INVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK NURFAUZIAH

Transkripsi

1 INVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK NURFAUZIAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Inverse Eigenvalue Problem untuk Matriks Tridiagonal Simetrik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor Bogor, Juni 2015 Nurfauziah NIM G

4 ABSTRAK NURFAUZIAH Inverse Eigenvalue Problem untuk Matriks Tridiagonal Simetrik Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan MUHAMMAD ILYAS Inverse eigenvalue problem adalah proses mengonstruksi suatu matriks yang mempertahankan struktur tertentu dari data tertentu Biasanya Data yang digunakan dapat berupa informasi sebagian dari nilai eigen atau vektor eigen Beberapa jenis matriks yang sering dibahas dalam inverse eigenvalue problem adalah Matriks Tridiagonal Simetrik, Matriks Jacobi, Matriks Toeplitz, dan matriks Hermitian Dalam karya ilmiah ini, jenis matriks yang dibahas adalah Matriks Tridiagonal Simetrik beserta dua kasus khusus yaitu matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif dan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan Dalam setiap kasus tersebut masing-masing memeliki syarat perlu dan cukup yang dibahas dalam lema dan teorema Kata kunci: Inverse eigenvalue problem, Matriks Tridiagonal Simetrik, Nilai Eigen ABSTRACT NURFAUZIAH An Inverse Eigenvalue Problem for Symmetric Tridiagonal Matrices Supervised by NUR ALIATININGTYAS and MUHAMMAD ILYAS Inverse eigenvalue problem is the process of constructing a matrix that retains a certain structure of specific data The data typically used may be information some of eigenvalues or eigenvectors Several types of matrices that are often discussed in inverse eigenvalue problem are symmetric tridiagonal matrices, Jacobi matrices, Toeplitz matrices, and Hermitian matrices In this paper, we discussed the problem for symmetric tridiagonal matrices and its two special cases, namely a symmetric tridiagonal matrices with negative main diagonal entries and those with constant elements In every case we provided necessary and sufficient conditions which are presented in the lemma and theorems keywords: Inverse eigenvalue problem, minimal and maximal eigenvalue, symmetrical tridiagonal matrices

5 INVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK NURFAUZIAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerah-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan September 2014 ini adalah matematika murni, yang berjudul Inverse Eigenvalue Problem untuk Matriks Tridiagonal Simetrik Terima kasih kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MSi dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing, serta Bapak Dr Jaharuddin selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran Disamping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, bapak, adik dan seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat matematika 47, kakak dan adik kelas, sahabat SMA Negeri 1 Pandeglang, SMP Negeri 1 Jiput, SD Negeri 3 Sukacai, teman-teman Lingkar Inspirasi, teman-teman BEM KM 2013/2014 serta seluruh pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga karya ilmiah ini selesai Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu Semoga karya ilmiah ini bermanfaat Bogor, Juni 2015 Nurfauziah

9 DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 Matriks 1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 3 Teorema Cauchy Interlace 3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Matriks Tridiagonal Simetrik 4 Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Tak Negatif 8 Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Bernilai Konstan 10 Contoh Aplikasi 13 SIMPULAN DAN SARAN 20 Simpulan 20 Saran 20 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 22 RIWAYAT HIDUP 28

10 DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti contoh aplikasi Bukti contoh aplikasi Bukti contoh aplikasi 3 26

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen dalam matriks Matriks tridiagonal simetrik adalah matriks yang mempunyai elemen yang simetrik secara diagonal dan bernilai nol pada entri-entri selain diagonal utama, superdiagonal dan subdiagonal Istilah eigen di dalam bahasa Jerman mempunyai arti asli Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli, nilai karakteristik (characteristic value), atau akar laten (latent root) Dalam bahasa yang lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukan seberapa besar pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks Mengkonstruksi suatu matriks yang mempertahankan struktur tertentu dari data tertentu disebut inverse eigenvalue problem Data yang digunakan dapat berupa informasi sebagian dari nilai eigen atau vektor eigen Salah satu matriks yang sering dibahas dalam inverse eigenvalue problem adalah matriks tridiagonal simetrik karena sangat penting dalam banyak aplikasi, di antaranya digunakan pada teori getaran yang dibahas oleh Barcilon (1979), desain struktural yang dibahas oleh Joseph (1992), dan teori control yang dibahas oleh Byrnes (1989) Dalam karya ilmiah ini akan dikonstruksi suatu matriks tridiagonal simetrik dari data yang terdiri dari beberapa nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama Sumber utama penulisan karya ilmiah ini ialah jurnal ilmiah karya Hubert Pickmann, Ricardo L Soto, J Egana, dan Mario Sales (2006) yang berjudul An inverse eigenvalue problem for symmetrical tridiagonal matrices Contoh aplikasi teori inverse eigenvalue problem diberikan pada lampiran dengan menggunakan software MAPLE Tujuan Tujuan karya ilmiah ini ialah mengkaji secara teoritis syarat perlu dan cukup untuk mengkonstruksi suatu matriks tridiagonal simetrik dari nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai konsep yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan Matriks Matriks Tridiagonal Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang berukuran, dinotasikan sebagai, adalah matriks dengan entri-entri jika

12 2 (1) Berikut merupakan contoh matriks tridiagonal dengan Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut subdiagonal dan entri-entri tepat di atas digonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal (Kouachi 2006) Matriks Tridiagonal Simetrik Matriks tridiagonal simetrik adalah matriks yang berukuran dinotasikan sebagai dengan entri-entri jika dan untuk semua dan yang (2) Berikut merupakan contoh matriks tridiagonal simetrik dengan Submatriks utama Jika terdapat matriks tridiagonal simetrik [ ], (3)

13 maka submatriks utama dari adalah submatriks-submatriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris terakhir dan kolom terakhir dari, dengan Submatriks-submatriks tersebut dituliskan sebagai berikut 3, -, [ ], [ ],, (Anton, Howard 2005) [ ] Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan adalah suatu matriks Skalar disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol, sehingga Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk (4) Persamaan (4) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika singular atau ekivalen dengan (5) Jika determinan pada persamaan (5) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat dalam peubah sebagai berikut (6) Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk matriks Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari (Leon 2001) Definisi 1 Jika himpunan * + memenuhi kondisi balanced set, maka terdapat matriks tridiagonal simetrik dan Г iaruaunuk eeiaukuk keuue aenak pure suniutrens utuiukuu Teorema Cauchy Interlace Teorema Cauchy Interlace Jika terdapat matriks simetrik yang berukuran, dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran, maka

14 4 dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari yang memenuhi pertidaksamaan berikut, Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Definisi Misalkan diberikan suatu fungsi dengan bilangan real, jika memenuhi sifat maka merupakan fungsi genap Sedangkan jika berlaku maka merupakan fungsi ganjil HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas beberapa lema dan teorema yang digunakan untuk mendapatkan suatu matriks tridiagonal simetrik Matriks Tridiagonal Simetrik Misalkan diberikan matriks tridiagonal simetrik dengan bentuk sebagai berikut, (7) dengan dan, adalah submatriks utama dari merupakan polinomial karakteristik dari, dengan adalah matriks identitas ordo ke- Berikut merupakan lema yang akan menjelaskan tentang polinomial karakteristik, dengan yang memenuhi relasi rekursif Lema 1 Jika diberikan matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran, maka barisan polinomial karakteristik { } memenuhi relasi rekursif sebagai berikut: (8) dengan, dan

15 5 Ilustrasi Kebenaran Berikut adalah Ilustrasi kebenaran Lema 1 untuk dan Untuk, maka, Untuk maka, - Lema 2 Diberikan matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama dari yang berukuran, dengan polinomial karakteristik / Misalkan, 1 Jika 2 Jika dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari maka, maka Bukti: Akan dibuktikan bentuk (1) dan (2) /, sehingga untuk, /, jika bilangan genap, maka, dan jika bilangan ganjil maka, sehingga diperoleh Selanjutnya, untuk, /,

16 6 / akan selalu bernilai positif untuk bilangan genap ataupun ganjil sehingga diperoleh Selanjutnya akan dibahas unsur-unsur dari matriks tridiagonal simetrik yaitu dan dengan menggunakan Teorema 1 sebagai berikut Teorema 1 Syarat perlu dan cukup untuk mendapatkan suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan ( submatriks utama dari yang berukuran,, dengan ) dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari adalah (9) Bukti: Akan dibuktikan terdapat matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti bentuk (7), yang mempunyai unsur dan dengan, unsur-unsur tersebut akan didapatkan dengan cara sebagai berikut Misalkan diberikan dan yang memenuhi persamaan (9), dengan / dan / =0 Selanjutnya dengan mensubtitusikan dan ke dalam Lema 1 maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut { / / / / / / / / (10) Selanjutnya, dengan merubah persaman (10) kedalam bentuk matriks maka akan diperoleh matriks sebagai berikut ( ( / / ) ( ) / / / / ) ( / ) (11) ( dengan ) dan, sehingga determinan dari persamaan (11) bisa dinyatakan sebagai berikut / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) (12) Koefisien matriks (11) tak nol, sehingga dapat dituliskan bahwa 0 / / / /1

17 / / / / (13) 7 Perhatikan bahwa persamaan (13) memenuhi pertidaksamaan (9) sehingga berdasarkan Lema 2 diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut Jika maka / dan jika /,sehingga diperoleh / / maka Selanjutnya, jika maka / dan jika maka /,sehingga diperoleh / / Jadi dapat disimpulkan bahwa Karena dan maka solusi dari persamaan (10) dapat dituliskan sebagai berikut { / / / / / / / /, { / / / / / / (14) Ubah persaman (14) ke dalam bentuk matriks maka diperoleh matriks sebagai berikut ( ( / / ) ( ) / / / / ) Selanjutnya, dengan menggunakan Metode Cramer dapat dicari rumus dengan sebagai berikut dengan dan / / / / / / / /, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

18 8 / / / / ( ) ( ) ( ) ( ), Sehingga unsur-unsur diperoleh sebagai berikut / / / / (15) / / / / / / / (16) Berdasarkan pertidaksamaan (9) dan Lema 2 diperoleh persamaan sebagai berikut, / / / Sehingga, dengan Sebaliknya, misalkan terdapat matriks tridiagonal simetrik yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan merupakan submatriks utama ( dari yang berukuran dengan ) dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari, sehingga menurut Teorema Cauchy Interlace berlaku Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Tak Negatif Pada bagian ini akan dibahas kasus khusus untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif dari nilai eigen minimal dan maksimal dari, dengan Syarat perlu dan cukup untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif akan ditunjukan oleh Teorema 2 Teorema 2 Diberikan dan sebanyak, dengan,terdapat matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif yang berukuran seperti pada bentuk (7), dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan jika dan hanya jika (17)

19 9 (18) / / / / (19) Bukti: Akan dibuktikan jika nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama memenuhi pertidaksamaan (17), (18), dan (19) maka akan diperoleh, Berdasarkan Teorema 1, pertidaksamaan (17) merupakan syarat perlu dan cukup terbentuknya suatu matriks tridiagonal simetrik, diketahui, ( berdasarkan rumus ) akan diperoleh Selanjutnya, diketahui / / /, dan (20) / Berdasarkan Lema 2 diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut Jika maka / dan jika maka / Sehingga dapat disimpulkan / / Selanjutnya, dengan menyilang atau menyamakan penyebut pertidaksamaan (20) dapat dituliskan bahwa / / / / Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan 0 / / / /1, maka berdasarkan persamaan (15) diperoleh matriks dengan Sebaliknya, misalkan terdapat sebuah matriks tridiagonal simetrik seperti pada bentuk (7) dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan Teorema Cauchy interlace menjamin kondisi (17) benar dan berdasarkan Teorema 1 terdapat unsur sebagai berikut, 0 / / / /1, Persamaan di atas ekuivalen dengan

20 10 0 / / / /1 dengan Maka diperoleh / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal Utama Bernilai Konstan Pada bagian ini akan dibahas kasus khusus untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan Lema 3 Diberikan matriks tridiagonal simetrik sebagai berikut, (21) dengan dan merupakan polinomial karakteristik dari submatriks utama dari dengan Jika bilangan genap maka merupakan polinomial genap dan jika bilangan ganjil maka merupakan polinomial ganjil Bukti: Akan dibuktikan jika bilangan ganjil maka merupakan polinomial ganjil, sedangkan jika bilangan genap maka merupakan polinomial genap Diberikan,, berdasarkan rumus polinomial karakteristik pada Lema 1 maka polinomial karakteristik dari adalah Untuk bilangan ganjil Jika, maka

21 11 ( ) ( ), karena, maka merupakan polinomial ganjil Anggap benar untuk bilangan genap dan bilangan ganjil, maka merupakan polinomial genap dan merupakan polinomial ganjil sehingga / /, karena, maka merupakan polinomial ganjil Untuk bilangan genap Jika, maka Karena, maka merupakan polinomial genap Anggap benar untuk bilangan ganjil dan bilangan genap maka merupakan polinomial ganjil dan merupakan polinomial genap, sehingga karena, maka merupakan polinomial genap Syarat perlu dan cukup untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan akan ditunjukkan oleh Teorema 3 sebagai berikut, Teorema 3 Diberikan bilangan real dan sebanyak, yang memenuhi persamaan (9) Terdapat matriks tridiagonal simetrik yang berukuran dengan dan seperti pada bentuk (21) dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan jika dan hanya jika

22 12 Bukti: Diketahui Akan dibuktikan terdapat matriks tridiagonal simetrik yang berukuran dengan dan seperti pada bentuk (21) Jika maka sehingga Berdasarkan Definisi 1, jika dan maka himpunan nilai eigen tersebut memenuhi kondisi balanced set sehingga akan ada matriks tridiagonal simetrik dengan seperti bentuk (21) dengan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan memenuhi persamaan (9) Jika dan didefinisika, maka = 0, dengan menjumlahkan dan maka diperoleh, sehingga / / / Menurut definisi 1 jika dan, himpunan nilai eigen tersebut memenuhi kondisi balanced set sehingga terdapat suatu matriks tridiagonal simetrik seperti pada bentuk (21) dengan dan berturut-turut adalah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan Selanjutnya, dibentuk suatu matriks tridiagonal simetrik dengan dan berturut-turut ialah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dari dengan Sebaliknya, misalkan terdapat suatu matriks tridiagonal simetrik yang memenuhi dan dengan dan berturut-turut ialah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dengan dari Akan dibuktikan Diketahui dan Akan dibuktikan bahwa Diberikan ganjil Jika ganjil maka genap dan ganjil Selanjutnya, berdasarkan Lema 3 jika genap maka merupakan polinomial genap dan jika ganjil maka merupakan polinomial ganjil Berdasarkan persamaan (15) dan Lema 3, diperoleh dengan cara sebagai berikut, / / / / / / / /

23 13 / / / / Diberikan genap Jika genap maka ganjil dan genap Selanjutnya, berdasarkan Lema 3, jika ganjil maka merupakan polinomial ganjil dan jika genap maka merupakan polinomial genap Berdasarkan persamaan (15) dan Lema 3, diperoleh dengan cara sebagai berikut / / / / / / / / / / / Dari pembuktian di atas, dapat disimpulkan bahwa, sehingga terdapat matriks seperti pada bentuk (21) dengan dan berturutturut merupakan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dengan dari yang memenuhi persamaan (9) dengan polinomial karakteristik Untuk genap atau ganjil berlaku dan 0 memenuhi persamaan eigen minimal dan maksimal dari, Maka / / berturut-turut adalah / sehingga nilai dan Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas contoh aplikasi dari Inverse eigenvalue problem yaitu akan dibuat suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukurunan dari beberapa nilai eigen dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibuktikan dalam bab hasil dan pembahasan 1 Matriks tridiagonal simetrik umum Misalkan diberikan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama matriks tridiagonal simetrik yang berukuran sebagai berikut, dengan dan Berdasarkan Teorema 1, untuk mendapatkan elemen-elemen dari matriks tridiagonal simetrik dituliskan sebagai berikut

24 14 / / / / / / / / = / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / )

25 15, sehingga, matriks tridiagonal simetrik yang terbentuk adalah sebagai berikut, ( ) ( ), ( ) ( ) Sebaliknya, diberikan matriks-matriks di atas dengan menggunakan MAPLE akan diperoleh nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama sebagai berikut dan (Lihat lampiran 1) dan 2 Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal utama Tak Negatif Diberikan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama matriks tridiagonal simetrik yang berukuran sebagai berikut dengan dan, dan memenuhi Syarat perlu dan cukup pada Teorema 2 sebagai berikut 1 Syarat pertama Syarat kedua 3 Syarat ketiga Untuk / / / /

26 16 / / / / Untuk / / / / Karena ketiga pertidaksamaan di atas terpenuhi maka berdasarkan bukti dari Teorema 1 matriks yang akan dihasilkan merupakan matriks tridiagonal simetrik tak negatif Unsur-unsur matriks tridiagonal tersebut dapat dicari sebagai berikut / / / / / / / / = / / / / / / / / / / / / / / /

27 17 / / / / / / / ), Sehingga, matriks tridiagonal simetrik yang terbentuk adalah sebagai berikut, ( ) ( ) ( ) ( ) Sebaliknya, diberikan matriks-matriks di atas dengan menggunakan MAPLE akan diperoleh nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama sebagai berikut dan (Lihat lampiran 2) dan 3 Matriks Tridiagonal Simetrik dengan Diagonal yang Bernilai Konstan Diberikan nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran sebagai berikut dengan dan

28 dengan nilai-nilai eigen tersebut memenuhi persamaan Berdasarkan bukti Teorema 1, untuk mendapatkan matriks tridiagonal simetrik ditunjukan sebagai berikut / / / / / / / / = / / / / / / / / / / / / / / /

29 19 / / / / / / /, sehingga matriks tridiagonal simetrik yang terbentuk adalah sebagai berikut ( dengan ( ), ) ( ) ( dengan ( ), ) ( ) ( dengan ( ), ) ( ) ( dengan ( ), ) ( )

30 20 Sebaliknya, diberikan matriks-matriks di atas dengan menggunakan MAPLE akan diperoleh nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama sebagai berikut dan dan (Lihat lampiran 3) SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa syarat perlu dan cukup untuk menyelesaikan Inverse Eigenvalue Problem 1 Untuk suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran adalah 2 Untuk suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran dengan diagonal utama tak negatif adalah / / / / 3 Untuk suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran dengan diagonal utama bernilai konstan adalah ( dengan ) ( dan ) berturut-turut ialah nilai eigen minimal dan maksimal dari submatriks utama dengan dari Saran Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai penggunaan MATLAB untuk menyelesaikan Inverse Eigenvalue Problem untuk suatu matriks tridiagonal simetrik yang berukuran besar

31 21 DAFTAR PUSTAKA Barcilon V 1979 On The Multiplicity of Solutions of The Inverse Problem for A Vibrating Beam SIAM J, Appl, Math 37: Byrnes CI 1989 Pole Placement by Output Feedback, in Three Decades of Mathematical Systems Theory Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer Verlag 135: Chu MT, Golub GH 2005 Inverse Eigenvalue Troblems: Theory, Algorithms and Applications New York (US) : Oxford University Press Joseph KT 1992 Inverse Eigenvalue Problem in Structural Design AIAA J 30 : Kouachi S 2006 Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices ELA 15(1) : doi:104064/am Mercer, AMCD, Mercer, Peter R 1998 Cauchy s Interlace Theorem and Lower Bound for The Spectral Radius Internat J Math & Math SciVol 23 No 8 (2000) S X Pickmann H, Soto RL, Egana J, Salas M 2006 An Inverse Eigenvalue Problem for Symmetrical Tridiagonal Matrices Computers and Mathematics with Applications 54 (2007) Zhang F 1999 Matrices Theory: Basic Results and Techniques Springer-Verlag New York (US)

32 22 Lampiran 1 Contoh aplikasi matriks tridiagonal simetrik umum >

33 23

34 24 Lampiran 2 Contoh aplikasi matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama tak negatif >

35 25

36 26 Lampiran 3 Contoh aplikasi matriks tridiagonal simetrik dengan diagonal utama bernilai konstan >

37 27

38 28 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pandeglang pada tanggal 10 Mei 1992 Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara dari Bapak Sacarudin dan Ibu Eti Suhaeti Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pandeglang dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) Penulis diterima Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif diberbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan Penulis aktif tergabung dalam Ikatan Keluarga Muslim TPB (IKMT) pada tahun 2010/2011 Penulis aktif sebagai anggota BEM FMIPA tahun 2011/2013 dan anggota BEM KM tahun 2013/2014 Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, di antaranya menjadi salah satu anggota divisi logistik dan transportasi dari kegiatan Open House (OH) 48 dan salah satu anggota divisi Penanggung Jawab Laskar dari Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB) 48