BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang

Transkripsi

1 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pembelajaran matematika merupakan pembelajaran yang harus diikuti siswa mulai dari sekolah dasar hingga perguruan tinggi. Matematika harus dipelajari siswa sejak dini karena mata pelajaran matematika memiliki hakikat untuk memberikan bekal kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif kepada siswa. Namun demikian, agar manfaat pembelajaran dapat diperoleh dengan maksimal maka pembelajaran matematika juga perlu dibarengi dengan adanya respon positif dari pembelajar itu sendiri. Tidak dapat dipungkiri bahwa fenomena yang terjadi pada saat ini menunjukkan bahwa matematika yang merupakan mata pelajaran logis dan sangat bermanfaat, justru menjadi mata pelajaran yang kurang disukai ataupun ditakuti. Pada umumnya orang beranggapan bahwa matematika merupakan mata pelajaran yang tidak aplikatif dan sulit untuk dipahami. Pandangan ini melekat secara turun temurun sehingga membuat bagi kebanyakan orang tidak mau untuk mempelajari matematika. Sebagai akibatnya, didunia pendidikan didapati peserta didik yang memiliki prestasi rendah dalam mata pelajaran matematika. Hal tersebut diatas berbanding terbalik dengan makna matematika itu sendiri dimana matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang saling berhubungan. Konsep tersebut terbagi dalam tiga bidang, yakni aljabar, analisis dan geometri. Berdasarkan definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan ilmu mengenai pola dan hubungan, logika, dan konsep-konsep yang berhubungan satu sama lain. Dalam matematika, aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear, vektor, serta transformasi linear dan solusinya. Disamping itu pula dalam aljabar linear tidak dapat dilepaspisahkan mengenai matriks dan operasinya karena berkaitan erat dengan bidang aljabar linear itu sendiri. Matriks bukan sesuatu yang tidak asing lagi dan memiliki

2 2 berbagai manfaat dalam meyelesaikan aplikasi pada sistem persamaan linear. Sebagaimana diketahui bahwa matriks merupakan sekumpulan bilangan real, yang disusun menyerupai persegi panjang dengan panjang dan lebar menunjukkan banyak baris dan banyak kolom. Matriks itu sendiri memiliki komponen berupa banyaknya baris dan kolom. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berukuran m x n. Matriks juga memiliki berbagai sifat operasi seperti aritmatika, matriks nol, invers matriks, matriks transpos dan matriks diagonal. Penyelesaian persamaan linear yang ditulis dalam bentuk persamaan matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, salah satunya dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Selanjutnya sistem persamaan linear dalam bentuk matriks tridiagonal, seringkali didapati pada perhitunganperhitungan persamaan diferensial parsial yang dominan secara diagonal (definit positif). Dimana matriks tridiagonal itu sendiri merupakan matriks bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol). Pada dasarnya, persamaan linear dalam bentuk matriks tridiagonal dapat dilakukan dengan berbagai inovasi dan alternative untuk mencari penyelesaiannya. Salah satu inovasi, terkait dengan aplikasi matriks tridiagonal adalah penyelesaian nilai eigen. Guru dalam hal ini sebagai tenaga pendidik dalam bidang matematika, harus memiliki peran yang sangat penting. Mengingat bahwa keberhasilan pembelajaran ditunjang dengan pengetahuan dan wawasan yang luas dalam bidang matematika itu sendiri sehingga diharapkan mampu melaksanakan pembelajaran yang lebih komprehensif dan mudah dipahami oleh peserta didik. Oleh sebab itu penulis memandang perlu untuk dilakukan suatu pembahasan lebih lanjut terkait dengan aplikasi matriks tridiagonal. Penulis tertarik untuk melakukan penelitian dalam aplikasi matriks tridiagonal untuk penyelesaian nilai eigen sebagai pengayaan pengetahuan para guru.

3 3 1.2 Permasalahan Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas, maka permasalahan yang akan dibahas lebih lanjut, sebagaimana uraian berikut. 1. Bagaimanakah aplikasi matriks tridiagonal untuk penyelesaian nilai eigen pada sistem persamaan linear, dalam pembelajaran? 2. Bagaimanakah penggunaan matriks tridiagonal pada algoritma Thomas. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari pelaksanaan penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Untuk mengetahui aplikasi matriks tridiagonal pada penyelesaian nilai eigen dan persamaan linear dalam pembelajaran. 2. Untuk mengetahui penggunaan algoritma Thomas pada matriks tridiagonal untuk penyelesaian nilai eigen. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Memberikan kontribusi terhadap pembelajaran terkait dengan aplikasi matriks tridiagonal dalam penyelesaian nilai eigen pada sistem persamaan linear dalam pembelajaran. 2. Menjadi referensi dalam pembelajaran matriks khususnya yang berkaitan dengan cara penyelesaian persamaan linear dalam bentuk matriks tridiagonal. 1.5 Tinjauan Pustaka Penelitian ini merujuk pada beberapa buku dan jurnal ilmiah. Diantara buku tersebut adalah Dasar-Dasar Aljabar Linear (Wijayanti,dkk 2014). penelitian ini juga meggunakan buku Elemetary Linear Algebra (Larson, 2012). Suparno,S. (2008). Dengan ini komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab. Jakarta: Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia.

4 4 Pembelajaran matriks telah sejak lama ada. Latin Squares dan Magic Squares telah dikenal sejak jaman prasejarah. Matriks mempunyai sejarah panjang tentang aplikasi dalam memecahkan persamaan linear. Beberapa huruf penting antara 300BC sampai AD200. Pada bab ketujuh Too Much is Not Enough, konsep penentu pertama terlihat hampir 2000 tahun sebelum penemuan oleh ahli matematik Jepang Seki Kowa pada tahun 1683 atau Leibniz Gottfried seorang ahli matematik Jerman (Kandasamy dan Smarandache, 2012). Sejarah matriks ini dijelaskan oleh Stakhov (2009) dalam bukunya yang berjudul The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science dan juga W. B. Vasantha Kandasamy dalam bukunya yang berjudul Exploring the Extension of Natural Operations on Intervals, Matrices and ComplexNumbers. Dalam buku tersebut dijelaskan bahwa Leibniz mengembangkan teori determinan pada tahun Cramer mengembangkan teori tersebut lebih lanjut, mempresentasikan aturan Cramer's pada tahun Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan mengembangkan Gauss-Jordan penghapusan pada tahun Kata matriks pertama kali diperkenalkan oleh James Joseph Sylvester ( ) pada tahun 1850 untuksmenunjukkan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang. Sebelum tahun 1858, Arthur Cayley menulis tentang transformasi linear yang menggambarkan bahwa matriks secara formal merupakan suatu cabang matematika. Wen Y (2004). Eigenvalues Of Several Tridiagonal Matrices (Applied Mathematies ISSN ) Kouachi,S. (2006) Eigenvalues And Eigenvectors Of Tridiagonal Matrices (Applied Mathematies ).

5 5 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam tesis ini yaitu dengan studi literatur secara sistematis untuk mempelajari jurnal-jurnal dan buku-buku penunjang yang berhubungan dengan sistem persamaan linear, matriks tridiagonal dan pengembangan serta penerapannya. Penelitian ini diawali dengan mempelajari definisi mengenai sistem persamaan linear. Yang dilanjutkan dengan mengkaji definisi dari teori tentang matriks dan determinan matriks bujursangkar. Berikut dilanjutkan pula teori mengenai penyelesaian sistem matriks tridiagonal dengan algoritma Thomas serta nilai eigen pada matriks tridiagonal. Berdasarkan uraian diatas, hasil yang diinginkan pada penelitian ini ialah menemukan solusi sistem persamaan linear yang berbentuk matriks tridiagonal dengan menggunakan algoritma Thomas baik secara manual maupun melalui program. 1.7 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : BAB I Pendahuluan : Bab ini berisikan latar belakang penelitian, perumusanmasalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II Landasan Teori : Pada bab ini peneliti membahas tentang uraian hasil penelitian terdahulu, tinjauan teori yang terkait dengan persamaan linear, matriks, dan matriks tridiagonal dalam penyelesaian nilai eigen, serta hal-hal mendasar lainnya yang akan digunakan lebih lanjut dalam pembahasan penelitian ini. BAB III Aplikasi Matriks Tridiagonal Dan Nilai Eigen : Bab ini merupakan pembahasan untuk menjawab pertanyaan yang diungkapkan pada BAB I. BAB IV Kesimpulan : Bab ini merupakan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan pada BAB III.