PERTEMUAN 5. Teori Himpunan

Transkripsi

1 PERTEMUAN 5 Teori Himpunan

2 Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas

3 Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota) himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Himpunan A yang berisi empat buah anggota 1, 2, 3, dan 4 dapat ditulis sebagai A = {1, 2, 3, 4} Himpunan B yang berisikan nama-nama hari dapat ditulis sebagai B ={senin, selasa, rabu, kamis, jum at, sabtu, minggu} 2. Simbol-Simbol Baku Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan symbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah symbol baku yang berbentuk huruf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, 4, } N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, 4, } Z = himpunan bilangan bulat = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

4 3. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi pembentuk himpunan, yakni himpunan dinyatakan dengan menulis syarat-syarat keanggotaan yang harus dipenuhi oleh anggotanya Notasi : { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan: a. Bagian di kiri tanda melambangkan elemen himpunan b. Tanda dibaca dimana atau sedemikian sehingga c. Bagian di kanan tanda menunjukkan syarat keanggotaan himpunan d. Setiap tanda, di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan 1. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = { x x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } atau A = x x P, x < 5 yang sama dengan A = { 1, 2, 3, 4 } 2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai B = { x x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 8 } atau B = x x 2 P, 2 x 8 yang sama dengan B ={ 2, 4, 6, 8 }

5 2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai B = { x x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 8 } atau B = x x 2 P, 2 x 8 yang sama dengan B ={ 2, 4, 6, 8 } 4. Diagram Venn Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis Misalkan S = {1, 2,, 7, 8}, A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 2, 5, 6, 8 }. Ketiga himpunan tersebut digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut S A B

6 Kardinalitas Definisi 7: Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda yang dalam hal ini n adalah bilangan bu;at tak negative. Sebaliknya, himpunan tersebut dinamakan tak berhingga (infinite set) Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A Notasi: n(a) atau A A = { kucing, a, Amir, 10, paku } maka A = 5 B = { x x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, maka B = 8 C = { x x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1 }, maka C = 0

7 Macam-Macam Himpunan Himpunan Kosong Definisi 8: Himpunan yang tidak memiliki satupun anggota atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong Notasi : atau { } A = { orang Indonesia yang pernah pergi ke bulan }, maka A = 0 P = { x x adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 5x + 10 = 0, P = 0

8 Himpunan Bagian Definisi: Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B adalah superset dari A Notasi: A B Dengan diagram venn berikut S B A i) 1,2,3 1,2,3,4,5 ii) 1,2,3 1,2,3

9 Himpunan yang Sama Definisi 9: Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adlah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A tidak sama dengan B. Notasi: A = B A B dan B A i) Jika A = {0,1} dan B = { x x (x-1) = 0 }, maka A = B ii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A =B iii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A B Tiga hal yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan: 1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting 2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan 3. Untuk tiga buah himpunan A, B dan C berlaku aksioma berikut: a. A =A, B = B dan C =C b. Jika A = B maka B = A c. Jika A =B dan B = C maka A = C

10 Himpunan yang Sama Definisi 9: Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adlah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A tidak sama dengan B. Notasi: A = B A B dan B A i) Jika A = {0,1} dan B = { x x (x-1) = 0 }, maka A = B ii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A =B iii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A B Tiga hal yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan: 1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting 2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan 3. Untuk tiga buah himpunan A, B dan C berlaku aksioma berikut: a. A =A, B = B dan C =C b. Jika A = B maka B = A c. Jika A =B dan B = C maka A = C

11 Himpunan yang Ekuivalen Definisi 10: Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A B A = B Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A B sebab A = B = 4

12 Himpunan yang Saling Lepas Definisi 11: Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama Notasi: A // B Berikut diagram venn dua himpunan saling lepas S A B Jika A = x x P, x < 8 dan B = 10,20,30,, maka A // B

13 Himpunan Kuasa Definisi 12: Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Notasi: P A atau 2 A Jika A = 1,2 maka P A =, 1, 2, {1,2}