertahankan sifat invariant jika (R, S, Q) digantikan oleh (R, S, Q) R = R + G XG, S = S + G XF, Q = Q + F XF X 5. Apabila P dan P 2 merupakan penyelesaian D P, maka Δ = P P 2 merupakan penyelesaian dari H Y = Y F P YF P 2 + F P 2 YG R + G YG 1 G YF P2 = P 2 adalah penyelesaian minimum dari D P. B. Saran 1. Permasalahan kendali optimal dalam tugas akhir ini merupakan masalah waktu diskrit sehingga dapat diteliti lebih lanjut mengenai kasus waktu kontinu. 2. Dapat dianalisis juga mengenai persamaan Riccati aljabar kontinu serta sifat penyelesaiannya. 3. Selanjutnya, dapat juga ditunjukkan mengenai hubungan sifat-sifat penyelesaian persamaan Riccati aljabar masalah kendali optimal. DAFTAR PUSTAKA [1] Bellon, J. (28) "Riccati Equations in Optimal Control Theory". Mathematics Theses, Georgia State University. [2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (23). Existence and Uniqueness of Unmixed Solutions of The Discrete-time Algebraic Riccati Equations. Systems and Control Letters, Vol. 5, Hal [3] Ogata, K. (1995). Discrete-Time Control System. Prentice-Hall nternational, London. [4] Subiono. (21). Matematika Sistem. Jurusan Matematika, FMPA TS.