PEMULUSAN SEBARAN DATA MENGGUNAKAN PENAKSIR KERNEL NADARAYA-WATSON DAN LINIER LOKAL UNTUK KERNEL NORMAL. Sudarno 1.

Transkripsi

1 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: PEMULUSAN SEBARAN DATA MENGGUNAAN PENASIR ERNEL NADARAA-WATSON DAN LINIER LOAL UNTU ERNEL NORMAL Sudaro ) Program Stud Statstka FMIPA Udp dsga@gmal.com Abstrak Sebara data yag bebas dstrbus, peaksra fugs regresya megguaka regres oparametrk dega pedekata fugs mulus. Betuk dar fugs mulus tergatug dar parameterya. Utuk meaksr parameter da fugs mulusya dapat megguaka peaksr Nadaraya-Watso da erel Ler Lokal. Aka dbaas smulas metode kerel utuk meaksr la kurva mulus pada suatu la varable bebas, dega badwdt bervaras. Adapu kerel yag dpaka utuk pedekata yatu kerel ormal. Ig dketau sfat-sfat yag daslka pada fugs sus atau cosus dega peambaa gaggua berdstrbus ormal acak. ata kuc: Badwdt, erel, erel Nadaraya-Watso, erel Ler lokal. Pedaulua Dalam statstka sebara data sagat berart. Segga g dketau karakterstkya. Tetap terdapat sebara data yag tdak dketau fugs sebaraya atau bebas dstrbus. Utuk meetuka fugs regresya megguaka regres oparametrk. Dalam regres oparametrk dperluka suatu metode utuk medapatka fugs mulus tetap tdak sepert yag berparameter pada regres parametrk. Dalam Gree (99) dkataka bawa model regres oparametrk berupa: g( ) error dega g merupaka fugs mulus da adala vector pejelas. Dalam al dperluka cara utuk medapatka fugs mulus g tersebut. Utuk medapatka fugs mulus g, dapat megguaka metode kerel, yatu suatu fugs pemulus ubuga atar ttk dalam daera pembcaraa dega kosep sepert fugs destas peluag (Hardle, 99) da juga ole Wad da Joes [995]. Sedagka meurut Hardle (99) dkataka bawa utuk medapatka fugs mulus dapat megguaka tekk pemulus dega peragkat luak S. Ig dketau dalam meetuka fugs mulus atau taksra regres megguaka peragkat luak MATLAB. Aka dbaas kerel Nadaraya-Watso da ler lokal utuk beberapa parameter 97

2 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: pemulusya, agar ddapat karakterstk da la taksra fugs pada varabel bebas tertetu.. Metode erel erel merupaka sembarag fugs pemulusa yag mempuya sfat: () () ()d () () d (3) () d () Beberapa kerel yag basa dpaka dalam pembaasa adala: Tabel. Macam-macam erel erel Persamaa Bocar ( ) I( ) Gaussa / ( ) e Epaeckov ( ) 3 ( ) I( ) Trcube ( ) 7 ( ) I( ) dega I () jka jka Berkut dberka coto gambar kerel Gaussa da Epaeckov: 98

3 erel Gaussa erel Epaeckov PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: Sumbu - - Sumbu Gambar. erel Gaussa da Epaeckov erel dperguaka utuk pegambla rataa lokal. Msal terdapat pasaga data (, ),,(, ) da dgka medapatka rataa dar semua yag sesua dega dalam suatu jarak dar suatu ttk. Rataa lokal adala sama dega (5) l () dmaa l () (6) dega merupaka kerel. Jad kerel merupaka rataa terbobot secara lokal. erel aka dperguaka utuk peaksra dar sebara data yag bebas dstrbus. Metode pemulusa megguaka kerel dberka ole Wad da Joes [995]. Aka dtamplka klas metode pemulusa berdasar pada peaksr kerel, yag meetuka data dalam cara lokal. Cara dsebut peaksr kerel polomal lokal. Pertama ddefska peaksr secara umum da selajutya meamplka dua kasus kusus: peaksr kerel Nadaraya-Watso da peaksr kerel ler lokal. 99

4 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: Dega peaksr kerel polomal lokal, dapat dperole suatu taksra ŷ pada ttk dega meetuka derajat polomal d megguaka kuadrat terkecl terbobot. Dgka membobot ttk-ttk berdasarka pada jarakya dar. Ttk-ttk yag leb dekat teradap pusat data, sebakya mempuya bobot yag leb besar. Sedagka ttkttk yag leb jau jarakya dber bobot yag leb kecl. Utuk mewujudka, dperguaka bobot yag dperguaka utuk tgg fugs kerel yag berpusat pada. erel mempuya suatu badwdt atau parameter pemulus yag dyataka dega. Parameter pemulus aka megotrol derajat pegaru ttk-ttk pada peetua lokas. Jka kecl, maka kurva aka bergelombag. area taksra aka bergatug pada bobot dar ttk-ttk teradap kedekata dega. Dalam kasus, model aka dcoba meetuka la lokal dega meml la dar kecl ke besar dega melat perubaa grafkya. Dega cukup besar, aka dapat meetuka gars pada seluru kumpula data. Sekarag dberka gambara utuk peaksr kerel polomal lokal. Msal d meyataka derajat polomal yag dtetuka pada suatu ttk. Dperole peaksr y ˆ fˆ( ) dega meetuka polomal ) ( d ( ) d dega megguaka ttk-ttk, ) da meerapka prosedur kuadrat terkecl ( terbobot. Bobotya dberka ole fugs kerel (7) ( ). (8) Nla taksra pada ttk adala ˆ, dmaa ˆ dperole dega memmalka ( )(. (9) d ( ) d ( ) ) area ttk-ttk yag dperguaka utuk meaksr model tersebut adala semuaya berpusat d, maka taksra pada dperole dega megambl argume dalam model yatu sama dega ol. Dega demka, parameter yag terssa adala aya suku kosta ˆ. Jka kerel dpusatka pada varable acak. Sesua dega otas yag dbuat ole Wad da Joes [995] yag meujukka secara eksplst bawa pusat kerel pada ttk, g ddapat la taksra dar fugs. Prosedur kuadrat terkecl terbobot dega 5

5 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: megguaka otas matrks, sesua dega teor kuadrat terkecl terbobot baku (Draper da Smt, 98], ddapat: ˆ T W T W dega merupaka vektor respo berukura, ( ( ), ) d d da W adala matrks berukura dega bobotya sepajag dagoal. Bobot dberka dega () w ( ) ( ) () Bobot d atas dapat berla ol, tergatug dar kerel yag dperguaka. Peaksr ŷ fˆ() merupaka koefse tersep dar taksra lokal. Nlaya dperole dar f ˆ( ) T e ( W ) T T W () dmaa T e adala suatu vektor berdmes (d + ) dega satu dalam tempat pertama da ol pada tempat yag laya. 3. Peaksr erel Nadaraya-Watso da Ler Lokal 3. Peaksr erel Nadaraya-Watso Suatu peryataa secara eksplst ada blamaa d = da d =. Bla d berla ol, dcar fugs kosta secara lokal yag dberka ttk. Peaksr dkembagka secara terpsa ole Nadaraya [96] da Watso [96]. Jka dgabug medapatka Peaksr Nadaraya-Watso sepert yag dberka berkut : ( ) fˆ NW() (3) ( ) Peaksr utuk kasus racaga acak. Blamaa ttk racaga adala tetap, maka, dgat dega, tetap jka tdak demka peryataya adala sama [Wad da Joes, 995]. Berkut aka dbaas smulas dar sebara data fugs bometr (sus da coses) dega peambaa gaggua sebara acak berdstrbus ormal. Taksra fugs 5

6 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: regresya ddekat megguaka peaksr Nadaraya-Watso dega kerel ormal. Parameter pemulusya megambl la =,5;,5; ;. Utuk sebara fugs y s ().9 rad(sze( )) da taksraya dtamplka pada grafk berkut : =,5 =, = = Gambar. Grafk Fugs Sus dega Peaksr Nadaraya-Watso. Terlat bawa mak kecl la, fugs taksraya mak bergelombag. Sebalkya mak besar la, fugs taksraya mak meuju ler. Adapu asl taksraya pada suatu la da tertetu dtabelka d bawa : Tabel. Hasl taksra la,5,5,6,787,39,773 5,8,5387,5,688 5

7 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: ,783,783,5963,58 5,65,797,5399,359 Utuk sebara fugs y cos().5 rad(sze( )) da taksraya dtamplka pada grafk berkut : =,5 =, = = Gambar. Grafk fugs cosus dega peaksr Nadaraya-Watso. Terlat bawa mak kecl la, fugs taksraya mak bergelombag. Sebalkya mak besar la, fugs taksraya mak meuju ler. Adapu asl taksraya pada suatu la da tertetu dtabelka d bawa : Tabel 3. Hasl Taksra Nla,5,5,6,5897,78,665 53

8 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: ,8,78,5,98,387,3 -,9,77 5,6 -,577 -,5755,9 3. Peaksr erel Ler Lokal Jka g meetuka gars lurus pada suatu ttk, maka dapat megguaka peaksr ler lokal. Hal sesua dega kasus dmaa d =. Segga taksra dperole sebaga peyelesaa ˆ da dega memmalka: ( )( ( )) () Aka dberka rumus secara eksplst utuk peaksr kerel ler lokal d bawa : Dega {ˆ s ( ) sˆ ( )( )} ) f ˆ LL ( ) sˆ ( )ˆ s ( ) sˆ ( ), (5) ŝ (6) r r () ( ) ( ) Selajutya kasus racaga tetap dperole dega meggat varable acak dega ttk tetap. Utuk sebara fugs y s ().9 rad(sze( )) da taksraya dtamplka pada grafk berkut : ( 5

9 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: =,5 =, = = Gambar 3. Grafk Fugs Sus dega Peaksr erel Ler Lokal. Terlat bawa mak kecl la, fugs taksraya mak bergelombag. Sebalkya mak besar la, fugs taksraya mak mulus. Adapu asl taksraya pada suatu la da tertetu dtabelka d bawa : Tabel. Hasl Taksra Nla,5,5 5 -,77, ,33,,665,99,85,683,6,77,38,

10 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: , 6,33,5,356 Utuk sebara fugs y cos().5 rad(sze( )) da taksraya dtamplka pada grafk berkut : =,5 =, = = Gambar. Grafk Fugs Cosus dega Peaksr erel Ler Lokal. Terlat bawa mak kecl la, fugs taksraya mak bergelombag. Sebalkya mak besar la, fugs taksraya mak mulus. Adapu asl taksraya pada suatu la da tertetu dtabelka d bawa : Tabel 5. Hasl Taksra Nla,5,5,3,,8,83 56

11 PROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIA UNIVERSITAS DIPONEGORO ISBN: ,33,6536,,576,85,33,3, ,35 -,578 -,75 -,78. esmpula Sebara data yag bebas dstrbus, peaksra parameterya dapat megguaka peaksr Nadaraya-Watso da erel Ler Lokal. Utuk sebara data yag berupa fugs sus atau coses dega peambaa gaggua berdstrbus ormal acak ddapat asl bawa: Mak kecl la badwdt, mak bergelombag grafkya. Mak besar la badwdt, grafkya mak ler atau mulus. Utuk meetuka besarya la taksra pada suatu ttk dapat dega meml besarya la badwdt yag dkeedak. Daftar Pustaka Draper, N.R. ad Smt, H., (98) Appled Regresso Aalyss. d Edto, Jo Wley & Sos, New ork. Gree, P.J. ad Slverma, B.W., (99) Noparamertc Regresso ad Geeralzed Lear Models, Capma & Hall, Lodo. Hardle, W., (99) Appled oparametrc regresso, Cambrde Uversty Press, New ork. Hardle, W., (99) Smootg Tecques Wt Implemetato S, Sprger-Verlag New ork Ic., New ork. Martez, W.L. ad Martez, A.R., () Computatoal Statstcs Hadbook wt MATLAB, Capma & Hall, Florda. Moore, H., (7) MATLAB for Egeers, Pearso Pretce Hall, Ic., New Jersey. Nadaraya, E.A., (96) Teory of Probablty ad Its Applcato, : pp Scott, D.W., (99) Multvarate Desty Estmato: Teory, Practce ad Vsualzato, Jo Wley & Sos, New ork. Wad, M.P. ad Joes, M.C., (995) erel Smootg, Capma ad Hall, Lodo. Wasserma, L., (6) All of Noparametrc Statstcs, Sprger Scece+Busess Meda, Ic., New ork. Watso, G.S., (96) Smoot Regresso Aalyss, 6: pp